第 04 讲 对数与对数函数
（含对数型糖水不等式的应用）
（8 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断指数函数的单调性
2024 年新 I 卷，第 6 题,5 分 判断对数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2024 年新Ⅱ卷，第 8 题,5 分 由对数函数的单调性解不等式 函数不等式恒成立问题
对数函数模型的应用
2023 年新 I 卷，第 10 题,5 分 对数的运算性质的应用
对数函数的单调性解不等式
2021 年新Ⅱ卷，第 7 题,5 分 比较对数式的大小 无
2020 年新 I 卷，第 12 题,5 分 对数的运算 随机变量分布列的性质
2020 年新Ⅱ卷，第 7 题,5 分 对数函数单调性 复合函数的单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为 5-6
分
【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或
常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点
3.熟练掌握对数函数 y log x (a 0且 a 1)与指数函数 y a xa (a 0且 a 1)的图象关
系
【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备
考复习
知识讲解
1. 对数的运算
（1）对数的定义
a x如果 N (a 0且a 1) ，那么把 x 叫做以 a 为底， N 的对数，记作 x loga N ，其中 a 叫做对数的底
数， N 叫做真数
（2）对数的分类
一般对数：底数为 a ， a 0,且a 1，记为 loga N
常用对数：底数为 10，记为 lg N ，即： log 10 x lg x
自然对数：底数为 e（e≈2.71828…），记为 ln N ，即： log e x ln x
（3）对数的性质与运算法则
①两个基本对数：① loga 1 0 ，② loga a 1
②对数恒等式：① a loga N N ，② loga a
N N 。
log b logc b lgb ln b③换底公式： a logc a lg a ln a
；
1
推广 1：对数的倒数式 loga b loglog a a
b logb a 1
b
推广 2： loga b logb c logc a 1 loga b logb c logc d loga d 。
④积的对数： loga MN loga M loga N ；
⑤商的对数： log Ma loga M loga N ；N
⑥幂的对数： log bma m loga b， log
1
a n b loga b，n
n
log m
m
a n b loga b ， log m b log b mn aa n
2. 对数函数
（1）对数函数的定义及一般形式
形如： y loga x a 0且a 1, x 0 的函数叫做对数函数
（2）对数函数的图象和性质
a 1 0 < a <1
图
象
定义域： 0,
值域： R
性 当 x 1时， y 0即过定点 1, 0
质 当0 < x <1时， y ( ,0) ； 当 x 1 时， y ( ,0) ；
当 x 1 时， y (0, ) 当0 < x <1时， y (0, )
在 0, 上为增函数 （5）在 0, 上为减函数
3. 对数型糖水不等式
(1) 设 n N , 且 n 1 , 则有 logn 1 n < logn 2 (n 1)
(2) 设 a b 1, m 0 , 则有 loga b < loga m (b m)
(3) 上式的倒数形式：设 a b 1, m 0 , 则有 logb a logb m (a m)
考点一、对数的运算
1．（2024· b重庆·三模）已知a log2 5,8 5 ，则 ab ．
2．（2024·青海·模拟预测）若 a log3 5，5b 6 ，则 ab log3 2 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
1 1
3．（2024·四川·模拟预测）若实数m ， n， t 满足5m 7n t 且 2，则 t （ ）m n
A． 2 3 B．12 C． 5 D． 35
a21．（2024·河南郑州·三模）已知 logab 4logba 4，则 的值为 ．2b
1 1 5
2．（2024·全国·高考真题）已知 a 1且 a log8a log 4 2
，则 ．
a
3．（2024·辽宁丹东·一模）若2a 3，3b 5，5c 4，则 log4 abc （ ）
A． 2 B 1 2． 2 C． D．12
考点二、对数函数的定义域
1．（2024·河南·三模）函数 f (x) ln(1 x) 的定义域为（ ）
A． ( ,0] B． ( ,1) C．[0,1) D．[0, )
1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数 f (x) lg(2x 1)的定义域是（ ）
1 1 1 ù é1
A． , ÷ B． , ÷ C． , D ,
è 2 è 2
．
è 2 ÷ ú ê 2
lg 10 x2
2．（2024· 青海海南·二模）函数 f (x) 的定义域为（ ）
x
A． ( 10, 10) B． ( , 10) U ( 10, )
C．[ 10, 10] D． ( 10,0) (0, 10)
考点三、对数函数的图象与性质
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致图象
如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
2．（2024·广东深圳·二模）已知 a 0，且a 1，则函数 y loga x
1
÷ 的图象一定经过（ ）
è a
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线 2mx ny 4 0（m 0， n 0）过函数 y loga x 1 2（ a 0，且a 1）
2 6
的定点 T，则 的最小值为 .
m n
1 1
1．（2024 高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ x ，y＝loga（x＋ ）（a＞0，且 a≠1）a 2
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 y loga x 2 1(a 0 ，且 a 1)的图象所过定点恰好在椭圆
x2 y2
1(m 0, n 0) 上，则m n的最小值为 .
m n
考点四、对数函数的单调性
y log (x21．（辽宁·高考真题）函数 1 5x 6) 的单调减区间为（ ）
2
5 5 A． ， ÷ B． (3， ) C． ， ÷ D． ( ，2)è 2 è 2
2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 f (x) ln(ax 2) 在区间 (1, 2)上单调递减，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． a<0 B． 1 a < 0 C． 1 < a < 0 D． a 1
ì x2 2ax a, x < 0
3．（2024·全国·高考真题）已知函数 f (x) í x 在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
e ln(x 1), x 0
A． ( ,0] B．[ 1,0] C．[ 1,1] D．[0, )
4．（2024·北京·高考真题）已知 x1, y1 ， x2 , y2 是函数 y 2x 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． log
y1 y2 x1 x2 log y1 y2 x1 x2 < B． 2 22 2 2 2
y
C． log 1
y2 y y
2 < x 1 22 1
x2 D． log2 x1 x2 2
1．（23-24 2高三下·青海西宁·开学考试）已知函数 f x lg x ax 1 在区间 , 2 上单调递减，则 a 的
取值范围为 ．
2．（2022 高三·全国·专题练习）函数 f x log1 2x2 3x 2 的单调递减区间为 ．
5
ì 3a 1 x 2a, x 1
3．（23-24 高三上·甘肃白银·阶段练习）已知 f x í 是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的
loga x, x 1
取值范围为 ．
考点五、对数函数的值域与最值
1．（山东·高考真题）函数 f (x) log2 (3
x 1) 的值域为（ ）
A． (0, ) B．[0, ) C． (1, ) D．[1, )
2．（22-23 高三上· 2河北·阶段练习）已知函数 f x lg ax 6x 5 的值域为R ，那么 a的取值范围
是 .
3．（23-24 高一下·上海闵行·阶段练习）函数 y log 1 x 2 x
2 , x 2,6 的最大值为 .
2
1．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x ln x x, x 1,e 的值域为 ．
y log x22．（2023 高一·全国·课后作业）函数 1 6x 17 的值域是 ．
2
2
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x log2x 1 x 4 ，则函数 g x é1 f x ù f x2 的值域
为 ．
考点六、对数函数中奇偶性的应用
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) log2 x2 a x 是奇函数，则a .
2．（23-24 · x x 2高一上 安徽阜阳·期末）若函数 f x m e e n ln x x 1 1（m，n 为常数）在 1,3 上
有最大值 7，则函数 f x 在 3, 1 上（ ）
A．有最小值 5 B．有最大值 5 C．有最大值 6 D．有最小值 7
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 f x log 1 2 a ÷ b ，若函数 f x 的图象关于点 1,0 对称，
è x 1
则 logab （ ）
1 1
A．-3 B．-2 C． D．
2 3
1．（22-23 高二下· 3 2江西上饶·阶段练习）已知函数 f x x ln x 1 x 3， x [ 2023,2023]的最大值为
M ，最小值为m ，则M m .
1
2．（2024·宁夏银川·二模）若 f x ln a b 是奇函数，则b ．
1 x
考点七、对数函数值的大小比较（含构造函数比较大小）
1 0.3 0.3．（2024·天津·高考真题）若 a 4.2 ，b 4.2 ，c log4.2 0.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． a b c B．b a c C． c a b D．b c a
1 0.72 2022· · a 20.7 b ．（ 天津 高考真题）已知 ， ÷ ， c log
1
2 ，则（3 ）è 3
A． a c b B．b c a C． a b c D． c a b
1
3．（2022· · a 0.1e0.1全国 高考真题）设 ,b ，c ln 0.9，则（ ）
9
A． a < b < c B． c < b < a C． c
4．（2021·全国·高考真题）设 a 2ln1.01，b ln1.02， c 1.04 1．则（ ）
A． a < b < c B．b1．（2021·天津·高考真题）设 a log2 0.3,b log1 0.4,c 0.4
0.3
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
2
A． a < b < c B． c1
2．（2021·全国·高考真题）已知 a log5 2，b log8 3， c ，则下列判断正确的是（2 ）
A． c < b < a B．b < a < c C． a < c < b D． a < b < c
3 3．（2024·全国·模拟预测）若 loga 4 2 2 ，b log14 7， c log12 6 ，则（ ）
A． a b c B．b c a
C． c b a D． a c b
4．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）设 a log3 4 ，b log0.8 0.7 ， c 1.0251 ，则 a，b，c 的大小关系为
（ ）
A． a < c < b B． a < b < c
C．b < a < c D． c5 2024· · a 1012
2023
b 1013
2025
．（ 山西 二模）设 ÷ ， ，则下列关系正确的是（ ）
è 1011 è1012 ÷
A． e2 < a < b B． e2 < b < a C． a < b < e2 D．b < a < e2
考点八、对数型糖水不等式的应用
1．（2022·全国·统考高考真题）已知9m 10,a 10m 11,b 8m 9，则（ ）
A．a 0 b B．a b 0 C．b a 0 D．b 0 a
1. 比较大小: log7 4 与 log9 6？
2．（2024·重庆·模拟预测）设 a log2024 2023，b log2023 2022， c log0.2024 0.2023，则（ ）
A． cC．b < a < c D． a < b < c
一、单选题
1．（2024·河北衡水·三模）已知集合 A 1,2,3,4,5 B ìx 1 lg x 1 1 ü， í ，则 AI B （2 ）
ìx 11 x 5ü {2,3, 4} {2,3} ìx 11A． í
ü
B C D
10 ． ． ． í
x 3
10
2．（2024·贵州贵阳·三模）已知a 40.3,b log4 a
4 ,c log4 log4 a ，则（ ）
A． a b c B． a c b C．b c a D． c a b
1
3．（2024·天津滨海新·三模）已知 a 2log2 0.4，b log0.4 2 ， c log0.3 0.4
，则（ ）
A． a b c B．b a c C． c a b D． a c b
2
4．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数 f (x) 为R 上的奇函数，且当 x 0时， f (x) log2x 1，则 f ( 3 4) 3
（ ）
5 5 4 4
A． B． C． D．
9 9 9 9
5．（2024·河北沧州·模拟预测）直线 x 4与函数 f x loga x(a 1), g x log 1 x分别交于 A, B两点，且 AB 3，
2
则函数 h x f x g x 的解析式为（ ）
A． h x log2x B． h x log4x
C． h x log2x D． h x log4x
6．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 y cosx与 y lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x 3) f (x 1)，且当 x ( 2,0)时，
f (x) log2 (x 3)，则 f (2021) f (2024) （ ）
A．1 B． 1 C．1 log2 3 D． 1 log2 3
二、填空题
8．（2024·湖北·模拟预测）若函数 f x ln e2x a x x R 为偶函数，则a .
