第 08 讲 正余弦定理解三角形
（10 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
正弦定理解三角形
2024 年新 I 卷，第 15 题,13 分 余弦定理解三角形 正弦的和差公式
三角形面积公式及其应用
正弦定理解三角形
2024 年新Ⅱ卷，第 15 题,13 分 辅助角公式
正弦定理边角互化的应用
正弦定理解三角形
2023 年新 I 卷，第 17 题,10 分 用和、差角的正弦公式化简、求值
三角形面积公式及其应用
三角形面积公式及其应用
2023 年新Ⅱ卷，第 17 题,10 分 数量积的运算律
余弦定理解三角形
2022 年新 I 卷，第 18 题,12 分 正弦定理边角互化的应用 基本不等式求和的最小值
正弦定理解三角形
2022 年新Ⅱ卷，第 18 题,12 分 三角形面积公式及其应用 无
余弦定理解三角形
2021 年新 I 卷，第 19 题,12 分 正弦定理边角互化的应用 几何图形中的计算
正弦定理边角互化的应用
2021 年新Ⅱ卷，第 18 题,12 分 三角形面积公式及其应用 无
余弦定理解三角形
正弦定理解三角形
2020 年新 I 卷，第 17 题,10 分 无
余弦定理解三角形
正弦定理解三角形
2020 年新Ⅱ卷，第 17 题,10 分 无
余弦定理解三角形
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为 13-15 分
【备考策略】1 掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用
2 会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.
3 会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式
在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。
知识讲解
1. 正弦定理
（1）基本公式：
a b c
2R （其中 R 为 ABC 外接圆的半径）
sin A sin B sin C
（2）变形
a b c 2R a b c a b a c b c
sin A sin B sin C sin A sin B sin C sin A sin B sin A sin C sin B sin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
2. 三角形中三个内角的关系
A＋B π C
A B C π ， ＝ －2 2 2
sin(B C) sin A， cos(B C) cos A， tan(B C) tan A
sin( A B ) sin π C cos C , cos(
A B ) cos π C sin C , tan( A B ) tan
π C
cot
C
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3. 余弦定理
（1）边的余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A，b2 a2 c2 2ac cos B 2， c a2 b2 2ab cosC
（2）角的余弦定理
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos A b c a cos B a c b a b c cosC
2bc ， 2ac ， 2ab
4. 三角形的面积公式
S 1 ABC ah2
S 1 1 1 ABC absin C ac sin B bc sin A2 2 2
考点一、正弦定理边角互化解三角形
1．（2023·全国·高考真题）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c
p
，若 acosB bcosA c，且C ，
5
则 B （ ）
p p 3p 2p
A． B． C． D．
10 5 10 5
2．（2024·湖南永州·三模）已知在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且
π 7
acosB bcosA 2ccosC ， sin
2A ，则 cos A B .
6 8
a cos B bcos A b
3．（2024·四川凉山·二模）设VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 1，则
a cos B bcos A c
A ．
4．（2024·全国·高考真题）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A 3 cos A 2 ．
(1)求 A．
(2)若 a 2， 2bsinC csin 2B，求VABC 的周长．
1．（2024·江西九江·三模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 2c a 2bcosA，则B
（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．（2024·河北沧州·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若3bcosB acosC ccosA，且
3b 4c ，则C .
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在VABC 中，记角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，已知
3a 3ccosB csinB ．
(1)求角C ；
(2)已知点D在 AC 边上，且 AD 2DC ，BC 6，BD 2 7 ，求VABC 的面积．
考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数
1．（2023·浙江·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c
π
.若B , a 4，且该三角形有两解，
3
则b 的范围是（ ）
A． 2 3, B． 2 3,4
C． 0,4 D． 3 3,4
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，则能使同时满足条件
A π ,b 6 的三角形不唯一的 a 的取值范围是（ ）
6
A． 3,6 B． 3, C． 0,6 D． 0,3
3．（2023·广东茂名·三模）（多选）VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c .以下结论中正确的有（ ）
A．若 a 40,b 20, B 25o，则VABC 必有两解
B．若 sin2A sin2B，则VABC 一定为等腰三角形
C．若 acosB bcosA c，则VABC 一定为直角三角形
π
D．若 B ,a 23 ，且该三角形有两解，则b 的范围是 3,
π
1．（23-24 高二下·浙江·期中）在VABC 中， A , AB 4, BC a，且满足该条件的VABC 有两个，则 a的
3
取值范围是（ ）
A． 0,2 B． 2,2 3 C． 2,4 D． 2 3,4
2．（2023·安徽·模拟预测）（多选）在VABC 中， AB 3, B 60o，若满足条件的三角形有两个，则 AC 边的
取值可能是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）在 VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，且已知 a 2，
则（ ）
A．若 A 45o，且VABC 有两解，则b 的取值范围是 (2, 2 2)
B．若 A 45o，且b 4 ，则VABC 恰有一解.
