第01讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（含答案） 学案 备战2025年高考数学一轮复习学案（新高考通用）

第 01 讲 函数及其性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
（12 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断指数函数的单调性
2024 年新 I 卷，第 6 题,5 分 根据分段函数的单调性求参数
判断对数函数的单调性
求函数值
2024 年新 I 卷，第 8 题,5 分 比较函数值的大小关系
抽象函数的关系
函数奇偶性的定义与判断 根据函数零点的个数求参数范围
2024 年新Ⅱ卷，第 6 题,5 分
函数奇偶性的应用 求余弦(型)函数的奇偶性
函数单调性、极值与最值的综合应用
2024 年新Ⅱ卷，第 11 题,6 分 函数对称性的应用 利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
2023 年新 I 卷，第 4 题,5 分 复合函数的单调性 函数的单调性求参数值
2023 年新 I 卷，第 11 题,5 分 函数奇偶性的定义与判断 函数极值点的辨析
2023 年新Ⅱ卷，第 4 题,5 分 函数奇偶性的应用 奇偶性求参数
抽象函数的奇偶性
2022 年新 I 卷，第 12 题,5 分 函数与导函数图象之间的关系
函数对称性的应用
2022 年新Ⅱ卷，第 8 题,5 分 函数奇偶性的应用 抽象函数的周期性求函数值
2021 年新 I 卷，第 13 题,5 分 由奇偶性求参数 无
2021 年新Ⅱ卷，第 8 题,5 分 函数奇偶性的应用 函数的周期性的定义与求解
2021 年新Ⅱ卷，第 14 题,5 分 函数奇偶性的定义与判断 基本初等函数的导数公式
2020 年新 I 卷，第 8 题,5 分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2020 年新Ⅱ卷，第 7 题,5 分 复合函数的单调性 对数函数单调性
2020 年新Ⅱ卷，第 8 题,5 分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为 5-6 分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、
周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
知识讲解
1. 函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值
x1，x2
定义
当 x1f(x2)，那么就说函数
在区间 D 上是增函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间．
(3)函数的最值
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； (3)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M；
条件
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M (4)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M 为最大值 M 为最小值
2. 单调性的常见运算
（1）单调性的运算
①增函数（↗） 增函数（↗） 增函数↗ ②减函数（↘） 减函数（↘） 减函数↘
③ f (x) 为↗，则 f (x) 1为↘， 为↘ ④增函数（↗） 减函数（↘） 增函数↗
f (x)
⑤减函数（↘） 增函数（↗） 减函数↘ ⑥增函数（↗） 减函数（↘） 未知（导数）
（2）复合函数的单调性
函数f x h g x ,设u g x ,叫做内函数，则f x h u 叫做外函数，
内函数 ，外函数 ， 复合函数

内函数 ，外函数 ， 复合函数
结论：同增异减
内函数 ，外函数 ， 复合函数
内函数 ，外函数 ， 复合函数
3. 奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数： f x f (x)，图象关于原点对称
偶函数： f x f x ，图象关于 y 轴对称
③奇偶性的运算
4. 周期性（差为常数有周期）
①若 f x a f x ，则 f x 的周期为：T a
②若 f x a f x b ，则 f x 的周期为：T a b
③若 f x a f x ，则 f x 的周期为：T 2a （周期扩倍问题）
1
④若 f x a ，则 f x 的周期为：T 2a （周期扩倍问题）f x
5. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若 f x a a f x ，则 f x 的对称轴为 x
2
②若 f x a f x b a b ，则 f x 的对称轴为 x
2
点对称
f x a f x f x a ①若 ，则 的对称中心为 , 0
2
②若 f x a f x b c ，则 f x a b , c 的对称中心为
2 2
6. 周期性对称性综合问题
①若 f a x f a x ， f b x f b x ，其中 a b，则 f x 的周期为：T 2 a b
②若 f a x f a x ， f b x f b x ，其中 a b，则 f x 的周期为：
T 2 a b
③若 f a x f a x ， f b x f b x ，其中 a b，则 f x 的周期为：
T 4 a b
7. 奇偶性对称性综合问题
①已知 f x 为偶函数， f x a 为奇函数，则 f x 的周期为：T 4 a
②已知 f x 为奇函数， f x a 为偶函数，则 f x 的周期为：T 4 a
考点一、根据函数解析式判断函数单调性
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
x
A f x x B f x 2 C f x x2． ． ． D． f x 3 x
3
2．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在 0, 上单调递减的是（ ）
A x． f x 2 B． f x x3
lnx, x > 0,
C． f x 1 x D． f x
x ln x , x < 0
1．（2024·全国·一模）下列函数中在区间 (0, )上单调递减的是（ ）
A． y cos x B． y 2 x C． y = x-2 D． y x2 1
2．（2024·吉林·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间 0, 上单调递增的是（ ）
2
A ． f x x 3 B． f x tanx C． f x x
3 1 D． f x lnx
x
考点二、根据函数的单调性（含分段函数）求参数值
1 2023· · f x 2x x a ．（ 全国 高考真题）设函数 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2,0
C． 0,2 D． 2,
x2 2ax a, x < 0
2．（2024·全国·高考真题）已知函数 f (x) x 在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
e ln(x 1), x 0
A． ( ,0] B．[ 1,0] C．[ 1,1] D．[0, )
1 2024· · f x ex x t ．（ 黑龙江大庆 模拟预测）函数 在 2,3 上单调递减，则 t 的取值范围是（ ）
A． 6, B． ,6
C． , 4 D． 4,
loga x, x 1
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x x2 2 a 1 x a > 0 a 1 a 6, x <1（ 且 ）在定义域内是增函
数，则 a的取值范围是（ ）
A． 2,3 B． 2, C． 2,3 D． 1,4
考点三、根据函数单调性解不等式
1．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数 f x 在R 上单调递增，且 f 2 1，则不等式 f x 1 < 0的解集为
（ ）
A． 1,1 B． 2,2 C． 2, D． , 2
2．（2020·山东·高考真题）若定义在 R 的奇函数 f(x)在 ( ,0)单调递减，且 f(2)=0，则满足 xf (x 1) 0的 x
的取值范围是（ ）
A．[ 1,1]U[3, ) B．[ 3, 1]U[0,1]
C．[ 1,0] [1, ) D．[ 1,0] [1,3]
3 2024· · f x sin x ex x．（ 四川南充 二模）设函数 e x 3，则满足 f (x) f (3 2x) < 6的 x 的取值范围是
（ ）
A． ,1 B． 1, C． 3, D． ,3
1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 f x x x ，则关于 x 的不等式 f 2x > f 1 x 的解集为（ ）
1 , , 1 1 1A． B．

C． ,13 3 3
D． 1,
3
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x 3x 3 x ，则不等式 f 2x 1 f x > 0的解集为 （ ）
1 1 1
A． ,

1,
, B． C． ，1 D． 1，
3 3 3
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 3x 2 32 x，则满足 f x f 8 3x > 0的 x 的取值范围是（ ）
A． , 4 B． , 2 C． 2, D． 2,2
考点四、根据函数单调性比较函数值大小关系
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 f (x) 的定义域为 R， f (x) > f (x 1) f (x 2)，且当 x < 3时 f (x) x，
则下列结论中一定正确的是（ ）
A． f (10) >100 B． f (20) >1000
C． f (10) <1000 D． f (20) <10000
2 2
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x e ( x 1) ．记a f ,b f 3 ,c f 6 ，则（ ）
2 2 2

A．b > c > a B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
3．（2024·宁夏银川·二模）定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x 2)为偶函数，且当 x1 < x2 < 2时，
5
[ f (x2 ) f (x1)](x2 x1) > 0恒成立，若 a f (1) ，b f (ln10)， c f (34 )，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C． b < a < c D． c < a < b
1 2024· · f x x3

x a f 3 1．（ 辽宁丹东 二模）已知函数 ， ，b f (log 3)

3 2 ，
c f ，则（2 ）
A． a < c < b B． a < b < c C． c < b < a D． c < a < b
1
2．（2024·北京·模拟预测）函数 f x 2 ，记 a f
1 ,b f 3 0.5 ,c 1 f log x 1 2 5 2 ，则（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c3．（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在R 上的偶函数 f x 在 0, 3 上单调递增，则 f ln , f
1 2
2
, f e
3
的大小关系为（ ）
f 3 1 2 3 A 2
1
． ln 2
> f > f e B． f ln > f e > f3 2 3
1 3 1 3
C． f > f
2
3
ln > f e D． f > f e 2 > f ln
2 3 2
考点五、根据函数的奇偶性求参数值
x
1．（2023·全国·高考真题）已知 f (x) xe ax 是偶函数，则a （ ）e 1
A． 2 B． 1 C．1 D．2
2x 1
2．（2023·全国·高考真题）若 f x x a ln 为偶函数，则a （ ）．
2x 1
A． 1 B 0 C 1． ． 2 D．1
2 π
3．（2023·全国·高考真题）若 f x x 1 ax sin x 2 为偶函数，则
a ．

1 3 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x x x ln x a x x R 为奇函数，则a （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 2
m
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数 f x sin x 1 x 是偶函数，则m 的值是（1 e ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
a ×ex x2 x 1, x > 0
3．（2024·上海奉贤·三模）若函数 y 2 为奇函数，则 a b c ．
x bx c 1, x < 0
考点六、抽象函数奇偶性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
f (x) ax2 b．若 f 0 f 3 6 f 9 ，则 2 （ ）
9 3 7 5
A． B． C． D．
4 2 4 2
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 y f x 1 1为奇函数，则
f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 （ ）
A． 14 B．14 C． 7 D．7
3．（2024·河南·三模）（多选）定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (xy 1) f (x) f (y) f (y) x，则（ ）
A． f (0) 0 B． f (1) 0
C． f (x 1)为奇函数 D． f (x) 单调递增
1．（2024·广东茂名·模拟预测）（多选）已知函数 f x 的定义域为 R，
f x y f x 3 3 y f x f y ， f 0 0 ，则（2 2 ）
f 3 A． 0 B．函数 f x 是奇函数 C． f 0 2 D． f x 的一个周期为 3
2
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数 f x 的定义域为R ， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，
f x f xx , x 1,2 x x 1 2 且对任意的 1 2 ， 1 2 ，都有 > 0，则（x ）1 x2
A． f x 是奇函数 B． f 2023 0
C． f x 的图象关于 1,0 对称 D． f π > f e
考点七、函数周期性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 的定义域为R ， f x 2 为偶函数， f 2x 1 为奇函数，则（ ）
f 1A．

0 B2 ．
f 1 0 C． f 2 0 D． f 4 0

2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知函数 f x 对任意的 x ， y R，都有
f x y f x y 2 f x f y ，且 f 0 0 ， f 2 1，则（ ）
100
A 2． f 0 1 B． f x 是奇函数 C． f x 的周期为 4 D． n f n 5100 ， n N*
n 1
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知可导函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，若 f x 是奇
函数， f 2 f 1 0 ，且对任意 x, y R ，恒有 f x y f x f y f x f y ，则一定有（ ）
f 1 1A． B． f 9 0
2
242 242
C． f (k) 1 D． f (k) 1
k 1 k 1
1．（2024·重庆·三模）已知 f x 是定义域为R 的奇函数且满足 f x f 2 x 0，则 f 20 （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 1
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，若 f x y f x f y f 1 x f 1 y ，且
102
f 0 f 2 ，则 f (n) .
n 1
3．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）已知函数 f (x) 及其导函数 f (x) 的定义域均为 R，若 f (x) 是奇函数，
f (2) f (1) 0 ，且对任意 x, y R ， f (x y) f (x) f (y) f (x) f (y)，则（ ）
A． f (1)
1
B． f (9) 1
2
20
C． f (x) 是周期为 3 的函数 D． f (k) 1
k 1
考点八、函数对称性的综合应用
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 f (x), g(x)的定义域均为 R，且 f (x) g(2 x) 5, g(x) f (x 4) 7．若
22
y g(x) 的图像关于直线 x 2对称， g(2) 4 ，则 f k （ ）
k 1
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
x
2．（2024·湖南衡阳· 2e模拟预测）已知函数 f x sin πx 在 x a, ax a > 0 存在最大值与最小值分别e 1
为M 和m ，则函数 g x M m x
1

M m x 1，函数 g x 图像的对称中心是（ ）
1, 1 1, 2 1 , 1 1 2A． B． C． D． ,


3 2 2 3
x
1．（2024· 2宁夏银川·三模）已知函数 f x x 1 ，则下列说法不正确的是（ ）2 1
A．函数 f x 单调递增 B．函数 f x 值域为 0,2
C．函数 f x 的图象关于 0,1 对称 D．函数 f x 的图象关于 1,1 对称
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 f x 的定义域为R ，函数 f x 满足 f x f 4 x 6, g x 12x 2023 ，
4x 8
f x , g x 图象的交点分别是 x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4 ,LL， xn , yn ，则 y1 y2 LL yn可能值为
（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
考点九、周期性对称性的综合应用
2．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 f (x) 及其导函数 f (x) 的定义域均为R ，记 g(x) f (x) ，若
f 3 2x

