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第二章 函数与基本初等函数
第1节 函数的概念及其表示
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ____的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一
x
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域______；②对应关系______.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有________、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______.
相同
相同
解析法
并集
×
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域可以为B的子集.
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.( )
×
×
×
C
解析 A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确.
2.(易错题)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
即x＞0且x≠－1，所以函数的定义域为(0，＋∞).
(0，＋∞)
2
则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0).
x2－1(x≥0)
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
解析 根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
C
解析 同一函数满足①定义域相同；
②对应关系相同，只有A、C满足.
2.(多选)下列各组函数是同一函数的为( )
AC
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)
③
A.(0，4) B.[0，2)∪(2，4]
C.(0，2)∪(2，4) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 要使函数有意义，
C
解得0＜x＜4且x≠2.
A.[1，2] B.[2，＋∞)
C.[1，2) D.(1，2]
解析 根据函数f(x)的解析式，
C
所以函数f(x)的定义域为[1，2).
解析 由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]，
即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.
又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，
所以函数g(x)的定义域为(0，1).
B
当a＝0时，显然成立；
当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12
综上所述，实数a的取值范围为－12B
所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.
解 (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t.
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
例1 求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
∴f(x)＝x2－2，
x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
解 (待定系数法)∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]
＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
解 (方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，
得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3(t≥1)，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
x2－4x＋3(x≥1)
(2)已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为______________.
解析 ∵f(x)是一次函数，
∴设f(x)＝kx＋b，k≠0，
则f(2)＝2k＋b，f(1)＝k＋b，
f(0)＝b，f(－1)＝－k＋b.
f(x)＝3x－2
解得k＝3，b＝－2，∴f(x)＝3x－2.
角度1 分段函数求值
A
解析 由f(x)＝f(x－3)得f(x＋3)＝f(x)，
因而f(2 021)＝f(3×673＋2)＝f(2)＝f(2－3)
解析 由f(x)的定义域，知a>0.
当0当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，
得2a＝2(a－1)，无解.
D
解析 ∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，
∴f(a)＝－2，
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，
当a＞0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.
角度2 分段函数与方程、不等式问题
A
解析 当x≤0时，x＋1≤1，f(x)当01，
此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴0当x>1时，f(x)函数的值域
求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.
解 (配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，
可得函数的值域为[2，6).
例 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
且t≥0，
解 函数的定义域为[1，＋∞)，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
解析 A中f(x)的定义域是(0，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；
B中f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；
1.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
D
D中的函数是同一个函数.
解析 图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，
图象B中x0对应2个y，
所以A，B均不是函数图象；
图象C，D可以是函数图象.
2.(多选)下列所给图象可以是函数图象的是( )
CD
A.(2，3) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
故函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
D
4.函数
B
解析 函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，即函数y＝f(x＋1)中的x满足－2＜x＜0，此时－1＜x＋1＜1，记t＝x＋1，则－1＜t＜1，则f(t)的定义域为(－1，1)，也就是f(x)的定义域是(－1，1).
要求f(2x－1)的定义域，则－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1，
∴f(2x－1)的定义域为(0，1).
5.已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为( )
C
解析 当a＞0时，－a＜0，
所以2log2a＞0，解得a＞1；
C
所以2log2(－a)＜0，可得0＜－a＜1，
即－1＜a＜0.
综上，a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
8.已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝____________.
x2＋2x＋1
解析 令t＝x－1，∴t＞0，x＝t＋1，
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
解 这个函数的图象如图.
(2)画出这个函数的图象；
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)求f(x)的最大值.
解 由函数图象可知，
当x＝1时，f(x)取最大值6.
解 (1)由题意及函数图象，
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.
12.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )
AD
解析 根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应.
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.
对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；
所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.
解析 依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，
[－5，0]
解得－5≤a≤0.
即1＜f(x)＜3.
当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，
当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}.2025高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示-专项训练
1.函数y＝＋的定义域是（ ）
A.[－1，0）∪（0，1） B.[－1，0）∪（0，1]
C.（－1，0）∪（0，1） D.（－1，0）∪（0，1]
2.下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A.y＝x与y＝ B.y＝与y＝x（x≠－1）
C.y＝x（x≥0）与y＝ D.y＝｜x＋1｜＋｜x｜与y＝2x＋1
3.已知函数f（x）＝且f（x0）＝3，则实数x0＝（ ）
A.－1 B.1
C.－1或1 D.－1或－
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是（ ）
5.（多选）已知函数f（x）＝则（ ）
A.f（5）＝1 B.f（f（5））＝1
C.f（3）＝9 D.f（f（3））＝log37
6.（多选）下列函数中，满足f（18x）＝18f（x）的是（ ）
A.f（x）＝｜x｜ B.f（x）＝x－｜x｜
C.f（x）＝x＋2 D.f（x）＝－2x
7.已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如表：
x 1 2 3
f（x） 2 3 1
x 1 2 3
g（x） 3 2 1
则方程g（f（x））＝x的解集为 .
8.若函数f（x）在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 .
9.已知函数f（x）满足f（－x）＋2f（x）＝2x，则f（x）＝ .
10.求下列函数的解析式：
（1）已知f（f（x））＝4x＋9，且f（x）为一次函数，求f（x）；
（2）已知函数f（x2＋1）＝x4，求f（x）.