9．（2024·吉林·模拟预测）若函数 f (x) ln(ax 1)在 (1, 2)上单调递减，则实数 a的取值范围
为 ．
10 2024· · f x ln m x g x e
lx e lx
．（ 四川成都 三模）函数 的图象过原点，且 f x m ，若 g a 6，2 x 2
则 g a .
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数 f (x) ln | x a |在区间 (2,3) 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． ( ,3] B． ( , 2] C．[2, ) D．[3, )
e2 mx 1
2．（2024· 山东菏泽·模拟预测）已知函数 f x ln 2 m 0 是定义在区间 a,b 上的奇函数，则
1 3x
实数b 的取值范围是（ ）
A． 0,9 2ù 1ùB． 0,3 C． 0, ú D． 0,è 3 è 3ú
a,b,c 1, 8 lna 7 lnb 6 lnc3．（2024·河北·三模）已知 ， ， ， ，则下列大小关系正确的是（ ）
a ln10 b ln11 c ln12
A． c b a B． a b c C．b c a D． c a b
4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数 f (x) log4 (4
x 1) 1 x ，若 f (a 1) f (2a 1)成立，则实数 a 的取
2
值范围为（ ）
A． ( , 2] B． ( , 2] [0, ) C．[ 2,
4] D． ( , 2]U[
4 , )
3 3
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知a ln
7
，b cos
2 2
， c ，则 a,b,c的大小关系为（
5 ）5 5
A． a b c B．b c a C． c b a D． c a b
ì 1 , x 3
6．（2024·陕西安康· 4x 4 4模拟预测）已知函数 f x í 是R 上的单调函数，则实数 a的取值范围
loga (4x) 1, x
3
4
是（ ）
A． 0,1 B． 1, 3ù C． 1, 3 D． 1,3
a2
7．（2024·河北衡水·模拟预测）设 a 0, a 1
3 2
，若函数 f x x a ÷ loga x 1 xa 1 是偶函数，则a è
（ ）
A 1
3
． 2 B． C．2 D．32
17 3
8．（2024·
a
湖北黄冈·二模）已知 a,b,c,d 分别满足下列关系：16 15,b log17 16, log15 c ,d tan ，则
16 16 2
a,b,c,d 的大小关系为（ ）
A． a < b < c < d B． c < a < b < d
C． a < c < b < d D． a < d < b < c
二、多选题
ì0,0 < x <1
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 f x í ，lnx, x 1 若a b 0，且 ab 1，则下列关系式一定成
立的为（ ）
A f ab． bf a B． f ab f a f b
C． f
a
÷ f a f b D． f a b < f a f b ln2
è b
三、填空题
10．（2024· x 1陕西西安·模拟预测）函数 y loga x a 2 （ a 0且a 1）的图象恒过定点 k,b ，若
9 1
m n b k 且m 0， n 0，则 的最小值为 ．
m n
1 1 5
1．（2024·全国·高考真题）已知 a 1且 a log8a log 4 2
，则 ．
a
2．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) (x a) ln(x b)，若 f (x) 0，则 a2 b2 的最小值为（ ）
1 1
A 1． B． C． D．1
8 4 2
1
3．（2023·北京· x高考真题）已知函数 f (x) 4 log2 x f
，则 ÷ ．
è 2
4．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压
级 Lp 20 lg
p
p ，其中常数
p0 p0 0 是听觉下限阈值， p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
0
声源 与声源的距离 /m 声压级 /dB
燃油汽车 10 60 ~ 90
混合动力汽车 10 50 : 60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为 p1, p2 , p3，则（ ）．
A． p1 p2 B． p2 10 p3
C． p3 100 p0 D． p1 100 p2
5．（2022·天津·高考真题）化简 2log4 3 log8 3 log3 2 log9 2 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．（2022·浙江·高考真题）已知2a 5,log8 3 b，则4a 3b （ ）
25 5
A．25 B．5 C． D．
9 3
1
7．（2022·全国·高考真题）若 f x ln a b 是奇函数，则a ，b ．
1 x
1 1
8．（2021·天津·高考真题）若 2a 5b 10，则 （ ）a b
A． 1 B． lg 7 C．1 D． log7 10
9．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记
录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 满足 L 5 lgV ．已知某同
学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ 10 10 1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
10．（2020·全国·高考真题）已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a（含对数型糖水不等式的应用）
（8 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断指数函数的单调性
2024 年新 I 卷，第 6 题,5 分 判断对数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2024 年新Ⅱ卷，第 8 题,5 分 由对数函数的单调性解不等式 函数不等式恒成立问题
对数函数模型的应用
2023 年新 I 卷，第 10 题,5 分 对数的运算性质的应用
对数函数的单调性解不等式
2021 年新Ⅱ卷，第 7 题,5 分 比较对数式的大小 无
2020 年新 I 卷，第 12 题,5 分 对数的运算 随机变量分布列的性质
2020 年新Ⅱ卷，第 7 题,5 分 对数函数单调性 复合函数的单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为 5-6
分
【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或
常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点
3.熟练掌握对数函数 y log x (a 0且 a 1)与指数函数 y a xa (a 0且 a 1)的图象关
系
【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备
考复习
知识讲解
1. 对数的运算
（1）对数的定义
a x如果 N (a 0且a 1) ，那么把 x 叫做以 a 为底， N 的对数，记作 x loga N ，其中 a 叫做对数的底
数， N 叫做真数
（2）对数的分类
一般对数：底数为 a ， a 0,且a 1，记为 loga N
常用对数：底数为 10，记为 lg N ，即： log 10 x lg x
自然对数：底数为 e（e≈2.71828…），记为 ln N ，即： log e x ln x
（3）对数的性质与运算法则
①两个基本对数：① loga 1 0 ，② loga a 1
②对数恒等式：① a loga N N ，② loga a
N N 。
log b logc b lgb ln b③换底公式： a logc a lg a ln a
；
1
推广 1：对数的倒数式 loga b loglog a a
b logb a 1
b
推广 2： loga b logb c logc a 1 loga b logb c logc d loga d 。
④积的对数： loga MN loga M loga N ；
⑤商的对数： log Ma loga M loga N ；N
⑥幂的对数： log bma m loga b， log
1
a n b loga b，n
n
log m
m
a n b loga b ， log m b log b mn aa n
2. 对数函数
（1）对数函数的定义及一般形式
形如： y loga x a 0且a 1, x 0 的函数叫做对数函数
（2）对数函数的图象和性质
a 1 0 < a <1
图
象
定义域： 0,
值域： R
性 当 x 1时， y 0即过定点 1, 0
质 当0 < x <1时， y ( ,0) ； 当 x 1 时， y ( ,0) ；
当 x 1 时， y (0, ) 当0 < x <1时， y (0, )
在 0, 上为增函数 （5）在 0, 上为减函数
3. 对数型糖水不等式
(1) 设 n N , 且 n 1 , 则有 logn 1 n < logn 2 (n 1)
(2) 设 a b 1, m 0 , 则有 loga b < loga m (b m)
(3) 上式的倒数形式：设 a b 1, m 0 , 则有 logb a logb m (a m)
考点一、对数的运算
1．（2024· b重庆·三模）已知a log2 5,8 5 ，则 ab ．
【答案】3
【分析】由指数式与对数式的互化关系求出b ，再利用对数运算性质计算即得.
【详解】由8 5b ，得b log5 8，所以 ab log2 5 log5 8 3log2 5 log5 2 3 .
故答案为：3
2．（2024·青海·模拟预测）若 a log3 5，5b 6 ，则 ab log3 2 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【详解】由5b 6 b log5 6，
log 6
所以 ab log3 2 log3 5 log5 6 log3 2 log3 5
3 log 2 log 6 log 2
log 5 3 3 3 log
6
3 log3 3 1
3 2
故选：A
3．（2024·四川·模拟预测）若实数m n t m n
1 1
， ， 满足5 7 t 且 2，则 t （ ）m n
A． 2 3 B．12 C． 5 D． 35
【答案】D
【分析】根据指对数的互化可得m log5 t ， n log t
1 1
7 ，代入 2，即可计算得到 t 的值.m n
1 1
【详解】因为5m 7n t 且 2，易知 t 0且 t 1，m n
所以m log5 t ， n log7 t ，
1
所以 logt 5
1
， logt 7，m n
1 1
所以 logt 5 logt 7 logt 35 2，则 t 35 .m n
故选：D．
2
1．（2024·河南郑州·三模）已知 log aab 4logba 4，则 的值为 ．2b
1
【答案】 /0.5
2
【分析】根据对数的运算性质求解即可.
