七年级数学上册3.1 方程 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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3.1 方程 导学案
（一）学习目标：
1.理解方程的概念，能够从实际问题中抽象出方程，掌握方程的基本性质；
2.通过观察、比较、归纳等方法，探索从算式到方程的转化过程，培养抽象思维能力和数学建模能力；
3.激发的学习兴趣，培养他们认真、细致的学习态度和严谨的逻辑思维。
4.了解等式的概念和等式的两条性质,能运用这两条性质解简单的一元-次方程；经历等式的两条性质的探究过程,培养观察、归纳的能力；在运用等式的性质把简单的一元-次方程化成x= a的形式的过程中,渗透化归的数学思想。
（二）学习重难点：
重点:方程的概念，从实际问题中抽象出方程的方法。
难点:理解方程的基本性质，正确运用方程解决实际问题。
阅读课本，识记知识：
1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。
2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：
（1）它是方程中的未知数的值；
（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。
5.方程的形式：
(1)根据未知数的个数及未知数的最大次数来划分:
方程具有多种形式，如一元- -次方程、二元- -次方程、-元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。
“一元”指含一个未知数:
“次”:方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，未知数的指数。而指数最高的项的指数，就是方程的次数。
(2)根据整式的形式来分:
整式方程:方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
【例1】是下列( )方程的解．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将代入下列方程中进行一一验证即可．
【详解】解：A、当时，左边，右边，左边≠右边；故本选项错误；
B、当时，左边，右边，左边≠右边；故本选项错误；
C、当时，左边，右边，左边=右边；故本选项正确；
D、当时，左边，右边，左边≠右边；故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
【例2】 下列各式中，是一元一次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】一元一次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐个判断即可．
【详解】解：在所给式子中，是一元一次方程的有③；⑤，共2个，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解答的关键．
选择题
1.在①2-5;②1+7x=-8y+3;③x=6;④3x=2x-9;⑤2x>7中,方程共有(　　)
A.1个　　　　B.2个　　C.3个　　　　D.4个
2.下列各式中,是一元一次方程的是(　　)
A.x-y=2　　　　B.3x+5=8　　C.2x-3　　　　D.x2+x=2
3.下列各式中不是方程的是(　　)
A.2x+3y=1　　　　B.3π+4≠5 C.-x+y=4　　　　D.x=8
4.关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,则a+m的值为(　　)
A.9　　　B.8　　　C.5　　　D.4
5.已知xm-1-6=0是关于x的一元一次方程,则m的值是(　　)
A.1　　　B.-1　　　C.-2　　　D.2
6.若(m-2)x|2m-5|-8=9是关于x的一元一次方程,则m=(　　)
A.3　　　　B.2 C.2或3　　　　D.任何整数
7.下列方程中，解为的方程是（ ）
A． B． C． D．
8.“某学校七年级学生人数为n,其中男生占45%,女生共有110人”,下列方程能表示上述语句中的相等关系的有(　　)
①(1-45%)n=110;②1-45%=+45%.
A.2个　　　　B.3个 C.4个　　　　D.5个
9.下列各式中属于方程的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列式子是方程的是（ ）
A． B． C．a D．
填空题
11．已知关于x的方程的解为，则代数式的值为 ．
12．若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ．
13．含有未知数的 是方程，例如：．
14．水是生命之源,为了解决学生的饮水安全问题,某校在每个班级安装了一台售价为2 500元的饮水机.因为购买量较大,商家给予了八折优惠,已知该校共有x个班级,购买饮水机共花费了6万元.根据题意,可列方程为　　　　　　.
15．如果是一元一次方程，那么 ．
三、解答题
16．[直观想象]如图,A,B两地之间有一条东西走向的道路.在A地的东边7 km处设置第一个广告牌,之后每往东20 km就设置一个广告牌.一辆汽车从A地出发,沿此道路向东行驶.当经过第n个广告牌时,此车所行驶的路程为107 km,根据题意,可列方程为　　　　　　　　　　.
