2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最大(小)值-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 下列函数在区间 上为单调递增函数的是( )
A. B. C. D.
2. 函数 在( )
A. 上是增函数 B. 上是减函数
C. 和 上是增函数 D. 和 上是减函数
3. 已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. （多选）已知函数 在区间 上单调递增，则 , 的取值可以是( )
A. ， B. , C. , D. ,
5. （多选）设函数 在 上为增函数，则下列结论错误的是( )
A. 在 上为减函数 B. 在 上为增函数
C. 在 上为增函数 D. 在 上为减函数
6.函数 的单调递减区间为 .
7. 已知函数 的最小值为0，则 的取值范围是 .
8. 已知函数 则 , 的最小值是 .
9. 已知函数 .
（1） 用函数单调性的定义证明： 在区间 上是增函数；
（2） 解不等式： .
[B级 综合运用]
10. 已知函数 的定义域为 ，对任意 , 且 ,都有 ,则下列说法正确的是( )
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 是增函数 D. 是减函数
11. （多选）已知函数 ，下列说法正确的有( )
A. 当 时， 在定义域上单调递减
B. 当 时， 的单调递增区间为 ,
C. 当 时， 的值域为
D. 当 时， 的值域为
12. （多选）已知函数 则下列结论正确的是( )
A. 在 上为增函数
B.
C. 若 在 上单调递增，则 或
D. 当 时， 的值域为
13. 对于任意实数 ， ，定义 设函数 ， ，则函数 的最大值是 .
14. 已知 .
（1） 若 ，试证明： 在 上单调递增；
（2） 若 ，且 在 上单调递减，求 的取值范围.
[C级 素养提升]
15. （多选）一般地，若函数 的定义域为 ，值域为 ,则称 为 的“ 倍跟随区间”；若函数的定义域为 ,值域也为 ，则称 为 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）
A. 若 为 的跟随区间，则
B. 函数 存在跟随区间
C. 若函数 存在跟随区间，则
D. 二次函数 存在“3倍跟随区间”
16. 已知定义在 上的函数 对于任意的 , ，总有 ，且当 时， 且 .
（1） 求 的值；
（2） 判断函数 在 上的单调性，并证明；
（3） 求函数 在 上的最大值与最小值.
2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最大(小)值-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 下列函数在区间 上为单调递增函数的是( D )
A. B. C. D.
[解析]选D. , , 在 上都为单调递减函数， 在 上为单调递增函数.故选D.
2. 函数 在( C )
A. 上是增函数 B. 上是减函数
C. 和 上是增函数 D. 和 上是减函数
[解析]选C.函数 的定义域为 ，根据函数 的单调性及有关性质，可知 在 和 上是增函数.
3. 已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题意得 则函数 在定义域 上是增函数，因为 ,所以 ,解得 .故实数 的取值范围是 .
4. （多选）已知函数 在区间 上单调递增，则 , 的取值可以是( AC )
A. ， B. , C. , D. ,
[解析]选 在区间 上单调递增,则满足 ,即 ,结合选项 ， 满足， ， 满足，故选AC.
5. （多选）设函数 在 上为增函数，则下列结论错误的是( ABC )
A. 在 上为减函数 B. 在 上为增函数
C. 在 上为增函数 D. 在 上为减函数
[解析]选ABC.对于A，若 ,则 ,在 上不是减函数，A错误；对于B，若 ,则 ,在 上不是增函数，B错误；对于C，若 ,则 ,在 上不是增函数，C错误；对于D，函数 在 上为增函数，则对于任意的 , ，设 ,必有 ,对于 ，则有 ,则 在 上为减函数，D正确.故选ABC.
6.函数 的单调递减区间为 .
[解析]函数 的定义域为 ，令 ， ， ，因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的单调递减区间为 .
7. 已知函数 的最小值为0，则 的取值范围是 .
[解析]因为函数 ,所以当 时，函数是减函数.又当 时， ,所以 .
8. 已知函数 则 , 的最小值是 .
[解析]因为 ,
所以 .当 时， ,当且仅当 时取等号，此时 ;当 时， ,当且仅当 时取等号，此时 .综上，函数 的最小值为 .
9. 已知函数 .
（1） 用函数单调性的定义证明： 在区间 上是增函数；
[答案]解：证明：任取 , ，且 ,则 ，
因为 , ，且 ,所以 ， ，所以 ，即 ,所以函数 在区间 上是增函数.
