21.2.1.2解一元二次方程 配方法 第2课时　配方法【人教九上数学精彩课堂教案】

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21.2　解一元二次方程
第2课时　配方法
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
实际情境　李老师让学生解一元二次方程x2-6x-5=0,同学们都束手无策,学习委员蔡亮考虑了一下,在方程两边同时加上14,再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗 从中你能得到什么启示
[教学提示] 通过情境引入对一个陌生一元二次方程的求解方法,激起学生的学习兴趣,让学生经历用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想.教学中让学生明白方程两边同时加14的目的,体会等式的性质及转化思想的应用.
复习探究　(1)能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点 试解下列方程:①(x+3)2=5;②x2+6x+9=1,说一说这两个方程的求解过程有何异同
(2)什么是完全平方公式 将下列各式填上适当的项,配成完全平方式.
①x2+2x+　1　=(x+　1　)2;②x2-4x+　4　=(x-　2　)2;
③x2+　12x　+36=(x+6)2;④x2+10x+　25　=(x+　5　)2.
观察并思考:各式中的常数项与一次项的系数有什么关系
(3)根据方程x2+6x+9=1的求解思路,你能解一元二次方程x2+6x+8=0吗
[教学提示] 通过复习,使学生明确能用直接开平方法求解的方程的特点和完全平方公式的特点,继而延伸到利用配方转化,实现开平方解一元二次方程的可行性.整个复习过程让学生充分参与,相互配合,教师适当引导,激发学生的学习兴趣和求知欲,为本节课的学习做好铺垫.
教材母题——第7页例1
解下列方程:
　　(1)x2-8x+1=0;(2)2x2+1=3x;(3)3x2-6x+4=0.
【模型建立】
根据配方法的依据可知,要把一个二次三项式配成完全平方式,要先确保二次项的系数是1,在此基础上加上一次项系数一半的平方.当然,为了保证多项式的结果不变,还要在后面减去前面所加的数.
【变式变形】
1.将一元二次方程x2-6x-5=0化成(x-a)2=b的形式,则b等于 (D)
A.-4 B.4 C.-14 D.14
2.用配方法解下列方程时,配方有错误的是 (B)
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为t-2=
D.3y2-4y-2=0化为y-2=
3.解方程:(1)x2+8x=9;(2)6x2+7x-3=0;(3)x2-6x+1=-3.[答案:(1)x1=1,x2=-9　(2)x1=,x2=-　(3)x1=3+,x2=3-]
　　【评价角度1】 配方
方法指引:根据完全平方式的结构特点,当二次项系数为1时,只需加上一次项系数一半的平方,就能将一个二次三项式或一元二次方程配成含完全平方式的形式.注意:为保证二次三项式的值不变或等式成立,需要再减去一次项系数一半的平方或在方程两边同时作变换.
例1　一元二次方程y2-y-=0配方后可化为 (B)
A.y+2=1 B.y-2=1
C.y+2= D.y-2=
例2　若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式,则m=　-1或7　.
例3　若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=　3　.
【评价角度2】 用配方法解一元二次方程
方法指引:如果一元二次方程的二次项系数为1,将常数项移到方程的右边,然后在方程两边加上一次项系数一半的平方,将左边配成完全平方式,再利用直接开平方法解方程.需要注意的是为确保等式的成立,需要在方程两边同时作变换.例如本课素材二[教材母题模型].
【评价角度3】 用配方法求字母或代数式的值
方法指引:根据完全平方式非负的特点,利用配方,将一个等式转化为几个非负数或式的和为0的形式,再由每一个非负数或式分别为0的性质构造方程(组)求解.
例1　已知3x2+4y2-12x-8y+16=0.求yx的值.
解:原式可变形为(3x2-12x+12)+(4y2-8y+4)=0,
配方得3(x-2)2+4(y-1)2=0,则x-2=0,y-1=0,
解得x=2,y=1,故yx=12=1.
例2　已知a2+2ab+b2-4(a+b-1)=0,求a+b-3的值.
解:原式可变形为(a+b)2-4(a+b)+4=0,配方得(a+b-2)2=0,则a+b-2=0,解得a+b=2,故a+b-3=2-3=-1.
【评价角度4】 用配方法进行说理
方法指引:此类题目一般的考查方式是求最大(小)值或证明一个代数式的值总为非负(或非正)数.解决这类问题的思考点是“一个数的平方为非负数”和“利用完全平方公式配方”.
例1　不论x,y为何值,代数式x2+y2+2x-4y+7的值 (A)
A.总不小于2 B.总不小于7
C.可为任意实数 D.可能为负数
例2　(1)用配方法求2x2-7x+2的最小值;
(2)用配方法求-3x2+5x+1的最大值.
解:(1)2x2-7x+2=2-,
∴2x2-7x+2的最小值为-.
(2)-3x2+5x+1=-3+,
∴-3x2+5x+1的最大值为.
课题 第2课时　配方法 授课人
教 学 目 标 　　1.了解配方法解一元二次方程的定义. 2.掌握配方法解一元二次方程的步骤,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 3.经历用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力. 4.通过配方将其转化为可利用直接开平方法解的一元二次方程,向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化,这是研究数学问题常用的方法:化未知为已知. 5.通过学生间的交流、探索,进一步激发学生的学习热情和求知欲望,同时提高小组合作意识和一丝不苟的精神.
教学 重点 会用配方法解一元二次方程.
