七年级数学上册3.2 一元一次方程及其解法 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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3.2 一元一次方程及其解法 导学案
（一）学习目标：
1.了解等式的概念和等式的两条性质,能运用这两条性质解简单的一元一次方程；经历等式的两条性质的探究过程,培养观察、归纳的能力；在运用等式的性质把简单的一元一次方程化成x= a的形式的过程中,渗透化归的数学思想。
2.理解合并同类项和移项的观点，并能够在实际解方程中应用；学会应用合并同类项和移项解一元一次方程，提高计算能力；培养独立思考和解决问题的能力，增强自大心。
（二）学习重难点：
重点:了解等式的两条性质并能运用它们解简单的一元一次方程；理解合并同类项和移项的观点，并能够在实际解方程中应用。
难点:运用等式性质把简单的一元-次方程化成x=a 的形式；正确把握移项的时机和方向，确保方程的正确解法。
阅读课本，识记知识：
1.含有一个未知数，未知数x的次数是1,且等式两边都是整式，我们把这样的等式叫做一元- -次方程 。
（1）一元一次方程最基本的形式:
ax+b=0 (a≠0)。
（2）一元一次方程四要素:
是一个等式;有一个未知数;:未知数次数是一; 等式的各项是整式。
（3）一元一次方程首先是一个等式。
等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。
2.等式的性质：
（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果，那么（为一个数或式子））。
（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果，那么；如果，那么）
3.等式性质的延伸：
（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果，那么。
（2）传递性：如果，，那么。
4.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。
5.解一元一次方程的步骤：
（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）；
（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）；
（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）；
（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“”的形式（）；
（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得方程的解为。
【例1】对等式进行变形，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：根据等式的性质2，给等式两边同乘以6，得，故选项B成立，选项A、C不成立，，
给等式两边同乘以2，得，故选项D不成立，
故选：B．
【点睛】本题考查等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质：等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式．
【例2】 下列方程的变形正确的是（　　）
A．，去分母，得
B．，去括号，得
C．，移项，得
D．，系数化为1，得
【答案】D
【分析】逐项方程整理得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、将方程，去分母，得：，错误，A选项不符合题意；
B、将方程，去括号，得，B错误，选项不符合题意；
C、将方程，移项，得，C错误，选项不符合题意；
D、将方程，系数化为，得；符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程的步骤，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
选择题
1.若，则（ ）
A．6 B． C．1 D．
2.已知，下列等式变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
3.把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A．y=2x-3 B．y=3-2x C． D．
4.如果方程是关于的一元一次方程，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知是关于的方程的解，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程的解为，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．定义新运算“”，规定，已知，则（ ）
A． B． C． D．
8.若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为( )
A． B． C． D．
9.小李在解方程（x为末知数）时，误将看做，得出方程的解为，则原方程的解为（ ）．
A． B． C． D．
10．若关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则k的值是（ ）
A．1或3 B．3或5 C．2或3 D．1或6
填空题
11．将方程变形为用含x的代数式表示y的形式： ．
12.如果，那么 ．
13．已知是关于的一元一次方程，则该方程的解为 ．
14．如果关于的方程的解是，那么的值是 ．
15．对于实数，规定一种运算，那么当时，的值为 ．
三、解答题
16．利用等式的性质解方程：
(1)
(2)．
17.若是方程的解，试求关于y的方程的解．
18.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；
(2)若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.A
【分析】根据等式的性质即可得出结果．
【详解】解：等式两边乘以，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．
2．C
【分析】根据等式基本性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A．等式两边同加上1，等式仍然成立，即成立，变形正确，故A不符合题意；
B．等式两边同乘2，等式仍然成立，即成立，变形正确，故B不符合题意；
C．由得出，而不一定成立，变形错误；故C符合题意；
D．等式两边同除以2，等式仍然成立，即成立，变形正确，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质，等式的性质1：等式的两边都加(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个不为零的数，等式仍然成立．
3.A
【分析】利用等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故A选项正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，解题关键是掌握等式的性质．
4.B
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案.
【详解】解：方程是关于的一元一次方程，
，
.
故选：B.
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和解法．解题的关键在于熟练掌握一元一次方程的概念：一元一次方程的未知数的指数为1，含有一个未知数．
5.B
【分析】把代入已知方程，求出的值，代入所求方程求出解即可．
【详解】解：把代入方程得，，
解得：，
把代入所求方程得：,
去括号移项合并得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6.B
【分析】把代入，然后解关于k的方程即可求解．
【详解】把代入，得
，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
7.A
【分析】根据定义新运算的运算法则，解方程即可求解．
【详解】解：
∴，解得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查定义新运算，解方程的综合，理解定义新运算的运算法则，掌握解方程的方法是解题的关键．
8．B
【分析】先解方程，得把代入方程中求出k的值即可．
【详解】解：解方程，
得：
把代入方程得：
解得：k=．
故选：B．
【点睛】本题考查方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
9．C
【分析】把代入方程，即可得到一个关于a的方程，求得a的值，再求出原方程的解．
【详解】把代入方程，得：,
解得：，
则原方程是：，
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，解题的关键是理解方程解的定义．
10．A
【分析】先解方程，再依据解是整数求解即可．
【详解】去分母得，
去括号得：
移项合并同类项得：，
系数化1得：，
∵关于x的方程的解是整数，
∴或，
∴或或或
∵k是正整数，
∴或，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，先解方程再利用整数解求值是解题的关键．
11.
【分析】根据等式的性质化简即可；
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：；
【点睛】本题考查了等式的性质：等式两边同时加（减）同一个数（式子），结果仍相等；等式两边同时乘以同一个数（式子），或除以同一个不为0的数（式子），结果仍相等．
12.
【分析】先由已知条件式得到，再利用分离常数法得到，由此即可得到，即可利用分离常数法得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的求值，利用分离常数法求解是解题的关键．
13．
【分析】根据一元一次方程的定义进行求解，即可判断得出结论．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程，熟记一元一次方程的定义是解题的关键．
14．
【分析】把代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵关于的方程的解是，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
15．
【分析】根据新定义列出方程，然后依据多项式乘以多项式的法则及合并同类项的法则进行化简，最后解关于的一元一次方程．
【详解】解：根据题意得：,
整理得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是定义新运算，多项式乘以多项式的运算法则，合并同类项的法则，解一元一次方程，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）在等式的两边同时减去5；
（2）在等式的两边同时加上，然后再除以5即可．
【详解】（1）解：，
等式两边同减去5得：，
即；
（2）解：，
等式两边同加上得：，
等式两边同除以5得：．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
17.
【分析】先把代入，得出的值，再把的值代入方程，求解即可．
【详解】解：把代入，
得：，
，
，
，
把代入得，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握能够使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解是解题的关键．
18．(1)方程与方程互为“美好方程”．
(2)．
【分析】（1）分别求得两个方程的解，在利用“美好方程”的定义进行判断即可．
（2）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于的方程变形，利用同解方程的定义即可求得的值，从而求得方程的解．
【详解】（1）解：方程与方程互为“美好方程”，理由如下：
解方程得，
解方程得，
∵，
∴方程与方程互为“美好方程”．
（2）解：解方程得，
∵关于方程与是“美好方程”，
∴方程的解为，
将变形为，
∴，
∴，
∴方程的解为．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义是解答本题的关键，本题属于新定义型题，理解并熟练运用新定义解答也是本题的关键．
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