17.请你先阅读下面的对话,再解决后面的问题.
小红说:“我手里有四张卡片,分别写有8,3x+2,.”小丽说:“我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来,就会得到等式.”
(1)小丽一共能写出几个等式
(2)在她写的这些等式中,有几个一元一次方程 请写出这几个一元一次方程.
18.根据下列题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程．
(1)一个数的倍比它的倍多，求这个数．
(2)从长的木条上截去段同样长的木条还剩下长的短木条，截去的木条每段长多少
(3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.C　方程有②1+7x=-8y+3;③x=6;④3x=2x-9,共3个.故选C.
2.B　x-y=2含有两个未知数,不是一元一次方程;2x-3不含有等号,不是一元一次方程;x2+x=2中未知数的最高次数是2,不是一元一次方程.故选B.
3.B　 3π+4≠5中不含未知数,也不是等式,故不是方程.
4.C　因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,所以a-2=1,2+m=4,所以a=3,m=2,所以a+m=3+2=5.故选C.
5．D　根据题意得m-1=1,所以m=2.
6.A　由题意得|2m-5|=1,且m-2≠0,所以m=3,故选A.
7．D
【分析】根据方程的解的概念即可判断．
【详解】解：将分别代入各方程得：
A、，故不是方程的解，不合题意；
B、，故不是方程的解，不合题意；
C、，故不是方程的解，不合题意；
D、，故是方程的解，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是正确理解方程的解的概念，本题属于基础题型．
8．D　男生人数为n-110,所以45%n=n-110,
所以(1-45%)n=110,1-45%=,45%=1-,n=,1=+45%,故选D.
9．A
【分析】根据方程式的定义“既含有未知数又是等式”即可求解．
【详解】解：A、既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程，故本选项正确；
B、不含有未知数，不是方程，故本选项错误；
C、不是方程，故本选项错误；
D、是不等式，不是方程，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟记知识点是解题关键．
10．B
【分析】根据含有未知数的等式是方程求解即可．
【详解】解：A．，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意；
B．，含有未知数，且是等式，所以是方程，故本选项符合题意；
C．a，虽然含有未知数，但它是不等式，所以不是方程，故本选项不符合题意；
D．，虽然是等式，但它没含有未知数，所以不是方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了方程的概念，解题的关键是熟练掌握方程的概念．
11.16
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解一元一次方程，可得a的值，再根据代数式求值，可得答案．
【详解】解：将代入，
得，
解得，
当时，．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．
12．0
【分析】根据一元一次方程的定义求解，一元一次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是1；（2）一次项系数不为0，据此解答即可．
【详解】解：由题意得：，
则，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．
13．等式
【分析】根据方程的概念即可解答．
【详解】含有未知数的等式是方程，
故答案为：等式．
【点睛】本题考查了方程的定义，属于应知应会题目，熟知方程的概念是关键．
14．2 500×0.8x=60 000
解析　饮水机的实际价格为2 500×0.8元,因为购买了x台饮水机,所以2 500×0.8x=60 000.
15．1
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此列式求解即可．
【详解】解：由是一元一次方程，得
，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
16．7+20(n-1)=107
解析　当经过第n个广告牌时,此车所行驶的路程为[7+20(n-1)]km,所以可得方程7+20(n-1)=107.
17.解析　(1)6个.
(2)有3个一元一次方程,分别是3x+2=8,x-3=8,3x+2=x-3.
18．(1)，是一元一次方程
(2)，是一元一次方程
(3)，是一元一次方程
【分析】（1）设这个数为，根据题意列出方程即可；
（2）设截去的木条每段长为，根据题意列出方程即可，
（3）设周后树苗长高到，根据题意列出方程即可．
【详解】（1）解：设这个数为，依题意得，
，是一元一次方程，
（2）解：设截去的木条每段长为，根据题意得，
，是一元一次方程，
（3）解：设周后树苗长高到，根据题意得，
，是一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
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