C．若 c 3，且VABC 为钝角三角形，则b 的取值范围是 ( 13,5)
D．若 c 3，且VABC 为锐角三角形，则b 的取值范围是 ( 5, 13)
考点三、余弦定理求值
1．（2023·北京·高考真题）在VABC 中， (a c)(sin A sin C) b(sin A sin B) ，则 C （ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．（2021·全国·高考真题）在VABC 中，已知B 120 ， AC 19 ， AB 2 ，则BC （ ）
A．1 B． 2 C． 5 D．3
3．（2023·全国·高考真题）在VABC 中， BAC 60 , AB 2, BC 6 ， BAC 的角平分线交 BC 于 D，则
AD ．
2 2 2
4．（2023·全国·高考真题）记VABC A, B,C a,b,c b c a的内角 的对边分别为 ，已知 2．
cosA
(1)求bc；
acosB bcosA b
(2)若 1，求VABC 面积．
acosB bcosA c
1．（2021·安徽安庆·二模）在VABC 中， a，b，c 分别是 A， B，C 的对边.若b2 ac，且
a2 3bc c2 ac ，则 A的大小是 （ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．（2024·安徽合肥·一模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 2bcosC a 2 c ，且 B π 3 ，
则a （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
3．（2023·广东广州·三模）在VABC 中，点 D 在边BC 上， AB 6 ，CD 3，B 45 ， ADB 60 ，则 AC
的长为 ．
4．（2023·全国·高考真题）在VABC 中，已知 BAC 120 ， AB 2 ， AC 1 .
(1)求 sin ABC ；
(2)若 D 为 BC 上一点，且 BAD 90 ，求△ADC 的面积.
考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状
1．（22-23 高三·吉林白城·阶段练习）已知VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别是 a，b ， c，若
(a b c)(b c a) 3bc ，且 sin A 2sin B cosC ，那么VABC 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2 22-23 · · VABC A, B,C a,b,c 2c ×cos2 A．（ 高三上 河北 阶段练习）在 中，角 对边为 ，且 b c，则VABC 的形
2
状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
A a
3．（2024 高三·全国·专题练习）设△ ABC 的三边长为BC a ，CA b， AB c，若 tan ，
2 b c
tan B b ，则△ ABC 是（ ）．
2 a c
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
1．（2024 高三·全国·专题练习）在VABC 中，若 acosA bcosB，则VABC 的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
A c b
2．（22-23 高三·河南商丘·阶段练习）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin2 ，
2 2c
则△ABC 是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D． A 30 的三角形
3．（22-23 高三·阶段练习）设VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若b2 c2 a2 ca ，且
sin A 2sin C ，则VABC 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．（2023·四川凉山·二模）在VABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c．命题
1 tan2 A
p : 2 bcos(A C)A 0，命题 q :VABC 为等腰三角形．则 p 是 q 的（ ）1 tan2 a
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点五、三角形面积的应用
1．（2023·全国·高考真题）在VABC 中，已知 BAC 120 ， AB 2 ， AC 1 .
(1)求 sin ABC ；
(2)若 D 为 BC 上一点，且 BAD 90 ，求△ADC 的面积.
3
2．（2022·浙江·高考真题）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知4a 5c,cosC ．
5
(1)求 sin A 的值；
(2)若b 11，求VABC 的面积．
3．（2024·全国·高考真题）记VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinC 2 cos B，
a2 b2 c2 2ab
(1)求 B；
(2)若VABC 的面积为3 3 ，求 c．
4．（2022·北京·高考真题）在VABC 中， sin 2C 3 sin C ．
(1)求 C ；
(2)若b 6，且VABC 的面积为6 3 ，求VABC 的周长．
1．（2024·北京大兴·三模）VABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c， acosB 3 ，bsinA 1.
