21.3.3实际问题与一元二次方程 第3课时　几何图形问题【人教九上数学精彩课堂教案】

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21.3　实际问题与一元二次方程
第3课时　几何图形问题
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
实际情境　提起代数,人们自然就和方程联系起来,事实上,过去代数的中心问题就是对方程的研究.我国古代对代数的研究,特别是对方程解法的研究,取得了重要成果.我国古代数学家研究过二次方程的解法,当时的解法虽然与现代的解法不同,但已与现代的解法相似.
下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步).只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步”.答:“阔二十四步,长三十六步”.这里,我们不谈杨辉的解法,你能用已学过的知识解决这个问题吗
[教学提示] 在古代文献中有很多的方程应用型问题,题的内容来自生活,新颖有趣,有很高的数学价值和欣赏价值,通过本问题的引入,激起学生的学习兴趣.引导学生积极思考问题,建立方程的思想.
悬念激趣　如图21-3-3,小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折叠成一个无盖的长方体盒子.
图21-3-3
(1)如果要求长方体的底面面积为81 cm2,那么剪去的正方形边长为多少
(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求,那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化 折叠成的长方体的体积又会发生什么样的变化
长方体的 底面积 81 64 49 36 25 16 9 4
正方形 的边长 　　1　 　　2　 　　3　 　　4　
长方体 的体积 　　64　 　　72　 　　48　 　　16　
[教学提示] 通过生活中的实际问题的引入,让学生感觉到数学与生活的联系,激起学生的学习兴趣.让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题,感受到数学的应用价值,并体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具.
教材母题——第22页习题21.3第9题
如图21-3-4,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)
图21-3-4
【模型建立】
此类问题一般要利用“图形经过移动,它的面积不会改变”的道理,把纵、横的彩条移动到一起,利用面积的和差解决问题.
有关面积问题的常见图形有如下几种:
图21-3-5
【变式变形】
1.如图21-3-6,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是 (A)
图21-3-6
A.(32-2x)(20-x)=570 B.32x+2×20x=32×20-570
C.(32-x)(20-x)=32×20-570 D.32x+2×20x-2x2=570
2.如图21-3-7,有一张矩形纸片,长为10 cm,宽为6 cm,将它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是x cm,根据题意可列方程为 (B)
图21-3-7
A.10×6-4×6x=32 B.(10-2x)(6-2x)=32
C.(10-x)(6-x)=32 D.10×6-4x2=32
3.如图21-3-8,某小区有一块长为36 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为600 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为　2　m.
图21-3-8
4.如图21-3-9,已知一边靠墙,另三边用木篱笆围成一个面积为130 m2的矩形花坛,木篱笆长为33 m,墙长为15 m,则矩形花坛的长和宽各为多少米才能使木篱笆正好合适 [答案:花坛长为13 m,宽为10 m]
图21-3-9
　
　　【评价角度1】 列一元二次方程解决等积变形问题
方法指引:在列一元二次方程解决等积变形问题时,要抓住以下三个等量关系:①图形周长改变,面积没变;②容器形状改变,但容积没变;③原料体积=成品体积.从而找出题中的等量关系,列出方程.
例　用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的长为x cm,则可列方程为 (B)
A.x(20+x)=64 B.x(20-x)=64
C.x(40+x)=64 D.x(40-x)=64
【评价角度2】 列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题
方法指引:方程是我们利用数学知识解决实际问题时常用的一种数学模型,而构建方程解决问题的关键是找到相等的数量关系,而几何图形常用的数量关系往往和线段的长度、角的度数和图形的面积等因素不可分割.例如本课素材二[教材母题模型].
【评价角度3】 列一元二次方程解决存在性问题
方法指引:列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤:先假设结论存在或成立,然后根据题意列出方程.若方程有解,则说明假设成立;若方程无解,则说明假设不成立.
　　例　用长为32米的篱笆围成一个矩形养鸡场,设围成的矩形养鸡场的一边长为x米,面积为y平方米.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当x为何值时,围成的矩形养鸡场的面积为60平方米
(3)能否围成面积为70平方米的矩形养鸡场 如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.
[答案:(1)y=x(16-x)　(2)x=10或x=6　(3)不能　理由略]
【评价角度4】 列一元二次方程解决运动型问题
方法指引:运动型问题一般根据“路程=速度×时间”求出图形中相应边的长度,再列方程解决问题,这类题目一般和函数、几何图形综合考查,综合性较强.
例1　如图21-3-10所示,东西方向上有相距10千米的A,C两地,甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进,乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进,则最快经过多少小时后,甲、乙两人相距6千米 答案:小时
图21-3-10
　　例2　某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图21-3-11所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l=t2+t(t≥0),乙以4 cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21 cm.
(1)甲运动4 s后的路程是多少
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多长时间
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多长时间
图21-3-11
[答案:(1)14 cm　(2)3 s　(3)7 s]
课题 第3课时　几何图形问题 授课人
教 学 目 标 　　1.能根据面积问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理. 3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述. 4.通过解决封面设计的实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识. 5.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识的应用价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
教学 重点 列一元二次方程解有关面积问题的应用题.
