(共40张PPT)
1.2 常用逻辑用语
课标要求 考情分析
1.理解充分条件、必要条件、充 要条件的意义；理解判定定理与 充分条件、性质定理与必要条 件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意 义；能正确地对全称量词命题和 存在量词命题进行否定. 考点考法：本部分内容常与集合、函
数、不等式等知识交汇考查，属于低
频考点.多以选择题、填空题或解答题
中某一部分的形式呈现，属于低档题.
核心素养：数学运算、逻辑推理
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.充分条件、必要条件与充要条件
命题 真假 “若 ，则 ”为真命题 “若 ，则 ” 为假命题 “若 ，则 ”和“若 ，
则 ”都是真命题
推出 关系 ___ ___ ____
命题 真假 “若 ，则 ”为真命题 “若 ，则 ” 为假命题 “若 ，则 ”和“若 ，则
” 都是真命题
条件 关系 是 的______条件， 是 的______条件 不是 的 ______ 条件， 不是 的______条件 是 的__________条件，
简称______条件
[提醒] （1） 是 的充分不必要条件 且 ；
（2） 的充分不必要条件是 且 .
充分
必要
充分
必要
充分必要
充要
续表
2.全称量词和存在量词
类别 全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有__________的命题叫做全 称量词命题 含有__________的命题叫做存在
量词命题
命题 形式 “对 中任意一个 , 成 立”，可用符号简记为“______ ________” “存在 中的元素 ， 成
立”，可用符号简记为“__________
____”
全称量词
存在量词
,
,
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
命题 命题的否定 结论
全称量词命题 , _______________ 全称量词命题的否
定是__________命题
存在量词命题 , _______________ 存在量词命题的否
定是__________命题
[提醒] 对没有量词的命题进行否定时，要结合命题的含义先加上量词，再改变量词.
,
存在量词
,
全称量词
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）当 是 的必要条件时， 是 的充分条件.( )
√
（2） 不是 的必要条件时，“ ”成立.( )
√
（3）“并非 , ”是全称量词命题.( )
×
（4）命题“ , ”是真命题.( )
×
2.(2022·高考浙江卷)设 ,则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.由 ，得 ,则
,故充分性成立；又由 ，得
,而 或 ，故必要性不成立.所以“
”是“ ”的充分不必要条件，故选A.
√
3.（人A必修第一册P21例3（3）变条件）“ ”是“ ， ”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选B.因为 ， ，且 ， ，所以“ ”是“ , ”的必要不充分条件.
√
4.(2023·安徽芜湖模拟)命题 ， 的否定为 __________
________，且 是____命题.（填“真”或“假”）
，
假
解析：根据题意可得 ， ，而当 时，恒有 ， 故该命题为假命题.
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系
设 , .
①若 是 的充分条件，则 ;
②若 是 的充分不必要条件，则 ；
③若 是 的必要不充分条件，则 ；
④若 是 的充要条件，则 .
2.命题 与 的否定的真假性相反.
3. 是 的充分不必要条件等价于 是 的充分不必要条件，即 等价于 .
【用一用】
1.“ ”是“ 或 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.设 , 或 ,则 , 且
.可知 , ,即 是 的充分不必要条件.故 是
的充分不必要条件，即“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
√
2.(2023·山东临沂模拟)若“ ， ”是假命题，则实数
的取值范围是__________________.
解析：由题意得 ， 为真命题，所以 ，解得 .
核心考点 师生共研
02
考点一 充分条件、必要条件的判定（师生共研）
例1.（1）若 , ,则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由题意得 , ,即 ， ，故 是 的必要不充分条件，故选B.
√
（2）(2023·江苏南京、盐城第一次模拟)在等比数列 中，公比为 ,
,则 是数列 单调递减的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由题意知 的通项公式为 ,当 时，
,所以数列 单调递减，故充分性成立；若数列 单
调递减，则 ,即 ,故必要性成立.所以 是数
列 单调递减的充要条件，故选C.