， g(2 x) 均为偶函数，则（2 ）
f (0) 0 g 1 A． B． 0 C． f ( 1) f (4) D． g( 1) g(2)
2
3．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在R 上的函数 f x ， g x ，其导函数分别为 f x ， g x ，
f 1 x 6 g 1 x ， f 1 x g 1 x 6，且 g x g x 4，则（ ）
A． g x 的图象关于点 0,1 中心对称 B． g (x 4) g (x)
C． f 6 f 2 D． f 1 f 3 12

1．（2024·陕西榆林·一模）定义在 R 上的函数 f (x) ， g(x)满足 f (0) < 0， f (3 x) f (1 x)，
g(2 1 x) g(x) 2， g(x ) f (2x) 1，则下列说法中错误的是（
2 ）
A． x 6是函数 f (x) 图象的一条对称轴
B．2 是 g(x)的一个周期
C．函数 f (x) 图象的一个对称中心为 3,0
D．若 n N*且 n < 2023， f (n) f (n 1) L f (2023) 0，则 n 的最小值为 2
2．（2024·河南新乡·三模）（多选）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f 2x 6 f 2x ，且
f x 1 f x 1 f 2 f (5，若 ) 1，则（
2 ）
A． f 2024 1 B． f x 的图象关于直线 x 3对称
2025
C． f x 是周期函数 D． ( 1)k kf (k 1 ) 2025
k 1 2
3．（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数 y f x ， y g x 的定义域均为R ，且 f x g 1 x 3，
g x f x 3 5，若 g x 1 g 1 x ，且 g 1 2 ，则下列结论正确的是（ ）
A． f x 是奇函数 B． 2,4 是 g x 的对称中心
2024
C．2 是 f x 的周期 D． g k 8096
k 1
考点十、周期性奇偶性的综合应用
1．（2024·重庆·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的函数，若函数 f x 1 为偶函数，函数 f x 2 为奇函
2023
数，则 f (k) （ ）
k 1
A．0 B．1 C．2 D．-1
2．（2024·四川南充·三模）已知函数 f x 、g x 的定义域均为 R，函数 f (2x 1) 1的图象关于原点对称，
函数 g(x 1)的图象关于 y 轴对称， f (x 2) g(x 1) 1, f ( 4) 0，则 f (2030) g(2017) （ ）
A． 4 B． 3 C．3 D．4
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且 f (2x 1)为偶函数， f (x 2)为奇函数，当
x [0,1] 1时， f (x) x 1，则 f (11) 2 （ ）
1
A． 1 B． C 1． 2 D．12
2．（2024·江苏南通·三模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x 1 为偶函数， f x 2 1为奇函数．若
26
f 1 0，则 f (k) （ ）
k 1
A．23 B．24 C．25 D．26
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x 2 2为奇函数， f 3x 1 为偶函
2024
数， f 1 0，则 f (k) .
k 1
考点十一、奇偶性对称性的综合应用
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 y f x 1 1为奇函数，则 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 （ ）
A．6 B．5 C． 6 D． 5
2．（2024· x黑龙江·三模）已知函数 f x e e x sinx 2在 2,2 上的最大值和最小值分别为M ， N ，则
M N （ ）
A． 4 B．0 C．2 D．4
1．（2024·河北·二模）已知函数 y f x 1 为奇函数，则函数 y f x 1的图象（ ）
A．关于点 1,1 对称 B．关于点 1,-1 对称
C．关于点 1,1 对称 D．关于点 1, 1 对称
2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)，若 y | f (x) 2 |的图象关于直线
x 1对称，则下列说法正确的是（ ）
A． y | f (x) |的图象也关于直线 x 1对称 B． y f (x) 的图象关于 (1, 2)中心对称
C． a b c d 2 D．3a b 0
考点十二、函数性质的全部综合应用
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f x f x 2x， f 0 2 ，且
y f x 1 1为奇函数，则（ ）
A． f 1 3 B．函数 y f x x 的一个周期为 4
19
C． f 2024 2022 D． f i 150
i 1
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f xy xf y yf x 2 x y 1 ，
f x 的导函数为 f x ，则（ ）
A． f 1 2 B． f x 是单调函数
20
C． é f i f i ù 80 D． f x 为偶函数
i 1
3．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数 f x ， g x 及导函数 f x ， g x 的定义域均为 R .若
g x 1 是奇函数，且 f x g x 1 ， g x 1 f 4 x 2 ，则（ ）
A． f 0 2 B． f x 是偶函数
2024 2024
C． g n 0 D． f n 4048
n 1 n 1
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数 f (x) 的定义域为R ，若"x, y R，有
f (x y) f (x y) 2 f (x) f ( y), f (1) 0， f (0) 0，则（ ）
f (0) 1 f 1A B 2． ．
2 2
C． f (x) 为偶函数 D．4 为函数 f (x) 的一个周期
2．（2024·河南郑州·二模）（多选）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f 2 2x y f x y é f x ù é f y ù ，
f 1 1, f 2x 1 为偶函数，则（ ）
A． f 0 0 B． f x 为偶函数
2024
C． f 2 x f 2 x D． f k 0
k 1
3．（2024·山东临沂·二模）（多选）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 3 f 2024 ，
f x f x 2 f 1 1 ，且 ，则（ ）
2 4
A． f x 的最小正周期为 4 B． f 2 0
2024
C．函数 f x 1 是奇函数 D． k 1× f k 2024
k 1 2
一、单选题
m
1．（2024·江苏南通·模拟预测）若函数 f (x) x(1 x )是偶函数，则m （1 e ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 f x ex e x log2 m，若 f a M , f a 1 M ，则m 的值为（ ）
A 1． 2 B． 2 C．2 D．4
3．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R 上的函数 f x 是奇函数，对任意 x R 都有 f x 1 f 1 x ，当
f 3 2 时，则 f 2023 等于（ ）
A．2 B． 2 C．0 D． 4
4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 R，"a，b R ，均满足
f a b f a f b ab ．若 f 1 3，则 f 3 （ ）
A．0 B． 9 C． 12 D． 15
5．（2024·四川·三模）定义在 R 上的函数 y f x 与 y g x 的图象关于直线 x 1对称，且函数
y g 2x 1 1为奇函数，则函数 y f x 图象的对称中心是（ ）
A． 1, 1 B． 1,1 C． 3,1 D． 3, 1
6．（2024· 2山西·三模）设函数 f (x) log2 | x | x ，则不等式 f (x 2) f (2x 2)的解集为（ ）
A．[ 4,0] B．[ 4,0) C．[ 4, 1) ( 1,0] D．[ 4, 1) ( 1,0)
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x 3) f (x 1)，且当 x ( 2,0)时，
f (x) log2 (x 3)，则 f (2021) f (2024) （　　）
A．1 B． 1 C．1 log2 3 D． 1 log2 3
3a 1 x 2a, x <1,
8．（2024·陕西铜川·三模）若函数 y 在R 上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）
loga x, x 1

0, 1 1ù é1 1 é1 A． B．3
0, ú C． ê , D5 5 3 ． ê
,1
5
二、多选题
9．（2024·江苏泰州·模拟预测）定义在R 上的函数 f x 满足 f xy 1 f x f y f y x，则（ ）
A． f 0 0 B． f 1 0
C． f x 1 为奇函数 D． f x 单调递增
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 2 f (x y) f (x y) f (x) f (y)，且
f (0) 0，则（ ）
A． f (0) 1 B． y f (x) 为奇函数
C． y f (x) 不存在零点 D． f (2x) f (x)
一、单选题
1．（2024·江西·二模）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x f x ，当0 < x 1时，
f x log2 x 1 .若 f a 1 > f a ，则实数 a的取值范围是（ ）
5 3
A． 4k, 4k

， k Z B． 1 4k, 4k ， k Z
2 2
1
C． 4k,
1 3 1
4k ， k Z

D． 4k, 4k

， k Z
2 2 2 2
1 , x 3
2．（2024· 4x 4 4陕西安康·模拟预测）已知函数 f x 是R 上的单调函数，则实数 a的取值范围
loga (4x) 1, x
3
>
4
是（ ）
A． 0,1 B． 1, 3ù C． 1, 3 D． 1,3
二、多选题
3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在R 上的连续函数 f x 满足"x, y R， f x y f x y f x f y ，
f 1 0，当 x 0,1 时， f x > 0恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． f 0 1 B． f x 是偶函数
C． f
1
3 D． f x 的图象关于 x 2对称
3
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 R，对
"x, y R, f x y f x y 2 f 1 x f y ，且 f 1 1, f x 为 f x 的导函数，则（ ）
A． f x 为偶函数 B． f 2024 0
f 1 f 2 L f 2025 0 2 2C． D． é f x ù é f 1 x ù 1
5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的函数，且满足：① $x0 R, f x0 0 ；②
"x, y R, f x2 2xy y2 x y é f x f y ù ，则（ ）
A． f 0 0 B． f x 为奇函数
C． f x 在 1, 上单调递增 D． f x 在 x 0处取得极小值
6．（2024·湖北荆州·三模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f (x y) f (x y) f (x) f (y)， f 1 1，则
（ ）
A． f 0 2 B． f x 关于 (3, 0)中心对称
C． f x π是周期函数 D． f x 的解析式可能为 f x 2cos x
3
7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 f x ， g x 的定义域为R ， g x 为 g x 的导函数，且
f x g x 4， f x g 4 x 4，若 g x 为偶函数，则（ ）
A． f 4 3 B． g 2 0
C． f 1 f 3 8 D． f 1 f 3
8．（2024· 2 2广东深圳·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x y f x y f x f y ，
f 1 1， f 2 0 ，则下列说法中正确的是（　　）
A． f x 为偶函数 B． f 3 1
2026
C． f 1 f 5 D． f x 0
k 1
9．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 f x 及其导函数 f x ，且 g x f x ，若
"x R, f x f 6 x , g 4 x g 4 x ，则（ ）
A． f 2 f 8 B． g 1 g 3 2
2025
C． g(i) 0 D． f 0 f 4 2
i 1
三、填空题
10．（2024·山东·模拟预测）已知函数 f x e2x 1 π π e1 2x sin x 1，则不等式 f 2x 1 f 2 x 2
2 4
的解集为 .
1．（2024· 3上海·高考真题）已知 f x x a ， x R ，且 f x 是奇函数，则a ．
x , x > 0
2．（2024·上海·高考真题）已知 f x ,则 f 3 ．
1, x 0
3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
ex x2 cos x x2 exA． y B． y C． y x D． y
sin x 4x

x2 1 x2 1 x 1 e|x|
4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 (0, )上单调递增的是（ ）
A． f (x) ln x B． f (x)
1

2x
f (x) 1C． D． f (x) 3|x 1|
x
5 2 2．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数 f x 的定义域为R ， f xy y f x x f y ，则（ ）．
A． f 0 0 B． f 1 0
C． f x 是偶函数 D． x 0为 f x 的极小值点
6．（2022·全国·高考真题）已知函数 f (x), g(x)的定义域均为 R，且 f (x) g(2 x) 5, g(x) f (x 4) 7．若
22
y g(x) 的图像关于直线 x 2对称， g(2) 4 ，则 f k （ ）
k 1
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
x2 2, x 1,
1
7．（2022·浙江·高考真题）已知函数 f x 1 则 f f ；若当 x [a,b]时，
x 1, x >1,

