数学试题部分
（本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1．已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，，若中有两个元素，则实数的取值范围是
A． B．
C．或 D．或
4．下列命题中为真命题的是（ ）
A．，
B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C．，是无理数
D．任何实数都有算术平方根
5．命题“，”的否定是（ ）
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A．， B．，
C．， D．，
6．已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，答案采取四舍五入精确到）
A．2.3 B．3.5 C．5.6 D．8.8
8．记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题.
B．命题“对，的个位数不等于3”的否定是假命题.
C．梯形是等腰梯形的充要条件是.
D．设，则的充要条件是.
10．已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ）
A．， B．，
C． D．
11．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．命题“，”的否定是“，或”
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13．已知集合，，且，则实数a的取值范围为 ．
14．已知全集，集合或，则 .
15．已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
16．设，则的最大值为 .
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）
17．已知集合或，．
(1)求，；
(2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．
18．已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
19．已知命题：“，使等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围.
20．（1）计算：；
（2）已知，求的值.
21．冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为.
(1)比较与的大小；
(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.
22．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，．
(1)求，的值；
(2)若，解不等式组．2024-2025学年连云港市赣榆高级中学开学质量检测
数学参考答案（详解版）
1．B
【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果.
【详解】当、均为正数时，代数式；
当、为一正一负时，代数式或；
当、均为负数时，代数式，
故集合，
故选：B.
2．D
【分析】根据，结合图象列不等式即可求解.
【详解】因为，
所以,
所以由数轴得.
即的取值范围为.
故选：D.
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3．C
【分析】根据题意先求出集合，再由中有两个元素，列出关于的不等式组，从而可求得结果.
【详解】因为，，且中有两个元素，
所以或，
解得或，
所以实数a的取值范围是或.
故选：C
4．ABC
【分析】举例子即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A，当时，成立，故A正确，
对于B，1既不是合数也不是质数，故B正确，
对于C,当，是无理数，故C正确，
对于D,负数没有算术平方根，故D错误，
故选：ABC
5．D
【分析】利用命题否定的定义求解即可.
【详解】由命题否定的定义得命题“，
”的否定是，，故D正确.
故选：D
6．A
【分析】根据一元二次不等式恒成立求参即可.
【详解】由不等式恒成立，
所以,
故选：A.
7．A
【分析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．根据题意列出指数等式，再利用指对关系和对数的运算性质以及条件进行求解.
【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
则，故，
两边取对数得，，
所以.
故选：A.
8．C
【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.
【详解】由题意可知：均为正实数，
设，则，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，所以的最小值为2.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得.
9．BCD
【分析】根据题意，由原命题的真假即可判断其否定的真假，从而判断AB，分别验证充分性以及必要性，即可判断CD
【详解】对于A，命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”是真命题，
则其否定是假命题，故A错误；
对于B，命题“对，的个位数不等于3”是真命题，
因为0到9这10个数字的平方数的个位都不会是3，则其否定是假命题，故B正确；
对于C，必要性：在等腰梯形中，，，
又因为，所以，所以.
充分性：如图，过点作，交的延长线于点E.
因为，，所以四边形是平行四边形，所以.
因为，所以，所以.
又因为，所以，所以.
在和中，
所以，所以.
所以梯形为等腰梯形.
所以梯形为等腰梯形的充要条件是，故C正确；
对于D，充分性：若，则，
即，所以，
故充分性成立；
必要性：若，则，
即，所以，
所以，故必要性成立；
所以的充要条件是，故D正确；
故选：BCD
10．AC
【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．
【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确；
对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，，
使得，当时，该式不成立，故错误；
对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在，
使得，故正确；
对于，集合，，，当时，，
时，使得不成立，故错误．
故选：．
11．ABC
【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可.
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，若，则，
而，B错误；
对于C，若，则，
，，，C错误；
对于D，任取元素，则且，则且，
于是且，即，
反之若任取元素，则且，
因此且，即且，
所以，即，D正确.
故选：ABC
12．BD
【分析】举出反例即可判断A；根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断B；利用基本不等式即可判断C；分和两种情况讨论即可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，命题“”的否定是“或”，
故B正确；
对于C，则，
当且仅当，此时无解，故取不到等号，
所以，故C错误；
对于D，当时，恒成立，
当时，
则，解得，
综上所述，，故D正确.
故选：BD.
13．
【分析】根据集合间关系求参即可.
【详解】因为，，且，
所以.
故答案为：
14．或
【分析】数形结合得出补集即可.
【详解】在数轴上表示出全集,集合,
根据补集的概念可知或.
故答案为：或.
15．
【分析】由命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，再根据集合关系求解即可
【详解】因为p是q的必要而不充分条件，
所以命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，
即或，
故或
故答案为：或
16．2
【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解.
【详解】设，则，，
当且仅当，时，等号成立，
故.
令，解得，，
所以，当，时，等号成立.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解.
17．(1)，或
(2)或
【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得；
（2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得．
【详解】（1），
则，
，或，
∴或；
（2）∵集合是集合的真子集，
∴或，解得或．
18．(1)
(2)不可能，理由见解析
【分析】（1）直接根据列不等式求解；
（2）先得到，再根据包含关系列不等式求解.
【详解】（1）因为，
所以或或，
解得或或，
所以；
（2）若，，
对，都有，则，
所以，该不等式组无解，
故命题：“，都有”为真命题不可能.
19．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解.
【详解】（1）由题意，方程在上有解，
令，只需在的值域内，
当时，，当时，，
所以值域为，
的取值集合为；
（2）由题意，，显然不为空集.
①当，即时，，
， ；
②当，即时，，不合题意舍去；
③当，即时，.
， ；
综上可得或.
20．（1）1（2）18
【分析】（1）运用指数对数性质求解即可；
（2）运用完全平方公式和，立方和公式求解即可.
【详解】（1）原式.
（2），，
展开，，
又.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由求出，，再由作差法比较大小即可得出答案.
（2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和，再由基本不等式或判别式求出的最大值.
【详解】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元，
由题意得，
，
，
所以.
（2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元，
设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元，
2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元），
2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元），
所以.
解法一：
，设，
则，两边平方得，
由得，所以，
当时取等号.
所以，.
所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元.
解法二：
，
当且仅当，即时取等号，
所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元.
22．(1)，；
(2)．
【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可；
（2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可.
【详解】（1）由题意，可知，
，
解得，；
（2）由（1）知，，
因为，
所以，，
所以，，
所以．
所以，
，
由，得，
由，得，
综上，原不等式组的解集为.