(1)求 B的大小；
(2)若b 2 ，求VABC 的面积.
2．（2024·福建莆田·三模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且b cosC 1 c 2 cos B .
(1)证明： a b 2c .
9
(2)若 a 6， cosC ，求VABC 的面积.
16
3．（2024·浙江· 2模拟预测）已知VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c.已知 c 3, SVABC b sinC .
(1)求 a的取值范围；
(2)求 B最大时，VABC 的面积.
4．（2024·安徽滁州·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, 2b cosC c 2a．
(1)求 B 的大小；
(2)若 a 3，且 AC 19边上的中线长为 ，求VABC 的面积．
2
考点六、外接圆、内切圆半径问题
π
1．（2024·贵州六盘水·三模）在VABC 中， AB 2 ， AC 3， A ，则VABC 外接圆的半径为（ ）
3
A 7 B 21 2 7 2 21． ． C． D．
3 3 3 3
2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点A ， B ，C ，D构成的四边形 ABCD中， AB 1，
BC 2，CD 3， AD 4 .
(1)求VACD面积的取值范围；
(2)若四边形 ABCD存在外接圆，求外接圆面积.
3．（2023·湖北·二模）已知在VABC 中，其角A 、 B 、C 所对边分别为 a、b 、 c，且满足
bcosC 3bsin C a c．
(1)若b 3 ，求VABC 的外接圆半径；
uuur uuur
(2)若 a c 4 3 ，且BA × BC 6 ，求VABC 的内切圆半径
1．（2024·河南信阳·模拟预测）设 VABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知 a 9,b 8,c 5，
则VABC 的外接圆的面积为（ ）
225 π 125 π 123 π 113A． B． C． D． π
11 11 6 6
π
2．（2024·辽宁大连·一模）在VABC 中, A , AB 3, AC 2
3
(1)求点A 到边BC 的距离:
(2)设 P 为边 AB 上一点，当PB2 PC 2取得最小值时，求VPBC外接圆的面积.
3．（2024·山西晋城·一模）在VABC 中， AB 3 3， AC 5 3 ，BC 7 3 ．
(1)求 A 的大小；
(2)求VABC 外接圆的半径与内切圆的半径．
4．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
sin2 A sin2 B sin 2A ×sin 2B× ．
4
(1)求C ；
(2)若 c 2，求VABC 内切圆半径取值范围．
考点七、双正弦
1．（2024·福建泉州·一模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c cos B b cosC a b ，
点 D 是 BC 上靠近 C 的三等分点
(1)若VABC 的面积为3 3，求 AD 的最小值；
π
(2)若 BAD ，求 sin 2B ．
6
2．（2024·山东日照·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c．分别以 a,b,c为边长的正三角形的面积
依次为 S1, S2 , S3 ，且 S1 S2 S
3
3 bc．4
(1)求角A ；
uuur uuur π
(2)若BD 4CD， CAD ，求 sin ACB6 ．
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）在VABC 中，D为BC 边的中点．
π
(1)若 AC 2 3， ACD DAC ，求 AB 的长；
6
π uuur uuur
(2)若 BAD ACD ， AB × AC 0 ，试判断VABC 的形状．2
4．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD中， AB AC 2 3, ADC CAB 120 ，设
DAC q .
(1)若 AD 2，求 BD 的长；
(2)若 ADB 15 ，求 tanq .
1．（2024·河北沧州· 2模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a c c b ．
(1)求证： B 3C π；
(2)若 ABC 的角平分线交 AC 于点 D，且 a 12，b 7 ，求 BD 的长．
π
2．（2024·河南·三模）已知 P 是VABC 内一点，PB PC, BAC , BPC
3π
, ABP q .
4 4
π
(1)若q , BC 2 ，求 AC ；
24
π
(2)若q ，求 tan BAP .
3
3．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角的对边，且
3c sin A a cosC b c．
(1)求 A；
(2)若 BC 2，将射线 BA 和 CA 分别绕点 B，C 顺时针方向旋转15o，30o，旋转后相交于点 D（如图所示），
且 DBC 30o，求 AD．
考点八、双余弦
π
1．（2024·全国·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c， tanA 3 ，bsin C 2sin( C) ．3
(1)求 c；
BD 1(2)若点D在边BC 上，且 a， AD 4 3 ，求VABC 的面积．3 3
1．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形 ABCD中， AB BC 2 2,CD 2, AD 4 .
