2025高考数学一轮复习-2.3-奇偶性、对称性与周期性-专项训练
1.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )
A.f(x)在(0,2)上单调递增
B.f(x)在(0,2)上单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
2.设a∈R,则“a=1”是“f(x)=ln(+ax)为奇函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若 x∈R,f(x+1)=f(1-x),当x≥1时,f(x)=x2-4x,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)为奇函数
B.函数f(x)在(1,+∞)上单调递增
C.f(x)min=-4
D.函数f(x)在(-∞,1)上单调递减
4.已知函数f(x)满足f(x+1)+f(-x+1)=2,则以下四个选项一定正确的是( )
A.f(x-1)+1是偶函数
B.f(x-1)-1是奇函数
C.f(x+1)+1是偶函数
D.f(x+1)-1是奇函数
5.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=3f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=4x(x-1),则当x∈(-2,0]时,f(x)的最小值为( )
A.- B.-
C.- D.-
6.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,y=f(x)-3ex是奇函数,则f(x)的最小值为( )
A.e B.2 C.2 D.2e
7.已知函数f(x-1)为偶函数,且函数f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则关于x的不等式f(1-2x)
A.(-∞,3) B.(3,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
8.(多选题)已知定义域为R的函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f=0,则以下结论一定正确的有( )
A.f(0)=-1
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点中心对称
D.f(1)+f(2)+…+f(2 023)=0
9.(多选题)(2024苏州部分高中高三12月联考)定义在R上的函数f(x)同时满足:①f(x+1)-f(x)=2x+2,x∈R;②当x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,则下列结论正确的有( )
A.f(0)=-1
B.f(x)为偶函数
C.存在n∈N*,使得f(n)>2 023n
D.任意x∈R,有|f(x)|≤|x|+x2+3
10.函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=4x+m,则f= .
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,f(x-2)=f(x+2),当x∈[-2,0]时,f(x)=+b,则f(log3162)= .
12.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上以2为周期的周期函数,且f(x)是偶函数,在区间[2,3]上,f(x)=-2(x-3)2+4.求当x∈[1,2]时,f(x)的解析式.
13.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)=0,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则不等式<0的解集为( )
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-3,0)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
14.(多选题)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=f(x-2),则下列说法正确的是 ( )
A.y=f(x)的图象关于直线x=对称
B.y=f(x)的图象关于点对称
C.y=f(x)在[0,6]内至少有5个零点
D.若y=f(x)在[0,1]上单调递增,则它在[2 021,2 022]上也单调递增
15.已知定义在R上的函数f(x)不是常函数,且同时满足:①f(x)的图象关于直线x=2对称;②对任意x1∈R,均存在x2∈R,使得f(x1)=2f(x2)成立.则函数f(x)= .(写出一个符合条件的答案即可)
16.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)为奇函数且f(6-x)=f(x),当x∈[1,3]时,f(x)=a·2x+bx2,若f(5)+f(12)=-4,则f(2 023)= .
17.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(1-x)=f(x);当x∈[0,2]时,f(2-x)=-f(x);当x∈时,f(x)=16x-1.若任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则实数m的取值范围是 .
参考答案
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.A 8.BC 9.ACD 10.-2 11.-1
12.解 当x∈[-3,-2],即-x∈[2,3]时,f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x)=-2(x+3)2+4.又f(x)是以2为周期的周期函数,于是当x∈[1,2],即-3≤x-4≤-2时,有f(x)=f(x-4),所以f(x)=-2[(x-4)+3]2+4=-2(x-1)2+4,x∈[1,2],即f(x)=-2(x-1)2+4,x∈[1,2].
13.A 14.BCD
15.(x-2)2(答案不唯一) 16.10
17(共68张PPT)
第二章 函数与基本初等函数
第3节 奇偶性、对称性与周期性
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且________________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于____对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且________________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于____对称
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
y轴
原点
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的______正周期.
2.函数的周期性
最小
×
×
√
√
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.
BC
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；
B选项为偶函数；
C选项为偶函数；
D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
2.(多选)下列函数中为偶函数的是( )
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝ln |x| D.y＝2－x
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
又f(1＋x)＝f(－x)，
所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，
C
解析 由图象知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；
当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，
当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________________.
(－2，0)∪(2，5]
解析 因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.
－7
解析 由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，
又函数f(x)为奇函数，
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
角度1 判断函数的奇偶性
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，
∴函数f(x)为奇函数.
解 显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数.
解析 当x＜0时，－x＞0.
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
例2 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
角度2 函数奇偶性的应用
x－1
解析 当x>0，－x<0，f(－x)＝－e－ax.
因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
所以f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a＝8.
解得a＝－3.
(2)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.
－3
解析 A中，y＝xsin x为偶函数.
B中，函数y＝xln x的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.
C中，f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则y＝ex－1为非奇非偶函数.
训练1 (1)(多选)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
BC
解析 因为f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，所以f(x)可以是幂函数形式的函数；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
因为f′(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数.
因此函数f(x)可以是f(x)＝x4(x∈R).
(2)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：
________________________________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.
f(x)＝x4(x∈R)(答案不唯一)
解析 法一 ∵f(x)在R上是奇函数，
且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
例3 (1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
C
由图可知，f(x)的一个周期为4，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二 由题意可设
解析 由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，
即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0 ①.
由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6 ②.
D
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时.f(x)＝－2x2＋2.
根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，
可得函数f(x)的周期为4，
解析 因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
训练2 (1)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
7
∴f(2 020)＝f(6×336＋4)＝f(4).
∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确.
例4 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于x＝2对称 B.f(x)的图象关于(2，0)对称
C.f(x)的最小正周期为4 D.y＝f(x＋4)为偶函数
ACD
B
解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(3)＝f(1)，f(π)＝f(4－π).
