2023-2024学年江苏省南京十三中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省南京十三中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知则( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
8.已知，，且时，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列的前项和为，已知，则( )
A. 是递增数列 B.
C. 当时， D. 当或时，取得最大值
10.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在区间上的最大值为
D. 直线与的图像所有交点的横坐标之和为
11.已知，，且，则( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：______．
13.已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为______．
14.已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
计算：
16.本小题分
已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
求数列的通项；
令，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
求的单调增区间；
当时，求的值域．
18.本小题分
已知函数是定义域上的奇函数．
求实数的值；
求函数的值域；
若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，证明：；
若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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15.解：．
．
16.解：设公差为，
，且，，成等比数列，
，即，解得，
故数列的通项为．
，
故．
17.解：
，
令，解得，
故的单调增区间为，；
当时，可得，
所以，可得，
故的值域为．
18.解：因为是定义域上的奇函数，
所以，即，
所以，经检验此时为奇函数，符合题意；
由得，
因为，
所以，
所以，即函数的值域为．
因为，
当时，，
所以，
所以，
因为在上单调递减，
若关于的不等式在上有解，
则在上有解，
所以，即，
故的范围为
19.解：证明：因为函数的定义域为，当时，．
要证，只需证：当时，，
令，则，
则在单调递增，
所以，即．
，
令，
则．
所以在单调递增，，
时，，．
则在为增函数，在上无极值点，矛盾．
当时，由知，，
，
则，则使．
当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增．
因此，在区间上恰有一个极值点，
所以的取值范围为．
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