教学 难点 能够熟练地进行配方.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.引导学生回顾直接开平方法解一元二次方程的步骤,解下列方程: (1)x2=3;(2)(x+3)2=5;(3)x2+6x+9=7. 2.问题:什么是完全平方公式 3.根据完全平方式的特点完成下列填空. (1)x2-18x+　81　=(x-　9　)2; (2)x2+x+ 　=; (3)x2+x+ 　=. 提出问题:要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式,常数项该如何变化 学生讨论,发现规律:常数项是一次项系数一半的平方. 　　1.巩固用直接开平方法解一元二次方程,为配方法打下基础. 2.学会利用完全平方式的知识填空,感受配方,为课题的学习做好铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 大家都知道,任何一个能变形为x2=p或(ax+b)2=c形式的一元二次方程,都可以用直接开平方法解,根据方程x2+6x+9=1的求解思路,你能解一元二次方程x2+6x+8=0吗 学生先独立思考,再相互交流,最后阐述解法,引出配方法解一元二次方程. 板书:配方法. 　　用两个看似不同而实质相同的方程x2+6x+9=1和x2+6x+8=0对比求解,容易启发学生思考,激起学生深入探究的积极性,从而更好地体验配方法解方程的过程.
活动 二: 探究 与 应用 　　问题1:(课件展示) (1)探究解一元二次方程:x2+6x+4=0. (2)什么叫配方法 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤是什么 教师指导学生观察方程x2+6x+4=0与(x+3)2=5的区别和联系,找两名学生说出自己的想法. 方程(x+3)2=5可转换为x2+6x+4=0,根据两个方程之间的联系讨论怎样把方程x2+6x+4=0转化为方程(x+3)2=5,并解方程. 学生思考、讨论,发表意见,进行整理并写出过程和步骤. 师生合作写出解答过程: 解:移项,得x2+6x=-4,(移项要变号) 配方,得x2+6x+9=-4+9,(思考:为什么方程两边加9,添加:一次项系数一半的平方) 整理,得(x+3)2=5,(方程左边写成完全平方形式) 开方,得x+3=±,(利用直接开平方法解方程) 所以x1=-3,x2=--3. 教师总结配方法的定义,指导学生回顾解题过程,归纳总结配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤. 板书:配方法的定义. 练习:用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果正确的是 (B) A.(x+2)2=2　　　　　　　　B.(x+1)2=2 C.(x+2)2=3 D.(x+1)2=3 问题2:(课件展示) 观察方程3x2+8x-3=0,它与上面我们所解的方程有什么不同 你有什么想法 你能总结出配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤吗 师生活动:先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有什么不同,再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解的方程类型,教师提醒后,找一位同学尝试板书,然后教师课件演示. 板书:配方法解一元二次方程的步骤:移项,二次项系数化为1,配方,开方,降次求解. 练习:一元二次方程2x2-4x+1=0可配方成　(x-1)2=-+1　后求解. 　　1.学生通过经历观察、思考、讨论、分析的过程,形成把一元二次方程配成完全平方形式来解方程的思想. 　　2.让学生探讨总结用配方法解一元二次方程的一般步骤,一方面培养学生归纳总结问题的能力及逻辑思维和语言表达能力;另一方面学生能熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤,掌握每一步的原理,这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力. 3.让学生在实践中逐步体会配方法求解一元二次方程的一般步骤,在学生有了初步认识的基础上,教师再展示步骤,目的是引导学生掌握这种思想,而不是让学生死记硬背这些步骤.
【应用举例】 例1　解方程:(1)x2-2x-6=x-11;(2)2x2+1=3x. 师生活动:教师指导学生观察方程的特点,并指导学生阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价和辅导. 变式练习:解方程:(1)x(x+4)=6x+12; (2)3(x+1)(x+2)=x+7. 　　此题的设置存在梯度,给予学生层次递进的学习过程.
【拓展提升】 例2　用配方法求解下列问题. (1)求2x2-7x+2的最小值;(2)求-3x2+5x+1的最大值. 例3　已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求的值. 　　学生不断质疑、解惑,不但完善了思维,而且锻炼了能力,使学生形成对知识的总体把握.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.若x2+6x+m2是一个完全平方式,则m的值是(C) A.3　　　　B.-3　　　　C.±3　　　　D.以上都不对 2.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形,结果是(A) A.(a-2)2+1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2+1 D.(a-2)2-1 3.把方程x2+3=4x配方后的方程为　(x-2)2=1　. 4.用配方法解下列方程: (1)x2+12x-15=0;(2)3x2-5x=2;(3)x2-x-4=0. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
　　1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 说一说! 师生总结:用配方法解一元二次方程的一般步骤:①移项;②二次项系数化为1;③配方;④开方;⑤得解. 2.布置作业: (1)教材第9页练习. (2)教材第17页习题21.2第2,3题. (3)补充(选做题):①已知3x2+4y2-12x-8y+16=0,求的值. ②证明:不论m为何值时,关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0都是一元二次方程. 　　1.注重课堂小结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会. 2.因材施教,让不同类型的同学都得到发展和提高.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的环节中,教师加强引导和示范,因为学生接收新知的基础性差,所以教师教授解答过程和方法时,应给予学生必要的板演. ②[讲授效果反思] 讲解重点问题时,注意:(1)添项为一次项系数一半的平方;(2)牢记解题的步骤. ③[师生互动反思] 从课堂交流和课堂检测来看,学生能够运用配方法进行解方程,并且效果很好. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
　温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二　导学案设计”案例,word
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