21.2.4解一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系【人教九上数学精彩课堂教案】

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21.2　解一元二次方程
21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
实际情境　十一黄金周刚刚过去,相信同学们一定去过许多美丽、难忘的旅游景点,下面,老师带着大家到法国观光旅游好不好 (出示多媒体)让学生在聆听理查德·克莱德曼的《致爱丽丝》中欣赏:法国文化——埃菲尔铁塔,时装秀,红酒文化,巴黎圣母院.文化是相通的,科学更是这样.在16世纪的法国,诞生了一位伟大的数学家,让我们一起走进历史,了解伟人——代数学之父韦达.
[教学提示] 教师借助刚刚过去的十一黄金周为话题,让学生一边聆听理查德·克莱德曼的钢琴曲,一边欣赏法国文化图文,阅读了解历史中的代数学之父——韦达.文化与科学密不可分,通过学生欣赏图片,聆听钢琴曲,让同学们融入轻松、愉快、高雅的氛围之中,笔锋一转,带领学生了解法国伟大的数学家——韦达,从而导入新课,自然过渡.
归纳探究　解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,观察表格中两个解的和与积,它们和方程的系数有什么联系
(1)2x2-5x-12=0;(2)x2+2x+1=0;(3)x2+2x-1=0.
方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
2x2-5x-12=0 　4　 　-　 　-6　
x2+2x+1=0 　-1　 　-1　 　-2　 　1　
x2+2x-1=0 　-1+　 　-1-　 　-2　 　-1　
　　[教学提示] 复习巩固利用公式法求一元二次方程的根,为进一步明确一元二次方程根与系数之间的联系埋下伏笔.因为利用公式法解一元二次方程学生已经掌握,可以将本班学生分为三个小组分别计算,从而节约时间.
教材母题——第16页例4
根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积:
(1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.
【模型建立】
对于一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),若b2-4ac≥0,则x1+x2=-,x1x2=,一元二次方程“根与系数的关系”应用非常广泛,常结合完全平方公式进行变形应用,灵活运用一元二次方程“根与系数的关系”往往给解题带来方便.
【变式变形】
1.一元二次方程x2-2x=0的两个根分别为x1和x2,则x1x2为 (D)
A.-2 B.1 C.2 D.0
2.若关于x的方程x2+(k2-4)x+k+1=0的两个根互为相反数,则k的值是 (D)
A.-1 B.±2 C.2 D.-2
3.若方程2x(x+3)=1的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=　-3　,x1x2=　-　,+=　6　,+=　10　,(x1-3)(x2-3)=　17　,= 　.
4.若方程4x2+kx-6=0的一个根为3,则另一个根为　-　.
5.方程x2+2kx+k2-2k+1=0的两个实数根x1,x2满足+=4,则k的值为　1　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 已知一根求另一根
方法指引:利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2和x1x2的值,然后再将已知的根代入x1+x2或x1x2中,求得另一根.
例　已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是 (A)
A.-3 B.-2 C.3 D.6
【评价角度2】 已知一元二次方程求含根的代数式的值
方法指引:先将要求的代数式变形为含有两根之和或两根之积的式子,再利用根与系数的关系代入求值计算即可.关于两根常见的几种代数式变形如下:
1.+=(x1+x2)2-2x1x2.
2.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2.
3.(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1.
4.+=.
5.+==.
6.|x1-x2|==.
　　例　若α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两个根,则+的值是 (C)
A. B.- C.- D.
【评价角度3】 由两根关系式求参数的值
方法指引:将代数式变形为用两根的和及两根的积表示的形式,再借助根与系数的关系便可求得参数的值.
例1　若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为 (D)
A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1
例2　已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1,x2,若+=4m,则m的值是 (A)
A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在
　　【评价角度4】 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
方法指引:一元二次方程根与系数的关系是方程知识中一个十分重要的知识点,它不仅很好地揭示了一元二次方程的内部规律,而且是以后解决二次函数的相关综合题的重要手段,对培养学生的数学思维和创新思维能力有很好的促进作用.此知识作为考点出现在各地中考试题中的频率一直很高,是数学命题者青睐的一个重要内容.
例　已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的最大整数值;
(2)在(1)的条件下,方程的实数根是x1,x2,求代数式+-x1x2的值.
[答案:(1)实数m的最大整数值为1　(2)5]
课题 21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 授课人
教 学 目 标 　　1.掌握一元二次方程的根与系数的关系,并会初步应用. 2.通过一元二次方程根与系数关系的教学,进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力. 3.根据一元二次方程根与系数的关系确定两根之和与两根之积,并能根据这一关系解决简单的数学问题. 4.通过情景教学过程,激发学生的求知欲,培养学生积极学习数学的态度,体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的成功感.
教学 重点 一元二次方程根与系数的关系及其推导过程.
