21.1一元二次方程【人教九上数学精彩课堂教案】

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21.1　一元二次方程
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
归纳探究　如图21-1-1,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
　图21-1-1
引导学生分析:等量关系为　底面的长×宽=底面积　.设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为　(100-2x)　cm,宽为　(50-2x)　cm.根据方盒的底面积为3600 cm2,得方程　(100-2x)(50-2x)=3600　.整理,得　4x2-300x+1400=0　.
归纳:一元二次方程是只含有　一个未知数x的整式　方程,并且都可以化成　ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)　的形式.
[教学提示] 通过图形的变化让学生感知等量关系,通过整理所得到的方程的特征归纳出一元二次方程的定义.在得到一元二次方程定义的时候要抓住三个关键点:一是整式方程;二是只含有一个未知数;三是未知数的最高次数是2.
复习探究　(教师)(1)同学们,至今为止我们学习了哪些方程 它们都有什么特点 能举例说明吗 类似于3x2+2x-1=0的方程我们学习过吗 这类方程有什么特点 属于什么方程呢 它们存在于我们的实际生活中吗 下面请大家随我一起探索新知,揭开它的神秘面纱吧!
[教学提示] 复习回顾前面学过的一元一次方程,二元一次方程,分式方程,能唤醒学生的记忆,明确它们的特点和定义,为继续探索和学习一元二次方程的特点和定义做好铺垫,同时对新方程产生疑问,激发学生探索新知的兴趣.通过复习,让学生明确“元”和“次”在方程中的含义.
(2)同学们,刚才我们回顾了各类方程,那么谁能告诉我什么是方程的解呢 如何检验一个数是不是一个方程的解
[教学提示] 复习方程的解的概念,能帮助学生理解一元二次方程的解的概念,从而加以灵活应用.结合实例,让学生了解检验方程解的必要性和方法.
教材母题——第2页问题2
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛
【模型建立】
设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,所以全部比赛共x(x-1)场,从而可列方程x(x-1)=28.此类问题称为“单循环问题”,也叫做“两两握手问题”.
【变式变形】
1.直线上有x个点,共有28条线段,求x的值.[答案:8]
2.平面上有x个点,任意两点确定一条直线(没有三点共线),共有28条直线,求x的值.[答案:8]
3.一次会议上有若干人,每两人之间都握手一次,共握手28次,有多少人参加会议 [答案:8人]
4.在一次商品交易会上,参会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了28份合同,共有多少家公司参加商品交易会 [答案:8家]
5.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,若一共碰杯55次,则有多少人参加酒会 [答案:11人]
6.在一个QQ群里,每两个网友之间都发一条信息,共发了28条信息,这个群里有多少个网友 [答案:8个]
　
　　【评价角度1】 利用一元二次方程的概念判断
方法指引:一元二次方程的特征:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.注意在判断某个方程是不是一元二次方程时,要先把该方程化简整理,再进行判断.
例　(1)有下列方程:①4x2=3x;②(x2-2)2+3x-1=0;③ax2+bx+c=0;④x2=0;⑤=2x;⑥6x(x+5)=6x2;⑦=2.其中是一元二次方程的个数是 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)无论a取何值,下列方程总是关于x的一元二次方程的是 (A)
A.(a2+1)x2=4 B.(a-2)x2=2
C.ax2+3x-2=0 D.2x2+ax-1=2x2
【评价角度2】 利用一元二次方程的定义求待定字母的值或取值范围
方法指引:根据一元二次方程的定义可以求方程中待定字母的值或取值范围,解题的关键是根据一元二次方程只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且二次项系数不为0列方程或不等式求解.
例　(1)若关于x的方程(a-1)x|a|+1-3x+2=0是一元二次方程,则 (C)
A.a≠±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=±1
(2)当实数m满足条件　m≠-1　时,(m+1)x2-3x+1=0是关于x的一元二次方程.
【评价角度3】 利用一元二次方程的根求待定字母或与待定字母相关的代数式的值
方法指引:一元二次方程的根就是方程的解,它能使方程左右两边相等.
例　(1)已知关于x的一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的值为 (B)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
(2)若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n=　-2　.
(3)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为　2018　.
(4)若2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根,则m-n的值为 　.
(5)若关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则a=　1　.
【评价角度4】 根据等量关系列一元二次方程解决实际问题
例　(1)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的长为x cm,则可列方程为 (B)
A.x(20+x)=64 B.x(20-x)=64
C.x(40+x)=64 D.x(40-x)=64
(2)宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当每间房的定价为多少元时,宾馆当天的利润为10890元 设每间房的定价为x元,则有 (B)
A.(180+x-20)50-=10890 B.(x-20)50-=10890
C.x50--50×20=10890 D.(x+180)50--50×20=10890
课题 21.1　一元二次方程 授课人
教 学 目 标 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,确定出二次项系数、一次项系数和常数项. 3.理解一元二次方程的根的意义,能够运用代入法检验根的正确性. 4.在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性. 5.通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移得到一元二次方程的概念. 6.通过用数学知识解决实际问题的思想激发学生的学习热情和积极性.
教学 重点 　　通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念、一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及一元二次方程的根等概念,并能用这些概念解决简单问题.