（2） 解不等式： .
[答案]对于 ,有 , ,而函数 在区间 上单调递增，则 ,解得 .
所以不等式的解集为 .
[B级 综合运用]
10. 已知函数 的定义域为 ，对任意 , 且 ,都有 ,则下列说法正确的是( A )
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 是增函数 D. 是减函数
[解析]选A.不妨令 ,所以 ,由 .令 ,则 ,又 ,所以 是增函数.
11. （多选）已知函数 ，下列说法正确的有( BCD )
A. 当 时， 在定义域上单调递减
B. 当 时， 的单调递增区间为 ,
C. 当 时， 的值域为
D. 当 时， 的值域为
[解析]选BCD.当 时， ,定义域为 在 和 上单调递增，故A错误；若 ,当 时， , 时， ;当 时， , 时， ；当 时， .所以 的值域为 ，故D正确；当 时， ,由其图象（图略）可知， ， 正确.
12. （多选）已知函数 则下列结论正确的是( BC )
A. 在 上为增函数
B.
C. 若 在 上单调递增，则 或
D. 当 时， 的值域为
[解析]选BC.易知 在 , 上单调递增，A错误，B正确；若 在 上单调递增，则 或 ，即 或 ，故C正确；当 时， ,当 时， ,故 时， ，故D错误.
13. 对于任意实数 ， ，定义 设函数 ， ，则函数 的最大值是1.
[解析]在同一平面直角坐标系中，
作出函数 ， 的图象，
依题意， 的图象如图所示.
易知点 为图象的最高点，
因此 的最大值为 .
14. 已知 .
（1） 若 ，试证明： 在 上单调递增；
[答案]解：证明：当 时， .
任取 , ,且 ,
则 .
因为 , ,
所以 ,即 ,
所以 在 上单调递增.
（2） 若 ，且 在 上单调递减，求 的取值范围.
[答案]任取 , ,且 ,
则 .
因为 , ，所以要使 ,
只需 恒成立,所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
[C级 素养提升]
15. （多选）一般地，若函数 的定义域为 ，值域为 ,则称 为 的“ 倍跟随区间”；若函数的定义域为 ,值域也为 ，则称 为 的“跟随区间”.下列结论正确的是( ACD )
A. 若 为 的跟随区间，则
B. 函数 存在跟随区间
C. 若函数 存在跟随区间，则
D. 二次函数 存在“3倍跟随区间”
[解析]选ACD.对于A,由已知可得函数 在区间 上单调递增，则有 ,解得 或 （舍去），所以 ,A正确；对于B,若 存在跟随区间 ,因为函数 在单调区间上单调递减，则 解得 ,不满足 ,故不存在，B错误；对于C,由已知函数可得，函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间 ,则有 即 两式作差得， ,即 ,又 ,所以 ,易得 ,所以 .设 ,则 ,同理 也满足 ，即 在区间 上有两个不相等的实数根，令 ,只需 即 解得 ,C正确；对于D,若函数存在“3倍跟随区间”，设定义域为 ，值域为 ,当 时，易得函数在定义域上单调递增，则 是方程 的两个不相等的实数根，解得 或 ,故存在定义域为 使得值域为 ，D正确.故选ACD.
16. 已知定义在 上的函数 对于任意的 , ，总有 ，且当 时， 且 .
（1） 求 的值；
[答案]解：令 ，则 ，所以 .
（2） 判断函数 在 上的单调性，并证明；
[答案] 在 上单调递减.证明如下：
设 ，令 ， ，则 ，所以 ， ,由题得 ，即 ，
即对任意 , ，若 ，则 ，所以 在 上单调递减.
（3） 求函数 在 上的最大值与最小值.
[答案]因为 ，令 ，则 ，
令 ， ，则 ， .
由（2）得， 在 上单调递减，所以 ， .(共57张PPT)
第二章 函数与基本初等函数
第2节 函数的单调性与最大(小)值
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
图象描述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
区间D
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1) x∈I，都有__________； (2) x0∈I，使得__________ (1) x∈I，都有________；
(2) x0∈I，使得________
结论 M为最大值 M为最小值
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
×
×
×
√
解析 (1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.
(2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调区间是
(－∞，＋∞).
(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
D
2.下列函数中是增函数的为( )
B
解析 ∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.
9
解得－1≤a＜1.
5.(易错题)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是___________.