2


x
1 f (x) 3，则b a的最大值是 ．
8．（2022·全国·高考真题）若 f x ln a 1 b 是奇函数，则a ，b ．
1 x
9．（2021·全国·高考真题）设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
9
f (x) ax2 b．若 f 0 f 3 6 ，则 f （2 ）
9 3 7 5
A． B． C． D．
4 2 4 2
1 x
10．（2021·全国·高考真题）设函数 f (x) ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
1 x
A． f x 1 1 B． f x 1 1 C． f x 1 1 D． f x 1 1第 01 讲 函数及其性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
（12 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断指数函数的单调性
2024 年新 I 卷，第 6 题,5 分 根据分段函数的单调性求参数
判断对数函数的单调性
求函数值
2024 年新 I 卷，第 8 题,5 分 比较函数值的大小关系
抽象函数的关系
函数奇偶性的定义与判断 根据函数零点的个数求参数范围
2024 年新Ⅱ卷，第 6 题,5 分
函数奇偶性的应用 求余弦(型)函数的奇偶性
函数单调性、极值与最值的综合应用
2024 年新Ⅱ卷，第 11 题,6 分 函数对称性的应用 利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
2023 年新 I 卷，第 4 题,5 分 复合函数的单调性 函数的单调性求参数值
2023 年新 I 卷，第 11 题,5 分 函数奇偶性的定义与判断 函数极值点的辨析
2023 年新Ⅱ卷，第 4 题,5 分 函数奇偶性的应用 奇偶性求参数
抽象函数的奇偶性
2022 年新 I 卷，第 12 题,5 分 函数与导函数图象之间的关系
函数对称性的应用
2022 年新Ⅱ卷，第 8 题,5 分 函数奇偶性的应用 抽象函数的周期性求函数值
2021 年新 I 卷，第 13 题,5 分 由奇偶性求参数 无
2021 年新Ⅱ卷，第 8 题,5 分 函数奇偶性的应用 函数的周期性的定义与求解
2021 年新Ⅱ卷，第 14 题,5 分 函数奇偶性的定义与判断 基本初等函数的导数公式
2020 年新 I 卷，第 8 题,5 分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2020 年新Ⅱ卷，第 7 题,5 分 复合函数的单调性 对数函数单调性
2020 年新Ⅱ卷，第 8 题,5 分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为 5-6 分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、
周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
知识讲解
1. 函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值
x1，x2
定义
当 x1f(x2)，那么就说函数
在区间 D 上是增函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间．
(3)函数的最值
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； (3)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M；
条件
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M (4)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M 为最大值 M 为最小值
2. 单调性的常见运算
（1）单调性的运算
①增函数（↗） 增函数（↗） 增函数↗ ②减函数（↘） 减函数（↘） 减函数↘
③ f (x) 为↗，则 f (x) 1为↘， 为↘ ④增函数（↗） 减函数（↘） 增函数↗
f (x)
⑤减函数（↘） 增函数（↗） 减函数↘ ⑥增函数（↗） 减函数（↘） 未知（导数）
（2）复合函数的单调性
函数f x h g x ,设u g x ,叫做内函数，则f x h u 叫做外函数，
内函数 ，外函数 ， 复合函数

内函数 ，外函数 ， 复合函数
结论：同增异减
内函数 ，外函数 ， 复合函数
内函数 ，外函数 ， 复合函数
3. 奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数： f x f (x)，图象关于原点对称
偶函数： f x f x ，图象关于 y 轴对称
③奇偶性的运算
4. 周期性（差为常数有周期）
①若 f x a f x ，则 f x 的周期为：T a
②若 f x a f x b ，则 f x 的周期为：T a b
③若 f x a f x ，则 f x 的周期为：T 2a （周期扩倍问题）
1
④若 f x a ，则 f x 的周期为：T 2a （周期扩倍问题）f x
5. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若 f x a a f x ，则 f x 的对称轴为 x
2
②若 f x a f x b a b ，则 f x 的对称轴为 x
2
点对称
f x a f x f x a ①若 ，则 的对称中心为 , 0
2
②若 f x a f x b c ，则 f x a b , c 的对称中心为
2 2
6. 周期性对称性综合问题
①若 f a x f a x ， f b x f b x ，其中 a b，则 f x 的周期为：T 2 a b
②若 f a x f a x ， f b x f b x ，其中 a b，则 f x 的周期为：
T 2 a b
③若 f a x f a x ， f b x f b x ，其中 a b，则 f x 的周期为：
T 4 a b
7. 奇偶性对称性综合问题
①已知 f x 为偶函数， f x a 为奇函数，则 f x 的周期为：T 4 a
②已知 f x 为奇函数， f x a 为偶函数，则 f x 的周期为：T 4 a
考点一、根据函数解析式判断函数单调性
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
x
A． f x x B． f x 2 C． f x x
2 D． f x 3 x
3
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于 A， f x x为 R 上的减函数，不合题意，舍.
x
对于 B， f x 2 为 R 上的减函数，不合题意，舍.
3
对于 C， f x x2 在 ,0 为减函数，不合题意，舍.
对于 D， f x 3 x 为 R 上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在 0, 上单调递减的是（ ）
A． f x 2 x B． f x x3
lnx, x > 0,
C． f x 1 x D． f x


x ln x , x < 0
【答案】C
【分析】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断.
【详解】对于 A：函数 f x 2 x 的定义域为 R，
又 f x 2 x f x ，所以 f x 是偶函数，故 A 错误；
对于 B：由幂函数 f x x3 的图象可知， f x x3 在 0, 上单调递增，故 B 错误；
对于 C：函数 f x 1 x 的定义域为 ,0 U 0, ，
x
又 f x 1 x f x ，所以 f x 是奇函数，
x
1
又幂函数 y , y x都在 0, 上单调递减，
x
1
所以函数 f x x 在 0, 上单调递减，故 C 正确；
x
对于 D：因为对数函数 y ln x 在 0, 上单调递增，
lnx, x > 0,
所以函数 f x

0,
ln x , x < 0
在 上单调递增，故 D 错误.
故选：C.
1．（2024·全国·一模）下列函数中在区间 (0, )上单调递减的是（ ）
A． y cos x B． y 2 x C． y = x-2 D． y x2 1
【答案】C
【分析】结合常见函数的图象和性质进行判断.
【详解】对于 A，因为 y cos x是周期函数，在 0, 上不单调，故 A 错误；
对于 B， y 2 x 在 0, 上是 y 2x ，单调递增，故 B 错误；
对于 D， y x2 1是二次函数，图象是开口向上的抛物线，对称轴为 y 轴，
所以它在 0, 上为增函数，故 D 错误；
对于 C，只有 y = x-2
1
= 2 这个函数在 0, 上单调递减，故 C 正确.x
故选：C
2．（2024·吉林·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间 0, 上单调递增的是（ ）
2 1
A 3． f x x 3 B． f x tanx C． f x x D． f x lnxx
【答案】C
【分析】利用奇函数的定义 f x f x ，即可判断四个选项的奇偶性，只有B、C 是奇函数，又正切函
数在 0, 上不是单调递增函数，而函数 f x 1 x3 的导函数恒大于零，所以只有 C 正确.
x
2 2
【详解】对于 A，Q f x x 3 x 3 ，\ f x 为偶函数，故 A 错误；
对于 B，Q f x tan x tan x f x ，\ f x 为奇函数，又 f x tanx在 0, 不满足单调递增定
义，所以 B 错误；
对于 C，Q f x
1 1
x 3 x 3 f x ，\ f x f x 3x
2 1
为奇函数， 2 > 0， \ f x x x 在x
区间 0, 上单调递增，故 C 正确；
对于 D， y ln x 是非奇非偶函数，所以 D 错误.
故选：C.
考点二、根据函数的单调性（含分段函数）求参数值
1．（2023· · x x a 全国 高考真题）设函数 f x 2 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2,0
C． 0,2 D． 2,
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
x x a
【详解】函数 y 2x 在 R 上单调递增，而函数 f x 2 在区间 0,1 上单调递减，
a a2 a
则有函数 y x(x a) (x )2 在区间 0,1 上单调递减，因此 1，解得 a 2，
2 4 2
所以 a的取值范围是 2, .
故选：D
x2 2ax a, x < 0
2．（2024·全国·高考真题）已知函数 f (x) x 在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
e ln(x 1), x 0
A． ( ,0] B．[ 1,0] C．[ 1,1] D．[0, )
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
x
【详解】因为 f x 在R 上单调递增，且 x 0 时， f x e ln x 1 单调递增，
2a
0
则需满足 2 1 ，解得 1 a 0，

a e
0 ln1
即 a 的范围是[ 1,0] .
故选：B.
1．（2024· x x t 黑龙江大庆·模拟预测）函数 f x e 在 2,3 上单调递减，则 t 的取值范围是（ ）
A． 6, B． ,6
C． , 4 D． 4,
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性可得 y x x t 的单调性，从而可求得 t 的取值范围.
【详解】因为函数 y ex 在R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数 y x x t 在 2,3 上单调递
t
减，则 3，解得 t 6 .
2
故选：A
loga x, x 1
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x a > 0 a 1 x2 2 a 1 x a 6, x <1（ 且 ）在定义域内是增函
数，则 a的取值范围是（ ）
A． 2,3 B． 2, C． 2,3 D． 1,4
【答案】C
【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
loga x, x 1
【详解】由函数 f x x2 2 a 1 x a 6, x 1
< ，
a >1
因为函数 f x 在定义域内是增函数，则满足 a 1 1 ，

1 2 a 1 a 6 loga 1
解得 2 a 3，即实数 a的取值范围为 2,3 .
故选：C．
考点三、根据函数单调性解不等式
1．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数 f x 在R 上单调递增，且 f 2 1，则不等式 f x 1 < 0的解集为
（ ）
A． 1,1 B． 2,2 C． 2, D． , 2
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.
【详解】由 f x 1< 0，可得 f x < 1，
因为 f x 是奇函数，且 f 2 1，所以 f x < f 2 ，
因为 f x 在R 上单调递增，所以 x< 2，
故不等式 f x 1< 0的解集为 , 2 ．
故选：D
2．（2020·山东·高考真题）若定义在 R 的奇函数 f(x)在 ( ,0)单调递减，且 f(2)=0，则满足 xf (x 1) 0的 x
的取值范围是（ ）
A．[ 1,1]U[3, ) B．[ 3, 1]U[0,1]
C．[ 1,0] [1, ) D．[ 1,0] [1,3]
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 f (x) 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 ( ,0)上单调递减，且 f (2) 0，
所以 f (x) 在 (0, )上也是单调递减，且 f ( 2) 0， f (0) 0，
所以当 x ( , 2) (0,2)时， f (x) > 0 ，当 x ( 2,0) U (2, )时， f (x) < 0，
所以由 xf (x 1) 0可得：
x < 0 x > 0
2 x 1 0或
x 0


0 x 1
或
2
解得 1≤ x≤ 0或1 x 3，
所以满足 xf (x 1) 0的 x 的取值范围是[ 1,0] [1,3]，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
3．（2024·四川南充·二模）设函数 f x sin x ex e x x 3，则满足 f (x) f (3 2x) < 6的 x 的取值范围是
（ ）
A． ,1 B． 1, C． 3, D． ,3
【答案】C
【分析】构造函数 g x f x 3，说明其单调性和奇偶性, f (x) f (3 2x) < 6转化为 g(x) < g(2x 3) 解不
等式即可求解.
【详解】 f x sin x ex e x x 3，
x x
设 g x f x 3 sin x e e x ，
又易知 g( x) g(x)，\ g(x) 为R 上的奇函数，
又 g (x) cos x ex e x 1 cos x 2 1 1 cos x 0，
\ g(x) 在R 上单调递增，
又 f (x) f (3 2x) < 6，
\[ f (x) 3] [ f (3 2x) 3] < 0 ，
\ g(x) g(3 2x) < 0，
\ g(x) < g(3 2x)，又 g(x)为R 上的奇函数，
\ g(x) < g(2x 3)，又 g(x)在R 上单调递增，
\ x < 2x 3，
\ x > 3，
故满足 f (x) f (3 2x) < 6的 x 的取值范围是 (3, )．
故选：C．
1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 f x x x ，则关于 x 的不等式 f 2x > f 1 x 的解集为（ ）
1
A． ,
1 1 1

3
B． , C． ,1 D． 1,
3 3 3
【答案】A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
x2 , x 0
【详解】由 f x x x 2 ，故 f x 在R 上单调递增，
x , x < 0
由 f 2x > f 1 x ，有 2x 1 1> x ，即 x > .
3
故选：A.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x 3x 3 x ，则不等式 f 2x 1 f x > 0的解集为 （ ）
1
A． , 1,
, 1 1 1 B． C． ，3 3 3
D． 1，

