2025年高考数学一轮复习-4.2.1-指数函数的概念-专项训练
1.函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（ ）
A. B.
C.3 D.2
2.已知指数函数f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上单调递增，则实数a＝（ ）
A. B.1
C. D.2
3.函数y＝图象的大致形状是（ ）
4.已知a＝，b＝，c＝2，则（ ）
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
5.函数y＝（的单调递增区间是（ ）
A.[1，2] B.[1，3]
C.（－∞，2] D.[2，＋∞）
6.（多选）已知f（x）＝，则（ ）
A.f（x）为奇函数 B.f（x）为偶函数
C.f（x）为增函数 D.f（x）为减函数
7.已知函数f（x）＝ax－2＋1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝n－mx的图象不经过第 象限.
8.已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝ .
9.写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函数f（x）＝ .
10.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）.
（1）若f（x）的图象如图①所示，求实数a，b的取值范围；
（2）若f（x）的图象如图②所示，｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围.
11.已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，则在不等式a3x＋1＞a－2x中，x的取值范围是（ ）
A.（－∞，－） B.（－，＋∞）
C.（－∞，－）∪（－，＋∞） D.R
12.设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）＝取函数f（x）＝2－｜x｜.当K＝时，函数fK（x）的单调递增区间为（ ）
A.（－∞，0） B.（0，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（1，＋∞）
13.（多选）若函数f（x）＝a＋（x∈R）是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A.a＝－1 B.f（x）是增函数
C.f（x）是减函数 D.不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0的解集为
14.已知函数f（x）＝2x的定义域是[0，3]，设g（x）＝f（2x）－f（x＋2）.
（1）求g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最大值和最小值.
15.已知定义域为R的函数f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是奇函数.
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）＜0，判断函数f（x）的单调性，若f（m2－2）＋f（m）＞0，求实数m的取值范围.
参考答案与解析
1.C 因为＞1，所以指数函数f（x）＝（）x为增函数，所以当x＝2时，函数取得最大值，且最大值为3.
2.D 由题意得2a2－5a＋3＝1， ∴2a2－5a＋2＝0， ∴a＝2或a＝.当a＝2时，f（x）＝2x在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；当a＝时，f（x）＝（）x在（0，＋∞）上单调递减，不符合题意.∴a＝2.
3.C ∵y＝＝∴根据指数函数图象即可判断选项C符合.
4.A 由a＝＝，b＝＝，c＝2＝，所以b＜a＜c.故选A.
5.D y＝（＝，∵y＝3x是增函数，y＝x2－4x在（－∞，2）上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增，∴y＝在（－∞，2）上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增.故选D.
6.AD f（x）的定义域为R，关于原点对称，因为f（－x）＝＝＝－＝－f（x），所以f（x）为奇函数，A正确，B错误；因为f（x）＝＝－1，且y＝2x为增函数，所以y＝1＋2x为增函数，所以y＝－1为减函数，即f（x）为减函数，C错误，D正确.故选A、D.
7.三 解析：易知f（x）的图象恒过定点（2，2），所以m＝n＝2，所以g（x）＝2－2x，所以g（x）为减函数，且其图象过点（0，1），（1，0），所以g（x）的图象不经过第三象限.
8.或 解析：当0＜a＜1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0（舍去）.当a＞1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0（舍去）.综上所述，a＝或a＝.
9.1－（答案不唯一） 解析：f（x）＝1－，理由如下：∵y＝为R上的减函数，且＞0，
∴f（x）＝1－为R上的增函数，且f（x）＝1－＜1，∴f（x）＝1－符合题意.
10.解：（1）由f（x）＝ax＋b为减函数可得0＜a＜1，
又f（0）＝1＋b＜0，解得b＜－1，
所以实数a的取值范围为（0，1），实数b的取值范围为（－∞，－1）.
（2）题图②中f（0）＝1＋b＝－2，所以b＝－3，函数y＝｜f（x）｜的图象如图所示.
由图象可知若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，则m＝0或m≥3，所以m的取值范围为{0}∪[3，＋∞）.
11.A ∵函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，∴a－1＜0，即a＜1，∵a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，∴y＝ax是减函数，又a3x＋1＞a－2x，∴3x＋1＜－2x，∴x＜－，即x∈（－∞，－）.