(1)若 A, B,C, D 四点共圆，求 AC ；
(2)求四边形 ABCD面积的最大值.
2．（2024·河北·二模）已知VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,VABC 的面积为 S ,a 2b .
(1)若 S 4 15,VABC 为等腰三角形，求它的周长；
3
(2)若 sinC ，求 sinA,sinB .
5
考点九、解三角形中的证明问题
1．（23-24 高二下·浙江杭州·期中）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足b a 2bcosC ．
(1)求证：C 2B；
(2)求 2sin C cos B sin B 的最大值．
2．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，点 D，E 都是边 BC 上且与 B，C 不重合的点，且点 D 在 B，E 之间，
AE × AC × BD AD × AB ×CE ．
(1)求证： sin∠BAD sin∠CAE ．
2 2
(2)若 AB ^ AC AD AE 2，求证： ．
BD2 CE2 1 sin DAE
3．（23-24 高三上·河南信阳·阶段练习）设VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
1 sin A 1 cos 2B
．
cos A sin 2B
π
(1)证明： A 2B ．
2
a2(2)求 2 的取值范围．c
1．（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，D 是边 BC 上一点，
BAD a ， CAD b ， AD d ，且 2ac sina 2absin b 3bc．
(1)若 A
5π
，证明： a 3d ；
6
(2)在（1）的条件下，且CD 2BD，求 cos ADC 的值．
2．（22-23 高一下·山东枣庄·期中）VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
4a sin A bsinC cos A csin Acos B .
sinA
(1)求 的值；
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.
（i）证明：BD2 BA·BC DA·DC ；
（ii）若 a 1，求BD × AC 的最大值.
3．（23-24 高三上·江苏·开学考试）如图，在△ABC 内任取一点 P，直线 AP、BP、CP 分别与边 BC、CA、
AB 相交于点 D、E、F．
BD ABsin BAD
(1)试证明：
DC ACsin DAC
(2)若 P 为重心， AD 5, BE 4,CF 3，求VABC 的面积．
考点十、解三角形中的实际应用
1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的
高．如图，点E ， H ，G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表
高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高 AB
（ ）
表高 表距 表高 表距
A． 表高 B． 表高
表目距的差 表目距的差
表高 表距 表高 表距
C． 表距 D． 表距
表目距的差 表目距的差
2．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B、C 两点 B、C 与楼底在同一
水平面上）的俯角分别是75o和15o，则B、C 两点之间的距离为（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山
上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高
度．把塔底与塔顶分别看作点 C，D，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点 A，B，测得 AB 20 3m，
在点 A 处测得点 C，D 的仰角分别为30 ， 60 ，在点 B 处测得点 D 的仰角为30 ，则塔高 CD 为 m．
1．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小
镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
a1 1.00m，之后将小镜子前移a 6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2 0.60m，已
知人的眼睛距离地面的高度为 h 1.75m，则钟楼的高度大约是（ ）
A． 27.75m B．27.25m C． 26.75m D． 26.25m
2．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591 年），因鸿雁南北迁徙时常
在境内停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的
限制，分别选择 C 点和一建筑物 DE 的楼顶 E 为测量观测点，已知点 A 为塔底， A,C , D 在水平地面上，来
雁塔 AB 和建筑物 DE 均垂直于地面（如图所示）.测得CD 18m, AD 15m，在 C 点处测得 E 点的仰角为
30°，在 E 点处测得 B 点的仰角为 60°，则来雁塔 AB 的高度约为（ ）（ 3 1.732，精确到0.1m）
A．35.0m B．36.4m C．38.4m D．39.6m
3．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距 14 公里的 A, B两座炮台，A 在 B 的正东方.某次演习时，A
向西偏北q 方向发射炮弹， B 则向东偏北q 方向发射炮弹，其中q 为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里外
q
的同一目标，接着A 改向向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点M ，则 B 炮台与弹着点M 的
2
距离为（ ）
A．7 公里 B．8 公里 C．9 公里 D．10 公里
一、单选题
π
1．（2024·浙江·模拟预测）在VABC 中， a,b,c分别为角 A, B,C 的对边，若 tanA 3，B ，bc 2 10 ，则
4
a （ ）
A．2 B．3 C． 2 2 D．3 2
2．（2024·重庆·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若B
2
π,b 6, a2 c2 3ac ，则VABC
3
的面积为（ ）
A 9 3
9 9
． B． C 9 3． D．
4 4 2 2
二、多选题
3．（2024·重庆·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边为 a,b,c,若b 2 3,c 2,C
p
，则VABC 的面积可以是
6
（ ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D．3 3
三、填空题
4．（2024·山东威海·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 6 ，b c 4 ，
cosC 6 ．则 sin A = ．
6
π
5．（2024·北京西城·三模）在VABC 中，若 c 2， a 3， A ，则 sin C ，b .6
四、解答题
6．（2024·陕西西安·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 2b c .