【答案】A
【分析】判断 f x 的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
f x 3x 3 x R f x 3 x 3x【详解】 ，定义域为 ，又 f x ，故 y f x 为偶函数；
又当 x > 0时， y 3x , y 3 x 均为单调增函数，故 g x 3x 3 x 为 0, 上的单调增函数；
又 g 0 0，故当 x > 0时， g x > 0，则此时 y f x g x 为 0, 上的单调增函数，故 x < 0 时，
y f x 为单调减函数；
f 2x 1 f x > 0，即 f 2x 1 > f x ，则 2x 1 > x ，即 2x 1 2 > x2 ，3x2 4x 1 > 0 ，
也即 3x 1 x 1 1> 0 ，解得 x , 1, .
3
故选：A.
3 2024· · f x 3x 2 32 x．（ 全国 模拟预测）已知函数 ，则满足 f x f 8 3x > 0的 x 的取值范围是（ ）
A． , 4 B． , 2 C． 2, D． 2,2
【答案】B
【分析】设 g x 3x 3 x ，即可判断 g x 为奇函数，又 f x g x 2 ，可得 f x 图象的对称中心为
2,0 ，则 f x f 4 x 0，再判断 f x 的单调性，不等式 f x f 8 3x > 0，即
f 8 3x > f 4 x ，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设 g x 3x 3 x ， x R x，则 g x 3 3x g x ，所以 g x 为奇函数．
f x 3x 2 32 x 3x 2 x 2 又 3 g x 2 ，
则 f x 的图象是由 g x 的图象向右平移 2个单位长度得到的，
所以 f x 图象的对称中心为 2,0 ，所以 f x f 4 x 0．
因为 y 3x 在R 上单调递增， y 3 x 在R 上单调递减，
所以 g x 在R 上单调递增，则 f x 在R 上单调递增，
因为 f x f 8 3x > 0 f x f 4 x ，
所以 f 8 3x > f 4 x ，所以8 3x > 4 x ，解得 x < 2，
故满足 f x f 8 3x > 0的 x 的取值范围为 , 2 ．
故选：B
考点四、根据函数单调性比较函数值大小关系
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 f (x) 的定义域为 R， f (x) > f (x 1) f (x 2)，且当 x < 3时 f (x) x，
则下列结论中一定正确的是（ ）
A． f (10) >100 B． f (20) >1000
C． f (10) <1000 D． f (20) <10000
【答案】B
【分析】代入得到 f (1) 1, f (2) 2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当 x < 3时 f (x) x，所以 f (1) 1, f (2) 2，
又因为 f (x) > f (x 1) f (x 2)，
则 f (3) > f (2) f (1) 3, f (4) > f (3) f (2) > 5，
f (5) > f (4) f (3) > 8, f (6) > f (5) f (4) >13, f (7) > f (6) f (5) > 21，
f (8) > f (7) f (6) > 34, f (9) > f (8) f (7) > 55, f (10) > f (9) f (8) > 89，
f (11) > f (10) f (9) >144, f (12) > f (11) f (10) > 233, f (13) > f (12) f (11) > 377
f (14) > f (13) f (12) > 610, f (15) > f (14) f (13) > 987，
f (16) > f (15) f (14) >1597 >1000，则依次下去可知 f (20) >1000，则 B 正确；
且无证据表明 ACD 一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 f (1) 1, f (2) 2，再利用题目所给的函数性质
f (x) > f (x 1) f (x 2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
2 2 3 6
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x e ( x 1) ．记a f ,b f ,c f ，则（2 ） 2 2
A．b > c > a B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 g(x) (x 1)2，则 g(x)开口向下，对称轴为 x 1，
6
因为 1
3 6 3 4
1 ，而2 2 2 2 ( 6 3)
2 42 9 6 2 16 6 2 7 > 0，

6 3 6 3 4
所以 1
2
1 > 0
6 3
，即
2 2 2
1 >1
2 2
6 3
由二次函数性质知 g( ) < g( )，
2 2
6 1 1 2
6 2 4
因为 ，而 2 2 ，
2 2 2 2 ( 6 2) 4 8 4 3 16 4 3 8 4( 3 2) < 0
6
即 1<1 2 ，所以 g( 6 ) g( 2> )，
2 2 2 2
2 6
综上， g( ) < g( ) < g( 3 )，
2 2 2
又 y ex 为增函数，故 a < c < b，即b > c > a .
故选：A.
3．（2024·宁夏银川·二模）定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x 2)为偶函数，且当 x1 < x2 < 2时，
5
[ f (x2 ) f (x1)](x2 x1) > 0恒成立，若 a f (1) ，b f (ln10)， c f (34 )，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C． b < a < c D． c < a < b
【答案】D
【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.
【详解】当 x1 < x2 < 2时，[ f (x2 ) f (x1)](x2 x1) > 0恒成立，
即当 x1 < x2 < 2时， f (x2 ) > f (x1)，函数 f (x) 在 , 2 上单调递增，
又 f (x 2)为偶函数，即 f (x 2) f ( x 2)，所以函数 f (x) 关于 x 2对称，
则函数 f (x) 在 2, 上单调递减，
所以 a f (1) f (3)
10 5
3 5 3
因为 < 3 < e ，所以10 < < e
3
2 2
5
所以 2 < ln10 < ln e3 3 < 34 ，
5
所以 f ln10 > f 3 > f 34 ，即 c < a < b，

故选：D.
3 1
1．（2024·辽宁丹东· 3二模）已知函数 f x x x ， a f ，b f (log3 2 3) ， c f ，则（2 ）
A． a < c < b B． a < b < c C． c < b < a D． c < a < b
【答案】D
【分析】根据题意，利用导数求得函数 f x 的单调性，结合对数的运算性质，进而求得 a,b,c的大小关系，
得到答案.
3 2
【详解】因为函数 f x x x ，可得 f x 3x 1，
x ( 3 3当 , ) 时， f x > 0；当 x ( , ) 时， f x > 0；
3 3
x ( 3 , 3当 )时， f x < 0，
3 3
所以 f x 在 ( , 3 )和 ( 3 , ) ( 3 3 上递增，在 , ) 上递减，
3 3 3 3
3 1 3 3
因为 < < ，可得 f ( ) > f (1) ，所以 a > c ，
3 2 3 3 2
3
又因为 f ( 3 2 3 3 15 ) < f ( ) ， log2 3 log2 3 log 2 2 > 0，3 9 2 8 2 2
log 3 3所以 2 > ，所以2 f (log2 3) f (
3) 3> > f ( ) ，即b > a，所以 c2 3
故选：D.
2．（2024·北京·模拟预测）函数 f x 1 2 ，记 a f
1 ,b f 3 0.5 ,c f log 1 5 ，则（x 1 2 2 ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c【答案】B
1
【分析】由题意得 f x 是R 上的偶函数，由复合函数单调性可知 f x 2 关于 x 在 0, 上单调递减，x 1
进一步比较对数、指数幂的大小即可求解.
1 1
【详解】注意到 f x 定义域为全体实数，且 f x 2 f x x 1 x2 1 ，
所以 f x 是R 上的偶函数，
a f 1 1从而 f

,c f log
1
5 f log5 2 ，
2 2 2
因为 y x2 1在 0, 上单调递增，
1
所以 f x 2 关于 x 在 0, 上单调递减，x 1
1
log 2 log 52 1 1 3而 < < 3 0.55 5 ，2 3 3
所以b < a < c .
故选：B.
3 1
3．（2024· 2宁夏石嘴山·三模）若定义在R 上的偶函数 f x 在 0, 上单调递增，则 f ln , f , f e
2 3


的大小关系为（ ）
f ln 3 f 1A > > f e 2 B f ln 3 > f e 2 1． ． > f
2 3 2 3
1 3 1 3
C． f > f ln > f e 2 D． f > f e 2 > f ln3 2 3 2
【答案】A
2 1 1 3
【分析】利用幂函数的单调性以及对数运算判断处0 < e 2 < < ln ，再结合 f x 的奇偶性以及单调性，e 3 2
即可得答案.
【详解】因为 f x 是定义在R 上偶函数，所以 f 1 1

3
f 3
，

1
1 27 3 3 1 ln 3 0 e 2 1 1 3因为 e3 < ，则 < ，所以 < 2 < < ln ，
8 2 3 2 e 3 2
因为 f x 0, 3 1 2在 上单调递增，所以 f ln > f > f e ，
2 3
f 即 ln
3 > f 1 2
2
> f e ，
3
故选：A．
考点五、根据函数的奇偶性求参数值
x
1．（2023· xe全国·高考真题）已知 f (x) ax 是偶函数，则a （ ）e 1
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
xex x x x éex e a 1 x ù【详解】因为 f x x eax 为偶函数，则 xe ，e 1 f x f x eax 0 1 e ax 1 eax 1
又因为 x 不恒为 0，可得 ex e a 1 x 0，即 ex e a 1 x ，
则 x a 1 x，即1 a 1，解得 a 2 .
故选：D.
2x 1
2．（2023·全国·高考真题）若 f x x a ln 为偶函数，则a （ ）．
2x 1
A 1． 1 B．0 C． 2 D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 a值，再检验即可.
【详解】因为 f (x) 为偶函数，则 f (1)
1
f ( 1)，\(1 a) ln ( 1 a) ln 3，解得 a 0，
3
2x 1 1 1
当 a 0时， f x x ln ， 2x 1 2x 1 > 0，解得 x > 或 x < ，
2x 1 2 2
x x 1 x 1 ü则其定义域为 或 < ，关于原点对称.
2 2
2 x 1f x x ln x ln 2x 1 2x 1
1 2x 1
x ln x ln f x
2 ， x 1 2x 1 2x 1 2x 1
故此时 f x 为偶函数.
故选：B.
2 π
3．（2023·全国·高考真题）若 f x x 1 ax sin x

为偶函数，则a ．
2
【答案】2
π π
【分析】利用偶函数的性质得到 f

f

，从而求得 a 2，再检验即可得解.
2 2
2 π
【详解】因为 y f x x 1 ax sin x x 1
2 ax cos x 为偶函数，定义域为 ，
2
R

f π f π π
2 π 2 π π π π
所以 ，即 ，
2
1 a cos 1 a cos
2 2 2 2 2 2 2
2 2
则 πa π 1 π

1

2π，故 a 2，
2 2
f x x 1 2此时 2x cos x x2 1 cos x，
所以 f x x 2 1 cos x x2 1 cos x f x ，
又定义域为R ，故 f x 为偶函数，
所以 a 2 .
故答案为：2.
1．（2024· 3陕西安康·模拟预测）已知函数 f x x x ln x a x2 x R 为奇函数，则a （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 2
【答案】C
【分析】由奇函数的定义可得 f (x) f ( x) 0，结合对数的运算性质计算即可求解.
【详解】因为 f (x) 为 R 上的奇函数，所以 f (x) f ( x) 0，
即 x3 x ln(x a x2 ) x3 x ln( x a x2 ) 0，
整理得 ln a 0，解得 a 1 .
故选：C
m
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数 f x sin x 1 x 是偶函数，则m 的值是（ ） 1 e
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】A
x
【分析】利用偶函数可得 sin x 1
e m sin x m ex 1
1 x ，可求m 的值.
1 e
【详解】因为函数 f x sin x 1 m x 是偶函数，所以 f x f x ， 1 e
x
即 f x sin x 1 m sin x 1 e m sin x 1 m

，
1 e x ex 1 1 e
x
1 e
xm 1 m
1 ex m
所以 x x ，所以 2，即m 2，故 A 正确.e 1 1 e ex 1
故选：A.
a ×ex x2 x 1, x > 0
3．（2024·上海奉贤·三模）若函数 y 2 为奇函数，则 a b c ．
x bx c 1, x < 0
【答案】3
【分析】利用函数是奇函数得到 f x f x ，然后利用方程求解 a,b,c，即可得解．
a ×ex 2 x x 1, x > 0【详解】因为函数 y f x 2 为奇函数，
x bx c 1, x < 0
所以 f x f x ，
当 x > 0时，则 x < 0，
f x x2则 bx c 1 a ×ex x2 x 1 a ×ex x2 x 1，
即 a ×ex 1 b x c 2 0，
a 0 a 0

所以 1 b 0 ，解得 b 1 ，

c 2 0 c 2
所以 a b c 3 .
故答案为：3 .
考点六、抽象函数奇偶性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
f (x) ax2 b．若 f 0 f 3 6 f 9 ，则 （ ）
2
9 3 7 5
A． B． C． D．
4 2 4 2
【答案】D
【分析】通过 f x 1 是奇函数和 f x 2 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 f x 2x2 2，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 f x 1 是奇函数，所以 f x 1 f x 1 ①；
因为 f x 2 是偶函数，所以 f x 2 f x 2 ②．
令 x 1，由①得： f 0 f 2 4a b ，由②得： f 3 f 1 a b ，
因为 f 0 f 3 6，所以 4a b a b 6 a 2，
令 x 0，由①得： f 1 f 1 f 1 0 b 2 2，所以 f x 2x 2．
思路一：从定义入手．
f 9 f 5 2 5 f 2
f 1
2 2 2

