数学试题部分
（本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1．若集合，，则集合B的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．已知全集，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．命题p：，的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．若则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若方程的两根为、，则（ ）
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A． B． C．35 D．
8．不等式的解集为或，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9．已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ）
A．， B．，
C． D．
10．设，，若，则实数的值可以是（ ）
A．0 B． C．4 D．1
11．已知a，b为正实数，且，，，则（ ）
A．的最大值为4 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为2
12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）
13．已知全集，集合，，
(1)分别求；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，求的取值范围．
14．已知集合或，．
(1)求，；
(2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．
15．已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出中其他所有元素．
(2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素．
16．已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
17．已知，.
(1)若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．已知关于x的不等式的解集为M．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围．
19．计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
20．在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围;
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.
21．已知集合，，函数.
(1)求集合A.
(2)若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
(3)若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围
(4)当a∈R时，求关于x的不等式的解集
22．设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．
(1)当时，若，，求和的值；
(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当
不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
(3)给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得．2024-2025学年连云港市赣榆第一中学开学质量检测
数学参考答案（详解版）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1．C
【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解.
【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个.
故选：C
2．A
【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，
又根据集合互异性，可知，解得舍去，
所以解得，
所以，
故选：A
3．B
【分析】先求出，，再求，
【详解】因为，且，
所以，
因为，，所以，
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所以．
故选：B．
4．A
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】若，则，所以，故充分性满足；
若，则或，显然必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
5．C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得结论.
【详解】由存在量词命题的否定形式可知：
命题p：，的否定为：，.
故选：C
6．B
【分析】举特例可判断选项A，C，D，构造函数可判断选项B．
【详解】对于A，取，则，选项A错误；
对于B，由于函数在上单调递增，
又，则，选项B正确；
对于C，取，则，选项C错误；
对于D，，则，选项D错误．
故选：B．
7．D
【分析】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解.
【详解】，分解因式得到,
则，则.
则或.则.
故选：D.
8．C
【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解.
【详解】不等式可转化为，
其解集为或，
所以，且方程的两个根为，，
则 或，解得或（舍去），
即有，即，解得.
所以不等式的解集为.
故选：C.
9．AC
【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．
【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确；
对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，，
使得，当时，该式不成立，故错误；
对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在，
使得，故正确；
对于，集合，，，当时，，
时，使得不成立，故错误．
故选：．
10．ABD
【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的a.
【详解】，因为，所以，所以或或或，
若，则；
若，则；
若，则；
若，无解．
故选：ABD
11．BD
【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断.
【详解】对于A，因为，则，，
当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误；
对于B，由，得，，
当且仅当，时取“＝”，B正确；
对于C，，
当且仅当时，取“＝”，C错误；
对于D，因为，所以，
则，当且仅当时，取“＝”，D正确.
故选：BD.
12．BCD
【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；利用基本不等式可判断CD.
【详解】对于A选项，若，则，故A选项错误；
对于B选项，，
由于，故，，故，
即，故B选项正确；
对于C选项，∵，∴，
∴，
当且仅当时等号成立，故C选项正确；
对于D选项，因为，，根据基本不等式，
，
当且，即时取得等号，
此时，故D选项正确．
故选：BCD．
13．(1)，或
(2)
(3)
【分析】（1）先利用一元二次不等式和绝对值不等式解得集合，根据集合的运算的定义求出结果；
（2）对集合分类讨论参数的取值范围；
（3）若，对集合分类讨论参数的取值范围；
【详解】（1）集合
或，
或
（2），
①当时，，
②当时，则，
解得，
综上所述，的取值范围为；
（3）若，
①当时，，
②当时，或，
或，
综上所述，若，则的取值范围为，
所以若，则的取值范围．
14．(1)，或
(2)或
【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得；
（2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得．
【详解】（1），
则，
，或，
∴或；
（2）∵集合是集合的真子集，
∴或，解得或．
15．(1)中其他所有元素为，，2；
(2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，．
【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素；
（2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素．
【详解】（1）由题意可知：，
则，，，，
所以中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是的元素，
取，则，，，，
所以当，中的元素是：3，，，．
16．(1)
(2)不可能，理由见解析
【分析】（1）直接根据列不等式求解；
（2）先得到，再根据包含关系列不等式求解.