11.已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A.（，＋∞） B.（－12，0]
C.（－12，0） D.（－∞，］
12.已知定义域为R，函数f（x）满足f（a＋b）＝f（a）·f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，若f（1）＝，则f（－2）＝（ ）
A.2 B.4
C. D.
13.（多选）设函数y＝f（x）的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）＝则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”.若给定函数f（x）＝x2－2x－1，p＝2，则（ ）
A.f2[f（0）]＝f[f2（0）] B.f2[f（1）]＝f[f2（1）]
C.f[f（2）]＝f2[f2（2）] D.f[f（3）]＝f2[f2（3）]
14.（1）已知函数f（x）＝若f（f（a））＝2，求a的值；
（2）已知函数f（x）＝若a[f（a）－f（－a）]＞0，求实数a的取值范围.
15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（m）与汽车的车速x（km/h）满足下列关系：y＝＋mx＋n（m，n是常数）.如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y（m）与汽车的车速x（km/h）的关系图.
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
参考答案与解析
1.C 由题意得解得－1＜x＜0或0＜x＜1.所以原函数的定义域是（－1，0）∪（0，1）.故选C.
2.B 对于A，y＝x的定义域为R，y＝的定义域为{x｜x≠0}，定义域不同，不是同一个函数，故A不正确；对于B，y＝的定义域为{x｜x≠－1}，且y＝＝x，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故B正确；对于C，y＝x（x≥0），而y＝＝｜x｜的定义域为R，定义域不同，对应关系也不同，不是同一个函数，故C不正确；对于D，y＝｜x＋1｜＋｜x｜与y＝2x＋1的对应关系不同，所以不是同一个函数，故D不正确，故选B.
3.C 由条件可知，当x0≥0时，f（x0）＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0＜0时，f（x0）＝3＝3，所以x0＝－1，所以实数x0的值为－1或1.
4.A 由题图知，文物的结构底端与上端细、中间粗，所以在注水流速恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合.
5.AB 根据题意，函数f（x）＝对于A，f（5）＝log3（5－2）＝log33＝1，A正确；对于B，f（f（5））＝f（1）＝30＝1，B正确；对于C，f（3）＝log3（3－2）＝log31＝0，C错误；对于D，
f（f（3））＝f（0）＝3－1＝，D错误.故选A、B.
6.ABD 若f（x）＝｜x｜，则f（18x）＝｜18x｜＝18｜x｜＝18f（x）；若f（x）＝x－｜x｜，则f（18x）＝18x－｜18x｜＝18（x－｜x｜）＝18f（x）；若f（x）＝x＋2，则f（18x）＝18x＋2，而18f（x）＝18x＋18×2，
故f（x）＝x＋2不满足f（18x）＝18f（x）；若f（x）＝－2x，则f（18x）＝－2×18x＝18×（－2x）＝18f（x）.故选A、B、D.
7.{3} 解析：当x＝1时，f（x）＝2，g（f（x））＝2，不符合题意；当x＝2时，f（x）＝3，g（f（x））＝1，不符合题意；当x＝3时，f（x）＝1，g（f（x））＝3，符合题意.综上，方程g（f（x））＝x的解集为{3}.
8.f（x）＝ 解析：由题图可知，当－1≤x＜0时，f（x）＝x＋1；当0≤x≤2时，f（x）＝－x，所以f（x）＝
9. 解析：由f（－x）＋2f（x）＝2x，①.得f（x）＋2f（－x）＝2－x，②.①×2－②，得3f（x）＝2x＋1－2－x，即f（x）＝.
10.解：（1）∵f（x）为一次函数，∴设f（x）＝kx＋b（k≠0），
∴f（f（x））＝f（kx＋b）＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9，
∴∴或
∴f（x）＝2x＋3或f（x）＝－2x－9.
（2）f（x2＋1）＝x4＝（x2＋1）2－2（x2＋1）＋1，且x2＋1≥1，∴f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，x≥1.
11.B 因为函数f（x）＝的定义域为R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a＜0，解得－12＜a＜0.综上所述，实数a的取值范围为－12＜a≤0.故选B.
12.B 令a＝b＝0，则有f（0）＝[f（0）]2.又∵f（x）＞0，∴f（0）＝1.令a＝－1，b＝1，则有f（0）＝ f（－1＋1）＝f（－1）·f（1），∴f（－1）＝＝＝2.再令a＝b＝－1，则有f（－2）＝[f（－1）]2＝4.
13.ACD 因为f（x）＝x2－2x－1，p＝2，所以f2（x）＝f（0）＝－1，f（1）＝－2，f（－1）＝2，f（2）＝－1，f（－2）＝7，f（3）＝2，所以f2[f（0）]＝f2（－1）＝2，f[f2（0）]＝f（－1）＝2，故A正确；f2[f（1）]＝f2（－2）＝2，f[f2（1）]＝f（－2）＝7，故B不正确；f[f（2）]＝f（－1）＝2，f2[f2（2）]＝f2（－1）＝2，故C正确；f[f（3）]＝f（2）＝－1，f2[f2（3）]＝f2（2）＝－1，故D正确.故选A、C、D.
14.解：（1）令f（a）＝t，则f（t）＝2，可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f（a）＝0，显然a≤0，
因此a＋2＝0 a＝－2，
当t＝1时，即f（a）＝1，显然a≤0，
因此a＋2＝1 a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1.
（2）由题意知，a≠0，当a＞0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为a2＋a－3a＞0，解得a＞2.
当a＜0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为－a2－2a＜0，解得a＜－2.
综上所述，实数a的取值范围为（－∞，－2）∪（2，＋∞）.
15.解：（1）由题意，得
解得所以y＝＋（x≥0）.
（2）令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
因为x≥0，所以0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.