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第六章 平面向量、复数
第1讲 平面向量的概念及线性运算
课标要求 考情分析
1.了解向量的实际背景，理解平面向 量的概念和两个向量相等的含义，理 解向量的几何表示. 2.掌握向量加法、减法的运算，理解 其几何意义. 3.掌握向量的数乘运算及其几何意 义，理解两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算的性质及其几何 意义. 考点考法：虽然近两年在本讲没
有直接命题，但在考查其他知识
点时，经常涉及向量的加法、减
法运算，数乘运算以及它们的几
何意义.
核心素养：数学抽象、直观想
象、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的____.
（2）零向量：长度为___的向量，其方向是任意的.
（3）单位向量：长度等于_____________的向量.
（4）平行向量：方向相同或______的非零向量，又叫共线向量，规定：0
与任意向量平行.
方向
模
0
1个单位长度
相反
（5）相等向量：长度相等且方向______的向量.
（6）相反向量：长度相等且方向______的向量.
[提醒] 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量
平行的单位向量有两个，即向量 和 .
相同
相反
2.向量的线性运算
向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和 的运算 _________________________________ 交换律：
______;
结合律：
_____
______
向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
减法 求两个向量差 的运算 ______________________________
续表
向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
数乘 求实数 与向 量 的积的运 算 ______，当 时, 与 的方向______； 当 时, 与 的方向__ ____； 当 时， ___ _______;
_______
__;
__________
续表
相同
相反
[提醒] 向量加法的多边形法则：
多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接， 表示从始点指向终点的向量.
3.向量共线定理
向量 与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使________.
[提醒] 只有 才能保证实数 的存在性和唯一性.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( )
×
（2）若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.( )
×
（3）若向量 与向量 是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.
( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在 中，点 在边 上， .记
, ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选B.由题知 ，即 ，所以 .故选B.
√
3.（人A必修第二册 习题 变条件）化简：
（1） ____；
解析：原式 .
（2） ___.
解析：原式 .
4.已知向量 , 是两个不共线的向量，若 与
共线，则 _ ___.
解析：因为 与 共线，所以存在实数 ，使 ,所以
，所以
解得 .
1.若 为线段 的中点, 为平面内任一点,则
2.若 为 的重心，则有
（1） ;（2） .
3. （ , 为实数），若点 , , 共线，则 .
【用一用】
1.(2023·甘肃平凉模拟)在四边形 中， ，点 是 的中点，
点 是 的中点，则 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C.在 中，
.故选C.
√
2.(2023·陕西安康模拟)在 中，点 满足 ， 为 上一
点，且 , ，则 _ _.
解析：因为 ，所以 ，
则 .
因为 ， ， 三点共线，
所以 ，所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 平面向量的有关概念（自主练透）
1.下列命题正确的是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以错误.
对于B，两个向量不能比较大小，所以错误.对于C，向量平行只是方向相
同或相反，不能得到向量相等，所以错误.对于D，若一个向量的模等于0，
则这个向量是 ,所以正确.
√
2.设 ， 都是非零向量，则下列四个条件中，使 成立的充分条件
是( )
A. B.
C. D. 且
√
解析：选 C.因为向量 的方向与向量 相同，向量 的方向与向量 相同，且 ，所以向量 与向量 方向相同，故可排除选项A，B，D.
当 时， ，故“ ”是“ ”成立的充分条件.
3.（多选）给出下列命题，正确的有( )
A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B.若 与 共线，则 ， ， 三点在同一条直线上
C. 的充要条件是 且
D.“若 ， ， ， 是不共线的四点，且 ” “四边形 是
平行四边形”
√
√
解析：选 选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因
为 与 共线，且有公共点 ，所以 ， ， 三点在同一条直线上，
所以B正确；C选项，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到
，所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条
件，所以C错误；D选项， ， ， ， 是不共线的点， ，即
模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以
D正确.
平面向量有关概念的四个关注点
（1）相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
（2）共线向量即为平行向量,它们均与起点和终点无关.
（3）向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混淆.
（4）非零向量 与 的关系： 是与 同方向的单位向量.
考点二 平面向量的线性运算（多维探究）
[高考考情] 平面向量的运算是每年的必考内容，其中线性运算是指向量的加法、减法及数乘运算，常以平面图形为载体，考查平行四边形法则、三角形法则，属于低档题，题目多以选择题、填空题的形式出现.
角度1 向量加、减法的几何意义
例1.（1）(2023·山东临沂模拟)已知在边长为2的等边三角形 中，向量
, 满足 , ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：如图所示，设点 是 的中点，由题可知
,所以
. 故选C.