[－1，1)
解析 由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，
故f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
由函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，
故f(x)的单调增区间是(－∞，－1).
(－∞，－1)
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
解析 y＝－sin x和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；
y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单增.
故选D.
1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是( )
D
A
该函数图象如图所示，
其单调递减区间是[0，1).
[0，1)
设x1＜x2＜－2，
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增.
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
解 设1＜x1＜x2，
因为a＞0，x2－x1＞0，
所以要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].
8
解析 法一 在同一坐标系中，
作函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.
易知点A(2，1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
1
当0
当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).
训练1 (1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为___________.
[3，＋∞)
作出函数的图象如图所示.
∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，
角度1 比较函数值的大小
例2 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
C
解析 f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
例3 (1)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
角度2 解函数不等式
D
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是
[－1，0]∪[1，3].
解析 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝ln 1＋2＝2，
所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)(2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是
___________________________.
解析 令t＝|x－a|，∴y＝et，
t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，
在[a，＋∞)上单调递增.
又y＝et为增函数，
∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1.
例4 (1)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，
＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是____________.
角度3 求参数的取值范围
(－∞，1]
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，
即a≤1或a≥4.
解析 函数f(x)的图象如图所示，
(－∞，1]∪[4，＋∞)
当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c.
D
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，
且f(－1)＝3，
由f(a－2)＞3，得f(a－2)＞f(－1)，
即－2＜a－2＜－1，即0＜a＜1.
(0，1)
构造函数解决不等式(方程)问题
对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的单调性，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.
解析 由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，
∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，
即f(a)例 (1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.aB
解析 原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，
设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，
所以f(x)在R上单调递增，
即f(x)0，所以A正确，B不正确.
因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.
(2)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
A
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
1.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( )
AB
A
解析 因为f(x)是偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(π)＞f(3)＞f(2)，
即f(π)＞f(－3)＞f(－2).
3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A
解析 令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，
故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}.
根据f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1.
又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)，
所以f(x)的单调递增区间为[－1，1).
4.已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是( )
A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)
C.[－1，1) D.(－3，－1]
C
解析 因为对任意x1≠x2，
所以y＝f(x)在R上是增函数，
D
解析 f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减；
在(1，＋∞)上单调递增，
由题意可得0＜a＜1，故A正确，B错误；
由于0＜a＜1，可得2 021＜a＋2 021＜2 022.
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
则f(a＋2 021)＞f(2 022)，故C正确，D错误.
6.(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则( )
A.0＜a＜1 B.a＞1
C.f(a＋2 021)＞f(2 022) D.f(a＋2 021)＜f(2 022)
AC
画出函数图象如图所示，
7.函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为_________________________，单调递减区间为_____________________________.
(－∞，－1]和[0，1]
(－1，0)和(1，＋∞)
单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞).
解析 由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，
又易证在定义域R上，f(x)是增函数，
则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，
8.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为__________.
解析 ∵f(x)在R上是奇函数，
又f(x)在R上是增函数，
且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，
∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，
∴a＞b＞c.
a＞b＞c
∴f(x)的定义域为(－3，1)，
则f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1).
令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求方程f(x)＝0的解；
经检验，均满足原方程成立.
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.
解 由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，
由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，
∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
解 f(x)在R上单调递增.证明如下：
∵f(x)的定义域为R，
∴任取x1，x2∈R，且x1(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
∵y＝2x在R上单调递增且x1∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增.
∴f(ax)又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.
∴x的取值范围是(－∞，2).
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)解 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
解析 对于a，b：a＝4ln 3π＝ln 34π＝πln 81，b＝3ln 4π＝ln 43π＝πln 64，显然a＞b；
12.已知a＝4ln 3π，b＝3ln 4π，c＝4ln π3，则a，b，c的大小关系是( )
A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.a＜b＜c
B
∴3ln π＜πln 3，∴ln π3＜ln 3π，∴a＞c；
对于b，c：b＝3ln 4π，c＝4ln π3＝3ln π4，
当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减.
解析 当x＞0时，f(x)＝ex－e－x单调递增，且f(0)＝0；
当x≤0时，f(x)＝－x2单调递增，且f(0)＝0，
所以函数f(x)在R上单调递增.
所以a＞b＞c，所以f(a)＞f(b)＞f(c).
f(c)＜f(b)＜f(a)
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
解 对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
故a的取值范围为(2，＋∞).