12.C 当K＝时，由f（x）＝2－｜x｜＞，得－1＜x＜1，由f（x）＝2－｜x｜≤，得x≤－1或x≥1，∴（x）＝∴（x）的单调递增区间为（－∞，－1）.
13.ACD 因为f（x）＝a＋（x∈R）是奇函数，所以f（0）＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1，A正确；因为y＝2x＋1为增函数，且y＝2x＋1＞1，所以y＝为减函数，所以f（x）是减函数，B不正确，C正确；
因为f（x）是奇函数，所以不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0等价于不等式f（2t＋1）≤f（5－t），因为f（x）是减函数，所以2t＋1≥5－t，解得t≥，D正确.故选A、C、D.
14.解：（1）因为f（x）＝2x，
所以g（x）＝f（2x）－f（x＋2）＝22x－2x＋2.
因为f（x）的定义域是[0，3]，
所以
解得0≤x≤1.
即g（x）定义域为[0，1].
（2）g（x）＝（2x）2－4×2x＝（2x－2）2－4.
因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]，
所以当2x＝2即x＝1时，g（x）取得最小值－4；
当2x＝1即x＝0时，g（x）取得最大值－3.
15.解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）＝a0－（k－1）a0＝1－（k－1）＝0，∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
（2）由（1）得f（x）＝ax－a－x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a－＜0，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
∴y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，
故由单调性的性质可判断f（x）＝ax－a－x为减函数，
不等式f（m2－2）＋f（m）＞0可化为f（m2－2）＞f（－m），
∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，
∴实数m的取值范围是（－2，1）.(共27张PPT)
4.2.1 指数函数的概念
第四章 4.2 指数函数
1
知识梳理
PART ONE
知识点一 指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
y＝ax
R
思考 为什么底数应满足a>0且a≠1
答案 ①当a≤0时，ax可能无意义；
②当a>0时，x可以取任何实数；
③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
知识点二 两类指数模型
1.y＝kax(k>0)，当 时为指数增长型函数模型.
2.y＝kax(k>0)，当 时为指数衰减型函数模型.
a>1
0
1.y＝xx(x>0)是指数函数.( )
2.y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数.( )
3.y＝ 是指数衰减型函数模型.( )
4.若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.( )
×
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号)
一、指数函数的概念
③
解析 ①中指数式( )x的系数不为1，故不是指数函数；
②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；
④中指数不是x，故不是指数函数；
⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.
2
解析 由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，
跟踪训练1 (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则
A.a＝1或－1 B.a＝1
C.a＝－1 D.a>0且a≠1
√
解析 因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，
(2)若函数y＝(2a－3)x是指数函数，则实数a的取值范围是__________________.
二、求指数函数的解析式、函数值
125
解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
∴函数f(x)为指数衰减型，
又f(0)＝3，∴k＝3，
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________.
7
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
例3 甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
解 1年后甲城市人口总数为
y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后甲城市人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后甲城市人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)3；
…；
x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x.
x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x.
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；
解 10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.
10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113 126 139
(3)对两城市人口增长情况作出分析.
参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.
解 甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.
从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.
跟踪训练3 中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高.
设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：
①(1＋p%)×10＝2； ②(1＋p%)10＝2；
③10(1＋p%)＝2； ④1＋10×p%＝2.
其中正确的是
A.① B.② C.③ D.④
√
解析 已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.
则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1＋p%)10＝2；
正确的关系式为②.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
1.下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
√
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，y＝3x，3x的系数是1，指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.
所以只有③是指数函数.故选B.
2.若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于
A.－1或2 B.－1 C.2 D.
1
2
3
4
5
√
解得m＝2(舍m＝－1)，故选C.
1
3
4
5
2
3.如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为
x －2 －1 0 1 2 3
y 1 4 16 64
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.幂函数模型
√
解析 观察数据可得y＝4x.
1
3
4
5
2
4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是
A.y＝2x B.y＝2x－1 C.y＝2x D.y＝2x＋1
√
解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后变成4×2＝23(个)，…，分裂x次后变成y＝2x＋1(个).
1
3
4
5
2
5.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
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