七年级数学上册3.3 一元一次方程的应用 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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3.3 一元一次方程的应用 导学案
（一）学习目标：
1.理解一元一次方程的基本概念，并能在实际问题中正确建立一元一次方程。
2.学会运用一元一次方程解决简单的实际问题，提升逻辑思维能力与数学应用能力。
3.培养学生的分析问题和解决问题的能力，增强数学学习的自信心和兴趣。
（二）学习重难点：
重点:-元一次方程的概念及其应用；从实际问题中提取关键信息，构建一元一次方程。
难点:理解并运用一元一次方程解决具有复杂情境的实际问题，提高思维的灵活性和深度。
阅读课本，识记知识：
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：分析题目中已知什么，求什么，找到包含已知和未知的等量关系；
（2）设：用来表示题目中的一个未知数，其他的未知数用含的整式来表示；
（3）列：根据题目的等量关系列出方程；
（4）解：解所列的方程，求出未知数的值；
（5）检验：检验所得未知数的值是否是方程的解，是否符合问题的实际意义；
（6）答：写出答案。
2.列一元一次方程解应用题的常见类型：
（1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等；
（2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；
（3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=；
（4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。
（5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；
（6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系；
（7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和；
（8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变；
（9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1.
（10）利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=；
（11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为；
（12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；
（13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。
【例1】轮船在A、B两个码头之间航行，顺流时航行全程需，逆流时航行全程需．已知水流速度为，则A、B两个码头之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设船在静水中的速度为x千米/时，则顺水速度为千米/时，逆水速度为千米/时，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论．
【详解】解：设船在静水中的速度为x千米/时，则顺水速度为千米/时，逆水速度为千米/时，由题意得：
，
解得：．
∴A、B两个码头之间的距离为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【例2】 某工厂有技术工20人，平均每天每人可加工甲种零件12个或乙种零件10个，已知2个甲种零件和5个乙种零件可以配成一套，若每天生产的甲乙零件刚好配套，则安排生产甲种零件的技术人员人数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．3
【答案】B
【分析】设安排名技术人员生产甲种零件，则安排名技术人员生产乙种零件，根据“2个甲种零件和5个乙种零件可以配成一套，且每天生产的甲乙零件刚好配套”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：安排名技术人员生产甲种零件，则安排名技术人员生产乙种零件，
，解得，
答：安排生产甲种零件的技术人员人数是5人．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系准确列出方程求解是解决问题的关键．
选择题
1.某项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要6天完成，若甲先做1天后，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了天，所列方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何 ”意思是:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.问人数,物价各是多少 若设共有x人,物价是y钱,则下列方程正确的是(　　)
A.8(x-3)=7(x+4)　　　　B.8x+3=7x-4
C.
4.某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，那么比计划多做了8个，如果每人做3个，那么比计划少6个．设计划做x个“中国结”，可列方程（ ）
A． B． C． D．
5．某市采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费2元；若用水超过，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（　　）．
A．38 B．28 C．34 D．44
6.某超市将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售,仍可获利20%,则该超市该品牌粽子的标价为(　　)
A.180元　　　B.170元　　　C.160元　　　D.150元
7.甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8.由于换季,商场准备对某商品打折出售,如果按原售价的七五折出售,将亏损25元,而按原售价的九折出售,将盈利20元,则该商品的原售价为(　　)
A.230元　　　B.250元　　　C.270元　　　D.300元
9.某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼，制作1块大月饼要用面粉0.05 kg，制作1块小月饼要用面粉0.02 kg，现共有面粉4500 kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？
10．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置，已知搬运工体重均为120斤，则每块条形石的重量是（ ）

A．120斤 B．240斤 C．100斤 D．160斤
填空题
11．某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30 天制作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为_________ .
12.某种商品的进价是400元，标价是600元，打折销售时的利润率为5%，那么此商品是打_____折出售.
13．中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积 2 分，负一场积 1 分，某支球队参加了12 场比赛， 总积分恰是所胜场数的 4 倍，则该球队共胜____ 场.
14．中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程 ．
15．某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3，则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年12月 的用水量为_______m3.