【详解】因为 logab 4logba 4，
所以 logab
4
4
log b ，可得 loga b
2 4loga b 4 0 ，
a
2
即 loga b 2 0，
所以 loga b 2，即 a2 b，
a2 a2 1
所以 .
2b 2a2 2
1
故答案为： 2 .
1 1 5
2．（2024·全国·高考真题）已知 a 1且 a log8a loga 4 2
，则 ．
【答案】64
【分析】将 log8 a, loga 4利用换底公式转化成 log2 a 来表示即可求解.
1 1 3 1 5
【详解】由题 loglog a log 4 log a 2 2
a
2 ，整理得 log2 a
2 5log2 a 6 0，
8 a 2
log2 a 1或 log2 a 6，又 a 1，
6
所以 log2 a 6 log 62 2 ，故 a 2 64
故答案为：64.
3．（2024·辽宁丹东·一模）若2a 3，3b 5，5c 4，则 log4 abc （ ）
A 2 B 1 C 2． ． 2 ． D．12
【答案】B
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【详解】由2a 3，3b 5，5c 4，可得 a log2 3,b log3 5,c log5 4，
abc log 3 log 5 log 4 lg3 lg5 lg 4所以 2 3 5 2 log abc log 2
1
lg 2 lg3 lg5 ，则 4 4 .2
故选：B.
考点二、对数函数的定义域
1．（2024·河南·三模）函数 f (x) ln(1 x) 的定义域为（ ）
A． ( ,0] B． ( ,1) C．[0,1) D．[0, )
【答案】A
【分析】使函数有意义，即得关于 x 的不等式组，解之即得函数定义域.
ì 1 x 0
【详解】函数 f (x) ln(1 x) 有意义，等价于 í
ln(1 x) 0
，
解得， x 0 ，故函数的定义域为 ( ,0] .
故选：A.
1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数 f (x) lg(2x 1)的定义域是（ ）
1 1 1 1
A． ,
ù é
÷ B． , ÷ C2 ．
, ú D． , ÷è 2 è è 2 ê 2
【答案】B
【分析】根据真数大于 0 得到不等式，求出定义域.
1
【详解】令 2x 1 0，解得 x ，
2
故 f x 1 的定义域为 , 2 ÷ .è
故选：B
lg 10 x22 ．（2024·青海海南·二模）函数 f (x) 的定义域为（ ）
x
A． ( 10, 10) B． ( , 10) U ( 10, )
C．[ 10, 10] D． ( 10,0) (0, 10)
【答案】D
【分析】根据对数函数的真数大于 0 和分母不为 0 即可得到不等式组，解出即可.
lg 10 x2
【详解】∵函数 f (x) ，
x
ì10 x2 0
∴ í ，解得 x ( 10,0) (0, 10)．
x 0
故选：D．
考点三、对数函数的图象与性质
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致图象
如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【详解】
解析：由已知可得 b＞a＞1＞d＞c，则 a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故 A 正确，D 错误；又 a＋d 与 b＋c 的大
小不确定，故 B，C 错误．故选 A.
1
a 0 a 1 y log x 2．（2024·广东深圳·二模）已知 ，且 ，则函数 a ÷ 的图象一定经过（a ）è
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
【答案】D
y log 1 【分析】由函数 a x ÷过 0, 1 点，分类可解.
è a
1
【详解】当 x 0时， y loga 1，a
则当 0 < a < 1时，函数图象过二、三、四象限；
则当 a 1时，函数图象过一、三、四象限；
1
所以函数 y loga x ÷的图象一定经过三、四象限.
è a
故选：D
3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线 2mx ny 4 0（m 0， n 0）过函数 y loga x 1 2（ a 0，且a 1）
2 6
的定点 T，则 的最小值为 .
m n
【答案】5 2 6
【分析】先根据对数型函数的特点求得定点T 坐标，代入直线方程得2m n 2，运用常值代换法即可求得
结论.
【详解】令 x 1 1时，可得 x 2, y loga 1 2 2，
可知函数 y loga (x 1) 2(a 0，且 a 1)的图象恒过定点T (2,2)，
因为定点T (2,2)在直线 2mx ny 4 0上，
可得2m n 2，且m 0, n 0 ，
2 6 1 2 6 (2m n) 5 n 6m则 5 2
n 6m
5 2 6 ，
m n 2 è m n ÷ m n m n
n 6m
当且仅当 ，即
m n n 6m 6 2 6
时，等号成立，
2 6
所以 的最小值为5 2 6 .
m n
故答案为：5 2 6 .
1 1
1．（2024 高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ x ，y＝loga（x＋ ）（a＞0，且 a≠1）a 2
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 y loga x 2 1(a 0 ，且 a 1)的图象所过定点恰好在椭圆
x2 y2
1(m 0, n 0) 上，则m n的最小值为 .
m n
【答案】16
【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到m 与 n的等量关系，
再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，函数 y loga (x 2) 1(a 0，且 a 1)的图象所过定点为 (3,1)，
9 1
则 1，
m n
m n (m n)( 9 1 9n m 9n m所以 ) 10 10 2 16，
m n m n m n
9n m
当且仅当 ，
m n
即m 12,n 4时等号成立.
故答案为：16.
考点四、对数函数的单调性
2
1．（辽宁·高考真题）函数 y log 1 (x 5x 6) 的单调减区间为（ ）
2
5 5
A． ，
÷ B． (3， )
C．
， D ( ，2)
è 2 è 2 ÷
．
【答案】B
【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果.
【详解】由题意， x2 5x 6 0 ，解得： x 3或 x < 2，
即函数 y log
2
1 (x 5x 6) 的定义域为： ( ，2) (3， ) ，
2
2
因为函数 y log 1 (x 5x 6) 由 y log 1 t 与 t x2 5x 6复合而成，
2 2
外函数 y log 1 t 显然单调递减，
2
要求 y log 1 (x
2 5x 6) 的单调减区间，只需 t x2 5x 6单调递增，
2
5
又 t x2 5x 6是开口向上，对称轴为 x 的二次函数，2
所以 t x2 5x 6在 x (3， )上单调递增，
即函数 y log 1 (x
2 5x 6) 的单调减区间为 x (3， ) .
2
故选：B.
【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二
次不等式解法，属于基础题型.
2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 f (x) ln(ax 2) 在区间 (1, 2)上单调递减，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． a<0 B． 1 a < 0 C． 1 < a < 0 D． a 1
【答案】B
ìa < 0
【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足 í
2a 2 0
即可，从而可求出实数
a的取值范围.
【详解】令 t ax 2，则 y ln t，
因为函数 f (x) ln(ax 2) 在区间 (1, 2)上单调递减，
且 y ln t在定义域内递增，
ìa < 0
所以 í ，解得 1 a < 0，
2a 2 0
故选：B
ì x2 2ax a, x < 0
3．（2024·全国·高考真题）已知函数 f (x) í x 在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
e ln(x 1), x 0
A． ( ,0] B．[ 1,0] C．[ 1,1] D．[0, )
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
f x R x 0 f x ex【详解】因为 在 上单调递增，且 时， ln x 1 单调递增，
ì 2a
0
则需满足 í 2 1 ，解得 1 a 0，
a e
0 ln1
即 a 的范围是[ 1,0] .
故选：B.
4．（2024·北京·高考真题）已知 x1, y1 ， x2 , y x2 是函数 y 2 的图象上两个不同的点，则（ ）
y y x x y y
A． log 1 2 < 1 2 B． log 1 2
x1 x 22 2 2 2 2 2
C． log
y1 y2
2 < x1 x
y y
2 D． log 1 22 x1 x2 2 2
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断 AB；举例判断 CD 即可.
【详解】由题意不妨设 x1 < x2，因为函数 y 2x 是增函数，所以0 < 2x1 < 2x2 ，即0 < y1 < y2，
2x1 2x2 x1 x2 x1 x2
对于选项 AB：可得 2x ·2x y y1 2 2 2 ，即 1 2 2 2 0，
2 2
y log x log y1 y
x1 x2
2 log 2 2 x1 x根据函数 2 是增函数，所以 22 2 ，故 B 正确，A 错误；2 2
对于选项 D：例如 x1 0, x2 1，则 y1 1, y2 2，
log y1 y可得 22 log
3 y y
2 0,1 ，即 log 1 22 <1 x1 x2 ，故 D 错误；2 2 2
对于选项 C：例如 x1 1, x2 2 y
1 1
，则 1 , y2 ，2 4
y y
可得 log 1 22 log
3 y y
2 log2 3 3 2, 1 ，即 log 1 22 3 x1 x2 ，故 C 错误，2 8 2
故选：B.
1．（23-24 2高三下·青海西宁·开学考试）已知函数 f x lg x ax 1 在区间 , 2 上单调递减，则 a 的
取值范围为 ．
【答案】 ( ,
5]
2
【分析】将 f x lg x2 ax 1 可看作由 y lgu,u x2 ax 1复合而成，根据复合函数的单调性，列出不
等式，即可求得答案.
u x2 ax 1 f x lg x2【详解】设 ，则 ax 1 可看作由 y lgu,u x2 ax 1复合而成，
由于 y lgu 在 (0, )上单调递增，
故要使得函数 f x lg x2 ax 1 在区间 , 2 上单调递减，
需满足u 0在区间 , 2 上恒成立，且u x2 ax 1在区间 , 2 上单调递减，
ì a
2
故 í 2 ，解得 a
5
，
2
2 2 a 1 2 0
故 a 的取值范围为 (
5
, ]，
2
5
故答案为： ( , ]
2
2
2．（2022 高三·全国·专题练习）函数 f x log1 2x 3x 2 的单调递减区间为 ．
5
1
【答案】 ,
3
è 2 4 ÷
f x log 2x2【分析】求出函数的定义域，确定 1 3x 2 由 y log1u,u 2x2 3x 2复合而成，判断这
5 5
两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数 f x log1 2x2 3x 2 ，
5
2 1
令u 2x2 3x 2，则u 2x 3x 2 0,\ < x < 2，2
则 f x log1 2x2 3x 2 2即由 y log1u,u 2x 3x 2复合而成，
5 5
由于 y log1u在 (0, )上单调递减，
5
故要求函数 f x log1 2x2 3x 2 的单调递减区间，
5
2 1
即求u 2x 3x 2, ( < x < 2) 的单调递增区间，
2
而u 2x2
3
3x 2的对称轴为 x ，4
1 3
则u 2x2 3x 2, (
1
< x < 2) 的单调递增区间为 , ÷，2 è 2 4
则函数 f x log
2
1 2x 3x 2 1 3的单调递减区间为 , ÷，
5 è 2 4
1 3
故答案为： ,
÷
è 2 4
ì 3a 1 x 2a, x 1
3．（23-24 高三上·甘肃白银·阶段练习）已知 f x í 是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的
loga x, x 1
取值范围为 ．
é1 1
【答案】
ê
,
5 3 ÷
【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
ì3a 1< 0
1 1
【详解】由题意可得 í0 < a <1 ，解得 a < .