2
f 1 3 f 1 f 3 1 5 2 2

2
f
2
f 5 1 1 3 f
2
2 2
f 2 = f
2 2
9 3 5
所以 f 2
f ．
2 2
[方法二]：
因为 f x 1 是奇函数，所以 f x 1 f x 1 ①；
因为 f x 2 是偶函数，所以 f x 2 f x 2 ②．
令 x 1，由①得： f 0 f 2 4a b ，由②得： f 3 f 1 a b ，
因为 f 0 f 3 6，所以 4a b a b 6 a 2，
令 x 0，由①得： f 1 f 1 f 1 0 b 2，所以 f x 2x2 2．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 f x 的周期T 4．
9 1 3 5
所以 f f f2 2 2
．
2
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 y f x 1 1为奇函数，则
f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 （ ）
A． 14 B．14 C． 7 D．7
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解.
【详解】因为 y f x 1 1为奇函数，
故 f 0 1 1 0 f 1 1，
f 1 1 1 f 1 1 1 f 2 f 0 2，
f 2 1 1 f 2 1 1 f 3 f 1 2，
f 3 1 1 f 3 1 1 f 4 f 2 2，
故 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 1 3 2 7 .
故选：C.
3．（2024·河南·三模）（多选）定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (xy 1) f (x) f (y) f (y) x，则（ ）
A． f (0) 0 B． f (1) 0
C． f (x 1)为奇函数 D． f (x) 单调递增
【答案】BCD
【分析】利用赋值法可求 f 1 0及 f x 1 x ，故可判断各项的正误，也可以由题意得
f (xy 1) f (y) f (x) f (x) y ，结合条件 f (xy 1) f (x) f (y) f (y) x推出 f (x) 的解析式，进而即可求解
判断 ABCD 四个选项.
【详解】法 1：令 x y 0 ，则 f (1) f 2 (0) f (0) f 0 f (0) 1 ，
令 x 0, y 1，则 f (1) f 1 f 0 1 ，
若 f 1 0或 f 0 0，
若 f 0 0，则 f (1) f (x) f (0) f (0) x 即 f (1) f (x) f (0) f (0) x x ，
由 x 的任意性可得 f (1) x 不恒成立，故 f 0 0不成立，故 f 1 0，
故 A 错误，B 正确.
令 y 1，则 f (x 1) f (x) f (1) f (1) x x，
故 f (x 1)为奇函数，且 f (x) = x -1，它为R 上的增函数，
故 CD 正确.
法 2：由条件 f (xy 1) f (x) f (y) f (y) x，得 f (xy 1) f (y) f (x) f (x) y
f (y) x f (x) y f (y) y f (x) x，
由 x, y的任意性得 f (x) x C,C为常数，
故代回去 f (xy 1) f (x) f (y) f (y) x得：
xy 1 C (x C)(y C) y C x (C 1)(x y C 1) 0，
所以由 x, y的任意性只能C 1，即 f (x) = x -1，为增函数，
所以 f (0) 1, f (1) 0， f (x 1) x为奇函数，
故 A 错，BCD 对.
故选：BCD.
1．（2024·广东茂名·模拟预测）（多选）已知函数 f x 的定义域为 R，
f x y 3 3 f x y f x f y 2 ， f 0 0 ，则（ ） 2
A． f
3
0 B．函数 f x 是奇函数 C． f 0 2 D． f x 的一个周期为 3
2
【答案】AC
【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.
x y 0 f 0 f 0 f 2 3 3 【详解】令 ，则 ，所以 f 0，A 选项正确；
2 2
f y f y f 3令 x 0 ，则 f
3
y 0，即 f y f y ，所以 f x 是偶函数，B 选项错误；
2 2
f 3 f 3 x y 3，令 ，则 f 3 f 0 f 2 3 ，
2
3
令 x y ，则 f 3 f 0 f 2 0 f 3 f 0 2 2，所以 f 0 f 3 ，
2
所以 f 2 0 f 0 2 f 2 0 ，因为 f 0 0 ，所以 f 0 2， f 3 2，C 选项正确；
3 3 3
令 y
3
，则 f x f x f x f 0
3
2 f
2 2 2 2
x ，
2
3
所以 f x f x
3 0 f x 3 9 3 9 ， f
x 0 f x f x f x 6
2 2 2 2 ，所以 2 2 ， 的一个周期为 ，
D 选项错误.
故选：AC．
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数 f x 的定义域为R ， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，
f x f x
且对任意的 x , x 1,2 x x 1 2 1 2 ， 1 2 ，都有 > 0，则（x x ）1 2
A． f x 是奇函数 B． f 2023 0
C． f x 的图象关于 1,0 对称 D． f π > f e
【答案】BC
【分析】根据函数 f (x) 的奇偶性和题设条件，推得 f (x) 是周期为 4 的周期函数，结合周期函数的性质求值，
利用单调性比较大小，逐项判定即可求解.
【详解】因为 f (x 1)为奇函数，所以
f x 1 f x 1 ,即函数 f x 关于 (1,0)对称，C 正确;
由函数 f x 关于 1,0 对称可知 f x f 2 x ,
又因为 f x 2 为偶函数，所以
f x 2 f x 2 ，即函数 f (x) 关于 x 2对称，
则 f x f x 4 ,
所以 f x 4 f x 2 ,即 f x 2 f x ,
所以 f x 4 f x 2 f x ,所以是 f x 周期为 4 的周期函数，
所以 f 2023 f 4 505 3 f 3 f 1 ,又 f 3 f 1 ,
所以 f 1 f 1 ,所以 f 1 0 ,所以 f 2023 0 ,B 正确;
f x f 2 x f 2 x f é2 2 x ù f x 是偶函数，A 错误;
f x f x
对任意的 x1, x2 1,2 x x
1 2 ,且 1 2 ,都有 > 0 ,不妨设 x > x ,x1 x 1 22
则 f x1 f x2 > 0 ,由单调性的定义可得函数 f x 在 1,2 上单调递增，
又由函数 f x 关于 1,0 对称，所以 f x 在 0,2 上单调递增
又 f π f π 4 f 4 π , f e f e 4 f 4 e , 4 π < 4 e ,
所以 f (4 π) < f 4 e ,得 f (π) < f e ，D 错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题
意，然后逐个选项分析即可．
考点七、函数周期性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 的定义域为R ， f x 2 为偶函数， f 2x 1 为奇函数，则（ ）
1
A． f 0 B． f 1 0 C． f 2 0 D． f 4 0
2
【答案】B
【分析】推导出函数 f x 是以 4为周期的周期函数，由已知条件得出 f 1 0，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 f x 2 为偶函数，则 f 2 x f 2 x ，可得 f x 3 f 1 x ，
因为函数 f 2x 1 为奇函数，则 f 1 2x f 2x 1 ，所以， f 1 x f x 1 ，
所以， f x 3 f x 1 f x 1 ，即 f x f x 4 ，
故函数 f x 是以 4为周期的周期函数，
因为函数F x f 2x 1 为奇函数，则F 0 f 1 0，
故 f 1 f 1 0，其它三个选项未知.
故选：B.
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知函数 f x 对任意的 x ， y R，都有
f x y f x y 2 f x f y ，且 f 0 0 ， f 2 1，则（ ）
100
A． f 0 1 B f x 2． 是奇函数 C． f x 的周期为 4 D． n f n 5100 ， n N*
n 1
【答案】ACD
【分析】令 x y 0 ，即可判断 A；令 x 0，即可判断 B；令 x y 1，求出 f 1 ，再令 y 1，即可判断
C；根据 C 选项可求出 f 3 , f 4 ，再根据函数的周期性即可判断 D.
【详解】由 f x y f x y 2 f x f y ，
令 x y 0 ，则 2 f 0 2 2 é f 0 ù ，
又 f 0 0 ，所以 f 0 1，故 A 正确；
令 x 0，则 f y f y 2 f 0 f y 2 f y ，
所以 f y f y ，所以 f x 是偶函数，故 B 错误；
令 x y 1
2
，则 f 2 f 0 2 é f 1 ù 0 ，所以 f 1 0，
令 y 1，则 f x 1 f x 1 2 f x f 1 0，
所以 f x 1 f x 1 ，即 f x 2 f x ，
所以 f x 4 f x 2 f x ，所以 f x 的周期为 4，故 C 正确；
由 f x 2 f x ，得 f 3 f 1 0, f 4 f 2 1，
100
n2 f n 22 42 62 82 2 2所以 L 98 100
n 1
2 4 2 4 6 8 6 8 L 98 100 98 100
2 2 4 6 L 98 100
2 2 100 50
5100 ，故 D 正确.
2
故选：ACD.
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知可导函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，若 f x 是奇
函数， f 2 f 1 0 ，且对任意 x, y R ，恒有 f x y f x f y f x f y ，则一定有（ ）
A． f 1 1 B． f 9 0
2
242 242
C． f (k) 1 D． f (k) 1
k 1 k 1
【答案】ABD
【分析】先根据题意，利用赋值法，结合函数奇偶函数的定义得出： f x 是R 上的奇函数，周期为3， f x
是R 上的偶函数，周期为3；再逐项分析即可解答.
【详解】因为 f x 是R 上的奇函数，
所以 f x f x ，
则 f x f x ，即 f x 是R 上的偶函数.
令 y 1，由 f x y f x f y f x f y 得： f x 1 f x f 1 f x f 1 ，①
令 x 取 x，得 f x 1 f x f 1 f x f 1 ，
结合 f x 是R 上的奇函数， f x 是R 上的偶函数，得 f x 1 f x f 1 f x f 1 ，②
结合 f 1 1 ，由① - ②可得： f x 1 f x 1 f x ，即 f x 1 f x 1 f x .
2
所以 f x 2 f x f x 1 ，
f x 3 f x 1 f x 2 f x 1 é f x f x 1 ù
又因为 f x 是R 上的奇函数，
所以 f x 3 f x ，
则 f x 3 f x ，
所以函数 f x ， f x 是周期为3的函数.
对于选项 A：因为 f x y f x f y f x f y ， f 2 f 1 0 ，
所以令 x y 1，得 f 2 2 f 1 f 1 ，
f 1 1所以 ，故选项 A 正确；
2
对于选项 B：因为 f x 是R 上的奇函数，周期为3，
所以 f 9 f 0 0，故选项 B 正确；
对于选项 C：因为 f 2 f 1 0 ， f 3 f 0 0
242
所以 f (k) 80 é f 1 f 2 f 3 ù f 1 f 2 0，故选项 C 错误；
k 1
对于选项 D：因为 f x 是R 上的偶函数，周期为3，
所以 f 2 1 f 1 f 1 .
2
令 x 0， y 1，由 f x y f x f y f x f y 得： f 1 f 0 f 1 f 0 f 1 ，解得： f 0 1，
242
f (k) 80 f 1 f 2 f 3 f 1 f 2 80 é 1 1 1ù 1 1所以 é ù ê ú 1，故选项 D 正
k 1 2 2 2 2
确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键
在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数 f x ， f x 的性质.
1．（2024·重庆·三模）已知 f x 是定义域为R 的奇函数且满足 f x f 2 x 0，则 f 20 （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 1
【答案】B
【分析】根据题意，推得 f x 2 f x ，得到 f x 是周期为 2 的周期函数，结合 f 20 f 0 ，即可求
解.
【详解】由 f x 是定义域为R 的奇函数，则 f x f x ，且 f 0 0，
又由 f x 满足 f x f 2 x 0，即 f 2 x f x ，
则有 f 2 x f x ，可得 f x 2 f x ，即函数 f x 是周期为 2 的周期函数，
故 f 20 f 0 0 .
故选：B.
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，若 f x y f x f y f 1 x f 1 y ，且
102
f 0 f 2 ，则 f (n) .
n 1
【答案】 1
2 2
【分析】通过赋值法解出 é f 0 ù é f 2 ù ，由 f 0 f 2 解出 f 1 ；进而求出 f 0 , f 2 ，再证明函数
为偶函数，进而证出 f 1 y f 1 y ，结合偶函数得出函数周期，求出 f 3 , f 4 最后求解即可.
【详解】令 x y 0 ，得 f 0 é f 0
2
ù é f 1
2
ù ，
再令 x y 1，得 f 0 é f
2 2
1 ù é f 2 ù ，
所以 é f 0
2
ù é f 2
2
ù ，因为 f 0 f 2 ，所以 f 0 f 2 ，
令 x 1, y 0，得 f 1 f 1 f 0 f 2 f 1 0 ，
所以 f 0 2 é f 0 ù ，即 f 0 0或1，
若 f 0 0 2 2，则代入 f 0 é f 1 ù é f 2 ù 中， f 2 0 ，
由 f 0 f 2 ，所以 f 0 0 ，即 f 0 1，且 f 2 1，
令 x 0，得 f y f 0 f y f 1 f 1 y ，
由 f 0 1， f 1 0，所以 f y f y ，
所以 f x 为偶函数，所以 f 1 f 1 0， f 2 f 2 1，
令 x 1，得 f 1 y f 1 f y f 2 f 1 y ，
所以 f 1 y f 1 y ，即 f y f 2 y 0，
因为 f y f y f y 2 ，所以 f y 4 f y ，
所以 f x 为周期函数，周期为 4，
所以 f 1 0, f 2 1, f 3 f 1 f 1 0, f 4 f 0 1，
f 1 f 2 f 3 f 4 0，
102
所以 f n = 25 é f 1 f 2 f 3 f 4 ù f 1 f 2 1
n 1
故答案为： 1 .
【点睛】关键点点睛：该题刚开始的关键是通过赋值法求得 f 0 , f 1 , f 2 的值，这也是抽象函数求函数
值的常用方法，另一个关键点是从所求出发：求多个函数值和，联想到这种类型的求和大概两种：一种转
化成某个数列求和，另一种利用周期性求和，所以接下来的关键就是借助奇偶性求函数的周期.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）已知函数 f (x) 及其导函数 f (x) 的定义域均为 R，若 f (x) 是奇函数，
f (2) f (1) 0 ，且对任意 x, y R ， f (x y) f (x) f (y) f (x) f (y)，则（ ）
1
A． f (1) B． f (9) 1
2
20
C． f (x) 是周期为 3 的函数 D． f (k) 1
k 1
【答案】ACD
【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.
【详解】对于 A：令 x y 1，得 f (2) 2 f (1) f (1)，
因为 f (2) f (1) 0 ，所以 f (1)
1
，A 正确；
2
对于 B：令 y 1，得 f (x 1) f (x) f (1) f (x) f (1) ①，
所以 f (1 x) f ( x) f (1) f ( x) f (1) ，
因为 f (x) 是奇函数， f x f x ，
所以 f x f x ，即 f (x) 是偶函数，
所以 f (1 x) f (x) f (1) f (x) f (1) ②，
由①②，得 f (x 1) 2 f (x) f (1) f (1 x) f (x) f (x 1) ，
即 f (x 2) f (x 1) f (x)，
所以 f (x 3) f (x 2) f (x 1) f (x 1) f (x) f (x 1) f (x) ，
所以 f (x) ， f (x) 是周期为 3 的函数，
所以 f (9) f (0) 0，所以 B 错误，C 正确；
对于 D：因为 f (2) f ( 1) f (1)
1
，
2
在①中令 x 0得， f (1) f (0) f (1) f (0) f (1)，
20
所以 f (0) 1， f (k) f (1) f (2) f (3) 6 f (1) f (2) 1，
k 1
所以 D 正确．
故选：ACD．
考点八、函数对称性的综合应用
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 f (x), g(x)的定义域均为 R，且 f (x) g(2 x) 5, g(x) f (x 4) 7．若
22
y g(x) 的图像关于直线 x 2对称， g(2) 4 ，则 f k （ ）
k 1
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 f (x) f (x 2) 2 ，从而得到 f 3 f 5 K f 21 10 ，
f 4 f 6 K f 22 10 ，然后根据条件得到 f (2) 的值，再由题意得到 g 3 6从而得到 f 1 的值即
可求解.
【详解】因为 y g(x) 的图像关于直线 x 2对称，
所以 g 2 x g x 2 ，
因为 g(x) f (x 4) 7，所以 g(x 2) f (x 2) 7 ，即 g(x 2) 7 f (x 2) ，
因为 f (x) g(2 x) 5，所以 f (x) g(x 2) 5，
代入得 f (x) 7 f (x 2) 5，即 f (x) f (x 2) 2 ，
所以 f 3 f 5 K f 21 2 5 10，
f 4 f 6 K f 22 2 5 10 .
因为 f (x) g(2 x) 5，所以 f (0) g(2) 5，即 f 0 1，所以 f (2) 2 f 0 3 .
因为 g(x) f (x 4) 7，所以 g(x 4) f (x) 7，又因为 f (x) g(2 x) 5，
联立得， g 2 x g x 4 12，
所以 y g(x) 的图像关于点 3,6 中心对称，因为函数 g(x)的定义域为 R，
所以 g 3 6
因为 f (x) g(x 2) 5，所以 f 1 5 g 3 1 .
22
所以 f (k) f 1 f 2 é f 3 f 5 K f 21 ù é f 4 f 6 K f 22 ù 1 3 10 10 24 .
k 1
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
x
2．（2024·湖南衡阳· 2e模拟预测）已知函数 f x sin πx 在 x a, a a > 0 x 存在最大值与最小值分别e 1
1
为M 和m ，则函数 g x M m x M m x 1，函数 g x 图像的对称中心是（ ）
A． 1, 1 B． 1,
2 1
, 1 1 2 C． D． , 3 2 2 3
【答案】C
【分析】通过分析函数 f x f x 2，得出最大值与最小值的和，得出函数 g x 的表达式，利用对勾函
数 h x 2x 1 1 的对称点即可得出函数 g x 的对称点.
2x 1
【详解】由题意，
x x
在 f x 2e sin πx x 中， f x sin πx
2e
x sin πx
2
，
e 1 e 1 ex 1
∴ f x f x 2，
∵最大值与最小值分别为M 和m ，
∴ M m f x f x 2
h x 2x 1 1 1 1 在对勾函数 中，对称轴为 x ，对称点为 ,0 ，2x 1 2 2
在 g x
1
M m x 1 1 M m x 1中， g x 2x 2x 1 1 ，2x 1 2x 1
1
∴ 2x 1 1 0 即 x ，对称轴为 x ，
2 2
函数 g x 为对勾函数 h x 2x 1 1 向下平移 1 个单位得到，
2x 1
1
∴函数 g x 对称点为 , 1 ，
2
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查.函数的性质，构造函数，对称中心，函数的最值（和），考查学生的分析和
处理问题的能力，计算能力，具有一定的综合性.
x
1 2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数 f x x 1 ，则下列说法不正确的是（ ）2 1
A．函数 f x 单调递增 B．函数 f x 值域为 0,2
C．函数 f x 的图象关于 0,1 对称 D．函数 f x 的图象关于 1,1 对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断 A；根据函数形式的变形，根据指数函数
的值域，求解函数的值域，即可判断 B；根据对称性的定义， f 2 x 与 f x 的关系，即可判断 CD.
x x
f x 2 2 2 2 2【详解】 2 ，
2x 1 1 2x 1 1 2x 1 1
函数 y 2
2
， t 2x 1 1，则 t > 1，
t
2
又内层函数 t 2x 1 1在R 上单调递增，外层函数 y 2 在 1, 上单调递增，
t
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 f x 单调递增，故 A 正确；
因为 2x 1
2 2
1 > 1，所以0 < x 1 < 2，则0 < 2 2 1 2x 1
< 2，
1
所以函数 f x 的值域为 0,2 ，故 B 正确；
2 x
f 2 x 2 4 2 ， f 2 x f x 2
21 x
，
1 2 2x 2x 1 1
所以函数 f x 关于点 1,1 对称，故 C 错误，D 正确.
故选：C.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 f x 的定义域为 R ，函数 f x 满足 f x f 4 x 6, g x 12x 2023 ，
4x 8
f x , g x 图象的交点分别是 x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4 ,LL， xn , yn ，则 y1 y2 LL yn可能值为
（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
【答案】C
【分析】可以分别说明 f x , g x 的对称中心为 2,3 ，从而两个函数的图象交点关于 2,3 对称，即
y1 y2 LL yn应为 6 的倍数，由此即可逐一判断.
【详解】因为函数 f x 满足 f x f 4 x 6，所以 f x 的对称中心为 2,3 ，
12 2 x 2023 12 2 x 2023
注意到 g 2 x g 2 x 4 2 x 8 4 2 x 8
12 2 x 2023 12 2 x 2023
6，
4x 4x
g x 12x 2023所以 的对称中心也是 2,3 ，
4x 8
故两个函数的图象交点关于 2,3 对称，
故 y1 y2 LL yn应为 6 的倍数，对比选项可知 C 选项符合题意.
故选：C.
考点九、周期性对称性的综合应用
2．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 f (x) 及其导函数 f (x) 的定义域均为R ，记 g(x) f (x) ，若
f 3 2x