教学 难点 发现面积问题中的等量关系.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
(续表)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.通过上节课的学习,大家学习到了哪些知识和方法 教师提出问题,学生回忆,选一名同学作答,其他同学补充. 教师应重点关注: ①学生对列方程解应用题的步骤是否清楚; ②学生能否说出每一步的关键和应注意的问题. 2.关于几何图形的体积、面积和周长,你知道哪些常见图形的计算公式 分别是什么 下面我们用图形的一些计算公式建立数学模型,解决一些涉及几何图形的实际问题. 教师板书:实际问题与一元二次方程. 　　既为学生创设一种回忆、思考的情景,又是自然的导入,为本课的探究活动做好铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图21-3-12,要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位) 图21-3-12 问题: (1)本题中有哪些数量关系 (2)如何理解“正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形” (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程 (4)解方程并得出结论,对比几种方法各有什么特点. 　　利用生活中常见的问题,激发学生的探究欲望,有利于学生主动参与,感受到数学来源于生活,应用于生活.
活动 二: 探究 与 应用 　　教师提出问题(1),学生分析,请一名同学回答,教师在题目中指出数量关系; 教师提出问题(2),学生思考,请一名同学回答,可举简单例子说明,最后引导学生得出正中央矩形的长、宽比是9∶7. 教师提出问题(3),学生分组讨论,选代表上台演示、回答,每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中,设左、右边衬和上、下边衬的宽分别为7x cm和9x cm,教师要配合图形的平移加以电脑演示. 教师提出问题,学生分组,分别按问题(3)中所列的方程来解答,选代表展示解答过程,并讲解解题过程和应注意的问题. 在活动中,教师应注意: (1)学生对几何图形的分析能力; (2)学生在未知数的选择上,能否根据情况灵活处理; (3)在讨论中能否互相合作; (4)解一元二次方程的能力; (5)学生回答问题时的语言表达是否准确. 　　1.重视培养学生读题和审题的能力. 2.把实际问题符号化,为应用数学知识解决问题创造条件. 3.培养学生树立方程意识,渗透方程思想.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样大小的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形 师生活动:教师引导学生进行审题,确定好问题类型,然后指导学生按照图形面积公式进行解答. 学生自主设未知数并列方程进行解答,教师做好点评和纠正. 变式练习:用总长10 m的铝合金材料做一个如图21-3-13所示的窗框(不计损耗),窗框的外围是矩形,上部是两个全等的正方形,窗框的总面积为3.52 m2(材料的厚度忽略不计).若设小正方形的边长为x m,下列方程符合题意的是 (　　) 图21-3-13 A.2x(10-7x)=3.52　　　 B.2x·=3.52 C.2xx+=3.52 D.2x2+2x(10-9x)=3.52 　　应用举例使学生深刻体会数学知识应用的价值,由此提高学生学习数学的兴趣和应用数学的意识.
【拓展提升】 例2　如图21-3-14,某中学为方便师生活动,准备在长30 m,宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路,横、纵路的宽度之比为3∶2.若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,则路宽应为多少 图21-3-14 教师提出问题: (1)本题中有哪些数量关系 (2)由这些数量关系还能得出什么新的结论 你想如何利用这些数量关系 为什么 如何列方程 (3)有什么方法使本题易于解决 教师引导学生进行交流、讨论,确定出解决问题的方法,并适时点拨、提示,指导学生进行解答. 　　拓展提升环节,学生通过探究与讨论,感受了将题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响,活跃了解题思路.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的矩形,a的值不可能是 (D) A.20　　　　B.40　　　　C.100　　　　D.120 2.如图21-3-15,在长为30米、宽为20米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551平方米,则修建的路宽应为 (A) 图21-3-15 A.1米　　　B.1.5米　　　C.2米　　　D.2.5米 3.图21-3-16是矩形养鸡场的平面示意图,其中一面靠墙,另外三面用竹篱笆围成.若竹篱笆总长为35 m,所围矩形养鸡场的面积为150 m2,则此矩形养鸡场的长、宽分别为多少 图21-3-16 4.有一块长28 cm、宽20 cm的矩形纸片,在它的四角各截去一个相同的小正方形,然后将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子,若使长方体盒子的底面积为180 cm2,求截去的小正方形的边长. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
活动 三: 课堂 总结 反思 　　1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 说一说! 教师总结:面积应用题的解答主要是利用面积公式列方程. 2.布置作业: 教材第21~22页习题21.3第3,5,9题. 　　指导学生养成系统整理知识的好习惯,加强教学反思,进一步提高教学效果.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的环节中,由于教材问题设置较为复杂,所以教师做好必要的引导是关键,帮助学生分析图形之间的比例关系,使学生清晰地认识问题;在课堂训练的环节中,学生能够顺利地解答,实现了高效课堂. ②[讲授效果反思] 引导学生注意:(1)面积问题考虑利用面积公式列方程; (2)复杂图形的面积要进行分割或填充; (3)检验求得的解是否符合实际. ③[师生互动反思] 师生交流过程中,学生对于面积问题有较深的理解,基础好,列方程解答较为简便,对于过程中的个别问题,教师可交给学生讨论、解答. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
　温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二　导学案设计”案例,word
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