21.2.2解一元二次方程 公式法【人教九上数学精彩课堂教案】

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21.2　解一元二次方程
21.2.2　公式法
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
置疑探究　在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.
解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0;(2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0;(4)3x2+4x+7=0.
然后让学生仔细观察四个方程的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处
接着再改变上面每个方程的其中一个系数,得到四个新的方程:
(1)3x2+4x+2=0;(2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0;(4)3x2+x+7=0.
思考1:新方程与原方程的解答过程相比,有什么变化
由学生的观察讨论得到:用配方法解不同的一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程(程序化的操作),不同之处是方程的根的情况及其方程的根.
思考2:既然过程是相同的,为什么根会不同 方程的根与什么有关 有怎样的关系 如何进一步探究
[教学提示] 1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望;3.通过问题引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系,从而引导学生去探究.在学生利用配方法解一元二次方程时,为了节约时间,可以让学生分组解答,比如:将学生按列随机分成若干个组分别解答,再分别展示答案,充分让学生感受到解答过程的共性.
　　复习探究　(1)在上一节课中,我们学习了用配方法解一元二次方程,那么请回忆一下用配方法解一元二次方程的步骤是什么
①移项:方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项.(注意移项要变号)
②化1:把二次项系数化为1.(方程两边同时除以二次项系数,注意不要漏项)
③配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方.(注意分数的平方要加括号)
④变形:方程左边分解因式,右边合并同类项,使方程转化为(x+m)2=n的形式.(当n≥0时,方程有实根;当n<0时,方程无实根)
⑤开方:根据平方根的意义,方程两边开平方.(注意别漏了正负号,带根号的根式应化成最简二次根式)
⑥求解:解一元二次方程.
⑦定解:写出原方程的解.
(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
移项,得　ax2+bx=-c　.二次项系数化为1,得　x2+x=-　.
配方,得　x2+x+2=-+2　,即x+2=.
因为a≠0,所以4a2>0.
当b2-4ac>0时,得　x+=±　,所以　x=-±　,
即x1=,x2=.
当b2-4ac=0时,得x1=x2=-.
当b2-4ac<0时,方程无实数根.
[教学提示] 以提问和练习的方式让学生回顾旧知,一方面是为了培养学生的语言表达能力,另一方面是为了加深学生对配方法的理解,为推导公式法做准备.全班同学在练习本上运算,请两名小组代表去黑板上练习,老师巡回指导,适时点拨,并注意对学习有困难的学生进行辅导,对表现比较突出的学生及时进行鼓励.
教材母题——第11页例2
用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.
【模型建立】
用公式法解一元二次方程,首先将方程化成一般形式,确定各项的系数(注意符号),当b2-4ac≥0时,将各系数代入求根公式求解.注意只有在b2-4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解.
【变式变形】
1.用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)-4时,b2-4ac的值为 (C)
A.52 B.32 C.20 D.-12
2.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是 (D)
A.=
B.=
C.=
D.=
3.一元二次方程x2+2x-6=0的根是 (C)
A.x1=x2= B.x1=0,x2=-2
C.x1=,x2=-3 D.x1=-,x2=3
4.已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的较小的根,则下面对a的估计正确的是 (A)
A.-25.一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5的根的情况是 (D)
A.无实数根 B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3 D.有两个正根,且有一根大于3
6.方程x2-2x-2=0的解是　x1=1+,x2=1-　.
7.小明用公式法解方程2x2+7x=4的过程如下:
∵a=2,b=7,c=4,∴b2-4ac=72-4×2×4=17.
∴x=.
∴x1=,x2=.
你认为小明的解答过程正确吗 如果不正确,请给出正确的解答过程.
解:小明的解答过程不正确.
正确的解答过程如下:
移项,得2x2+7x-4=0,
∵a=2,b=7,c=-4,∴b2-4ac=72-4×2×(-4)=81.
∴x==.∴x1=-4,x2=.
教材母题——第17页习题21.2第13题
无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗 给出答案并说明理由.
【模型建立】
“一元二次方程的根的个数”与“Δ=b2-4ac与0的大小关系”有关,所以牢记如下结论是解决此问题的关键.