(1)若 cosB sinC ，求 tanB；
cosA 3(2)若 , a 2 ，求VABC 的面积.
4
7．（2024·河北·一模）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a2 b2 2ab c2．
(1)求角 C 的大小；
(2)若b 1， c 2bcos B，求VABC 的面积．
8．（2024·贵州黔东南·二模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且bsin A B csin A C 0 .
2
(1)求 B ；
(2)若b 5,a c 8，求VABC 的面积.
9．（2024·江西新余·二模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且VABC 的面积
S 1 a2 c2 b2 sin B .2
(1)求角 B；
(2)若 ABC 的平分线交 AC 于点 D， a 3， c 4，求BD的长.
π
10．（2024·陕西西安·一模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c， csin A 3asin C
0 ，
2
c 6 .
(1)求角C ；
(2)若 c 3b ，求VABC 的周长.
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
sin(B C) sin A 3 ,b 3c ，则角C （ ）
2
π π π π
A． B． C． D．
6 3 4 2
2．（2024·陕西·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
c sin A sin C a b sin A sin B ，若VABC 3的面积为 ，周长为3b，则 AC 边上的高为（ ）
4
A 3． B 3． C． 3 D． 2 3
3 2
二、多选题
A C
3．（2024·江苏宿迁·三模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ．若 2 3c cos2 bsin C2 ，且
边 AC 上的中线BD长为 3，则（ ）
π
A．B B．b 的取值范围为[2, 2 3)
3
C．VABC 面积的最大值为 2 3 D．VABC 周长的最大值为3 6
三、填空题
a b
4．（2024·湖北武汉·二模）在VABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c， 4cosC ．且
b a
tan B tan A tan B tan C tan A tan C ，则 cos A ．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）在V A, B,C a,b,c
2a 2 c
ABC 中，内角 所对的边分别为 ，若b 2 ， ，
cosC cosB cosC
则 2a c的最大值为 .
四、解答题
6．（2024·福建泉州·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 a < b < c且 tanA, tanB, tanC
均为整数．
(1)证明： tan2B 1 tanAtanC ；
(2)设 AC 的中点为D，求 CDB 的余弦值．
7．（2024 高三下·全国·专题练习）在① b sin A sin B c a sin C sin A ，② tan B tan C 3a ，
c cos B
③ 3bsin
A B
c sin B
2
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且______．
(1)求角C 的大小；
(2)已知 c 7，D是边 AB 的中点，且CD ^ CB，求CD 的长．
2 2 2
8．（2024·全国·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c . b b c a已知 ．
2c b a2 c2 b2
(1)求A ；
(2)若D为 AB 的中点，且6CD 13AB ，求 cos ACB．
9．（2023·黑龙江佳木斯·三模）VABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知
c sin C cos B bsin C cosC 3c cos A .