3a 1
5 3
2a loga 1
é1 1
故答案为： ê , ÷ . 5 3
考点五、对数函数的值域与最值
1．（山东·高考真题）函数 f (x) log x2 (3 1) 的值域为（ ）
A． (0, ) B．[0, ) C． (1, ) D．[1, )
【答案】A
【分析】利用指数函数的性质求得3x 1 1，再由对数函数的性质可得结果.
【详解】Q3x 0 ，
\3x 1 1，
\log2 3x 1 0，
∴函数 f (x) 的值域为 (0, ) .
故选：A
【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题.
2．（22-23 2高三上·河北·阶段练习）已知函数 f x lg ax 6x 5 的值域为R ，那么 a的取值范围
是 .
é 9 ù
【答案】 ê0, 5ú
【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数 a是否为 0 进行分类讨论，即可求出 a的取值范
围
【详解】解：由题意
f x lg ax2在 6x 5 中，值域为R
当 a 0时， f x lg 6x 5 ，
5
∴ 6x 5 0 解得： x <
6
当 a 0时， f x lg ax2 6x 5
ì a 0 9
则 í 解得
0 < a
6
2 4a 5 0 5
0 a 9综上，
5
é 9 ù
故答案为： 0,
ê 5ú
.
y log x 2 x23．（23-24 高一下·上海闵行·阶段练习）函数 1 , x 2,6 的最大值为 .
2
【答案】 6
【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案.
【详解】由题意，知 y x2 在 2,6 上单调递减， y log 1 x 2 在 2,6 上单调递减，
2
故 y log 1 x 2 x
2
在 2,6 上单调递减，
2
2
则当 x 2时该函数取到最大值 log 1 2 2 2 6，
2
故答案为： 6
1．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x ln x x, x 1,e 的值域为 ．
【答案】 1,e 1
【分析】
利用函数的单调性可求函数的值域.
【详解】函数 f x ln x x, x 1,e 为增函数，故其值域为 1,e 1 .
故答案为： 1,e 1
2
2．（2023 高一·全国·课后作业）函数 y log 1 x 6x 17 的值域是 ．
2
【答案】 ( , 3]
【分析】利用换元法，令 t x2 6x 17，则 y log 1t ，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域
2
即可
【详解】令 t x2 6x 17，则 y log 1t ，
2
因为 t x2 6x 17 (x 3)2 8≥8，
所以 t x2 6x 17的值域为[8, ），
因为 y log 1t 在[8, ）是减函数，
2
所以 y log 1t log 1 8 -3，
2 2
y log (x2所以 1 6x 17)的值域为 ( , 3]，
2
故答案为： ( , 3]
2
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x log2x 1 x 4 ，则函数 g x é 1 f x ù f x2 的值域
为 ．
【答案】 1,6
【分析】求出函数 g x 的定义域，进而求出 log2x 的范围，利用换元法结合二次函数求函数的值域.
【详解】因为已知函数 f x log2x 的定义域为 1,4
2 ì1 x 4
且 g x é 1 f x ù f x2 ，定义域需满足 í1 x2 1 x 24 ，
可得0 log2x 1，
令 f x t 0,1 ，则 f x2 log2 x2 2log2 x 2t ，
则 y 1 t 2 2t t 2 4t 1, t 0,1 ，
又因为 y t 2 4t 1的图象开口向上，对称轴为 t 2，
可知 y t 2 4t 1在 0,1 内单调递增，
当 t 0时， y 1；当 t 1时， y 6；
可知函数 g x 的值域为 1,6 .
故答案为： 1,6 .
考点六、对数函数中奇偶性的应用
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) log x22 a x 是奇函数，则a .
【答案】1
【分析】先求出函数的定义域，然后由奇函数的性质得 f (0) 0可求出 a .
【详解】由 x2 a x 0 ，得 a 0，
所以函数 f x 的定义域为R ，
因为 f x 为奇函数，
所以 f (0) log2 a 0 ，解得 a 1，
故答案为：1
2．（23-24 x高一上·安徽阜阳·期末）若函数 f x m e e x n ln x x2 1 1（m，n 为常数）在 1,3 上
有最大值 7，则函数 f x 在 3, 1 上（ ）
A．有最小值 5 B．有最大值 5 C．有最大值 6 D．有最小值 7
【答案】A
【分析】先分析函数 g x m ex e x n ln x x2 1 的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出 g x
在 3, 1 上的最小值，由此可知结果.
【详解】设 g x f x 1 m ex e x n ln x x2 1 ，
因为 x2 1 x2 x ，所以 x x 2 1 0 恒成立，所以 g x 的定义域为R 且关于原点对称，
é ù
又 g x m e x ex n ln x x2 1 1 ê m ex e x n ln 2 ÷úê è x 1 x ú
éêm e
x e x n ln x x2 1 ùú g x ，
所以 g x 是奇函数，
因为 f x 在 1,3 上有最大值 7 ，所以 g x 在 1,3 上有最大值为6，
所以 g x 在 3, 1 上有最小值 6，所以 f x 在 3, 1 上有最小值 5．
故选：A．
1
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 f x log2 a ÷ b ，若函数 f x 的图象关于点 1,0 对称，
è x 1
则 logab （ ）
1 1
A．-3 B．-2 C． D．
2 3
【答案】C
【分析】方法一：由题意，推出 f x 1 是奇函数，根据定义域的对称性依次求得 a,b的值，即可求得
1 4a 1 4a
logab
2
；方法二：直接利用 f x f 2 x 0，将其化成 2b log2[a ] 04 3 x 4 x 1 ，再由等式恒
成立得到1 4a 0，继而求得 logab .
【详解】方法一：依题意将函数 f x 的图象向左移 1 个单位长度关于原点对称，即
f x 1 log 1 2 a ÷ b是奇函数，
è x 2
因奇函数的定义域关于原点对称，而 x 2,时函数 f x 1 无意义，故 x 2时 , f x 1 也无意义，
即 a
1
0 a 1，解得 ,
4 4
此时 f x x 2 1 log2 2 b为奇函数，则x 2
f x 1 f ( x 2 x 2 x 1) log2 2 b log2 2 b 2b 4 0x 2 x 2
1
解得b 2,故 logab log 1 2 2 .4
故选：C．
方法二：依题意 f x f 2 x 0恒成立，代入得
f x f 2 x 2b log a 1 log 1 2 ÷ 2 a 0
è x 1 è 3 x ÷
2 a a 1
化简得， 2b log2[a )] 03 x x 1 (3 x)(x , 1)
2 a a 3 x x 1
整理得： 2b log2[a )] 03 x x ， 1 4(3 x)(x 1)
2b log 2 1 4a 1 4a即 2[a ] 04 3 x 4 x 1 (*)，
1
依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使1 4a 0，则得 a ，
4
1
回代(*)可得， 2b 4 0，即b 2 ，故 logab .2
故选：C.
1 22-23 · · f x x3．（ 高二下 江西上饶 阶段练习）已知函数 ln x2 1 x 3， x [ 2023,2023]的最大值为
M ，最小值为m ，则M m .
【答案】6
【分析】
构造 g(x) f (x) 3，定义判断奇偶性，利用对称性有 g(x)max g(x)min 0，即可求结果.
3 2
【详解】令 g(x) f (x) 3 x ln x 1 x ，且 x R ，
g(x) ( x)3 ln[ ( x)2 1 ( x)] x3 ln( x2 1 x) x3 ln( x2 1 x) g(x) ，
所以 g(x)为奇函数，且在 x [ 2023,2023]上连续，
根据奇函数的对称性： g(x)在 x [ 2023,2023]上的最大、最小值关于原点对称，
则 g(x)max g(x)min M 3 m 3 0，故M m 6 .
故答案为：6
1
2．（2024·宁夏银川·二模）若 f x ln a b 是奇函数，则b ．
1 x
【答案】 ln 2
1
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到 a 0，即可求出 a的值，求出函数的定义域，再
1 x
由奇函数的性质 f 0 0，求出b 的值，即可得到结果.
1
【详解】因为 f (x) ln a b 是奇函数，
1 x
\ f (x)定义域关于原点对称，
1
由 a 0 ,可得 1 x a ax 1 0，
1 x
a 1
所以 x 1且 x ，
a
a 1
所以 1，解得 a
1
，
a 2
所以函数的定义域为 , 1 1,1 1, ，
则 f 0 0 f 0 ln 1 ，即 1 b 0 ，解得b ln 2 ，
2
此时 f (x) ln
1 1
ln 2 ln 1 x ，
2 1 x 1 x
f x ln 1 x ln 1 x f x 符合题意，
1 x 1 x
所以b ln 2 .
故答案为： ln 2 .
考点七、对数函数值的大小比较（含构造函数比较大小）
1．（2024· · 0.3 0.3天津 高考真题）若 a 4.2 ，b 4.2 ，c log4.2 0.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． a b c B．b a c C． c a b D．b c a
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 y 4.2x 在R 上递增，且 0.3 < 0 < 0.3，
所以0 < 4.2 0.3 < 4.20 < 4.20.3 ，
所以0 < 4.2 0.3 <1 < 4.20.3，即0 < a < 1 < b，
因为 y log4.2 x在 (0, )上递增，且0 < 0.2 <1，
所以 log4.2 0.2 < log4.2 1 0，即 c < 0，
所以b a c，
故选：B
0.7 1
2．（2022· · 1 天津 高考真题）已知 a 20.7，b ÷ ， c log2 ，则（3 ）è 3
A． a c b B．b c a C． a b c D． c a b
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 a、b 、 c的大小关系.