√
（2）若向量 , ，且 ，则向量 与向量
所在直线的夹角是_ _.（用弧度表示）
解析：设 , ,以 ， 为邻边作
， 如图所示，则 , .
因为 ,所以 ,
所以 是等边三角形，所以 .
在菱形 中，对角线 平分 ，
所以向量 与向量 所在直线的夹角为 .
利用向量加、减法的几何意义解决问题的方法
（1）根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题.
（2）平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向量知识来求解.
角度2 向量的线性运算
例2 (2023·广东深圳模拟)如图所示，在 中，点 是线段 上靠近
点 的三等分点，点 是线段 的中点，则 ( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得
.故选B.
√
平面向量的线性运算的求解策略
角度3 根据向量线性运算求参数
例3 (2023·贵州贵阳五校联考)在 中， 为 边上的中线， 为
的中点，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：因为 为 的中点， 为 的中点，
方法一：所以
.
方法二：所以
.
因为 ，
所以 , ,则 ，故选C.
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
【对点训练】
1.(2023·四川成都七中诊断)如图， 是圆 的一条直
径， ， 为半圆弧的两个三等分点，则 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D.连接 （图略），因为 ， 是半圆弧的三等分点，所以
，且 ，因此 .
√
2.在四边形 中，若 ，且 ，则四
边形 为( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形
解析：选C.因为 ，所以四边形 是平行四边形.
又 ，
所以平行四边形 的对角线相等，
因此该四边形是矩形.故选C.
√
3.(2023·河南八市联考改编)在等腰梯形 中， ，点 是线
段 的中点，若 ，则 _ _， __.
解析：取 的中点 ，连接 （图略），则由题意可得 ，且
.
因为
，所以 ， .
考点三 向量共线定理的应用（师生共研）
例4 设 ， 是两个不共线的向量，已知 ，
， .
（1）求证： ， ， 三点共线；
【解】证明：由已知得
.
因为 ，所以 .
又 与 有公共点 ，所以 ， ， 三点共线.
（2）若 ，且 ，求实数 的值.
【解】 由（1）知 ，若 ，且 ，
可设 ,
所以 ，即 .
又 ， 是两个不共线的向量，
所以 解得 .
设 ， 是两个不共线的向量，已知 ，
， .
[注意]证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点.
【对点训练】
1.在四边形 中， , , ，则
四边形 的形状是( )
A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对
解析：选 C.由已知，得
，故 .
又因为 与 不平行，所以四边形 是梯形.
√
2.已知向量 , 不共线，且 ， ,若 与 共
线反向，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
解析：选B.由于 与 共线反向，则存在实数 使 ，于是
，整理得 .由于 ,
不共线，所以有 整理得 ，解得 或
.又因为 ，所以 ，故 .故选B.
√2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算
一、基本技能练
1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A.4 B.3
C.2 D.0
2.已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为( )
A.a B.a
C.b D.b
3.设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A.20 B.15
C.9 D.6
4.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n等于( )
A.0 B.1
C.2 D.3
5.(多选)设向量a＝(－1，1)，b＝(0，2), 则( )
A.|a|＝|b| B.(a－b)∥b
C.(a－b)⊥a D.a与b的夹角为
6.我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
7.已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝________.
8.已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2).若向量a与向量kb＋c共线，则实数k＝________.
9.已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为________.
10.在同一平面中，＝，＝2.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.
11.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π].
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
12.在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2.
(1)若∠ABD＝，求BC的长；
(2)若AC＝3，求cos∠BAD.
二、创新拓展练
13.点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC一定是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
14.(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
A.·＝－1
B.＋＝0
C.|＋＋|＝
D.在方向上的投影向量的长度为
15.在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且MN＝，若·(－)＝，则·＝________.
16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1).
(1)若λ＝，证明：△ABC为直角三角形；
(2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值.
参考答案与解析
一、基本技能练
1.答案 B
解析 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
2.答案 A
解析 ∵向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×＝2，
∴2a－b在a方向上的投影向量为a.
3.答案 C
解析 ＝＋，
＝－＝－＋，
∴·
＝·
＝2－2
＝×36－×16＝9，选C.
4.答案 C
解析 如图，连接AO，由O为BC的中点可得，
＝(＋)＝＋，
∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1.
∴m＋n＝2.