， g(2 x) 均为偶函数，则（2 ）
A． f (0) 0 g
1 B． 0 C． f ( 1) f (4) D． g( 1) g(2)
2
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
3
对于 f (x)

，因为 f 2x 为偶函数，所以 f
3 2x f 3 2x 3 3

即 f x f x ①，所以
2 2 2 2 2
f 3 x f x ，所以 f (x) 关于 x 3 对称，则 f ( 1) f (4)，故 C 正确；
2
对于 g(x)，因为 g(2 x) 为偶函数， g(2 x) g(2 x)， g(4 x) g(x)，所以 g(x)关于 x 2对称，由①求

导，和 g(x) f (x) é f 3 x ù é 3 ù 3，得 3 3 3ê ú ê f x ú f x f x g
x g x
2 2 2 2
，所
2 2
以 g 3 x g x 0 ，所以 g(x) (3关于 ,0) 对称，因为其定义域为 R，所以 g 3 0，结合 g(x)关于 x 22 2 对
T 4 2 3 2 g 1 3称，从而周期 ，所以

g

0， g 1 g 1 g 2 ，故 B 正确，D 错误；
2 2 2
若函数 f (x) 满足题设条件，则函数 f (x) C （C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定 f (x) 的函数值，故
A 错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 g(x)周期为 2，关于 x 2对称，故可设 g x cos πx ，则 f x 1 sin πx c ，显然 A，D 错
π
误，选 BC.
故选：BC.
[方法三]：
f 3 因为 2x ， g(2 x) 均为偶函数，
2
f 3 2x f 3 2x f 3 x f 3 所以 即 x ， g(2 x) g(2 x)，
2 2 2 2
所以 f 3 x f x ， g(4 x) g(x)，则 f ( 1) f (4)，故 C 正确；
函数 f (x) ， g(x)
3
的图象分别关于直线 x , x 2 对称，
2
又 g(x) f (x) ，且函数 f (x) 可导，
g 3 所以 0, g 3 x g x ，
2
所以 g(4 x) g(x) g 3 x ，所以 g(x 2) g(x 1) g x ，
g 1 3 所以 g 0， g 1 g 1 g 2 ，故 B 正确，D 错误；
2 2
若函数 f (x) 满足题设条件，则函数 f (x) C （C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定 f (x) 的函数值，
故 A 错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
3．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在R 上的函数 f x ， g x ，其导函数分别为 f x ， g x ，
f 1 x 6 g 1 x ， f 1 x g 1 x 6，且 g x g x 4，则（ ）
A． g x 的图象关于点 0,1 中心对称 B． g (x 4) g (x)
C． f 6 f 2 D． f 1 f 3 12
【答案】BCD
【分析】先根据条件分析出 g(x)的周期性和对称性，再得到 f (x) 的周期性，根据函数性质即可得结果.