①当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根,即x1=,x2=;
　　②当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x1=x2=-;
③当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
【变式变形】
1.不解方程,判断关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.[答案:有两个实数根]
2.已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是 (D)
A.k≠2 B.k>2
C.k<2且k≠1 D.k为一切不等于1的实数
3.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数根,则p与q的关系是　p2-4q=0　.
4.已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是　a>-1且a≠0　.
5.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.[答案:(1)略　(2)1或2]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用b2-4ac判断一元二次方程根的情况
方法指引:b2-4ac的值的情况对应了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况,很多时候不用解方程就可以判断方程根的情况:若b2-4ac>0,则方程有两个不等的实数根;若b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根;若b2-4ac<0,则方程无实数根.
例1　一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是 (D)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
例2　关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是 (A)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
例3　已知关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0.试说明:无论m取何实数,此方程总有实数根.
解:∵在关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0中,Δ=4(2-m)2-4(3-6m)=4(m+1)2≥0,
∴无论m取何实数,此方程总有实数根.
【评价角度2】 利用公式法解一元二次方程
方法指引:用公式法解一元二次方程是将解方程的过程程序化,规范性要求较高,在代入公式求值前必须通过b2-4ac的值来判断方程解的情况,只有方程有解才能代入公式求解.在求b2-4ac的值时要先将方程转化为一般形式,再确定a,b,c的值.
例　解方程:x2+4x-1=0.[答案:x1=-2+,x2=-2-]
　　【评价角度3】 根据方程根的情况求解字母系数的值或取值范围
方法指引:利用方程根的情况与b2-4ac的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式,从而确定字母系数的值或取值范围.在实际操作过程中,要关注二次项的系数不能等于0这一条件的应用.
　　例1　若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为 (B)
A.m> B.m< C.m= D.m<-
例2　若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为 (A)
A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1
例3　若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是　k≤5且k≠1　.
【评价角度4】 一元二次方程的根的情况的实际应用
方法指引:在解决实际问题时,有时可以通过列出一元二次方程,利用根的判别式判断一元二次方程解的情况.
例　小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗 请说明理由.
解:小峰的说法是对的.
理由:假设这两个正方形的面积之和可以等于48 cm2.
设此时其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长是(10-x)cm.
由题意可得x2+(10-x)2=48.
化简得x2-10x+26=0.
因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,
所以此方程没有实数根.
所以小峰的说法是对的.
课题 21.2.2　公式法 授课人
教 学 目 标 　　1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. 3.能够理解一元二次方程根的判别式,并能运用根的判别式进行相关的计算或推理. 4.经历探索求根公式的过程,发展学生合情合理的推理能力. 5.引导学生熟记一元二次方程的求根公式x=,并理解公式成立的条件b2-4ac≥0. 6.通过运用公式法解一元二次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心.
教学 重点 一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算.
教学 难点 一元二次方程求根公式的推导.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　提出问题: 问题1:配方法解一元二次方程的步骤有哪些 学生回答,教师点评,并做好指导工作. (1)移项.(2)二次项系数化为1. (3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方). (4)变形:原方程变形为(x+m)2=n的形式. (5)开方:如果n是非负数,那么可以直接开平方求出方程的解;如果n是负数,那么一元二次方程无解. (6)定解. 问题2:当一元二次方程的二次项系数不为1时,应该如何应用配方法求解 当一元二次方程的二次项系数不为1时,只要在方程两边同时除以二次项的系数,将方程转化为二次项系数为1的方程即可. 　　总结用配方法解一元二次方程的一般步骤,为下一步解一般形式的一元二次方程作准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 张老师要求同学们解一元二次方程2x2+x+1=0,大家才动笔,小强突然站起来说这个方程无实数解,同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师,只见张老师微笑地点了点头,你知道小强是如何快速作出判断的吗 下面让我们一起探究今天的新知吧! 　　通过情景,使学生产生悬念“如何快速判断方程根的情况”,激发深入探究新知的欲望,从而顺利完成本课知识的学习.
活动 二: 探究 与 应用 　　问题1:利用配方法,你能解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗 学生自主解方程,确定一名学生进行板演. 教师点拨:我们不妨把a,b,c也当成一个具体的数字,根据配方法的解题步骤一步步推下去. 解:移项,得　ax2+bx=-c　. 二次项系数化为1,得　x2+x=-　. 配方,得　x2+x+2=-+2　. 变形,得 x+2=　. 当b2-4ac≥0时,两边开平方,得　x+=±　. 所以方程的解为　x1=,x2=　. 　　1.学生回顾配方法的解题思路,从数字系数过渡到字母系数进行配方,推导公式.
