21.2.1.1解一元二次方程 配方法 第1课时　直接开平方法【人教九上数学精彩课堂教案】

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21.2　解一元二次方程
21.2.1　配方法
第1课时　直接开平方法
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
实际情境　在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台,那么这个正方形舞台的边长是多少米呢
【分析】 设这个正方形舞台的边长是x米.由题意列方程,得x2=144.
【思考】 你会利用平方根的知识解这个方程吗
【解】 设这个正方形舞台的边长为x米.
由题意,得x2=144.
根据平方根的意义,得x=±=±12,∴原方程的解是x1=12,x2=-12.
∵边长不能为负数,∴x=12.即这个正方形舞台的边长是12米.
复习探究　1.如果x2=a,那么x叫做a的　平方根　;求一个数a的　平方根　的运算叫做开平方.
非负数a的平方根为　±　,非负数a的算术平方根为 　.
2.0.25的平方根是　±0.5　;8的平方根是　±2　;若x2=3,则x=　±　.
[教学提示] 通过对平方根、开平方的复习,能唤醒学生对相关知识的记忆,为进一步学习新知奠定基础,起到承上启下的作用.在复习中,让学生明确平方根、算术平方根的区别和联系,掌握求平方根的方法,从而导出新课.
　　【评价角度】 用直接开平方法解一元二次方程
方法指引:如果方程是a(x+b)2=c(a≠0,ac>0)的形式,那么我们可以运用直接开平方法解方程.直接开平方法:形如x2=p(p≥0)或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法求解.如果方程化成x2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±;如果方程化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么可得nx+m=±.
　　例1　已知x1,x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个解,且x1A.x1小于-1,x2大于3 B.x1小于-2,x2大于3
C.x1,x2在-1和3之间 D.x1,x2都小于3
例2　若关于x的方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数,m≠0)的解是x1=-3,x2=2,则方程m(x+h-3)2+k=0的解是 (B)
A.x1=-6,x2=-1 B.x1=0,x2=5
C.x1=-3,x2=5 D.x1=-6,x2=2
例3　若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则=　4　.
课题 第1课时　直接开平方法 授课人
教 学 目 标 1.使学生知道形如x2=a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解. 2.使学生知道直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义. 3.使学生能够熟练而准确地运用直接开平方法求一元二次方程的解. 4.在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法. 5.根据平方根的意义用直接开平方法解一元二次方程,使学生能够解符合条件的一元二次方程,同时为配方法的学习打好基础. 6.通过利用直接开平方法解一元二次方程使学生在学习中体会成功感,感受数学学习的价值.
教学 重点 使学生能够熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程.
教学 难点 探究一元二次方程a(x+b)2=c的解的情况,培养分类讨论的意识.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　课件展示: 1.什么是一个数的平方根 平方根具有哪些性质 怎样求一个数的平方根 2.计算:16的平方根是　±4　,8的平方根是　±2　,的平方根是　±　,13的平方根是　±　. 3.想一想如何描述求x2=9中x的过程.试一试! 学生自主思考,并进行解答,师生共同讨论,回顾平方根的相关知识. 　　通过回顾平方根的概念及性质和开平方的意义,有助于学生理解利用直接开平方法解一元二次方程,为学习新知打下基础.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 课件展示: 问题:一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体盒子的全部外表面,你能通过列方程算出正方体盒子的棱长吗 图21-2-1 若学生感觉困难,教师适当引导求解: 等量关系:10个正方体盒子的表面积=1500 dm2.若设其中一个正方体盒子的棱长为x dm,则这个正方体盒子的表面积为　6x2　dm2,可列方程　10×6x2=1500　,化简得x2=25,开平方得x=　±5　,原方程有　两　个解,但棱长为　正数　,所以x=　5　.故正方体盒子的棱长为　5　dm. 结论:这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 板书:直接开平方法解方程. 　　从学生身边的实际问题引出学习内容,逐步求解,顺利点题,让学生体会数学与生活的紧密联系,同时明确本节课的学习任务.
活动 二: 探究 与 应用 1.自主探究(课件展示问题) 问题1:(1)请你用直接开平方法解下列方程: ①x2=12;②x2-=0;③2x2-8=0;④9x2-5=3. (2)一元二次方程2x2+1=0与1-2x2=0的解相同吗 为什么 (3)由(1)(2),你能总结出ax2+c=0型一元二次方程的求解方法吗 学生自主探究,然后讨论、交流,汇总思想,解答问题,最后师生共同归纳:一般地,对于一元二次方程ax2+c=0,先将它变形为x2=p的形式,再利用直接开平方法求解,其中,当p>0时,方程有两个不等的实数根x1=-,x2=;当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;当p<0时,方程无实数根. 　　2.合作交流(课件展示问题) 问题2:(1)一元二次方程x2=25与(x+3)2=25有何区别和联系 类比方程x2=25的求解方法,你能解方程(x+3)2=25吗 方程(3x+1)2=2呢 试一试. (2)对于(nx+m)2=p型的方程,你能说说它的基本解法吗 学生通过独立思考,小组合作交流,师生共同归纳:运用直接开平方法可以解形如x2=p或(nx+m)2=p的一元二次方程,其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”. 板书:开平方,降次转化,二次变一次. 　　1.设置问题1,使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方程的形式,培养学生思维的灵活性以及善于思考、勇于质疑的精神. 　　2.设置问题2,通过对一些复杂问题的探究,帮助学生体会换元思想及类比的学习方法,同时更加深入而准确地理解直接开平方法适用的一元二次方程.
【应用举例】 例1　解方程:(1)3(x-1)2-9=108;(2)x2+6x+9=2. 多媒体展示,学生自主进行解答,然后交流解法及依据. 变式练习:解一元二次方程: (1)2(x-8)2=50;(2)(2x-1)2-32=0; (3)x2+4x+4=1;(4)9n2-24n+16=11. 　　采用逐步递进、提升的方式设置题目,使学生体验到类比、转化、降次的数学思想方法.
【拓展提升】 例2　已知x1,x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个解,且x1活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列方程中,适合用直接开平方法解的有　　　　个. ①x2=1;②(x-2)2=5;③(x+3)2=3;④x2=x+3; ⑤3x2-3=x2+1;⑥y2-2y-3=0. 2.如果25x2-16=0,那么x1= 　,x2=　-　. 3.探究一元二次方程(x-m)2=a的解的情况. 4.某市区内有一块边长为15米的正方形绿地,经城市规划,需扩大绿化面积,预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米,这块绿地的边长增加了多少米(结果保留一位小数) 师生活动:学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　利用典型的练习题进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
活动 三: 课堂 总结 反思 1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 说一说! 2.布置作业: (1)教材第6页练习. (2)教材第16页习题21.2第1题. (3)选做题:①已知方程(x-1)2=k2+2的一个根是x=3,求k的值和另一个根. ②在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2,求方程(x+2)*5=0的解. 　　注重课堂小结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在复习回顾环节中,教师应给予充分的时间让学生交流、讨论,平方根的意义是直接开平方法的依据,所以必须使学生清楚平方根的意义;在课堂训练中,教师点名让学生回答问题,从多个角度进行多人次的提问. ②[讲授效果反思] 对于难点问题,教师引导学生注意以下几点:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,所以方程x2=p(p>0)有两个实数根;(2)负数没有平方根,所以方程x2=p(p<0)无实数根. ③[师生互动反思] 本课时难度较小,重视学生自学能力的提高,教师起到引导、点拨、评价的作用. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
　温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二　导学案设计”案例,word
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