f (1 x) 6 g (1 x)
【详解】由题意可得 f (1 x) 6 g (1 x)，两式相减可得
g (1 x) g (1 x) ①，

所以 g (x) 的图象关于点 (1,0)成中心对称，故 A 错误；
由 g(x) g( x) 4 ②，②式两边对 x 求导可得 g (x) g ( x)，
可知 g (x) 是偶函数，以1 x替换①中的 x 可得 g (2 x) g ( x) g (x)，
可得 g (4 x) g (2 x) g (x)，所以 g (x) 是周期为 4 的周期函数，故 B 正确；
因为 f (x) 6 g (x)，可知 f (x) 也是周期为 4 的周期函数，
即 f (x 4) f (x) ，两边求导可得 f (x 4) f (x) ，所以 f (6) f (2) ，故 C 正确；
因为 g (1 x) g (1 x)，令 x 0，则 g (1) g (1)，即 g (1) 0，
又因为 g (x) 是偶函数，所以 g ( 1) g (1) 0，又因为 g (x) 是周期为 4 的周期函数，
f (1) 6 g (1) 6
则 g (3) g ( 1) 0 ，由 f (x) 6 g (x)可得
f (3)
，
6 g (3) 6
所以 f (1) f (3) 12，D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两
条直线（平行于 y 轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于
y 轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
1．（2024·陕西榆林·一模）定义在 R 上的函数 f (x) ， g(x)满足 f (0) < 0， f (3 x) f (1 x)，
g(2 1 x) g(x) 2， g(x ) f (2x) 1，则下列说法中错误的是（
2 ）
A． x 6是函数 f (x) 图象的一条对称轴
B．2 是 g(x)的一个周期
C．函数 f (x) 图象的一个对称中心为 3,0
D．若 n N*且 n < 2023， f (n) f (n 1) L f (2023) 0，则 n 的最小值为 2
【答案】D
【分析】由已知可推得 g x x 3关于直线 对称， g 2 x 1 g x 1 1 .又有 g 1 x 1 g 1 x 1 .进
2
而得出 g 1 x g 2 x ，即有 g x g x 2 ，即可得出 B 项；根据 g x 的周期可得出 f x 的周期
为 4，结合 f x 的对称性，即可得出 A 项；由 g x 的对称中心，即可得出 f x 关于点 1,0 对称，结合 f x
的性质，即可得出 C 项；根据 f x 的周期性以及对称性可得 f (0) f (1) f (2) f (3) 0，
f 2023 f 3 ，然后分 n 1,2,3讨论求解，即可判断 D 项.
【详解】由 f (3 x) f (1 x)可得 f (2 x) f (2 x)，所以 f (x) 关于直线 x 2对称，
所以 f 2x 关于直线 x 1对称，即 g x
1
1关于直线 x 1对称，
2
g x 1所以
3
关于直线 x 1对称，所以 g x 关于直线 x 对称，
2 2
所以有 g 3 x g x ，所以有 g 2 x g x 1 ，所以 g 2 x 1 g x 1 1 .
又由 g 2 x g(x) 2可得， g 1 x g 1 x 2，所以 g x 关于点 1,1 对称，
所以 g 1 x 1 g 1 x 1 .
对于 B 项，因为 g 2 x 1 g x 1 1， g 1 x 1 g 1 x 1，
所以， g 1 x g 2 x ，所以 g x g 1 x g x 2 ，
所以， g x 的周期为T 2，故 B 项正确；
1
对于 A 项，由已知 f 2x g x 1周期为 2，所以 f x 的周期为 4.
2
因为 f (x) 关于直线 x 2对称，所以 x 6是函数 f (x) 图象的一条对称轴，故 A 项正确；
对于 C 项， g x 关于点 1,1 1 1 对称，所以 f 2x g x 2 1关于点 ,0 对称， 2
所以 f x 关于点 1,0 对称，所以 f 2 x f x .
又 f (x) 关于直线 x 2对称，所以 f 4 x f x ，
所以 f 4 x f 2 x ，所以有 f 3 x f 3 x ，
所以函数 f (x) 图象的一个对称中心为 3,0 ，故 C 项正确；
对于 D 项，由 C 知， f x 关于点 1,0 对称， f x 关于点 3,0 对称，
所以， f 0 f 2 0， f (1) f (3) 0，所以 f (0) f (1) f (2) f (3) 0 .
又 f x 的周期为 4，所以对 k Z ， f (4k) f (4k 1) f (4k 2) （f 4k 3） 0 .
因为 f 2023 f 4 505 3 f 3 ，
则当 n 2时，有 f (n) f (n 1) L f (2023) f 2 f 3 f 2 .
因为 f 0 f 2 0，所以 f 2 f 0 > 0，不满足题意；
当 n 1时， f (n) f (n 1) L f (2023) f 1 f 2 f 3 f 2 ，不满足题意；
当 n 3时， f (n) f (n 1) L f (2023) f 3 0，满足题意.
故 n 的最小值为 3，D 错误.
故选：D
【点睛】关键点睛：根据已知关系式可得出 f x 的对称轴，进而根据 f x , g x 的关系，即可推得 g x 的
对称轴，结合 g x 的对称中心，即可得出 g x 的周期.
2．（2024·河南新乡·三模）（多选）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f 2x 6 f 2x ，且
f x 1 f x 1 f 2 f (5，若 ) 1，则（
2 ）
A． f 2024 1 B． f x 的图象关于直线 x 3对称
2025
C k． f x 是周期函数 D． ( 1) kf (k 1 ) 2025
k 1 2
【答案】BCD
【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数 f (x) 及对称轴，再逐项分析计算得解.
【详解】由 f (x 1) f (x 1) f ( 2)，得 f (x 1) f (x 3) f ( 2)，
则 f (x 1) f (x 3) ，即 f (x) f (x 4) ，因此 f (x) 是周期为 4 的周期函数，C 正确；
令 x= 1，得 f ( 2) f (0) f ( 2)，则 f (0) 0，因此 f (2024) f (0) 0 ，A 错误；
由 f (2x 6) f ( 2x)，得 f (x 6) f ( x)，则 f ( x) f [(x 12) 6] f (x 6) ，
因此 f (x) 的图象关于直线 x 3对称，B 正确；
由 f (x 6) f ( x)，得 f (x) 的图象关于直线 x 3对称，
因此直线 x 3 4n及 x 3 4n(n Z) 均为 f (x) 图象的对称轴，
7 5 3 3
从而 f ( 2) f (0) 0, f ( ) f ( ) 1，令 x ，得 f ( 1) f (
3
1) 0 ，
2 2 2 2 2
1 5 1 3 9
即 f ( ) f ( ) 1，则 f ( ) f ( ) f ( ) 1，
2 2 2 2 2
2025
故 ( 1)k kf (k 1 ) f (1) 2 f (3) 3 f (5) 4 f (7 ) L 2025 f (4049 )
k 1 2 2 2 2 2 2
(1 2 3 4) L (2021 2022 2023 2024) 2025 2025，D 正确.
故答案为：BCD
【点睛】结论点睛：函数 y f (x) 的定义域为 D，"x D，
①存在常数 a，b 使得 f (x) f (2a x) 2b f (a x) f (a x) 2b ，则函数 y f (x) 图象关于点 (a , b ) 对
称.
②存在常数 a 使得 f (x) f (2a x) f (a x) f (a x)，则函数 y f (x) 图象关于直线 x a对称.
3．（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数 y f x ， y g x 的定义域均为R ，且 f x g 1 x 3，
g x f x 3 5，若 g x 1 g 1 x ，且 g 1 2 ，则下列结论正确的是（ ）
A． f x 是奇函数 B． 2,4 是 g x 的对称中心
2024
C．2 是 f x 的周期 D． g k 8096
k 1
【答案】BD
【分析】利用已知恒等式证明 g x g 4 x 8，从而得到 B 正确；再推知 g 2 4及 g x 4 g x ，从
而计算出 D 的结果；利用反证法即可说明 A 和 C 错误.
【详解】对于 A，由已知有 f x 3 g 1 x 3 g 1 x 3 g 1 x f x ，所以 f x 是偶函数.
假设 f x 是奇函数，那么必有 f x 0，故5 g x f x 3 g x g 1 1 x 3 f 1 x 3，矛盾.
所以 f x 不是奇函数，A 错误；
对于 B，由已知有 g x f x 3 5 3 g 4 x 5 8 g 4 x ，故 g x g 4 x 8 .
g 2 x g 2 x
所以 4，故 2,4 是 g x 的对称中心，B 正确；
2
对于 C，由已知有 f x 3 g x 5 g 1 1 x 5 3 f 1 x 5 2 f 1 x 2 f x 1 .
所以 f x 3 f x 1 2 .
假设 2 是 f x 的周期，那么 f x 3 f x 1 1，从而 f x 1 .
但 f x g 1 x 3，故3 f 0 g 1 1 2 1，矛盾.
所以 f x 不以 2 为周期，C 错误；
对于 D，由于 g x g 4 x 8， g x 1 g 1 x ，
故 g x 3 8 g 1 x 8 g 1 x g 3 x g 1 2 x g 1 2 x g x 1 .
所以 g x 3 g x 1 ，即 g x 4 g x .
再由 g x g 4 x 8可得 g 2 g 2 8，即 g 2 4 .
2024 505
这就得到 g k g 4k 1 g 4k 2 g 4k 3 g 4k 4
k 1 k 0
505
g 1 g 2 g 3 g 0
k 0
506 g 1 g 2 g 3 g 0
506 g 2 1 g 2 g 2 1 g 1 1
506 8 g 2 g 1 1
506 8 2g 2
506 8 8
8096 ，
故 D 正确.
故选：BD.
考点十、周期性奇偶性的综合应用
1．（2024·重庆·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的函数，若函数 f x 1 为偶函数，函数 f x 2 为奇函
2023
数，则 f (k) （ ）
k 1
A．0 B．1 C．2 D．-1
【答案】A
【分析】根据条件得到函数 f x 是周期为 4的函数，再根据条件得出 f 1 ，f 2 ，f 3 ，f 4 ，即可求出
结果.
【详解】因为函数 f x 1 为偶函数，所以 f 1 x f 1 x ，函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，
又函数 f x 2 为奇函数，所以 f x 2 f x 2 0，所以函数 f x 的图象关于 2,0 对称，
所以 f x 3 f x 1 0，所以 f x 3 f x 1 ，即 f x f x 2 ，
所以 f x 4 f x 2 f x ，则函数 f x 的一个周期为 4，
令 x 0，则 f 2 f 2 0，所以 f 2 0 ，
令 x 1， f 3 f 1 0，又 f 0 f 2 0，所以 f 4 0 ，
f 1 f 2 f 3 f 4 0，
2023
所以 f (k) 505 f (1) f (2) f (3) f (4) f (1) f (2) f (3) 505 0 0 0 0 0 .
k 1
故选：A
2．（2024·四川南充·三模）已知函数 f x 、g x 的定义域均为 R，函数 f (2x 1) 1的图象关于原点对称，
函数 g(x 1)的图象关于 y 轴对称， f (x 2) g(x 1) 1, f ( 4) 0，则 f (2030) g(2017) （ ）
A． 4 B． 3 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用题设得到 f x f 2 x 2 ①和 g x 1 g x 1 ②，又由 f (x 2) g(x 1) 1，结
合①式，推得 g(x)的周期为 12，利用 f ( 4) 0求得 f 2 2和 g(1) 1，最后利用 g(x)的周期性即可求得.
【详解】由函数 f (2x 1) 1的图象关于原点对称， f 2x 1 1 f 2x 1 1，
即 f ( x 1) 2 f (x 1)，即 f x f 2 x 2 ①，
由函数 g(x 1)的图象关于 y 轴对称，可得 g x 1 g x 1 ②，
由 f x 2 g x 1 1可得 f x g x 1 1，又得 f 2 x g x 3 1，
两式相加， f x f 2 x g x 1 g x 3 2，将①式代入，得 g x 1 g x 3 0，
则得 g x 5 g x 1 0，将②式代入得， g x 1 g x 5 ，则 g x 6 g x ，
于是 g x 12 g x 6 g(x)，即 g(x)的周期为 12.
又 f ( 4) 0，由①可得 f 2 f 4 2 ，得 f 2 2，
又由 f x 2 g x 1 1可得 f (2) g(1) 1，即得 g(1) 1.
因 f 2030 g 2029 1，可得， f 2030 1 g 2029 ，
于是， f (2030) g(2017) 1 g 2029 g(2017) 1 g(1) g(1) 1 2g(1) 3.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的对称性应用，属于难题.
解题关键在于根据中心对称和轴对称得出函数关系式： f x f 2 x 2 ①和 g x 1 g x 1 ②，
再由 f (x 2) g(x 1) 1利用消元思想，转化为关于 g(x)的关系式是最关键之处，其次是利用 g(x)的关系
式求得 g(x)的周期是第二关键，之后赋值求得 g(1) 1即可得解.
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且 f (2x 1)为偶函数， f (x 2)为奇函数，当
x [0,1]时， f (x) 1 12x ，则
f (11) （ ）
1
A 1． 1 B． C． 2 D．12
【答案】C
【分析】先根据 f (2x 1)为偶函数， f (x 2)为奇函数，求出函数的周期，再根据函数的周期求解即可.
【详解】因为 f (2x 1)为偶函数，
所以 f 2x 1 f 2x 1 ，即 f x 1 f x 1 ，所以 f x f x 2 ，
因为 f (x 2)为奇函数，
所以 f x 2 f x 2 ，
所以 f x f x 2 ，即 f x 2 f x ，
所以 f x 4 f x 2 f x ，
所以函数 f x 是以 4为周期的周期函数，
所以 f 11 f 3 ，
又 f x 2 f x ，所以 f 3 f 1 1 ，
2
即 f (11)
1
.
2
故选：C.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将
它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多
以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称
性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值
的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用
奇偶性和单调性求解.
2．（2024·江苏南通·三模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x 1 为偶函数， f x 2 1为奇函数．若
26
f 1 0，则 f (k) （ ）
k 1
