数学试题部分
（本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1．已知集合，，，若，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
2．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
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A． B． C．2 D．
7．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为，特殊环境温度是，则经过，该物质的温度最接近（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
8．设，若，则实数的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9．对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（ ）
A．已知，，则
B．已知或，，则或
C．如果，那么
D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则.
10．设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（ ）
A．若,则 B．的取值范围为
C．若,则 D．
11．下列说法中正确的有（ ）
A．命题，则命题的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“”的是真命题
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
12．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．关于x的不等式的解集是
C． D．关于x的不等式的解集为或
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13．若集合，实数的值为
14．已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ．
15．已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
16．当时，的最小值为 ．
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值集合．
18．已知集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
19．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
20．已知集合，集合，集合，且．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
21．计算：
(1)；
(2)不等式的解集为，求实数的值.
22．第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件.
(1)写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本）
(2)求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？2024-2025连云港市东海房山高级中学开学质量检测
数学参考答案（详解版）
1．B
【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数.
【详解】由题意得，，又集合，
若，则，此时，
则，故子集个数为；
若，则，此时显然集合不成立，舍去；
若，，同理舍去.
综上得：时，子集个数为4个；
故选：B.
2．D
【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可.
【详解】易知集合，，
则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B，
对于C，当时，集合为，
而令，可得不为整数，故不含有7，
可得中不含有7，故C错误，
故选：D
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3．B
【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，解得或
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，.
故选：B.
4．A
【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项.
【详解】不等式在R上恒成立，即一元二次方程在R上无实数解
，解得：，
易见B选项是充要条件，不成立；
A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，A正确；
C选项中，不可推导出，C错误；
D选项中， 不可推导，D错误，
故选：A.
5．B
【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，
解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
6．C
【分析】由已知表示出，再由换底公式化简可求.
【详解】∵，∴，
∴
.
故选：C．
7．B
【分析】根据题意可分别将初始温度，特殊温度及时间代入题中式子得，从而可求解.
【详解】由初始温度，特殊温度，时间代入题中式子得：
，解得分钟，故B项正确.
所以选:B.
8．A
【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值．
【详解】因为，若，可得，
设，只需要小于等于右边的最小值即可，
则，
令，可得，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即的最大值为．
故选：A．
9．BCD
【分析】根据所给定义一一判断即可.
【详解】对于A：因为，，所以，故A错误；
对于B：因为或，，所以或，故B正确；
对于C：若，则中的元素都是中的元素，所以，故C正确；
对于D：即为由的补集与集合的交集，即，故D正确；
故选：BCD
10．ACD
【分析】对于A,当时,,此时,分类讨论判断正误;对于B,由题意得
,则,所以判断B的正误;对C,若,,此时,则求出范围判断即可;对于D,因为,则,所以,将转化为求解即可.
【详解】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上,若,则,故A正确;
对于B,因为,则,所以,解得或,故B错误;
对于C,若,,此时,则,解得,综上,故C正确;
对于D,因为,则,所以,所以,故D正确.
故选:ACD.
11．AD
【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件等逐项判断即可.
【详解】命题的否定是，故A正确；
不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
当时，，故C错误；
关于x的方程有一正一负根，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
12．ABD
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD.
【详解】由关于x的不等式的解集为或，
知和3是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数的关系知：，
所以，
选项B：不等式化简为，解得：，
即不等式的解集是，故B正确；
选项C：由于，故，故C不正确；
选项D：不等式化简为：，
解得：或，故D正确；
故选：ABD.
13．
【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案．
【详解】令,,，,,，
,,，，，
若，则，则,,，,,，满足要求；
若，则，而中元素，矛盾；
若，则，则,,，,,，满足要求；
故实数的值为.
故答案为：
14．或
【分析】根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案．
【详解】已知集合，或.
若，则，
当，即时，满足条件；
当时，即当时，若，则或，
解得（舍）或，
综上，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
15．
【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解.
【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设，
此时由的定义可知，有，
所以，
若是的充分不必要条件，则 ，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16．5
【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为,
则 ，
当时，的最小值为5.
故答案为：5.
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的交集运算即得答案；
（2）由得，分类讨论，根据判别式讨论集合B中元素，判断是否满足题意，确定a的值，即可得答案.
【详解】（1）由题意得集合，，
故；
（2）由得，
由于，
故时，，满足题意；
当时，对于，，
当时，，此时，满足题意；
当时，，，此时，要满足，则，
故实数a的取值集合为.
18．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用，找到不等式组，求出实数的取值范围即可；
（2）在满足的前提下，对分空集和不是空集分类讨论即可.
【详解】（1）因为，所以解得，
即实数的取值范围是．
（2）若，即，此时，满足；
若，即，因为，
所以，或，解得．
综上，实数的取值范围是．
19．(1)
(2)
【分析】第一问用交集和补集的定义直接求解即可，第二问讨论集合是否为空集，分情况求解即可.
【详解】（1）当时，，
故
（2），，当时，，解得
当时，解得，另有解得
综上的范围是
20．(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知；
（2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求.
【详解】（1）因为，
由，知，则或或，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
所以的取值集合为．
（2）由题意得，，故，
又是的充分不必要条件，
所以是的真子集，于是，
解得：，经检验符合条件，
综上，实数m的取值范围是．
21．(1)
(2)实数的值分别为3，2
【分析】（1）利用指数幂的运算和对数运算性质化简求值即可；
（2）根据解集得为方程的两根，利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）.
（2）因为不等式的解集为，
所以为方程的两根且，
由根与系数的关系得，解得，所以实数的值分别为3，2.
22．(1)
(2)30千件，850万元
【分析】（1）先由求得，再由利润销售总额-总成本建立函数模型求解；
（2）根据二次函数的性质及基本不等式分别求出分段函数的最值，比较大小即可得结论.
【详解】（1）由题意知，当时，，所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，有最大值，最大值为850；
当时，由基本不等式得，
当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为755；
因为，所以当年产量为30千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为850万元.