1 0.7
【详解】因为 20.7 ÷ 0 log2 1 log
1
3 2
，故 a b c .
è 3
故答案为：C.
3．（2022·全国·高考真题）设 a 0.1e0.1,b
1
，c ln 0.9，则（ ）
9
A． a < b < c B． c < b < a C． c【答案】C
【分析】构造函数 f (x) ln(1 x) x ， 导数判断其单调性，由此确定 a,b,c的大小.
【详解】方法一：构造法
设 f (x) ln(1 x) x(x 1) f (x)
1
，因为 1
x
，
1 x 1 x
当 x ( 1,0)时， f (x) 0 ，当 x (0, )时 f (x) < 0 ，
所以函数 f (x) ln(1 x) x 在 (0, )单调递减，在 ( 1,0) 上单调递增，
f (1 10 1 1 10所以 ) < f (0) 0 ，所以 ln < 0，故 ln ln 0.9，即b c，
9 9 9 9 9
f ( 1 ) f (0) 0 ln 9 + 1 9
1 1
所以 < ，所以 < 0，故 < e 10 1 1，所以 e10 < ，
10 10 10 10 10 9
故 a < b ，
x2 1 ex 1
设 g(x) x ex ln(1 x)(0 < x <1) ，则 g (x) x+1 ex 1 ,
x 1 x 1
令 h(x) ex (x2 1)+1， h (x) ex (x2 2x 1) ，
当0 < x < 2 1时， h (x) < 0，函数 h(x) ex (x2 1)+1单调递减，
当 2 1< x <1时， h (x) 0，函数 h(x) ex (x2 1)+1单调递增，
又 h(0) 0，
所以当0 < x < 2 1时， h(x) < 0，
所以当0 < x < 2 1时， g (x) 0，函数 g(x) x ex ln(1 x)单调递增，
所以 g(0.1) g(0) 0，即0.1e0.1 ln 0.9，所以 a c
故选：C.
方法二：比较法
0.1 b 0.1解： a 0.1e ， ， c ln(1 0.1) 1 0.1 ，
① ln a ln b 0.1 ln(1 0.1) ，
令 f (x) x ln(1 x), x (0, 0.1],
f (x) 1 1 x则 < 0 ， 1 x 1 x
故 f (x) 在 (0, 0.1] 上单调递减，
可得 f (0.1) < f (0) 0 ，即 ln a ln b < 0 ，所以 a < b ；
② a c 0.1e0.1 ln(1 0.1) ，
令 g(x) xex ln(1 x), x (0,0.1],
g ' x xex ex 1 1 x 1 x e
x 1
则 ，
1 x 1 x
令 k(x) (1 x)(1 x)ex 1 ，所以 k (x) (1 x2 2x)ex 0 ，
所以 k(x) 在 (0, 0.1] 上单调递增，可得 k (x) k (0) 0 ，即 g (x) 0 ，
所以 g(x) 在 (0, 0.1] 上单调递增，可得 g(0.1) g(0) 0 ，即 a c 0 ，所以 a c.
故 c < a < b.
4．（2021·全国·高考真题）设 a 2ln1.01，b ln1.02， c 1.04 1．则（ ）
A． a < b < c B．b【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 a,b 的大小作出判定，对于 a 与 c，b 与 c 的大小关系，
将 0.01 换成 x,分别构造函数 f x 2ln 1 x 1 4x 1, g x ln 1 2x 1 4x 1，利用导数分析其在 0
的右侧包括 0.01 的较小范围内的单调性，结合 f(0)=0,g(0)=0 即可得出 a 与 c，b 与 c 的大小关系.
【详解】[方法一]：
a 2ln1.01 ln1.012 ln 1 0.01 2 ln 1 2 0.01 0.012 ln1.02 b ，
所以b < a ；
下面比较 c与 a,b的大小关系.
2 2 2 1 4x 1 x
记 f x 2ln 1 x 1 4x 1，则 f 0 0 ， f x ，
1 x 1 4x 1 x 1 4x
由于1 4x 1 x 2 2x x2 x 2 x
2
所以当 0 0，
所以 f x 在 0,2 上单调递增，
所以 f 0.01 f 0 0，即 2ln1.01 1.04 1，即 a c ；
2 2 2 1 4x 1 2x
令 g x ln 1 2x 1 4x 1，则 g 0 0， g x ，
1 2x 1 4x 1 x 1 4x
1 4x 1 2x 2 4x2 x>0 1 4x 1 2x 2由于 ，在 时， < 0，
所以 g x < 0，即函数 g x 在[0，+∞)上单调递减，所以 g 0.01 < g 0 0，即 ln1.02 < 1.04 1，即 b综上，b故选：B.
[方法二]：
2
令 f x ln x 1 ÷ x 1(x 1)
è 2
2
f x - x 1 < 0，即函数 f (x) 在（1，+∞)上单调递减
x2 1
f 1 0.04 < f 1 0,\b < c
2
令 g x 2ln
x 3
÷ x 1(1< x < 3)
è 4
x 1 3 x
g x 0 ，即函数 g(x)2 在（1，3)上单调递增x 3
g 1 0.04 g 1 0,\a c
综上，b故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
1．（2021·天津·高考真题）设 a log2 0.3,b log1 0.4,c 0.4
0.3
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
2
A． a < b < c B． c【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出 a,b,c的范围即可求解.
【详解】Q log2 0.3 < log2 1 0，\a<0，
Q log 1 0.4 log2 0.4 log
5
2 log2 2 12 ，\b 1，2
Q0 < 0.40.3 < 0.40 1，\0 < c <1，
\a < c < b .
故选：D.
1
2．（2021·全国·高考真题）已知 a log5 2，b log8 3， c ，则下列判断正确的是（2 ）
A． c < b < a B．b < a < c C． a < c < b D． a < b < c
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较 a、b 与 c的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 a log5 2 < log5 5
1
log8 2 2 < log8 3 b ，即 a < c < b .2
故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）若 log
3
a 4 2 2 ，b log14 7， c log12 6 ，则（ ）
A． a b c B．b c a
C． c b a D． a c b
【答案】A
【分析】
3 ln 2
利用指对数运算法则得到 a ，b 1 log14 2 1 ， c 1
ln 2
，从而利用对数函数的性质分析判断
4 ln14 ln12
得b < a ，b c，从而得解.
2
2
log 3 2log 3 log
3
2 2 2 ÷÷ 3 3
【详解】 a 4 2 2 2 2 è 2 2 ÷÷
，
è 4
b log14 7 1 log14 2 1
ln 2
， c log12 6 1 log 2 1
ln 2
，
ln14 12 ln12
4
因为 4log14 2 log14 2 log14 16 1，则 log14 2
1
，
4
1 3
所以1 log14 2 <1 ，即b < a ；4 4
ln 2 ln 2
而 ln 2 0 ， ln14 ln12 0，所以 < ，
ln14 ln12
1 ln 2 1 ln 2所以 ，即b c；
ln14 ln12
综上： a b c .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用b 1 log 2
3 b 1 ln 2 c 1 ln 214 与 比较大小，利用 与 比较4 ln14 ln12
大小，从而得解.
4．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）设 a log 4 ，b log 0.7 ， c 1.02513 0.8 ，则 a，b，c 的大小关系为
（ ）
A． a < c < b B． a < b < c
C．b < a < c D． c【答案】B
【分析】根据对数、指数、幂的大小比较，结合构造函数法以及导数判断出 a,b,c的大小关系.
3
【详解】3 < 4 < 3 3，所以 a log3 4 1, ；
è 2 ÷
3
3
因为 0.8 4
2 8 1 64 1 49 2
2 ÷ 0.7 ，0.7 0.64 (0.8) ，
è 5 5 5 5 5 5 4
3 3
即 0.8 2 0.7 0.8 2，所以b log0.8 0.7 ,22 ÷；è
设 f (x) x 1 ln x，则 f x 1 1 x 1 ，
x x
所以当 x 1时， f x > 0， f x 在 1, 单调递增；
当0 < x <1时， f x < 0， f x 在 0,1 单调递减，
所以 f x f 1 0 ，即 x 1 ln x，当且仅当 x 1时等号成立，
f 1 1 1同理 ÷ 0，即 1 lnx ，所以 lnx 1 ,当且仅当 x 1时等号成立，
è x x x
故 ln1.02 1
1 1
，所以 ln1.0251 1，从而 c 1.0251 ，1.02 51 e
3
综上．1 < a < < b < 2 < e < c．
2
故选：B.
【点睛】方法点睛：要比较指数、幂、对数的大小，可以考虑利用“分段法”来进行求解，即要比较 a,b,c的
大小关系，可以根据 a,b,c的结构，找到两个数 x1, x2 ，使得（不妨设）a < x1 < b < x2 < c ，从而判断出 a,b,c
的大小关系.
5 2024· · a 1012
2023
b 1013
2025
．（ 山西 二模）设 ÷ ，
÷ ，则下列关系正确的是（ ）
è 1011 è1012
A． e2 < a < b B． e2 < b < a C． a < b < e2 D．b < a < e2
【答案】B
ln a 1012 1 1013 1【分析】由题意可得 2023ln (2 1011 1)ln(1 ) 、 lnb 2025ln (2 1012 1)ln(1 )1011 1011 1012 1012 ，构造函数
2x
f (x) (2x 1)ln(1 1 ) (2x 1)[ln(x 1) ln x](x 1)、 h(x) ln(x 1) (x 0)x ，利用导数讨论两个函数的单调性x 2
可得 a b、b e2 ，即可求解.