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线 x 1对称和关于点 (2,1) 对称，则得到其周期，再计算其一个周
期内的和，最后代入计算即可.
【详解】 f (x 1)为偶函数，则 f (x 1) f x 1 则 f (x) 关于 x 1对称，
f (x 2) 1为奇函数，则 f ( x 2) 1 f (x 2) 1，
即 f ( x 2) f (x 2) 2，则关于点 (2,1)对称，
则由其关于 x 1对称有 f (x) f x 2 ，则 f (x) f (x 2) 2，
则 f (x 2) f (x 4) 2，作差有 f (x) f (x 4) ，
\ f (x)为周期函数，且周期为 4，因为 f (1) f (3) 2， f 1 0，则 f (3) 2，
因为 f (0) f 2 ， f (0) f (2) 2，则 f (0) f (2) 1，
f (4) f 0 1，则 f (1) f (2) f (3) f (4) 4 ，
24 26
\ f (k) 24， f (k) 24 0 1 25，
k 1 k 1
故选：C.
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x 2 2为奇函数， f 3x 1 为偶函
2024
数， f 1 0，则 f (k) .
k 1
【答案】4048
【分析】根据题中 f x 2 2为奇函数， f 3x 1 为偶函数，从而可得出 f x 为周期为 4 的函数，从而可
求解.
【详解】由题意得 f x 2 2为奇函数，所以 f x 2 2 f x 2 2 0，即 f x 2 f x 2 4，
所以函数 f x 关于点 2,2 中心对称，
由 f 3x 1 为偶函数，所以可得 f x 1 为偶函数，则 f x 1 f x 1 ，所以函数 f x 关于直线 x 1对
称，
所以 f x 2 f x f x 2 ，从而得 f x f x 4 ，所以函数 f x 为周期为 4 的函数，
因为 f 1 0，所以 f 1 f 3 4，则 f 3 4，
因为 f x 关于直线 x 1对称，所以 f 3 f 1 4，
又因为 f x 关于点 2,2 对称，所以 f 2 2，
又因为 f 4 f 2 f 0 ，又因为 f 2 f 2 4 f 2 2，所以 f 1 f 2 f 3 f 4 8，
2024
f (k) 2024所以 é f 1 f 2 f 3 f 4 ù 4048 .
k 1 4
故答案为：4048.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内
f 1 , f 2 , f 3 , f 4 的值，最后求和即可.
考点十一、奇偶性对称性的综合应用
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 y f x 1 1为奇函数，则 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 （ ）
A．6 B．5 C． 6 D． 5
【答案】D
【分析】根据奇函数性质对函数 f x f x 1 1依次赋值 x 0,1,2即可求解.
【详解】由题 y f x 1 1为奇函数，则 f x 1 1 f x 1 1，
所以 f x 1 f x 1 2 f 2 x f x 2，
所以 f x 关于 1, 1 对称，
所以 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 é f 1 f 3 ù f 1 é f 0 f 2 ù 2 1 2 5，
故选：D.
2．（2024·黑龙江·三模）已知函数 f x ex e x sinx 2在 2,2 上的最大值和最小值分别为M ， N ，则
M N （ ）
A． 4 B．0 C．2 D．4
【答案】A
【分析】构造函数 g x f x 2，证明 g x 为奇函数，从而得到M 2 N 2 0，即可求出M N 的值.
【详解】令 g x f x 2 ex e x sinx，定义域为R ，
因为 f x 在 2,2 上的最大值和最小值分别为M ， N ，
所以 g x 在 2,2 上的最大值和最小值分别为M 2 ，N 2，
因为 g x e x ex sin x e x ex sinx g x ，
所以 g x 为奇函数， g x 的图象关于原点对称，
所以 g x 的最大值和最小值互为相反数，即M 2 N 2 0，
所以M N 4，
故选：A.
1．（2024·河北·二模）已知函数 y f x 1 为奇函数，则函数 y f x 1的图象（ ）
A．关于点 1,1 对称 B．关于点 1,-1 对称
C．关于点 1,1 对称 D．关于点 1, 1 对称
【答案】C
【分析】由函数的平移变化即可求得出答案.
【详解】函数 y f x 1 为奇函数，图象关于 0,0 对称，
将函数 y f x 1 向左平移一个单位可得函数 y f x ，
则函数 y f x 关于 1,0 对称，
所以函数 y f x 1的图象关于 1,1 对称.
故选：C.
2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)，若 y | f (x) 2 |的图象关于直线
x 1对称，则下列说法正确的是（ ）
A． y | f (x) |的图象也关于直线 x 1对称 B． y f (x) 的图象关于 (1, 2)中心对称
C． a b c d 2 D．3a b 0
【答案】BCD
【分析】根据题意，由函数图象的对称性可得 f (0) f (2) 4， f (1) 2，由此分析可得b 3a,由此分析选
项，即可得答案.
【详解】设 y | f (x) 2 |关于直线 x 1对称，
所以， | f (1 x) 2 | | f (1 x) 2 |，
所以 f (1 x) 2 f (1 x) 2 或 f (1 x) 2 f (1 x) 2 ，
当 f (1 x) 2 f (1 x) 2 时，f (1 x ) f (1 x )， y f (x) 的图象关于直线 x 1对称，
此时， a 1 x 3 b 1 x 2 c 1 x d a 1 x 3 b 1 x 2 c 1 x d ，
∴ a é 1 x
3 1 x 3 ù b é 1 x
2 1 x 2 ù c é 1 x 1 x ù 0 ，
2
当 x 0时， a é 1 x 1 x 1 x 1 x
2 ù
b é 1 x 1 x ù c 0 ,
∴ a x2 3 2b c 0 ∴ x2， 3 2b c ，
a
2b c
又∵ 是一个定值，而 x2a 3
随 x 的不同而不同，
∴此等式不成立，即 f (1 x) 2 f (1 x) 2 不成立,
∴ f (1 x) 2 f (1 x) 2 ，即 f (1 x) f (1 x) 4，所以 y f (x) 的图象关于 (1, 2)中心对称，B 正确；
∴ f (1) f (1) 2 f (1) 4， f (1) 2，即 a b c d 2，C 正确.
0, f (0) 与 2, f (2) 关于 (1, 2)对称，
∴ f (0) f (2) 4，即 d 8a 4b 2c d 4 ，即 4a 2b c d 2，
∴ 3a b 0，D 正确，
又 a b c d 2，则 2a c d 2，即 2a c 2 d ，
f (0) d ，而 f (2) 8a 4b 2c d 4a 2c d 4 d ，
若 A 选项成立，则 f (0) f (2) 时， d 2，所以 2a c 0
但此时， f ( 1) a b c d 4a c 2 6a 2 ， f (3) 6a 2
所以由 f 1 f 3 可得 a 0，但这与已知矛盾，
所以 y | f (x) |的图象不可能关于直线 x 1对称，A 错误.
故选：BCD.
考点十二、函数性质的全部综合应用
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f x f x 2x， f 0 2 ，且
y f x 1 1为奇函数，则（ ）
A． f 1 3 B．函数 y f x x 的一个周期为 4
19
C． f 2024 2022 D． f i 150
i 1
【答案】BC
【分析】根据奇函数的性质得到 f 1 1，利用赋值法判断 A，令 g x f x x，结合 f x f x 2x，
即可得到 g x 为偶函数，推出 g x 的周期，即可判断 B、C，再由 f x 2 f x 2 1 x 利用并项求和
判断 D.
【详解】因为 y f x 1 1为定义域为 R 上奇函数，所以 f 0 1 1 0，即 f 1 1，
在 f x f x 2x，令 x 1，可得 f 1 f 1 2 3，故 A 错误；
令 g x f x x，因为 f x f x 2x，所以 f x x f x x ，即 g x g x ，
所以 g x 为偶函数，
又 y f x 1 1为奇函数，所以 f x 1 1 f x 1 1 0，
即 f x 1 f x 1 2，所以 f x 2 f x 2 ，
所以 f x 2 x 2 f x x 4，即 g x g x 2 4 ，
所以 g x g x 2 4，则 g x 4 g x 2 4 ，所以 g x g x 4 ，
所以 g x 是以 4为周期的周期函数，
所以 f 2024 2024 g 2024 g 0 f 0 2 ，则 f 2024 2022，故 B、C 正确；
由 f x f x 2x与 f x 2 f x 2 得 f x 2 f x 2x 2，
所以 f x 2 f x 2 1 x ，
所以 f 2 f 0 2 1， f 1 f 3 2 0， f 4 f 6 2 3 ，
f 5 f 7 2 4 ， f 8 f 10 2 7 ，
f 9 f 11 2 8 ， f 12 f 14 2 11 ，
f 13 f 15 2 12 ， f 16 f 18 2 15 ，
f 17 f 19 2 16 ，
19 19
所以 f i f 0 f i
i 1 i 0
2 2 1 0 3 4 7 8 11 12 15 16 152，故 D 错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令 g x f x x，利用赋值法及所给条件一一计算.
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f xy xf y yf x 2 x y 1 ，
f x 的导函数为 f x ，则（ ）
A． f 1 2 B． f x 是单调函数
20
C． é f i f i ù 80 D． f x 为偶函数
i 1
【答案】ACD
【分析】对于 A：利用赋值法分析可得 f 1 = -2， f 1 2；对于 B：根据 f 1 f 1 2结合单调性
的定义分析判断；对于 C：分析可得 f x f x 4，即可得结果；对于 D：对 f x f x 4求导，
结合偶函数的定义分析判断.
【详解】因为 f xy xf y yf x 2 x y 1 ，且 f x 的定义域为R ，
对于选项 A：令 x y 1，则 f 1 2 f 1 2，可得 f 1 = -2；
令 x y 1，则 f 1 2 f 1 6 2，可得 f 1 2，故 A 正确；
对于选项 B：由选项 A 可知 f 1 f 1 2，所以 f x 不是单调函数，故 B 错误；
对于选项 C：令 y 1，可得 f x xf 1 f x 2 x 2 2x f x 2 x 2 f x 4，
20
即 f x f x 4，所以 é f i f i ù 80，故 C 正确；
i 1
对于选项 D：由选项 C 可知 f x f x 4，
对两边求导得 f x f x 0，即 f x f x ，
所以 f x 为偶函数，故 D 正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问
题．
3．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数 f x ， g x 及导函数 f x ， g x 的定义域均为 R .若
g x 1 是奇函数，且 f x g x 1 ， g x 1 f 4 x 2 ，则（ ）
A． f 0 2 B． f x 是偶函数
2024 2024
C． g n 0 D． f n 4048
n 1 n 1
【答案】CD
【分析】由 f x g x 1 可知， f x a g x 1 b . 结合 g x 1 f 4 x 2 ,可得
f x g x 1 2，且 g x 1 是奇函数就可以判断 A 项.根据 f x g x 1 2 , 可知 f x 是周期为 4 的
函数，以及 g x 和 f x 图象得对称点，可以判断 B 选项不正确. 利用赋值法，找到规律，即可判断 C 项正
确. 根据 f x g 3 x 2 ，及周期性可以知道， f 1 f 2 f 3 f 4 8，即可判断 D 项正确.
【详解】因为 f x g x 1 ，所以 f x a g x 1 b（ a，b R ）.
又因为 g x 1 f 4 x 2 ，所以， f 4 x 2 g x 1 .
则 f 3 x 2 g x ，所以 f x 2 g 3 x .
于是可得 g 3 x 2 a g x 1 b ，令 x 1，
则 g 3 1 2 a g 1 1 b ，所以 a 2 b .
所以 f x g x 1 2，所以 f 4 x g 5 x 2，
又因为 g x 1 f 4 x 2 ，所以 g x 1 g 5 x ，即 g x g 4 x ①
因为 g x 1 是奇函数，所以 g x 1 g x 1 g 2 x g x 0 ②，
g 1 0， f 0 g 1 2 2 ，所以 A 错误.
由①②得 g x 4 g x ，所以函数 g x 是周期为 4 的周期函数.
因为 f x g x 1 2，因此函数 f x 也是周期为 4 的函数.
又 g x 的图像关于点 1,0 对称，所以 f x 的图像关于点 0, 2 对称，所以 B 选项不正确.因为
g 2 x g x 0，令 x 1，得 g 1 g 1 0，
即 g 1 0，所以 g 1 g 3 0；
令 x 0，得 g 2 g 0 0，所以 g 2 g 4 0，
n 1
所以 g 1 g 2 g 3 g 4 0，所以 g n 0 ，所以 C 选项正确.
2024
因为 f x g 3 x 2 ，所以 f 0 g 3 2 2，
f 2 g 1 2 2， f 1 g 2 2，
f 3 g 0 2， f 4 f 0 2
则有 f 1 f 2 f 3 f 4 g 2 2 2 g 0 2 2 8，
n 1
可得 f n 4048，所以 D 选项正确.
2024
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过导数的关系和奇函数的性质推导函数间的关系.采用赋值法，找到
周期函数的周期，再借助图象关于某点对称推出另一个函数的对此点再根据平移变换进行解答.
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数 f (x) 的定义域为R ，若"x, y R，有
f (x y) f (x y) 2 f (x) f ( y), f (1) 0， f (0) 0，则（ ）
A
1 2
． f (0) 1 B． f
2 2
C． f (x) 为偶函数 D．4 为函数 f (x) 的一个周期
【答案】ACD
【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解.
【详解】根据题意， f (x y) f (x y) 2 f (x) f (y)，
取 x y 0 ，得 2 f (0) 2 f 2 (0) ，因为 f (0) 0，所以 f (0) 1，A 正确;
x 1 1取 , y ，得 f (1) f (0) 2 f 2
1 1 2
2 2 2
，所以 f 2
，B 错误;
2
取 x 0, y x，得 f (x) f ( x) 2 f (x) ，即 f (x) f ( x) ，
所以 f (x) 为偶函数，C 正确;
取 y 1，得 f (x 1) f (x 1)，所以 f (x 2) f (x), f (x 4) f (x 2) f (x) ，
即 4 为函数 f (x) 的一个周期，D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取
0,1,2, 1, 2等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现 x, x；当然要结合所求灵活赋值，
根据函数的性质进行求解.
2．（2024·河南郑州·二模）（多选）已知函数 f x 的定义域为R