教学 难点 一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.一元二次方程的一般形式是什么 2.一元二次方程有实数根的条件是什么 3.当Δ>0,Δ=0,Δ<0时,一元二次方程根的情况如何 4.一元二次方程的求根公式是什么 师生活动:教师指导学生回忆知识,学生进行口答,教师指出重点. 　　通过对一元二次方程相关知识的复习,巩固旧知识,并为新知识的学习做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:解下表中的方程,并完成填空: 方程x1x2x1+x2x1·x2x2-2x-3=0　3　 　-1　 　2　 　-3　 x2-3x+2=0　1　 　2　 　3　 　2　 x2+5x+6=0　-2　 　-3　 　-5　 　6　
　　师生活动:学生自主选择适当的方法解方程,并完成填空,然后交流答案. 问题:观察、思考一元二次方程两根之和与两根之积与系数有何关系,你能从中发现什么规律 　　学生通过计算、观察、分析,发现一元二次方程中根与系数的关系,发展学生的感性认识,体会由特殊到一般的认识过程.
活动 二: 探究 与 应用 　　1.填写上表后思考: ①一元二次方程的两根之和与两根之积与系数有何关系 ②运用你所发现的规律,你能解答下列问题吗 已知方程2x2-3x-2=0的两根分别是x1和x2,则x1+x2= 　,x1·x2=　-1　. ③如何证明以上发现的规律呢 2.论证结论: 教师与学生共同整理证明过程: 证明:当Δ>0时,由求根公式得 x1=,x2=, 所以x1+x2=+=-=-, x1x2=·==; 当Δ=0时,x1=x2=-, 所以x1+x2=-,x1x2=. 归纳并板书: 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1和x2,则x1+x2=-,x1x2=. 　　1.进一步分析、验证所发现的一元二次方程根与系数的关系,为从感性认识到理性认识打好基础. 2.通过证明过程使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0. 3.探究一元二次方程根与系数关系的结论,培养学生严谨的学习态度.
【应用举例】 例1　根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两个根x1,x2的和与积. (1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2. 师生活动:学生自主进行解答,教师做好评价和总结. 注意:把一元二次方程整理为一般形式,确定a,b,c的值,比较b2-4ac与0的大小,然后利用根与系数的关系代入求值. 变式练习1　已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,则x1x2等于 (C) A.-4　　　B.-1　　　C.1　　　D.4 变式练习2　若x1,x2为方程x2-2x-1=0的两个实数根,求x1+x2-x1x2的值. 　　问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固,也是培养学生计算能力和熟记公式的关键.
【拓展提升】 例2　解答下列问题: (1)已知方程x2-3x+c=0的一个根为2,求另一个根和c的值. (2)关于x的方程2x2+5x+m-1=0的两根互为倒数,求m的值. 例3　若一元二次方程x2-x-1=0的两根分别为x1,x2,求+的值. 师生活动:教师引导学生进行交流、讨论,确定出解决问题的方法,适时点拨,提示能否用多种方法进行解答. 　　拓展提升是根与系数关系的综合应用,有利于提高学生思考的广度和深度,能够给予学生必要的知识补充.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列选项中,两根均为负数的一元二次方程是(C) A.7x2-12x+5=0　　　　 B.6x2-13x-5=0 C.4x2+21x+5=0　　　　 D.x2+15x-8=0 2.已知方程x2+ax+b=0的两个根分别为2和3,则a=　-5　,b=　　6　　. 3.已知方程x2-2x-c=0的一个根是3,求方程的另一个根及c的值. 4.已知方程2x2-4x-5=0的两个根分别为x1和x2,求下列式子的值. (1)(x1+2)(x2+2);(2)x2+x1. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
　　1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 说一说! 2.布置作业: (1)教材第17页习题21.2第7题. (2)补充题: ①若2x(x+3)=1的两根分别为x1,x2,则x1+x2=　　　,x1x2=　　　　,+=　　　　,+=　　　　,(x1-3)(x2-3)=　　　　,|x1-x2|=　　　　. ②设m,n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根,则m2+3m+n=　　　. (3)选做题:已知关于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0有实数根. ①求m的取值范围; ②如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1x2+x1+x2≥20,求m的取值范围. 　　1.指导学生养成系统整理知识的好习惯,加强教学反思,进一步提高教学效果. 2.因材施教,让每一个学生都得到相应的发展.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在新知探究的环节中,关于两根之和与两根之积的计算看似复杂,教师进行板演后,能够使学生清晰认识到结论的来由,并能够顺利地进行应用;在课堂训练的环节中,学生运用新知解答问题不甚灵活,教师的必要引导起到了关键作用,学生体验到方法的简便性和重要性. ②[讲授效果反思] 重点应用过程中,应注意:(1)运用根与系数的关系首先保证一元二次方程有实数根;(2)运用根与系数的关系解答问题方便运算. ③[师生互动反思] 从教学过程来看,学生能够在教师的引导下进行探索和交流,并能够运用知识解答问题,还应增加其兴趣和思维敏捷性的训练. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
　温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二　导学案设计”案例,word
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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