√
充分条件、必要条件的2种判定方法
（1）定义法：根据 , 进行判断.
（2）集合法：根据 , 成立时对应集合之间的包含关系进行判断.
[注意] 判断充要条件需注意3点
（1）要分清条件与结论分别是什么.
（2）要从充分性、必要性两个方面进行判断.
（3）直接判断比较困难时，可举反例说明.
【对点训练】
1.(2023·江苏南京第一学期六校联合调研)设 , 为非零向量，则“存在负
数 ,使得 ”是“ ”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析：选 C.设 与 的夹角为 .若 , 为非零向量，当“存在负数 ，
使得 ”时， , 为方向相反的向量，其夹角 ,
；当“ ”时，
,所以 ,则 .此时 , 并不一定反
向，即不一定存在负数 ，使得 .所以“存在负数 ,使得 ”是
“ ”的充分不必要条件，故选 C.
2.设 , 表示两条不同的直线， 表示平面，且 ，则“ ”是“
”成立的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该
平面.所以由“ ”可得“ ”，充分性成立；反之亦成立.所以“ ”
是“ ”成立的充要条件.故选A.
√
考点二 充分条件、必要条件的探究与应用（一题多变）
例2 已知集合 ,非空集合
.若 是 的必要条件,求实数 的取值
范围.
【解】 由题意知 ,
由 是 的必要条件,知 .
则 解得 .
即实数 的取值范围是 .
【一题多变】
1.（变条件）本例中，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围.
解：若 是 的必要条件，则 ,
所以 ,所以 ,
则 解得 ，
故实数 的取值范围是 .
2.（变设问）若本例条件不变，问是否存在实数 ，使 是 的充
要条件.
解：若 是 的充要条件，则 ,
所以 方程组无解，
即不存在实数 ，使 是 的充要条件.
求参数问题的解题策略
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，然后根据集合间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
（2）要注意区间端点值的检验.
【对点训练】
1.（多选）使 成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
解析：选AB.由 得 ，依题意知，由选项组成的集合应是 的真子集，故选AB.
√
√
2.已知 , ,且 是 的必要不充分条件，则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选A.因为 ,所以 ,记 ; ,记 .因为 是 的必要不充分条件，所以 ，所以 ,解得 .故选A.
√
考点三 全称量词命题与存在量词命题（多维探究）
[高考考情] 含有量词的命题多与函数、方程、不等式结合，多以客观题的形式出现，也有可能出现在解答题中，属于中低档题.
角度1 含量词命题的真假判断与否定
例3.（1）(2023·辽宁大连模拟)已知命题 ， ，则
为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
解析：因为命题 ， ，所以 为 ，
.故选B.
√
（2）(2023·江西师大附中月考)（多选）下列命题为假命题的是( )
A. ，
B. ,
C. , ,
D. ,
解析：因为 ,所以 ，故A是假命题；
当 时， ,故B是假命题；
当 时, , 故C是真命题；
当 时， , ， ,故D是假命题，
故选ABD.
√
√
√
（1）全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
全称 量词 命题 ①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合 中的
每一个元素 ,证明 成立；②要判断一个全称量词命题是假命
题，只要能举出集合 中的一个特殊值 ，使 不成立
即可.
存在 量词 命题 要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合 中，找
到一个 ，使 成立即可，否则这一存在量词命题就是假
命题.
（2）含有量词的命题的否定
对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，必须要把命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定，即“改变量词，否定结论”.
角度2 含量词命题的应用
例4.（1）命题“ , ”为真命题的一个充分不必要条
件是( )
A. B. C. D.
解析：由题意得，当 时， 恒成立，则 ，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是 ，故选B.
√
（2）(2023·山东聊城一中高三期中)若命题“ , ”
是假命题，则实数 的取值范围是_______.
解析：因为命题“ , ”是假命题，
所以 ， ,
所以 ,即 ,所以 .
