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第14讲 导数的几何意义和四则运算
第三章
一元函数的导数及其应用
1．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( )
A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0
B．f′(1)＜f′(2)＜f′(3)＜0
C．0＜f′(1)＜f′(2)＜f′(3)
D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3)
激 活 思 维
【解析】
A
由图象可知函数f(x)是单调递增的，所以f′(1)，f′(2)，f′(3)均为正．从图中还可以看出函数f(x)切线的斜率是随着自变量x的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数是单调递减的，所以有f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0.
2．(多选)下列求导运算正确的是 ( )
AD
对于A，因为y＝x5，所以y′＝5x4，所以在x＝3处的导数为5×34＝405，故A正确；
对于C，因为y＝sin x，所以y′＝cos x，所以在x＝2π处的导数为cos 2π＝1，故C错误；
对于D，因为y＝ex，所以y′＝ex，所以在x＝0处的导数为e0＝1，故D正确．
【解析】
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
【答案】C
【解析】
【解析】
1．概念及运算
聚 焦 知 识
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
S′(t)
S″(t)
cos x
－sin x
ax ln a
ex
f′(g(x))·g′(x)
nxn-1
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
2．常用结论
(1) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
(2) 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
(1) 求下列函数的导数．
①f(x)＝sin (2x＋3)；
导数的运算
举 题 说 法
1
【解答】
②f(x)＝e-2x+1；
【解答】
f′(x)＝cos (2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos (2x＋3).
f′(x)＝e-2x+1 ·(－2x＋1)′＝－2e-2x+1.
【解答】
(2) 已知函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x，则f(0)＝_______．
【解析】
由函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x，求导得f′(x)＝2f′(0)e2x＋e－x，当x＝0时，f′(0)＝2f′(0)＋1，解得f′(0)＝－1，因此，f(x)＝－e2x－e－x，所以f(0)＝－2.
－2
变式 (1) 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝________，f′(x)＝____________．
【解析】
(2) (多选)下列求导运算正确的是 ( )
【解析】
【答案】AD
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；
(1) 函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
导数的几何意义
2
【解析】
B
因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
(2) 过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为( )
A．x－y－3＝0 B．x－y＋3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x＋y－3＝0
【解析】
B
2
(3)若直线y＝1与曲线f(x)＝aex－x2相切，则a＝ ( )
C
【解析】
2
【解析】
C
2．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则 ( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e-1，b＝1 D．a＝e-1，b＝－1
D
【解析】
由y′＝aex＋ln x＋1，根据导数的几何意义易得y′|x＝1＝ae＋1＝2，解得a＝e-1，从而得到切点坐标为(1，1)，将其代入切线方程y＝2x＋b，得2＋b＝1，解得b＝－1.
【解析】
C
【解析】
y＝4x－4或y＝x＋2
导数几何意义的应用
3
【解析】
变式 曲线y＝ln x上的点到直线y＝x＋2的最短距离是 ( )
B
【解析】
随 堂 练习
C
【解析】
y＝－ln 2·(x－1)
【解析】
3．若函数f(x)＝x3－a ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则实数a＝_____．
5
【解析】
4．过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程：______________________________．
2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)
【解析】
配套精练
A．1 B．－1
C．ln 2 D．－ln 2
【解析】
A组 夯基精练
D
2．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程是 ( )
A．2x－y－2＝0 B．4x－y－4＝0
C．2x＋y－2＝0 D．4x＋y－4＝0
C
【解析】
设x＞0，则－x＜0，由f(x)为偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x3－x，可得f(x)＝f(－x)＝(－x)3－(－x)＝x－x3，则f′(x)＝1－3x2，f′(1) ＝1－3＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
【解析】
【答案】
D
【解析】
D
5．下列导数的运算中正确的是 ( )
【解析】
【答案】
ABD
6．已知函数f(x)＝ex，下列结论正确的是 ( )
A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1
B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1
C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条
D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条
【解析】
由题意知f′(x)＝ex.对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，A正确；
对于B，令f′(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，B错误；
【答案】
AC
【解析】
8．写出曲线y＝ln |x|过坐标原点的切线方程：_______________.
【解析】
9．若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________________________．
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
【解析】
易得曲线不过原点．设切点为(x0，(x0＋a)ex0)，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1)·ex0，可得切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋a＋1)ex0(x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a)ex0＝－x0(x0＋a＋1)ex0，化简得x＋ax0－a＝0(※)，又切线有两条，即(※)方程有两个不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a＞0，得a＜－4或a＞0.
四、 解答题
10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1) 求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
【解答】
根据题意，得f′(x)＝3x2＋1，所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为y＝13x－32.
10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(2) 若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
【解答】
11．已知函数f(x)＝12－x2.
(1) 求曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程；
【解答】
11．已知函数f(x)＝12－x2.
(2) 设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．
【解答】
【解析】
B组 滚动小练
13．已知函数f(x)＝x2－mx－2.
(1) 若m＞0且f(x)的最小值为－3，求不等式f(x)＜1的解集；
【解答】
13．已知函数f(x)＝x2－mx－2.