训练3 (1)已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
C
当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，
解析 ∵f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，
∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于x＝2对称.当x∈[0，4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.
4
角度1 单调性与奇偶性
解析 易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.
例5 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a
C
解析 因为f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度得到f(x)的图象，
且f(x＋2)的图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.
由f(x)在(2，＋∞)上单调递减可得f(x)在(－∞，2)上单调递增，
由f(ln x)＜f(1)，
所以ln x＜1或ln x＞3，
解得0＜x＜e或x＞e3.
(2)已知函数f(x＋2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则不等式f(ln x)＜f(1)的解集是( )
A.(0，1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(0，e)∪(e3，＋∞) D.(e，e3)
C
解析 ∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
∴函数y＝f(x)的图象关于原点对称，
即函数f(x)是R上的奇函数，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
∴f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，
f(2 020)＝f(0)＝0，f(2 022)＝f(2)＝f(0)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
例6 函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________.
角度2 周期性与奇偶性
4
例7 (多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是( )
A.f(x)为偶函数 B.f(x)在[－6，－3]上单调递减
C.f(x)关于x＝3对称 D.f(100)＝9
角度3 对称性与周期性
ACD
解析 f(x)的图象关于x＝－3对称，
则f(－x)＝f(x－6)，
又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故A正确；
当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，
∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；
f(x)关于x＝－3对称且T＝6，
∴f(x)关于x＝3对称，故C正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确.
解析 ∵函数f(x＋2)是偶函数，函数f(x)关于x＝2对称，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(－x＋4)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f[－(－x)＋4]＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴函数的周期为8，
∴f(－2 022)＋f(2 023)＝－f(2 022)＋f(2 023)＝－f(6)＋f(7)＝f(2)－f(1)＝2－1＝1.
训练4 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x，则f(－2 022)＋f(2 023)＝( )
A.－3 B.－2 C.1 D.0
C
解析 ∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2).
∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2).
∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
∵f(－x－1)＝f(x－1)，
∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，
即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数.
(2)(多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x＋3)是偶函数 D.f(x)＝f(x＋4)
CD
抽象函数
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.
解析 ∵f(8)＝3，
∴f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)＝3，
∴f(2)＝1.
一、抽象函数求值
解析 令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3.
令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________.
7
解析 令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，
故f(0)＝0，A正确；
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
即f(x)＝－f(－x)，
故函数f(x)为奇函数，B正确；
例2 (1)(多选)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足( )
A.f(0)＝0 B.y＝f(x)是奇函数
C.f(x)在[1，2]上有最大值f(2) D.f(x－1)＞0的解集为{x|x＜1}
ABD
二、抽象函数的性质
设x1＜x2，则x1－x2＜0，
由题意可得f(x1－x2)＞0，
即f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)为R上的减函数，
∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，C错误；
f(x－1)＞0等价于f(x－1)＞f(0)，
又f(x)为R上的减函数，故x－1＜0，
解得x＜1，D正确.
在上述等式中取x＝4，y＝2，
则有f(2)＋f(2)＝f(4).
又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2.
(3，4]
可变形为f(x(x－3))≤f(4).
又∵f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
故x的取值范围是(3，4].
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )
D
解析 由题意，得f(－x)＝－f(x)，
则f(－1)＝－f(1)，
即1＋a＝－a－1，
得a＝－1(经检验符合题意).
A
解析 ∵偶函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＋f(－x)＝0，
∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数y＝f(x)是以4为周期的函数，
∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝f(－1).
又当－1≤x≤0时，f(x)＝1－x2，
故f(2 021)＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.
3.已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 021)＝( )
A.2 B.0 C.－1 D.1
B
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，
∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，
A
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；
f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；
5.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是( )
A.f(2 021)＝0 B.2是f(x)的一个周期
C.当x∈(1，3)时，f(x)＝(1－x)3 D.f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)
ABC
∵当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，
∴当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3，
当x∈(1，3)时，2－x∈(－1，1)，
f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；
易知当x∈(0，2)时，f(x)＞0，
∵f(x)的最小正周期是4，
∴f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)，故D正确.
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)是奇函数，
∴f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(8＋x)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴8为f(x)的一个周期，故B正确；
6.(多选)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，以下关于函数f(x)的说法正确的为( )
BCD
由f(8＋x)＝f(x)可得f(8－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(8－x)＋f(x)＝0，故A不正确；
且图象的一条对称轴为直线x＝2，故C正确；
由f(x)为奇函数且定义域为R知，f(0)＝0，
又f(x)为周期函数，∴f(x)有无数个零点，故D正确.
解析 令g(x)＝asin x＋btan x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
7.已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
4
解析 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(26)＝f(2).
∵对 x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.
8.已知函数f(x)，对 x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝________.
1
解析 ∵f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为4，
∴f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，即f(1)＝0.
在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，
令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝0.
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝________.
0
证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
解 ∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2×(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
解 由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
11.设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解 由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示.
解析 ∵f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，
由此可在坐标系中画出y＝f(x)与y＝sin πx的大致图象，如图所示，
12.已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且满足f(－1)＝0，则关于x的不等式f(x)＜sin πx的解集为( )
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(0，1) D.(－1，0)∪(0，1)
C
由图象可知，当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)＜sin πx，
即当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)＜sin πx.
解析 依题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，
则f(x＋2)＝f(－x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(0)＝0.
又f(x)在区间[1，2]上单调递减，则f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(1)>0.
C
A.f(b)C.f(c)由0f(0)＝0，
则f(b)＝f(2)＝f(0)＝0，
则f(c)＝f(－1)＝－f(1)<0，
所以f(c)解 f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
解 ∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.