根据全称、存在量词命题的真假求参数的方法
（1）巧用三个转化
①全称量词命题可转化为恒成立问题；
②存在量词命题可转化为存在性问题；
③全称量词命题、存在量词命题为假命题可转化为它的否定为真命题.
（2）准确计算
通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或取值范围.
【对点训练】
1.命题“ , ,使得 ”的否定形式是( )
A. , ，使得
B. , ,使得
C. , ,使得
D. , ,使得
解析：选D. 改写为 , 改写为 ， 的否定是 ,则该命题的
否定形式为“ , ,使得 ”.
√
2.(2023·广东汕头达濠华侨中学高三阶段练习)“ ”是“ ，
”为真命题的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.若 ， ，则
，解得 ，因为 ，所以
“ ”是“ ， ”为真命题的充分不必
要条件.故选A.
√
3.若命题 ， 为真命题，则实数 的取值范围为
_ _______.
解析：当 时， 不恒成立，不满足题意；
所以 且 ，解得 .2025年高考数学一轮复习-1.2-常用逻辑用语-专项训练【原卷版】
1．命题“ x>2，log2x>1”的否定是( )
A． x>2，log2x≤1 B． x≤2，log2x≤1
C． x>2，log2x<1 D． x<2，log2x<1
2．1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，请问“没有共产党”是“没有新中国”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．△ABC中，“△ABC是钝角三角形”是“|＋|<||”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是( )
解析：C 选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．故选C．
6．“n>1”是“方程x2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(多选)命题“ x∈[1,2]，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥1 B．a≥4
C．a≥－2 D．a＝4
8．(多选)给出下列四个命题，其中为真命题的是( )
A．“ x∈(－∞，0)，2x>3x”的否定是“ x∈(－∞，0)，2x≤3x”
B． α，β∈R，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β
C．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
D．若z1，z2不是共轭复数，则|z1|≠|z2|
9．给出下列四个命题，其中真命题的序号是________．
①因为sin≠sin x，所以不是函数y＝sin x的周期；
②对于定义在R上的函数f(x)，若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
③“M>N”是“log2M>log2N”成立的充要条件；
④若实数a满足a2≤4，则a≤2．
10．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
11．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，3]
12．(多选)若a，b为正实数，则a>b的充要条件为( )
A．> B．ln a>ln b
C．aln a13．已知命题：“a，b∈R，且a＋b<0”．
(1)该命题的一个充分不必要条件是________；
(2)该命题的一个必要不充分条件是________．
2025年高考数学一轮复习-1.2-常用逻辑用语-专项训练【解析版】
1．命题“ x>2，log2x>1”的否定是( )
A． x>2，log2x≤1 B． x≤2，log2x≤1
C． x>2，log2x<1 D． x<2，log2x<1
解析：A 命题为全称量词命题，则命题的否定为 x>2，log2x≤1”．故选A．
2．1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，请问“没有共产党”是“没有新中国”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A 记条件p: “没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件．故选A．
3．已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A a2＞36等价于|a|＞6 a＞6或a＜－6，故a＞6 |a|＞6，即a2＞36，但|a|＞6a＞6，因此“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件．
4．△ABC中，“△ABC是钝角三角形”是“|＋|<||”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B 在△ABC中，若C为钝角，如图画出平行四边形ABDC，∴|＋|＝||，易知||>||，∴“△ABC是钝角三角形”不一定能推出“|＋|<||”；在△ABC中，A，B，C三点不共线，∵|＋|<||，∴|＋|<|－|，∴|＋|2<|－|2，∴·<0，∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形，∴“|＋|<||”能推出“△ABC是钝角三角形”，故“△ABC是钝角三角形”是“|＋|<||”的必要不充分条件，故选B．