【详解】 ln a 2023ln
1012
(2 1011 1)ln(1 1 )
1011 1011 ，
lnb 2025ln 1013 (2 1012 1 1)ln(1 )
1012 1012 ，
1
设函数 f (x) (2x 1)ln(1 ) (2x 1)[ln(x 1) ln x](x 1)x ，
f (x) 2ln(x 1) 2ln x (2x 1 1 1 1 2 1 1)( ) 2ln(1 ) ( )
则 x 1 x x 1 1 x x
2 ，
x
2 x2
设 g(x) 2ln(1 x)
x 2x
(0 < x <1)，则 g (x)
1 x (1 x)2
< 0 ，
所以 g(x)在( 0, 1)上单调递减，且 g(x) < g(0) 0，即 f (x) < 0 ，
所以 f (x) 在 (1, )上单调递减，
则 f (1011) f (1012)，即 ln a ln b，所以 a b .
1 4 x2
设 h(x) ln(x 1)
2x
(x 0) ，则 h x 2 2 0，x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
所以 h(x) 1在 (0, )上单调递增，且 h( ) h(0) 0x ，
2
1 1 2 (2x 1)ln(1
1
) 2 f (x) 2
即 ln(1 ) x1 ln(1 )
x 0
x 2 x 2x 1 2x 1 2x 1
，
x
得 f (x) 2，所以 f (1012) 2 ，即 lnb 2 ，解得b e2 .
综上， e2 < b < a .
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导
数判断单调性，进而比较大小.
考点八、对数型糖水不等式的应用
1．（2022·全国·统考高考真题）已知9m 10,a 10m 11,b 8m 9，则（ ）
A．a 0 b B．a b 0 C．b a 0 D．b 0 a
【法一】对数型糖水不等式
因为 9m 10 , 所以 m log9 10 . 在上述推论中取 a 9,b 10 , 可得 m log9 10 log10 11 lg11 ,
且 m log9 10 < log8 9 .
a 10m所以 11 10lg11 11 0,b 8m 9 < 8log9 9 9 0 , 即 a 0 b , 选 A.
【法二】普通型糖水不等式
lg10
由 已 知 条 件 9m 10 , 可 得 m log9 10 . 同 公 式 (2) 的 证 明 过 程 , 可 以 得 到 m lg9
lg10 lg 10 lg100
9 9 lg100 lg11 , 即 m lg11 .
lg9 lg 10 lg10 9
9
所以 a 10lg11 11 0 , 即 a 0 .
lg10 lg10
8
lg lg 80
又 m < 9 9
lg9 lg9 8 lg lg8
9
log 808 < log8 9 ,
log 9
即 m < log8 9 , 所以 b < 8 8 9 0 , 即 b < 0 .9
综上, a 0 b , 选 A.
1. 比较大小: log7 4 与 log9 6？
【答案】 log7 4 < log9 6
9 36 42
ln 4 ln 4 ln ln ln
【法一】 log7 4 < 7 < 7 < 79 log9 6 。ln 7 ln 7 ln ln 9 ln 9
7
4 6 4 6
【法二】 log7 4 log9 6 log7 4 1 log9 6 1 log7 log9 < log9 log9 < 0 。7 9 7 9
【法三】对数型糖水不等式直接可得
2．（2024·重庆·模拟预测）设 a log2024 2023，b log2023 2022， c log0.2024 0.2023，则（ ）
A． cC．b < a < c D． a < b < c
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到 c最大，再利用作差法，结合基本不等式得到b < a ，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知 c log0.2024 0.2023 log0.2024 0.2024 1，
0 log2024 1< log2024 2023 < log2024 2024 1，
0 log2023 1 < log2023 2022 < log2023 2023 1，
所以 c 1， 0 < a < 1，0 < b <1；
当 n 2时， ln n 1 ln n ln n 1 0，
2
所以 ln n 1 ln n 1 é ln n 1 ln n 1ln n 2 ù< ê ú ln n
2
2
2
2
é ln n 1 n 1 ù 2 é ln n2 1 ù ê ú ln n ê ú ln n 2
2 ê 2 ú
2
ln n2
< ln n 2 ln n 2 ln n 2 2 ÷ 0，è
取 n 2023，则 lg 2022 lg 2024 lg 2023 2 < 0，
所以b a log
lg 2022 lg 2023
2023 2022 log2024 2023 lg 2023 lg 2024
lg 2022 lg 2024 lg 2023 2
< 0 ，即b < a ，
lg 2023 lg 2024
综上，b < a < c .
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论： logn n 1 < logn 1 n n 2 .
一、单选题
ì 1 ü
1．（2024·河北衡水·三模）已知集合 A 1,2,3,4,5 ，B íx 1 lg x 1 2 ，则 AI B （ ）
ìx 11A． í x 5
ü
B．{2,3, 4}
ì 11 ü
C
10 ．
{2,3} D． íx x 3
10
【答案】B
B ìx 11 x 10 1ü【分析】求得 í ，可求10 A B .
B ìx 1 lg(x 1) 1 ü ì 11 ü【详解】 í íx x 10 1 ，
2 10
又 A {1,2,3,4,5}，故 AI B {2,3,4}，
故选：B．
2．（2024·贵州贵阳·三模）已知a 40.3,b log4 a
4 ,c log4 log4 a ，则（ ）
A． a b c B． a c b C．b c a D． c a b
【答案】A
【分析】利用指数函数单调性得到 a 1，利用指对运算和指数函数单调性得到0 < b <1，利用对数函数单调
性得到 c < 0，则比较出大小.
4
【详解】因为 a 40.3 40 1,b log 44 a 0.3 <1，且0.34 0，则0 < b <1，
c log4 log4 a log4 0.3 < 0，
所以 a b c，
故选：A.
c 13．（2024·天津滨海新·三模）已知 a 2log2 0.4，b log0.4 2 ， log 0.4 ，则（ ）0.3
A． a b c B．b a c C． c a b D． a c b
【答案】C
【分析】判断 a，b，c 与 0 和 1 的大小关系即可得到答案．
【详解】 a 2log2 0.4 0.4，
b log0.4 2 < log0.41 0 ，
0 log0.31 < log0.30.4 < log0.30.3 1，则 c 1 ,
故 c a b .
故选：C.
2
4．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数 f (x) 为R 上的奇函数，且当 x 0时， f (x) log 33 2
x 1，则 f ( 4)
（ ）
5 5 4 4
A． B． C． D．
9 9 9 9
【答案】A
【分析】先计算出 f (3 4)
5 5
，根据 f (x) 为R 上的奇函数，得到 f ( 3 4) f (3 4) .9 9
2 2 2
【详解】 f (3 4) log 3 4 1 log 23 2 2 5
3 2 3 2
1 1 ，
3 3 9
因为 f (x)
5
为R 上的奇函数，所以 f ( 3 4) f (3 4) .9
故选：A
5．（2024·河北沧州·模拟预测）直线 x 4与函数 f x loga x(a 1), g x log 1 x分别交于 A, B两点，且 AB 3，
2
则函数 h x f x g x 的解析式为（ ）
A． h x log2x B． h x log4x
C． h x log2x D． h x log4x
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性及 | AB | 3得 a 4，代入化解即可.
【详解】由题意可知，定义域为 0, ，
函数 f x 在定义域内单调递增，函数 g x 在定义域内单调递减，
则 AB loga 4 log 1 4 loga 4 2，
2
所以 loga 4 2 3，
解得 a 4，
所以 h x log4x log 1 x log4x log2x log4x 2log4x log4x .
2
故选：B.
6．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 y cosx与 y lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数 y cosx与 y lg x 都是偶函数，其中 cos 2π cos 4π 1， lg 4π lg10 1 lg 2π，
在同一坐标系中，作出函数 y cosx与 y lg x 的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为 6.
故选：D
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x 3) f (x 1)，且当 x ( 2,0)时，
f (x) log2 (x 3)，则 f (2021) f (2024) （ ）
A．1 B． 1 C．1 log2 3 D． 1 log2 3
【答案】B
【分析】首先得到 f x 的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得.
【详解】根据题意，函数 f (x) 满足 f (x 3) f (x 1)，则 f (x) f (x 4) ，即 f (x) 是周期为 4的周期函数，
所以 f (2021) f 1 ， f (2024) f (0)，又由函数 f (x) 为定义在R 上的奇函数，则 f (0) 0， f ( 1) f 1 ，
当 x ( 2,0)时， f (x) log2 (x 3)，则 f ( 1) log2 2 1，则 f 1 f ( 1) 1，
所以 f (2021) f (2024) 1，
故选：B．
二、填空题
8．（2024·湖北· 2x模拟预测）若函数 f x ln e a x x R 为偶函数，则a .
【答案】 1
【分析】根据偶函数的定义得 f ( x) f (x)，代入化简即得 a值.
2x 2x
【详解】因为 f (x) 为偶函数，所以 f ( x) f (x)，即 ln e a x ln e a x，
即 ln 1 ae2x x ln e2x a x ，即1 ae2x e2x a ，所以 a 1，
故答案为： 1
9．（2024·吉林·模拟预测）若函数 f (x) ln(ax 1)在 (1, 2)上单调递减，则实数 a的取值范围
为 ．
é 1
【答案】 ê ,0
2 ÷
【分析】根据题意，设 t ax 1，则 y lnt ，利用复合函数的单调性，可得 t ax 1在 (1, 2)上为减函数，且 t 0
恒成立，结合一次函数的性质分析可得答案．
【详解】解：根据题意，设 t ax 1，则 y lnt ，若函数 f (x) ln(ax 1)在 (1, 2)上单调递减，
利用复合函数的单调性，可得 t ax 1在 (1, 2)上为减函数且 t 0恒成立，
ìa < 0 1 1
即 í ，解得 a < 0
é
2a 1 0 ，即 a 的取值范围为 ê
,0
2 2 ÷
．
é 1
故答案为： ê ,0÷． 2
f x ln m x
lx lx
10．（2024·四川成都·三模）函数 e e的图象过原点，且 g x f x m ，若 g a 6，2 x 2
则 g a .
【答案】 2
【分析】由对数运算性质以及奇函数的性质运算即可得解.