(2) 当x2≤1时，不等式f(x)－2x＜0恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】
谢谢观赏第14讲-导数的几何意义和四则运算-专项训练【原卷版】
1．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝，当t＝3时，水面下降的速度为( )
A．－ cm/s B． cm/s
C．－ cm/s D． cm/s
2．设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1，其中＝－P，Q′是Q的导数，则商品价格P的取值范围是( )
A．(0,10) B．(10,20)
C．(20,30) D．(20，＋∞)
3．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝( )
A．0 B．2
C．－2 D．－1
4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 022(x)＝( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
5．(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)
C．f(3)－f(2)>f′(3)
D．f(3)－f(2)6．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
7．已知点P在曲线y＝x3－x上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．
8．请写出与曲线f(x)＝x3＋1在点(0,1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)＝________．
9．(1)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程；
(2)已知f(x)在R上可导，F(x)＝f(x3－1)＋f(1－x3)，求F′(1)的值．
10．已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为( )
A． B．
C． D．
11．(多选)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x
12．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________．
13．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．
(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
14．已知函数f(x)＝x2＋cos x的图象在点(t，f(t))处的切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象是( )
．
15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0．
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
第14讲-导数的几何意义和四则运算-专项训练【解析版】
1．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝，当t＝3时，水面下降的速度为( )
A．－ cm/s B． cm/s
C．－ cm/s D． cm/s
解析：B 由题意得，h′(t)＝＝，所以h′(3)＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B．
2．设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1，其中＝－P，Q′是Q的导数，则商品价格P的取值范围是( )
A．(0,10) B．(10,20)
C．(20,30) D．(20，＋∞)
解析：B 根据题意得＝－P＝－＝，由>1得－1>0，即>0，解得103．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝( )
A．0 B．2
C．－2 D．－1
解析：C 设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则解得所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此，f′(1)－f(1)＝1－3＝－2．故选C．
4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 022(x)＝( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析：C ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x－sin x．故选C．
5．(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)C．f(3)－f(2)>f′(3)
D．f(3)－f(2)解析：BCD f′(x0)的几何意义是f(x)在x＝x0处的切线的斜率．由题图知f′(2)>f′(3)>0，故A错误，B正确．设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则f(3)－f(2)＝＝kAB，由题图知f′(3)6．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
解析：AC 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选A、C．
7．已知点P在曲线y＝x3－x上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．
解析：∵y＝x3－x，∴y′＝3x2－1≥－1，∴tan α≥－1，∵0≤α<π，∴过P点的切线的倾斜角的取值范围是α∈∪．
答案：∪
8．请写出与曲线f(x)＝x3＋1在点(0,1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)＝________．
解析：f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，曲线f(x)＝x3＋1在点(0,1)处的切线方程为y＝1，所有在点(0,1)处的切线方程为y＝1的函数都是正确答案．
答案：x2＋1(答案不唯一)
9．(1)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程；
(2)已知f(x)在R上可导，F(x)＝f(x3－1)＋f(1－x3)，求F′(1)的值．
解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋2．设切线的斜率为k．可知原点在曲线上．
①当切点是原点时，k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x．
②当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)(x0≠0)，则有y0＝x－3x＋2x0，
k＝＝x－3x0＋2， (ⅰ)
又因为k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2． (ⅱ)
由(ⅰ)(ⅱ)得x0＝，k＝＝－．
所以所求曲线的切线方程为y＝－x．
综上，所求曲线的切线方程为y＝2x或y＝－x．
(2)由题知F′(x)＝3x2f′(x3－1)－3x2f′(1－x3)，则F′(1)＝3f′(0)－3f′(0)＝0．
10．已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为( )
A． B．
C． D．
解析：C 如图所示，若使|PQ|取得最小值，则曲线y＝－sin x(x∈[0，π])在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sin x求导得y′＝－cos x，令y′＝，可得cos x＝－，∵0≤x≤π，解得x＝．故选C．
11．(多选)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x
解析：ABC 对于A，由f(x)＝sin x＋cos x，得f′(x)＝cos x－sin x，则f″(x)＝－sin x－cos x＝－(sin x＋cos x)，因为x∈，所以f″(x)＝－sin x－cos x＝－(sin x＋cos x)<0，所以此函数是凸函数；对于B，由f(x)＝ln x－2x，得f′(x)＝－2，则f″(x)＝－，因为x∈，所以f″(x)＝－<0，所以此函数是凸函数；对于C，由f(x)＝－x3＋2x－1，得f′(x)＝－3x2＋2，则f″(x)＝－6x，因为x∈，所以f″(x)＝－6x<0，所以此函数是凸函数；对于D，由f(x)＝－xe－x，得f′(x)＝－e－x＋xe－x，则f″(x)＝e－x＋e－x－xe－x＝(2－x)e－x，因为x∈，所以f″(x)＝(2－x)e－x>0，所以此函数不是凸函数，故选A、B、C．
12．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________．
解析：函数f(x)＝ln(1＋x)，则f′(x)＝，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切线方程为y＝x．∴ln 2 022－ln 2 021＝ln＝f，根据以直代曲，x＝非常接近切点x＝0．∴可以将x＝代入切线近似代替f，即f≈．
答案：y＝x
13．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．
(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由题意并结合(1)中结论可知解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，解得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
14．已知函数f(x)＝x2＋cos x的图象在点(t，f(t))处的切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象是( )
解析：A 对f(x)求导，得f′(x)＝x－sin x，则k＝f′(t)＝g(t)＝t－sin t．由f′(－t)＝－f′(t)，可知f′(t)为奇函数，即k＝g(t)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B、D；又当t＝时，g＝－sin ＝－1<0，排除C．故选A．
15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0．
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2．
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1．
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9．
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2．
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9．
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1．
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9．
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0．