5．设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是( )
解析：C 选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．故选C．
6．“n>1”是“方程x2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 当n<0时，方程x2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线；当n>0时，x2＋ny2＝1可化为x2＋＝1，因为椭圆的焦点在x轴上，所以1>，即n>1，故方程x2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的圆锥曲线时，n<0或n>1，故“n>1”是“方程x2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选A．
7．(多选)命题“ x∈[1,2]，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥1 B．a≥4
C．a≥－2 D．a＝4
解析：BD 命题“ x∈[1,2]，x2≤a”等价于a≥1，即命题“ x∈[1,2]，x2≤a”为真命题所对应集合为[1，＋∞)，所求的一个充分不必要条件的选项所对应的集合真包含于[1，＋∞)，显然只有B、D正确．故选B、D．
8．(多选)给出下列四个命题，其中为真命题的是( )
A．“ x∈(－∞，0)，2x>3x”的否定是“ x∈(－∞，0)，2x≤3x”
B． α，β∈R，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β
C．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
D．若z1，z2不是共轭复数，则|z1|≠|z2|
解析：ABC 对于A选项，“ x∈(－∞，0)，2x>3x”的否定是“ x∈(－∞，0)，2x≤3x”，A选项正确；
对于B选项，取α＝β＝0，则sin(α＋β)＝sin 0＝sin 0＋sin 0＝sin α＋sin β，B选项正确；
对于C选项，解不等式x2－3x＋2>0得x<1或x>2，因为{x|x>2}?{x|x<1或x>2}，所以“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，C选项正确；
对于D选项，取z1＝1＋i，z2＝－1＋i，此时z1，z2不是共轭复数，但|z1|＝|z2|＝，D选项错误．故选A、B、C．
9．给出下列四个命题，其中真命题的序号是________．
①因为sin≠sin x，所以不是函数y＝sin x的周期；
②对于定义在R上的函数f(x)，若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
③“M>N”是“log2M>log2N”成立的充要条件；
④若实数a满足a2≤4，则a≤2．
解析：因为当x＝时，sin≠sin x，所以由周期函数的定义知不是函数y＝sin x的周期，故①正确；对于定义在R上的函数f(x)，若f(－2)≠f(2)，由偶函数的定义知函数f(x)不是偶函数，故②正确；当M＝1，N＝0时不满足log2M>log2N，则“M>N”不是“log2M>log2N”成立的充要条件，故③错误；若实数a满足a2≤4，则－2≤a≤2，所以a≤2成立，故④正确．所以真命题的序号是①②④．
答案：①②④
10．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在上是增函数，在上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．
答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)
11．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，3]
解析：A 由条件p：|x＋1|>2，解得x>1或x<－3，故綈p：－3≤x≤1，由条件q：x>a得綈q：x≤a，∵綈p是綈q的充分不必要条件，∴a≥1，故选A．
12．(多选)若a，b为正实数，则a>b的充要条件为( )
A．> B．ln a>ln b
C．aln a解析：BD 因为> b>a，故A选项错误；
因为a，b为正实数，所以ln a>ln b a>b，故B选项正确；
取a＝e2，b＝e，则e2lne2＝2e2，eln e＝e，且2e2>e，即aln a>bln b，故C选项错误；
设y＝ex－x，因为y′＝(ex－x)′＝ex－1，当x>0时，y′>0，所以y＝ex－x在x∈(0，＋∞)上单调递增，即a>b ea－a>eb－b a－b13．已知命题：“a，b∈R，且a＋b<0”．
(1)该命题的一个充分不必要条件是________；
(2)该命题的一个必要不充分条件是________．
解析：(1)根据充分不必要条件，可知“a，b∈R，且a＋b<0”的一个充分不必要条件是“a<0且b<0”，a<0且b<0能推出a＋b<0，但a＋b<0不能推出a<0且b<0；
(2)该命题一个必要不充分条件是“a＋b<1，a，b中至少有一个小于0”，即a＋b<0能推出a＋b<1，a，b中至少有一个小于0，但反过来，a＋b<1，a，b中至少有一个小于0，不能推出a＋b<0．
答案：(1)a<0且b<0(答案不唯一)
(2)a＋b<1，a，b中至少有一个小于0(答案不唯一)
