九年级数学上点拨与训练二十一章 一元二次方程21章单元检测卷（含解析）

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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21章单元检测卷
考试范围第21章；考试时间：120分钟；满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
评卷人 得分
. .
一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)
1．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠±2
2．把方程（x-）（x+）+（2x-1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（　　）
A. 5x2-4x-4=0 B. x2-5=0 C. 5x2-2x+1=0 D. 5x2-4x+6=0
3．若x=1是方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0的一个根，则k值满足（　　）
A. k=±1 B. k=1 C. k=-1 D. k≠±1
4．x=是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2-4x+1=0 C. 2x2-4x-1=0 D. 2x2+4x-1=0
5．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（　　）
A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19
6．如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A. k＞ B. k＞且k≠0
C. k＜ D. k≥且k≠0
7．对于任意实数m,关于x的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0一定（　　）
A. 有两个正的实数根
B. 有两个负的实数根
C. 有一个正实数根、一个负实数根
D. 没有实数根
8．设a2+1=3a,b2+1=3b,且a≠b,则代数式+的值为（　　）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
9．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　）
A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75
10．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A. x（x-1）=2070 B. x（x+1）=2070
C. 2x（x+1）=2070 D.
分卷II
评卷人 得分
. .
二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)
11．已知是方程的两个实数根，则的值是_________
12．把代数式x2-2x+3化为（x-m）2+k的形式，其中m,k为常数，则m=_____，k=_____．
13．若关于x的一元二次方程（k-1）x2+x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是_____．
14．已知（x2+y2）（x2+y2-5）=6，则x2+y2=_____．
15．如果恰好只有一个实数a是方程（k2-9）x2-2（k+1）x+1=0的根，则k的值为 _____．
评卷人 得分
. .
三、解答题(共8题，共75分)
16．（10分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x﹣1）2＝2；
（2）2x2+5x＝﹣2
17．（8分）已知关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
18．（8分）阅读下面的材料，解答后面的问题
材料：“解方程x4-3x2+2=0”
解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
当y=1时，即x2=1，解得x=±1；
当y=2时，即x2=2，解得x=±
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____
A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法
（2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
19．（8分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a,b,x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
20．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根
（1）求的取值范围
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值
21．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
22．（12分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
23．（13分）已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21章单元检测卷
考试范围第21章；考试时间：120分钟；满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
评卷人 得分
. .
一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)
1．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠±2
【答案】B
【解析】本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．据此即可求解．
解：由一元二次方程的定义可得，解得：m=2．
故选B．
2．把方程（x-）（x+）+（2x-1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（　　）
A. 5x2-4x-4=0 B. x2-5=0 C. 5x2-2x+1=0 D. 5x2-4x+6=0
【答案】A
【解析】先把（x-）（x+）转化为x2-2=x2-5；
然后再把（2x-1）2利用完全平方公式展开得到4x2-4x+1．
再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．
解：
（x-）（x+）+（2x-1）2=0
即x2-2+4x2-4x+1=0
移项合并同类项得：5x2-4x-4=0
故选：A．
3．若x=1是方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0的一个根，则k值满足（　　）
A. k=±1 B. k=1 C. k=-1 D. k≠±1
【答案】C
【解析】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；利用这一知识点求出未知字母系数后，要善于观察未知数的系数；将x=1代入原方程即可解得k的值．
解：把x=1代入方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0，
可得k-1+k2-1-k+1=0，
即k2=1，
解得k=-1或1；
但当k=1时k-1和k2-1均等于0，故应舍去；
所以，取k=-1；
故选：C．
4．x=是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2-4x+1=0 C. 2x2-4x-1=0 D. 2x2+4x-1=0
【答案】A
5．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（　　）
A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19
【答案】D
【解析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解：解方程x2-14x+48=0得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，
2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19．
故选D．
6．如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A. k＞ B. k＞且k≠0
C. k＜ D. k≥且k≠0
【答案】B
【解析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以Δ＞0，Δ=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞且k≠0．
故选：B．
7．对于任意实数m,关于x的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0一定（　　）
A. 有两个正的实数根
B. 有两个负的实数根
C. 有一个正实数根、一个负实数根
D. 没有实数根
【答案】D
【解析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
解：∵Δ=（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）=-4m4-16m2-16＜0，
∴此方程没有实数根．
故选：D．
8．设a2+1=3a,b2+1=3b,且a≠b,则代数式+的值为（　　）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
【答案】B
【解析】根据题目所给的条件，知道a,b是一元二次方程的两个不等实数根，得到a+b和ab的值，把代数式用配方法得到含有a+b和ab的形式，求出代数式的值．
解：根据题意有：a2+1=3a,b2+1=3b,且a≠b,
所以a,b是方程x2-3x+1=0的两个根，
故a+b=3，ab=1
因此+=
=
==7
故选：B．
9．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　）
A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75
【答案】D
【解析】可设个位数字为x,则十位上的数字是（x+2）．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积+40=这个两位数．
解：设个位数字为x,则十位上的数字是（x+2），根据题意得
x（x+2）+40=10（x+2）+x,
整理，得x2-9x+20=0，即（x-4）（x-5）=0，
解得 x1=4，x2=5（不合题意，舍去），
当x1=4时，x+2=6，这个两位数是64；
当x1=5时，x+2=7，这个两位数是75．
答：这两位数是64或75．
故选：D．
10．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A. x（x-1）=2070 B. x（x+1）=2070
C. 2x（x+1）=2070 D.
【答案】A
【解析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x-1）x=2070，
故选：A．
分卷II
评卷人 得分
. .