三、解答题
16．蒲草编制工艺是我国一种传统的手工工艺,因朴实又不失典雅且绿色环保被越来越多的人青睐.已知每3千克整理好的蒲草可编“花瓶”型器具的瓶身5个或瓶底30个,一个瓶身和一个瓶底配成一套.现有整理好的蒲草210千克,应如何安排才能使编出来的瓶底和瓶身刚好配套 能编多少个这样的“花瓶”型器具
17.某工人安装一批机器,若每天安装4台,预计若干天完成,安装倍,因此比预计时间提前一天完工,这批机器有多少台 预计几天完成
18.小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买,已知两商店的标价都是每本2元,甲商店的优惠条件是购买10本以上,从第11本开始按标价的70%出售;乙商店的优惠条件是从第一本起按标价的80%出售.小明要购买x(x>10)本练习本.
(1)当小明到甲商店购买时,需付款　　　　元;当到乙商店购买时,需付款　　　　元;
(2)买多少本练习本时,到两家商店花费相同
(3)小明准备买50本练习本,为了节约开支,选择哪家更划算
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.C
【分析】首先要理解题意找出题中存在的等量关系：甲完成的工作量乙完成的工作量总的工作量，根据题意我们可以设总的工作量为单位“”，根据效率时间工作量，分别用式子表示甲乙的工作量即可列出方程．
【详解】解：设甲一共做了天，则乙一共做了天，
设总的工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，
由题意得，，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意，列出方程．
2．D
【分析】根据题意可知：甲单位花的钱数的乙单位花的总钱数，然后列出方程即可．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
3.D　若共有x人,根据题意可得8x-3=7x+4,若物价是y钱,根据题意可得=.故选D.
4.D
【分析】设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可．
【详解】解：设计划做x个“中国结”，
由题意得，，
故选D．
【点睛】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程，正确找到实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
5．C
【分析】根据题意得出20立方米时交40元，题中已知五月份交水费82元，即已经超过20立方米，所以在82元水费中有两部分构成，列方程即可解答．
【详解】解：设他家该月用水，根据题意得：
，
解得：，
答：他家该月用水．
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
6．A　设该超市该品牌粽子的标价为x元,则售价为80%x元,由题意得80%x-120=20%×120,解得x=180.故该超市该品牌粽子的标价为180元.故选A.
7．B 解析：设两人相遇的次数为x，依题意得：，解得x=4.5,因为x为整数，所以x取4.
8．D　设该商品的原售价为x元,根据题意得75%x+25=90%x-20,解得x=300,则该商品的原售价为300元.故选D.
9．解：设制作大月饼用 x kg面粉，制作小月饼用（4500 – x） kg面粉，才能生产最多的盒装月饼. 根据题意，得
=
解得 x = 2500，4500 – x = 4500 – 2500 = 2000.
即制作大月饼用2500 kg面粉，制作小月饼用2000 kg面粉，才能生产最多的盒装月饼.
10．B
【详解】解：设每块条形石的重是斤，由题意，得：
，
解得：；
即：每块条形石的重是240斤．
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．
11.2×50x = 20(30－x)
12. 七
13．4
14．
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【详解】解：设有辆车，则可列方程．
故答案是：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．20
16．解析　设用x千克蒲草编瓶身,则用(210-x)千克蒲草编瓶底,由题意得,×5=×30.解得x=180.则210-x=30,×5=300.
答:用180千克蒲草编瓶身,30千克蒲草编瓶底能使编出来的瓶底和瓶身刚好配套,且能编300个这样的“花瓶”型器具.
17.解析　设预计x天完成,
依题意有4x=4×x+4×1×,
解得x=9,4×9=36(台).
答:这批机器有36台,预计9天完成.
18．解析　(1)(1.4x+6);1.6x.
(2)依题意得1.4x+6=1.6x,解得x=30.
答:买30本练习本时,到两家商店花费相同.
(3)当x=50时,1.4x+6=1.4×50+6=76,1.6x=1.6×50=80.
因为76<80,所以选择甲商店更划算.
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