5.答案 CD
解析 ∵a＝(－1，1)，b＝(0，2)，
a－b＝(－1，－1)，
对于A，|a|＝，|b|＝2，
∴|a|≠|b|，故A错误；
对于B，－1×2－(－1)×0≠0，
∴a－b与b不平行，故B错误；
对于C，(a－b)·a＝－1×(－1)＋(－1)×1＝0，
∴(a－b)⊥a，故C正确；
对于D，cos〈a，b〉＝＝＝，
又a与b的夹角范围是[0，π]，
∴a与b的夹角为，故D正确.
6.答案 B
解析 ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝－＋，
解得＝＋，
即＝a＋b，故选B.
7.答案 5
解析 由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.
8.答案 1
解析 已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2)，
所以kb＋c＝(－2k＋3，k＋2)，
因为向量a与向量kb＋c共线，
所以k＋2＝3×(－2k＋3)，解得k＝1.
9.答案 π
解析 设a与b的夹角为θ，
由(a＋b)⊥a，
得(a＋b)·a＝0，
即a·b＝－a2，
又cos θ＝＝＝
＝－，且0≤θ≤π，
则θ＝π.
10.答案
解析 由题意得，＝，＝，
故＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋
＝＋，
所以m＝，n＝，
故m＋n＝.
11.(1)若a⊥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)由题意，得－cos x＋sin x＝0，
所以tan x＝，
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝－cos x＋sin x
＝2sin，
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
所以sin∈，
所以f(x)∈[－，2]，
即f(x)的最大值为2，此时x－＝，则x＝；
f(x)的最小值为－，此时x－＝－，则x＝0.
12.解 (1)在△ABD中，AB＝4，AD＝2，∠ABD＝，
由正弦定理得＝，
所以sin∠ADB＝＝1，
因为0<∠ADB<π，
所以∠ADB＝.
所以BD＝2，
所以DE＝BE＝，AE＝.
所以cos∠AED＝cos∠BEC＝.
因为＝2，
所以EC＝.
由余弦定理得
BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cos∠BEC＝2＋－2×××＝，
所以BC＝.
(2)法一 因为AC＝3，＝2，
所以AE＝2.
设DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得
cos∠ADB＝.
在△AED中，由余弦定理得
cos∠ADB＝，
所以＝，
解得x＝2，
所以BD＝4.
在△ABD中，由余弦定理得
cos∠BAD＝
＝＝－.
法二 因为AC＝3，＝2，
所以||＝2，
在△ABD中，E为BD的中点，
所以＋＝2，
平方得||2＋||2＋2·
＝4||2，
即16＋8＋2×4×2×cos∠BAD＝16，
解得cos∠BAD＝－.
二、创新拓展练
13.答案 B
解析 因为点P是△ABC所在平面内一点，
且|－|－|＋－2|＝0，
所以||－|(－)＋(－)|＝0，
即||＝|＋|，
所以|－|＝|＋|，
等式两边平方并化简得·＝0，
所以⊥，∠BAC＝90°，
则△ABC一定是直角三角形.
14.答案 BCD
解析 因为＝，△ABC是等边三角形，
所以CE⊥AB，
所以·＝0，选项A错误；
以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，
设O(0，y)，y∈(0，)，
则＝(1，y)，＝，
又∥，
所以y－＝－y，
解得y＝，
即O是CE的中点，＋＝0，
所以选项B正确；
|＋＋|＝|2＋|＝||＝.所以选项C正确；
＝，＝(1，)，
在方向上的投影向量的长度为＝＝，所以选项D正确.
15.答案 －2
解析 因为点M，N分别是AD，BC的中点，所以＝＋＝(－)，
则有·(－)
＝(－)·(－)
＝(－)·(＋－)
＝(－)·(＋)＝.
又因为AB＝2，所以CD＝1，
则由＝(－)两边平方化简得
5＝||2－2·，
即·＝＝－2.
16.(1)证明 ∵λ＝，∴a＋b＝c，
由正弦定理得sin A＋sin B＝sin C，
∵C＝，∴sin B＋sin＝，
即sin B＋cos B＋sin B＝，
∴sin B＋cos B＝，
即sin B＋cos B＝，
则sin＝，
又B∈(0，π)，从而B＋＝或B＋＝，
解得B＝或B＝.
若B＝，则A＝，△ABC为直角三角形；
若B＝，△ABC也为直角三角形.
所以△ABC为直角三角形.
(2)解 若·＝λ2，
即||||cos C＝λ2，又C＝，
则ab＝λ2，
∴ab＝λ2.
由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcos C，
即a2＋b2－ab＝c2＝9，
即(a＋b)2－3ab＝9，
又a＋b＝3λ，故9λ2－λ2＝9，
解得λ2＝4，
又λ>1，∴λ＝2.