二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)
11．已知是方程的两个实数根，则的值是_________
【答案】
【解析】根据一元二次方程解的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
12．把代数式x2-2x+3化为（x-m）2+k的形式，其中m,k为常数，则m=_____，k=_____．
【答案】(1)1;(2)2;
【解析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，结合所给的式子进行转化，即可得出结果．
解：x2-2x+3
=x2-2x+1+2
=（x-1）2+2
则m=1，k=2．
故答案为：1；2．
13．若关于x的一元二次方程（k-1）x2+x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k≤且k≠1
【解析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且Δ=12-4（k-1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k-1≠0且Δ=12-4（k-1）≥0，
解得k≤且k≠1．
故答案为k≤且k≠1．
14．已知（x2+y2）（x2+y2-5）=6，则x2+y2=_____．
【答案】6
【解析】设x2+y2=m,把原方程转化为含m的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x2+y2的值．
解：设x2+y2=m,原方程可变形为：m（m-5）=6，
即m2-5m-6=0．
∴（m-6）（m+1）=0，
解得m1=6，m2=-1．
∵m=x2+y2≥0，
∴x2+y2=6．
故答案为：6．
15．如果恰好只有一个实数a是方程（k2-9）x2-2（k+1）x+1=0的根，则k的值为 _____．
【答案】±3或-5
【解析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案．
解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2-9=0，
解得k=±3，
②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，
即Δ=b2-4ac=0，
即：4（k+1）2-4（k2-9）=0
解得：k=-5．
故答案为±3或-5．
评卷人 得分
. .
三、解答题(共8题，共75分)
16．（10分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x﹣1）2＝2；
（2）2x2+5x＝﹣2
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1-．（2）x1＝﹣，x2＝﹣2．
【解析】（1）利用直接开方法，求解即可；
（2）先把等号右边的项移到等号左边，再利用因式分解法求解即可．
解：（1）（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±，
则x1＝1+ ，x2＝1﹣；
（2）整理得：2x2+5x+2＝0，
分解因式得：（2x+1）（x+2）＝0，
可得2x+1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣2．
故答案为（1）x1＝1+ ，x2＝1﹣；（2）x1＝﹣，x2＝﹣2．
【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法和直接开方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法.
17．（8分）已知关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
【解析】（1）根据关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出k的取值范围．
（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值．
解：（1）Δ=（-2）2-4（2k-3）=8（2-k）．
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴8（2-k）＞0，解得k＜2．
（2）当k为符合条件的最大整数时，k=1．
此时方程化为x2-2x-1=0，方程的根为x==1±．
即此时方程的根为x1=1+，x2=1-．
18．（8分）阅读下面的材料，解答后面的问题
材料：“解方程x4-3x2+2=0”
解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
当y=1时，即x2=1，解得x=±1；
当y=2时，即x2=2，解得x=±
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____
A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法
（2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
【答案】C
【解析】（1）利用换元法解方程；
（2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，求出y,把y的值代入x2-2x=y,求出x即可．
解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．
故答案是：C；
（2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，
整理，得
（y-3）（y+2）=0，
得y=3或y=-2
当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3；
当y=-2时，即x2-2x=-2，方程无解．
综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3．
19．（8分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a,b,x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
【解析】（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．
（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．
解：（1）ab-4x2；
（2）依题意有：ab-4x2=4x2，
将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，
解得x1=，x2=-（舍去）．
即正方形的边长为
20．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根
（1）求的取值范围
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据一元二次方程的根与判别式的关系，只需△≥0解不等式即可求出m的范围；
（2）根据一元二次方程根与系数关系：，即可求解．
（1）根据题意得：
，
解得：，
∴m的取值范围为m≤4；
（2）根据题意得：，
，
∴，即，
解得：，
即m的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元一次不等式、解一元一次方程，熟练掌握用判别式判断一元二次方程根的情况，会灵活运用根与系数关系求解是解答的关键．
21．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
【答案】（1）一元二次方程是黄金方程，理由见解析
（2）或
【解析】
（1）根据黄金方程的定义进行求解即可；
（2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可．
【小问1详解】
解：一元二次方程是黄金方程，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴一元二次方程是黄金方程；
小问2详解】
解：∵是关于x的黄金方程，
∴，
∴，
∴原方程为，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴，即，
∴，
解得或．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
22．（12分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【解析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润=总利润进而得出函数关系式求出最值；
（3）利用总利润=4220，求出x的值，进而得出答案．
解：（1）由题意可得：y=100+5（80-x）整理得 y=-5x+500；
（2）由题意，得：
w=（x-40）（-5x+500）
=-5x2+700x-20000
=-5（x-70）2+4500
∵a=-5＜0，
∴w有最大值
即当x=70时，w最大值=4500
∴应降价80-70=10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：
-5（x-70）2+4500=4220+200
解之，得：x1=66，x2 =74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故x=66，
∴当销售单价定为66元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
23．（13分）已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
【解析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出Δ＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，又Δ=（k-5）2-4（1-k）=（k-3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1-3）（x2-3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
（1）证明：∵Δ=（k-5）2-4（1-k）=k2-6k+21=（k-3）2+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∵Δ=（k-3）2+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2=5-k＞0，x1 x2=1-k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得（x1-3）（x2-3）＜0，
即x1 x2-3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5-k,x1 x2=1-k,
代入得，1-k-3（5-k）+9＜0，
解得k＜．
则k的最大整数值为2．
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