【详解】由题意 f 0 ln m 0，所以m 2 ，所以 f x ln 2 x 的定义域为 2,2 ，
2 2 x
la
f a f a ln 2 a 2 a ln ln1 0 e e
la e la ela
且 ，且 0，
2 a 2 a 2 2
la la la la
所以 g a g e e e e a f a f a 2m 2m 4，
2 2
因为 g a 6，所以 g a 2 .
故答案为： 2 .
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数 f (x) ln | x a |在区间 (2,3) 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． ( ,3] B． ( , 2] C．[2, ) D．[3, )
【答案】D
【分析】由复合函数的单调性分析得u | x a |在 (2,3) 上单调递减，根据u | x a |单调性即可得到答案.
【详解】设u | x a |，易知函数 y ln u 是增函数，
因为 f (x) ln | x a |在区间 (2,3) 上单调递减，
所以由复合函数单调性可知，u | x a |在 (2,3) 上单调递减.
因为函数u | x a |在 ( ,a)上单调递减，
所以3 a，即 a [3, ) .
故选：D.
e2
2 mx 1 ．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 f x ln 2 m 0 是定义在区间 a,b 上的奇函数，则
1 3x
实数b 的取值范围是（ ）
A． 0,9 2ù 1ùB． 0,3 C． 0, ú D． 0,è 3 è 3ú
【答案】D
【分析】根据 f x 是奇函数求出m 的值，再求出 f x 的定义域即可求出b 的取值范围.
Q e
2 mx 1
【详解】 f x ln 2 ln e2 ln mx 1 2 mx 1 ln ，
1 3x 1 3x 1 3x
\ e
2 mx 1 mx 1
0，即 0，即 3x 1 mx 1 < 0 ，
1 3x 1 3x
Q 1 1m 0，\ < x < ，
m 3
Q f x 是定义在区间 a,b 上的奇函数，
\ f x f x ln mx 1 ln mx 1 ln 1 3x，即 ，
1 3x 1 3x mx 1
\ mx 1 1 3x ，解得m 3（舍）或m 3，
1 3x mx 1
f x ìx 1 x 1ü\ 1ù的定义域为 í < <3 3 ，\ b 0, . è 3ú
故选：D.
3．（2024·河北·三模）已知 a,b,c 1, 8 lna 7 lnb 6 lnc， ， ， ，则下列大小关系正确的是（ ）
a ln10 b ln11 c ln12
A． c b a B． a b c C．b c a D． c a b
【答案】B
【分析】等价变形已知条件， a ln a 8ln10，b ln b 7 ln11，c ln c 6ln12，构造两个函数
f x x ln x，g x 18 x ln x，利用求导判断单调性即可求解.
【详解】设 f x x ln x x 1 ，g x 18 x ln x x 10 ，
8 lna 7 lnb 6 lnc
因为 ， ， ，
a ln10 b ln11 c ln12
所以 a ln a 8ln10，b ln b 7 ln11，c ln c 6ln12
即 f a g 10 ，f b g 11 ，f c g 12 ，
g x 18 x ln x 18 x ln x ln x 18 1，
x
显然 g x 在 10, 上单调递减，
g x g 10 < 0 ，所以 g x 在 10, 上单调递减，
所以 g 10 g 11 g 12 ，即 f a f b f c ，
又 f x ln x 1，当 x 1时， f x 0，所以 f x 在 1, 上单调递增，
所以 a b c ,
故选：B.
4 2024· · f (x) log (4x
1
．（ 广西贵港 模拟预测）已知函数 4 1) x ，若 f (a 1) f (2a 1)成立，则实数 a 的取2
值范围为（ ）
A． ( , 2] B． ( , 2] [0, )
4 4
C．[ 2, ] D． ( , 2]U[ , )
3 3
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可.
x
f (x) log 4 1【详解】 log (2x4 4 2
x ) ，所以 f ( x) f (x)x ，即 f (x) 为偶函数，2
y 2x 2 x x (0, ) y 2x ln 2 2 x对函数 ， ，则 ln 2 ln 2 2x 2 x ，
因为 x (0, )，所以 2x 1， 2 x <1，所以 2x 2 x 0，故 y 0在 (0, )上恒成立.
所以函数 y 2x 2 x 在 (0, )上单调递增，所以 f (x) 在 (0, )上单调递增.
所以 f (a 1) f (2a 1) a 1 2a 1 ，
所以 a2 2a 1 4a2 4a 1 3a2 6a≥0 ，解得 a 0或 a 2．
故选：B
7 2 2
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知a ln ，b cos ， c ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
5 5 5
A． a b c B．b c a C． c b a D． c a b
【答案】B
【分析】利用切线放缩公式： ln 1 x x 比较 a,c ，再由三角函数 y cos x单调性，比较 c,b .
【详解】由 ln 1 x x 知 a < c 2 π π 2 π 1 2，∵ 0 < < < ，∴ cos cos .知 c < b .
5 3 2 5 3 2 5
故选：B.
ì 1
, x
3
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x 4x 4 4í 是R 上的单调函数，则实数 a的取值范围
log (4x) 3 1, x
a 4
是（ ）
A． 0,1 B． 1, 3ù C． 1, 3 D． 1,3
【答案】B
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于 a的不等式，即可
求解.
3 1
【详解】根据题意，当 x 时， f x 1
3 ù
4 ，可得 f x 在4
, ú上递增，
4x 4 x 4 1 è
ì 1
, x
3
要使得函数 f x 4x 4 4í 3 是R 上的单调函数， loga (4x) 1, x 4
log 4 3 1 1
则满足 a 1，且 a è 4 ÷ 4 3 4 ，解可得1< a 3 ，
4
所以实数 a的取值范围为 1, 3ù .
故选：B.
a2 3
7．（2024·河北衡水·模拟预测）设 a 0, a 1，若函数 f x x a log 2÷ a x 1 x 是偶函数，则a
è a 1
（ ）
A 1
3
． 2 B． C．2 D．32
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解.
f x a
2 3 2
【详解】 x a ÷ loga x 1 x 的定义域为 x x 0 a 1 ，关于原点对称，è
a2 3 a2 2 3 a x éê x 1 x x2 1 x ù
故 f - x - x a ÷ loga 1 a 2
x 1 x = x a ÷ log ú
è 1 a ÷
a ê 2 ú
è ê x 1 x ú
a2 3 a x a2 3 a x
a ÷ loga x2 1 x = a ÷x x log 2a x 1 x f x 1 a ÷ è è a 1 ÷
a2 3 a x 2
所以 x a ÷ loga x2 a 3 1 x a log x2 x 1 x ÷ ，
è a 1 è a 1
÷ a
a2 3 a x a2 3
故 2a a2 3 2a a 3或 a 1（舍去），
a x 1
故选：D
8．（2024·
a
湖北黄冈·二模）已知 a,b,c,d 分别满足下列关系：16 15,b log17 16, log
17
15 c ,d tan
3
16 16 2
，则
a,b,c,d 的大小关系为（ ）
A． a < b < c < d B． c < a < b < d
C． a < c < b < d D． a < d < b < c
【答案】B
【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得 a < b ，利用指对数函数的单调性，通过
构造函数判断单调性可推得 c < a，最后利用正切函数的单调性可得b < d .
【详解】由16a 15,可得a log1615,
a b log 15 log 16 ln15 ln16 ln15 ln17 (ln16)
2
16 17 ,ln16 ln17 ln16 ln17
2 2 2
因 ln15 ln17 ln15 ln17 ln255 ln256< ÷ ÷ <
÷ (ln16)
2 ，
è 2 è 2 è 2
又 ln16 ln17 0，故 a b < 0 ,即 a < b ；
log c 17
17 15
, 16因 15 ，则 c 15 15 < ,由 c 16 15 ln16 ln16 ln15
16 16 ÷ <
，
è16 16 a log1615 16 ln15 16 15
y ln x y 1 ln x由函数 ， 2 ，因 x e时， y < 0，x x
ln x
即函数 y 在 (e, )
ln16 ln15
上单调递减，则有0 < < ，故得 c < a；
x 16 15
3 π
由b log17 16 < 1，而d tan tan 1，即b < d ，2 4
综上，则有 c < a < b < d .
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，
（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；
（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较；
（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.
二、多选题
0,0 < x <1
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 f x ì í ，lnx, x 1 若a b 0，且 ab 1，则下列关系式一定成
立的为（ ）
A． f ab bf a B． f ab f a f b
f a C． ÷ f a f b D． f a b < f a f b ln2
è b
【答案】ACD
【分析】对于 A，当a 1 b 0时讨论推理即可．对于 B，举反例即可．对于 C，D，分两种情况讨论：
a 1 b 0和 a b 1时，利用对数的运算性质，推理判断出每个的真假．
【详解】对于 A，若a b 0，且 ab 1，只能a 1 b 0，有 ab 1，
则 f (ab ) ln ab b ln a ，bf (a) b ln a ，所以 f (ab ) bf (a) ，故 A 正确；
1
对于 B，举反例：当 a ,b 2时，
4
则 f (ab) f (
1) 0， f (a) f (b) f (
1
) f (2) 0 ln 2 ln 2 ，
2 4
此时 f (ab) f (a) f (b)，故 B 不正确；
对于 C，易知 f (x) 0，且 f (x) ln x ．若a b 0，且 ab 1，则有：
a
（ⅰ）当a 1 b 0时，有 1，
b
则 f (a) f (b) ln a 0 ln a
a a
， f ( ) ln ln a ln b，
b b
a
且 ln b < 0，所以 f ( ) f (a) f (b)；
b
（ⅱ）当 a b 1时， f (a) f (b) ln a ln b ln
a
，
b
且 f (x) ln x
a
，则 f ( ) f (a) f (b)．
b
a
综上所述： f ( ) f (a) f (b)，故 C 正确；
b
对于 D，若 x1 x2，则 f (x1) f (x2 )．若a b 0，且 ab 1，分类讨论．
（ⅰ）当a 1 b 0时，有 a b 1，
从而 f (a b) ln(a b) < ln(a a) ln(2a)， f (a) f (b) ln 2 ln a 0 ln 2 ln(2a)，
则 f (a b) f (a) f (b) ln 2；
（ⅱ）当 a b 1时，则 f (a b) ln(a b)， f (a) f (b) ln 2 ln a ln b ln 2 ln(2ab) ，
因为 2ab (a b) ab a ab b a(b 1) b(a 1) 0，
则 2ab a b ，从而 f (a b) f (a) f (b) ln 2．
综合所述： f (a b) f (a) f (b) ln 2，故 D 正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点根据题意a b 0，且 ab 1，根据相应的选项特征分类讨论，
进而分析判断即可.