活动 二: 探究 与 应用 　　教师提示: (1)在开方环节能直接开平方吗 需要注意什么 (2)等号右边的值可能为负吗 学生小组内交流、讨论,达成共识. 教师板书: 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=(b2-4ac≥0). 练习:试用公式法解方程6x2-7x+1=0. 学生自主解方程,简述方法,教师点评. 问题2:回顾一元二次方程ax2+bx+c=0的求解过程,你能分析出它的解的情况吗 学生小组内交流、讨论,教师给予指导和帮助,达成共识,得出结论: 一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示它,即Δ=b2-4ac. 教师板书: 当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根; 当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根; 当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 教师提示:当Δ≥0时,方程的实数根可写为x=,这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解方程的方法叫做公式法. 练习:判断前面情境问题中的一元二次方程2x2+x+1=0的解的情况. 　　2.通过学生亲自解方程的感受与经验,体会数式通性,进而通过对b2-4ac的值的讨论感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 3.小组的讨论有利于发挥学生互帮互助的精神,有利于发挥集体的优势,有利于突破重难点. 4.帮助学生自己构建知识,体验获取知识的过程,感受获得知识的喜悦.
【应用举例】 例1　用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x. 师生活动:教师指导学生观察方程的特点,指导学生阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价和辅导. 变式练习:用公式法解下列方程: (1)x2-3x-1=0;(2)2x2-3x+1=0;(3)x2+2x-6=0. 教师做好总结: 用公式法解一元二次方程的步骤: ①把方程化为一般形式,确定a,b,c的值. ②求出b2-4ac的值. ③若b2-4ac≥0,则代入求根公式计算;若b2-4ac<0,则原方程无实数解. ④写出方程的解. 用公式法解一元二次方程应注意:①化方程为一般形式;②方程有实根的前提条件是“Δ≥0”;③若方程有根,则它应该有两个根;④求解得出的根应适当化简. 例2　不解方程,判别下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-6=0;(2)2x2-x+5=0. 　　题目的设置存在梯度,给予学生层次递进的学习过程.
活动 二: 探究 与 应用 　　变式练习:不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况. 教师做好总结: 利用根的判别式判别方程根的个数问题时应注意:①考虑“二次项系数不为0”这一条件;②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的根”的区别.
【拓展提升】 例3　已知关于x的方程x2-2x+=0,当a为何非负整数时: (1)方程只有一个实数根 (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程有两个不相等的实数根 教师重点关注:学生对问题的分析能力(本题涉及了哪些知识点);给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到解答方法;鼓励学生大胆猜想,发表见解. 　　学生不断质疑、解惑,不但完善了思维,而且锻炼了能力,使学生形成对知识的总体把握.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列叙述正确的是 (B) A.方程总有两个实数根 B.当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根 C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实数根 D.当b2-4ac=0时,方程无实数根 2.方程x2-3x=0的根的情况是 (A) A.有两个不相等的实数根　　　 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定是否有实数根 3.如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根,那么实数a的值为　-1或2　. 4.关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　k<1　. 5.解下列方程: (1)2x2-3x-5=0;(2)x2+x=2. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
　　1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 说一说! 教师总结:熟记一元二次方程的求根公式,注意公式成立的条件(a≠0,b2-4ac≥0);熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤;理解用一元二次方程根的判别式求解字母系数的值或取值范围. 2.布置作业: (1)教材第12页练习第1题. (2)教材第17页习题21.2第4,5,13题. 　　培养学生的归纳能力和语言表达能力,从而使学生掌握知识和方法更加系统,同时也是情感升华的过程.
活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在复习回顾的环节中,复习用配方法解一元二次方程,为学习公式法打下基础;在探究新知的环节中,引导学生积极思考,配方的关键是添项,学生能够明确添加的常数项即可突破难点. ②[讲授效果反思] 重点内容做到重点讲解:(1)用公式法解一元二次方程的步骤;(2)公式的记忆和理解;(3)一元二次方程根的判别式的应用. ③[师生互动反思] 从学生课堂表现,师生互动分析,学生能够对基本知识进行掌握,同时对根的判别式有一定的了解. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
　温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二　导学案设计”案例,word
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