七年级数学上册3.6 三元一次方程组及其解法 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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3.6 三元一次方程组及其解法 导学案
（一）学习目标：
1.掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法，并能利用它解决问题。
2.在学习解三元一次方程组的过程中，感觉消元转化的思想。
33培养学生勇于探索，敢于创新的精神。
（二）学习重难点：
1.三元一次方程组的解法
2.三元一次方程组的解法过程中的方法选择
阅读课本，识记知识：
1.三元一次方程的概念
三元一次方程就是含有三个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程。
2.三元一次方程组的概念
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组。
3.三元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是消元,即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想，解三元一次方程组的基本思想也是消元,一般地,应利用代入法或加减法消去一 个未知数从而变三元为二元,，然后解这个二元一次方程组 ，求出两个未知数,最后再求出另一个未知数.
【例1】下列不是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义，根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解．
【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
B、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意．
C、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
故选：B．
【例2】 响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的复兴将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式加减的应用，三元依次方程组的应用，找准等量关系，正确列出代数式是解题关键．设三个区域原来的面积分别为，先求出复兴划分后，区的面积与区的面积，从而可得，再设区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，根据爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为可得，据此化简即可得．
【详解】解：设三个区域原来的面积分别为，
由题意得：复兴划分后，区的面积为，区的面积为，
∵复兴划分后，造成现区的面积占两区面积和的比例达到了，
，即，
∴复兴划分后，区的面积为，区的面积为，
设爸爸将区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，
∵爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为，
，
①，②，
由①得：，
将代入②得：，
，
则爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为，
故选：B．
选择题
1.下列是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
2.下列四组数值中，为方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3.我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4.设，则（ ）
A．12 B． C． D．
5.解方程组，较简便的方法是（ ）．
A．先消z B．先消y C．先消x D．无法确定
6.小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
7.解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　）
A． B．
C． D．
8.已知，，都不为零，且，则式子的值为（ ）
A． B． C．- D．-
9.已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，阿俊打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到下列哪一个结论（ ）
A．一份套餐的价钱必为140元 B．一份套餐的价钱必为120元
C．单点一片鸡排的价钱必为90元 D．单点一片鸡排的价钱必为70元
10.我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．任意实数
填空题
11．用3.50元买了10分、20分、50分三种邮票共18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了枚。
12.对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．最大的三位“美好数”是 ．若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，满足条件的三位“美好数”有 ．
13.在代数式ax2＋bx＋c中，x分别取0，1，－1时，其值分别为－5，－6，0，则a＝ ，b＝ ，c＝ ．
14．已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1；当x＝0时，y＝1，则a，b，c的值分别为 ．
15．对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字与十位数字之和等于个位数字的2倍，那么称这个数n为“文德数”，例如：，因为，所以是“文德数”；，因为，所以不是“文德数”．若将一个“文德数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s，若s也是一个“文德数”，求满足条件的 ．
三、解答题
16．解方程组：
(1) (2)
17.用A，B两种硬纸板做圆柱模型，每个圆柱需要1个长方形做侧面和2个圆做底面．两种硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A纸板：剪2个长方形做侧面和3个圆做底面；
B纸板：剪1个长方形做侧面和4个圆做底面．
问需要用A，B两种硬纸板各多少张恰好能做这种圆柱模型1000个？
18.在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重千克，甲盒里核桃仁的重量占甲盒坚果重量．
(1)甲盒里核桃仁重多少千克？
(2)若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的，求乙盒坚果中腰果重多少千克？
(3)在(1)、(2)的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占，并且在混合之前甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】D
【解析】略
【答案】D
【解析】略
3.【答案】D
【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得，
，
整理得：
，
，，且都是自然数，
，
，是7的倍数，
，7，14，21，
，18，11，4；
共有4种情况：
①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；
②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；
③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；
④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只．
故小鸡的只数不可能是
故选：
【点睛】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键．
4.【答案】C
【分析】根据方程②得到，结合方程①可得，由此即可得到答案．
【详解】解：
由②得，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，正确求出x、y之间的关系式是解题的关键．
5．【答案】B
【分析】，，得：，根据，得：，可得，方程组随之得解，问题即可作答．
【详解】
，得：，
，得：，即，
将代入，解得：，
将，代入，解得：，
根据解答过程可知较简便的方法是先消y，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求解三元一次方程组的知识，掌握加减消元法，是解答本题的关键．
6．【答案】B
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【详解】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，z元，
根据题意得：，
得：，即，
∴，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
7．【答案】C
【分析】由题意知，得，，，即，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，得，，，
∴消去z，组成关于x、y的方程组为，
故选：C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．【答案】A
【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可．
【详解】解：，
得：，
∴，
把代入②得：，
∴，
∴；
故选A
【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程组是解本题的关键．
9．【答案】C
【分析】设一片鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元，根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设一片鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元，
根据题意得：，
得：，
∴一片鸡排的价钱为90元．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设出未知数，根据题意找对等量关系是解决本题的关键．
10．【答案】C
【分析】根据新定义可得，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
整理得：
②③得：，
将①代入上式得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】略
12. 【答案】 或
【分析】题目主要考查有理数的表示、方程组求解，理解题意，列出方程组化简求值是解题关键．根据题意，最大的三位美好数的百位数字一定是9，十位数字为8，再根据各个数位上的数字之和为18，得到个位数字为1，即可，设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，结合美好数的定义，列出方程组求解即可．
【详解】解：∵最大的三位“美好数”
∴百位数字一定是9，十位数字为8，
∵各个数位上的数字之和为18，
∴个位数字为1，
∴最大的三位“美好数”是；
设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
则：，
由题意，得：，
整理，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，；
当时，，；
∴符合条件的的三位“美好数”有或；
故答案为：，或．
13．【答案】2，-3，-5
【解析】略
14．【答案】 1，1，1
【解析】略
15．【答案】
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，等式的性质，设m的百位数为a，十位数为b，个位数为c，则s的百位数为，十位数为a，个位数为b，根据“文德数”的定义推出，再根据a、b、c为整数，以及a、b、c的取值范围确定c的值，进而确定a、b的值是解题的关键．
【详解】解：设m的百位数为a，十位数为b，个位数为c，则s的百位数为，十位数为a，个位数为b，
根据题意可得，，
∴，
∵且a、b、c都是整数，
∴都是整数，
∴，
当时，，此时，
故答案为：．
16．.解：（1） （2）
17.【答案】需要用400张A种硬纸板，200张B种硬纸板
【详解】设需要x张A种硬纸板，y张B种硬纸板，根据题意，得
，解得
答：需要用400张A种硬纸板，200张B种硬纸板．
18．【答案】(1)千克
(2)千克
(3)千克
【分析】本题考查的是百分数的与分数的应用，方程组的应用；
（1）甲盒里核桃仁重量为：（千克）；
（2）先计算乙盒坚果的重量，再计算乙盒坚果中腰果的重量即可；
（3）先计算杏仁的总重量为千克．设甲盒坚果中腰果重千克，甲盒坚果中杏仁重千克，乙盒坚果中杏仁重千克，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：甲盒里核桃仁重量为：千克；
答：甲盒里核桃仁重千克；
（2）乙盒坚果重量为：千克，
乙盒坚果中腰果重量为：千克；
答：乙盒坚果中腰果重千克；
（3）混合后，杏仁的总重量为：千克；
设甲盒坚果中腰果重千克，甲盒坚果中杏仁重千克，乙盒坚果中杏仁重千克，
根据题意列方程组，得：
解得：，，；
答：甲盒坚果中腰果重千克．
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