三、填空题
10．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 y log x a x 1a 2 （ a 0且a 1）的图象恒过定点 k,b ，若
9 1
m n b k 且m 0， n 0，则 的最小值为 ．
m n
【答案】8
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为 a0 1， loga 1 0（ a 0且a 1），
所以函数 y loga x a
x 1 2（ a 0且a 1）的图象恒过定点 1,3 ，
所以m n 3 1 2，
2 9 1 (m n)( 9 1 9n m所以 ÷ ) 10 10 2 9 16，
è m n m n m n
2 9 1\ 16 9 1 8 9n m 1 3 ÷ ，\ ，当且仅当 ，即 n , m 等号成立，
è m n m n m n 2 2
9 1
即 的最小值为8 .
m n
故答案为：8 .
1 1 5
1．（2024·全国·高考真题）已知 a 1且 a log a log 4 2 ，则 ．8 a
【答案】64
【分析】将 log8 a, loga 4利用换底公式转化成 log2 a 来表示即可求解.
1 1 3 1 log a 5 2【详解】由题 log a log 4 log a 2 2 2 ，整理得 log2 a 5log2 a 6 0，8 a 2
log2 a 1或 log2 a 6，又 a 1，
所以 log a 6 log 26 ，故 a 262 2 64
故答案为：64.
2．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) (x a) ln(x b)，若 f (x) 0，则 a2 b2 的最小值为（ ）
1 1
A B C 1． ． ． 2 D．18 4
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知： f (x) 的定义域为 b, ，分类讨论 a与 b,1 b 的大小关系，结合符号分
析判断，即可得b a 1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 ln(x b)的符号，进而可得 x a
的符号，即可得b a 1，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知： f (x) 的定义域为 b, ，
令 x a 0解得 x a；令 ln(x b) 0 解得 x 1 b；
若 a b ，当 x b,1 b 时，可知 x a 0, ln x b < 0 ，
此时 f (x) < 0，不合题意；
若 b < a <1 b，当 x a,1 b 时，可知 x a 0, ln x b < 0 ，
此时 f (x) < 0，不合题意；
若 a 1 b，当 x b,1 b 时，可知 x a < 0, ln x b < 0，此时 f (x) 0 ；
当 x 1 b, 时，可知 x a 0, ln x b 0，此时 f (x) 0；
可知若 a 1 b，符合题意；
若 a 1 b，当 x 1 b, a 时，可知 x a 0, ln x b 0，
此时 f (x) < 0，不合题意；
综上所述： a 1 b，即b a 1，
2
则 a2 b2 a2 a 1 2 2 a 1 1 1 ÷ ，当且仅当 a
1
,b 1 时，等号成立，
è 2 2 2 2 2
1
所以 a2 b2 的最小值为 2 ；
解法二：由题意可知： f (x) 的定义域为 b, ，
令 x a 0解得 x a；令 ln(x b) 0 解得 x 1 b；
则当 x b,1 b 时， ln x b < 0，故 x a 0 ，所以1 b a 0；
x 1 b, 时， ln x b 0，故 x a 0 ，所以1 b a 0；
2
故1 b a 0， 则 a2 b2 a2 a 1 1 1 1 2 2 a
÷ ，
è 2 2 2
1 1
当且仅当 a ,b 时，等号成立，
2 2
所以 a2 b2
1
的最小值为 2 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求 x a 0、 ln(x b) 0 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
1
3．（2023· x北京·高考真题）已知函数 f (x) 4 log2 x ，则 f ÷ ．è 2
【答案】1
1
【分析】根据给定条件，把 x 代入，利用指数、对数运算计算作答.
2
1
【详解】函数 f (x) 4x log x 1 12 ，所以 f ( ) 42 log2 2 1 1.2 2
故答案为：1
4．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压
级 L 20 lg
p
p p ，其中常数
p0 p0 0 是听觉下限阈值， p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
0
声源 与声源的距离 /m 声压级 /dB
燃油汽车 10 60 ~ 90
混合动力汽车 10 50 : 60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为 p1, p2 , p3，则（ ）．
A． p1 p2 B． p2 10 p3
C． p3 100 p0 D． p1 100 p2
【答案】ACD
【分析】根据题意可知 Lp 60,90 , Lp 50,60 , L 40，结合对数运算逐项分析判断.1 2 p3
【详解】由题意可知： Lp 60,90 , Lp 50,60 , Lp 40，1 2 3
p1 p2 p1
对于选项 A：可得 Lp Lp 20 lg 20 lg 20 lg1 2 p0 p0 p
，
2
p p
因为 L 1 1p Lp ，则 Lp Lp 20 lg 01 2 1 2 p ，即
lg 0
2 p
，
2
p1
所以 1且 p1, p2 0p ，可得
p1 p2 ，故 A 正确；
2
对于选项 B：可得 Lp Lp 20 lg
p2 20 lg p3 20 lg p2
2 3 p ，0 p0 p3
p p 1
因为 Lp Lp Lp 40 10 ，则 20 lg
2 10 2
2 3 2 p ，即
lg ，
3 p3 2
p2
所以 10 p , pp 且 2 3
0，可得 p2 10 p3 ，
3
当且仅当 Lp 502 时，等号成立，故 B 错误；
p p
对于选项 C：因为 L 3 3p 20 lg 40 lg 23 p ，即 p ，0 0
p3
可得 100 ，即 p3 100 pp 0 ，故 C 正确；0
p
对于选项 D：由选项 A 可知： L 1p L 20 lg1 p2 p ，2
且 Lp Lp 90 50 40，则 20 lg
p1 40
1 2 p ，2
lg p1 p1即 2p ，可得
100
p ，且
p1, p2 0，所以 p1 100 p2 ，故 D 正确；
2 2
故选：ACD.
5．（2022·天津·高考真题）化简 2log4 3 log8 3 log3 2 log9 2 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
1 1
【详解】原式 (2 log2 3 log2 3)(log
1
3 2 log 2)2 3 2 3
4
log 3
3 2
3 log3 2 2，2
故选：B
6．（2022·浙江· a高考真题）已知2 5,log8 3 b，则4a 3b （ ）
25 5
A．25 B．5 C． D．
9 3
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
2
a 2a 2
【详解】因为2a
1 4 5 25
5，b log8 3 log 3 23b 3 4a 3b2 ，即 ，所以 3b ．3 4 23b 2 32 9
故选：C.
7．（2022·全国·高考真题）若 f x 1 ln a b 是奇函数，则a ，b ．
1 x
1
【答案】 ； ln 2．
2
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 a 0，则 f (x) 的定义域为{x | x 1}，不关于原点对称
\a 0
1
若奇函数的 f (x) ln | a
1
| b
1 x 有意义，则
x 1且 a 0
1 x
x 1 x 1 1\ 且 a ，
Q函数 f (x) 为奇函数，定义域关于原点对称，
1 1
\1 1
a ，解得
a ，
2
由 f (0) 0
1
得， ln b 02 ，
\b ln2，
1
故答案为： ； ln2．
2
[方法二]：函数的奇偶性求参
f (x) ln a 1 b ln a ax 1 b ax a 1 ln b
1 x 1 x 1 x
f ( x) ax a 1 ln b
1 x
Q函数 f (x) 为奇函数
f (x) f ( x) ln ax a 1\ ln ax a 1 2b 0
1 x 1 x
a2x2ln (a 1)
2
\ 2b 0
x2 1
a2 (a 1)2
\ 2a 1 1 0 a
1 1 2
2b ln 1 2ln2 b ln2
4
1
\a ,b ln2
2
[方法三]：
f x ln a 1因为函数 b 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
1 x
a 1由 0可得， 1 x a 1 ax 0 a 1 1，所以 x 1，解得： a ，即函数的定义域为
1 x a 2
1 1 1 x , 1 1,1 1, ，再由 f 0 0可得，b ln 2 ．即 f x ln ln 2 ln ，在定义域
2 1 x 1 x
内满足 f x f x ，符合题意．
1
故答案为： ； ln 2．
2
1 1
8．（2021·天津·高考真题）若 2a 5b 10，则 （ ）a b
A． 1 B． lg 7 C．1 D． log7 10
【答案】C
【分析】由已知表示出 a,b，再由换底公式可求.
【详解】Q 2a 5b 10，\a log2 10,b log5 10，
1 1 1 1
\ lg 2 lg5 lg10 1
a b log .2 10 log5 10
故选：C.
9．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记
录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 满足 L 5 lgV ．已知某同
学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ 10 10 1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据 L,V 关系，当 L 4.9时，求出 lgV ，再用指数表示V ，即可求解.
【详解】由 L 5 lgV ，当 L 4.9时， lgV 0.1，
1
则V 10 0.1
1 1
10 10 0.8 .
10 10 1.259
故选：C.
10．（2020·全国·高考真题）已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得 a、b 、 c 0,1 ，利用作商法以及基本不等式可得出 a、b 的大小关系，由b log8 5，
4
得8b 5，结合55 < 84可得出b < ，由 c log 8，得13c
4
13 8，结合134 < 85 ，可得出 c ，综合可得出 a、5 5
b 、 c的大小关系.
【详解】由题意可知 a、b 、 c 0,1 ，
2 2
a log5 3 lg3 lg8 1 lg3 lg8
2 lg3 lg8 lg 24
<
b log 5 lg5 lg5 lg5 2 ÷
÷ ÷ <1，\a < b；
8 è 2 è 2lg5 è lg 25
由b log 5
4
8 ，得8b 5，由55 < 84，得85b < 84 ，\5b < 4 ，可得b < ；5
由 c log
4
13 8，得13c 8，由134 < 85 ，得134 <135c ，\5c 4，可得 c .5
综上所述， a < b < c .
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应
用，考查推理能力，属于中等题.