教学 难点 把实际问题转化为一元二次方程模型.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 课件展示:教师引导学生完成下列题目,复习一元一次方程的相关知识: 一元一次方程的知识: 1.一元一次方程中的“一元”是指　1个未知数　,“一次”是指　未知数的次数是1　,一元一次方程左右两边都是　整式　的形式. 2.一元一次方程的一般形式是　ax+b=0(a,b是常数,且a≠0)　.若关于x的方程(m+1)x|m|+1=0是一元一次方程,则m=　 1 　. 3.什么是一元一次方程的解 如何判断一个数是不是一元一次方程的解 若已知x=1是方程ax+3=0的解,则a=　-3　. 　　通过回顾一元一次方程及其解的概念,理解“元”和“次”的含义,有助于学生类比得到一元二次方程的概念,理解一元二次方程根的定义,从而充满探究的欲望和浓厚的兴趣.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　问题1:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形 问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛 学生先自主探究、分析,再在小组内合作讨论,设出合适的未知数,根据等量关系列出方程.若学生感觉困难,教师可做如下引导. 问题1　等量关系:　底面的长×宽=底面积　, 若设切去的正方形的边长是x cm,则有方程　(100-2x)(50-2x)=3600　.整理得　4x2-300x+1400=0　. 问题2　教师可举例,由特殊到一般,帮助学生理解题意. 设邀请x个队参赛,每个队要与其他　(x-1)　个队各赛一场,因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 x(x-1)　场,于是得到方程 x(x-1)=28　,整理得 x2-x-28=0　. 　　由实际问题入手,设计情景问题,激发学生的兴趣,让学生初步感受一元二次方程,同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型.
活动 二: 探究 与 应用 1.探究交流 观察[课堂引入]中所列的方程,分析以上两个方程是不是一元二次方程,它们与一元一次方程有什么区别与联系. 学生观察、思考、讨论、交流、汇报. 教师重点引导学生观察得到所列方程的特点:①整式;②一元;③二次. 引入课题(板书):一元二次方程. 2.归纳定义 问题:根据找出的一元二次方程的特征,你能给一元二次方程下个定义吗 教师引导学生结合所列方程的三个特征及一元二次方程的名称,类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 教师板书:整式;一元;二次. 1.注重学生的自主学习与探究,通过自主获得新知,体验成功的快乐. 2.让学生充分感受所列方程的特点,通过类比的方法得到一元二次方程的概念,从而达到真正理解定义的目的.
活动 二: 探究 与 应用 　　课件展示: (试一试)抢答:下列各方程是不是一元二次方程: ①3x+2=5x-2;②2x2-2x=0;③x2=0; ④-=0;⑤3y2=(3y+1)(y-2); ⑥ax2+bx+c=0;⑦3x2=5x-1; ⑧(x+3)(2x-4)=0. 3.相关概念 问题1:类比一元一次方程的一般形式,你能写出一元二次方程的一般形式,并说出各项的名称吗 师生共同小结(板书): 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 课件展示: (试一试)抢答:指出下列各方程的二次项、一次项和常数项. ①3x2+2x-1=0;②2x2=3;③=0. 问题2:类比一元一次方程的解的定义,你能给一元二次方程的根下定义吗 师生共同小结(板书): 一元二次方程的根: 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 课件展示: (试一试)下列哪些数是方程x2+x-12=0的根 -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 　　3.由学生以抢答的形式来完成练习,并让学生纠错,目的在于巩固学生对一元二次方程相关概念的理解.
【应用举例】 例1　将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 变式练习:将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 例2　已知关于x的方程x2-2x+k2=0的一个根是1,那么k的值是　　　　. 变式练习:已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为　　　　. 课件展示(根据上课具体情况选用). 　　1.加深对一元二次方程一般形式的理解,同时为以后学习方程的解法打下基础. 2.进一步巩固方程的根的含义,学会应用方程的根解决问题.
【拓展提升】 例3　已知关于x的方程(2a-4)x2-2x+a=0,在什么条件下,此方程为一元一次方程 在什么条件下,此方程为一元二次方程 例4　已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,求a的值. 例5　求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程. 学生自主思考,教师做好指导,最后由个别学生进行课堂解答,教师给予评价和辅导.教师指出解答问题的易错点和方法应用. 　　通过练习,可巩固和加深对新知的理解,培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.若方程mx2-2x+m=0是关于x的一元二次方程,则(C) A.m为任意实数　B.m=0 C.m≠0 D.m=0或m=1 2.下列方程中,不含一次项的是 (D) A.3x2-5=2x B.16x=x2 C.x(x-7)=0 D.(x+5)(x-5)=0 3.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则a+b+c=　0　;若a-b+c=0,则方程必有一根为　-1　. 4.一元二次方程2x2=1-4x的二次项系数、一次项系数和常数项之和为　5　. 5.若关于x的方程(k-1)x|k|-1-x-2=0是一元二次方程,求k的值. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　利用典型的练习题进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
　　1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 说一说! 2.布置作业: (1)必做题:教材第4页习题21.1第1,2,6题. (2)选做题:教材第4页习题21.1第4,5,7题. (3)拔高题:若方程x2m+n+xm-n+3=0是关于x的一元二次方程,求m,n的值. 　　根据具体情况分层布置相应的作业,使不同基础的学生都能得到相应的发展.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在问题导入环节中,出示的问题有难度,需要教师进一步讲解;在新知探究环节中,学生充分发挥主动性,总结新知能力较强;在能力训练环节中,学生完成较好,值得鼓励与表扬. ②[讲授效果反思] 对于一元二次方程的定义,教师必须强调:(1)把握一般形式;(2)二次项系数不为0;(3)分清各项系数. ③[师生互动反思] 从课堂过程和效果分析,学生能够充分交流、合作,对于问题思考和解答都有独立性,效果较好. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
　温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二　导学案设计”案例,word
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