【详解】（1）因为，
所以或或，
解得或或，
所以；
（2）若，，
对，都有，则，
所以，该不等式组无解，
故命题：“，都有”为真命题不可能.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，分析命题，为真时的取值范围，由题意可得命题，为一真一假，由此分类讨论，求出实数的取值范围即可得到答案；
（2）是的充分不必要条件，得到关于的不等式组，解不等式可得答案.
【详解】（1）对于，解得：，
当时，则，
若，，有且只有一个为真命题，则真假，或假真；
当真假时，即，无解；
当假真时，，解得：或，
综上，实数的取值范围为
（2）因为是的充分不必要条件，则是的真子集；
则或，解得：或，
综上，实数的取值范围为
18．(1)
(2)．
【分析】（1）根据是不等式的解集，得到，再根据两个不等式的关系求解；
（2）将不等式转化为 ，再根据M中的一个元素是0，将x=0代入求解.
【详解】（1）解：因为是不等式的解集，
所以，
不等式，即为，
所以或，
所以不等式的解集是；
（2）不等式转化为： ，
因为M中的一个元素是0，
所以，
解得 或 ，
所以实数a的取值范围是 .
19．(1)
(2)
【分析】（1）运用指数幂的性质公式化简求解即可；
（2）运用对数运算性质公式求解即可.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
20．(1).
(2).
【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围.
（2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简
利用基本不等式求得最值.
【详解】（1）由题意，得，
整理得，解得，又，
所以，故x的取值范围为.
（2）由题意知网店销售的利润为万元，
技术指导后，养羊的利润为万元，
则恒成立.
又，则恒成立.
又，当且仅当时，等号成立，
，即的最大值为6.5.
21．(1)；
(2)或；
(3)
(4)答案见解析.
【分析】（1）求出函数的定义域即得集合.
（2）求出集合B，再利用集合的包含关系求出的范围.
（3）利用一元二次不等式恒成立，求出a的范围.
（4）分段解含参数的一元二次不等式.
【详解】（1）由，得，解得，
所以.
（2）解不等式，得或，即或，
由是的充分不必要条件，得集合为集合的真子集，
则，或，
解得或，
所以实数的取值范围是或.
（3）不等式，
依题意，对x∈R恒成立，当时，恒成立，因此，
当时，，解得，
所以实数a的取值范围是.
（4）不等式，即，
当时，；
当时，，解得；
当时，，解得或；
当时，，
当时，，，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
22．(1)2，1；
(2)最大值为4个；
(3)证明见解析．
【分析】（1）直接根据定义计算；
（2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明；
（3）设，，，，则且，对从集合中任取个两两互不相同的元素，分两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素同时属于一个；第二种若任意两个不同元素都不同时属于一个，由第二种情况推出矛盾即可．
【详解】（1）因为，
所以，
．
（2）设，
令其中()
则，，
，则，
当，且()时，
由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数．
若是奇数时，则中等于1的个数为1或3，
所以，
且．
将上述集合中的元素分成如下四组：
经检验，每组中两个元素，均有，
所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素．
所以集合中元素的个数不超过4个．
当且时，或，所以
又集合满足条件．
所以集合中元素个数最大值为4个．
（3）设，
，
，
则且，
从集合中任取个两两互不相同的元素，
若存在两个不同元素同时属于一个，则，
记，
所以，存在，使得；
若任意两个不同元素都不同时属于一个，
则至多取个两两互不相同的元素，与已知取个两两互不相同的元素矛盾．
综上，存在，使得．
【点睛】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．