(1)求∠A；
(2)若∠ABC ACB ，满足BD 3，CD 2，四边形 ABDC 是凸四边形，求四边形 ABDC 面积的最大值．
10．（2024·河北·二模）若 VABC 内一点 P 满足 PAB PBC PCA q ，则称点 P 为 VABC 的布洛卡点，
q 为VABC 的布洛卡角．如图，已知VABC 中，BC a ， AC b ， AB c，点 P 为的布洛卡点，q 为VABC
的布洛卡角．
(1)若b c
PB
，且满足 3，求 ABC 的大小．
PA
(2)若VABC 为锐角三角形．
1 1 1 1
（ⅰ）证明： ．
tanq tan BAC tan ABC tan ACB
（ⅱ）若 PB平分 ABC ，证明：b2 ac．
1．（2024·上海·高考真题）已知点 B 在点 C 正北方向，点 D 在点 C 的正东方向，BC CD ,存在点 A 满足
BAC 16.5 , DAC 37 ，则 BCA (精确到 0.1 度)
2．（2024·北京·高考真题）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c， A为钝角， a 7，
sin 2B 3 b cos B．
7
(1)求 A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VABC 存在，求VABC 的面积．
13 5
条件①：b 7 ；条件②： cos B ；条件③： c sin A 3 ．
14 2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
9 a 2
3．（2024·天津·高考真题）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 cosB ，b 5， ．
16 c 3
(1)求 a；
(2)求 sinA；
(3)求 cos B 2A 的值．
4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法
称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
é 2 2 2 2 ù
S 1 c2a2 c a b ê ú ，其中 a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边4 ê 2 ú
a 2,b 3,c 2，则该三角形的面积 S ．
1
5．（2022·天津·高考真题）在VABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 6,b 2c, cos A .
4
(1)求 c的值；
(2)求 sin B 的值；
(3)求 sin(2A B) 的值.
6．（2022·全国·高考真题）记VABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 sin C sin A B sin B sin C A ．
(1)若 A 2B，求 C；
(2)证明： 2a2 b2 c2
7．（2022·全国·高考真题）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
sinC sin(A B) sin B sin(C A)．
(1)证明： 2a2 b2 c2；
25
(2)若a 5,cos A ，求VABC 的周长．
31
VABC cos A sin 2B8．（2022·全国·高考真题）记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
1 sin A 1 cos2B
2p
(1)若C ，求 B；
3
2
(2) a b
2
求 2 的最小值．c
9．（2021·天津·高考真题）在VABC ，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 sin A : sin B : sin C 2 :1: 2 ，
b 2 ．
（I）求 a 的值；
（II）求 cosC 的值；
p
（III）求 sin 2C
6
的值．
2p
10．（2021·北京·高考真题）在VABC 中， c 2bcos B，C ．
3
（1）求 B；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使VABC 存在且唯一确定，求BC
边上中线的长．
条件①： c 2b；
条件②：VABC 的周长为 4 2 3 ；
3 3
条件③：VABC 的面积为 ；
4
11．（2021·全国·高考真题）记VABC 是内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c .已知b2 ac，点D在边 AC
上，BD sin ABC a sin C .
（1）证明：BD b；
（2）若 AD 2DC ，求 cos ABC .
1．1．12．（2020·全国·高考真题）如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1， AB AD 3 ，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则 cos∠FCB= .
13．（2020·天津·高考真题）在VABC中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c．已知 a 2 2,b 5,c 13 ．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求 sin A 的值；
（Ⅲ）求 sin
2A p
的值．
4
14．（2020·北京·高考真题）在VABC 中， a b 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求：
（Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ） sin C 和VABC 的面积．
条件①： c 7,cos A
1
；
7
1 9
条件②： cos A , cos B ．
8 16
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
15．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bsin A 3a 0．
（I）求角 B 的大小；
（II）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围．
16．（2020·山东·高考真题）在① ac 3 ，② csin A 3，③ c 3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问
题中，若问题中的三角形存在，求 c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在VABC，它的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c
p
，且 sin A = 3 sin B，C ，________
6
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 3,c 2, B 45 ．
（1）求 sin C 的值；
4
（2）在边 BC 上取一点 D，使得 cos ADC ，求 tan DAC5 的值．
18．（2020·全国·高考真题）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150°.
（1）若 a= 3 c，b=2 7 ，求VABC 的面积；
（2）若 sinA+ 3 sinC= 2 ，求 C.
2
p 5
19．（2020· 2全国·高考真题）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos ( A) cos A ．
2 4
（1）求 A；
2 b c 3（ ）若 a ，证明：△ABC 是直角三角形．
3
20．（2020·全国·高考真题）VABC 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求 A；
（2）若 BC=3，求VABC 周长的最大值.第 08 讲 正余弦定理解三角形
（10 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
正弦定理解三角形
2024 年新 I 卷，第 15 题,13 分 余弦定理解三角形 正弦的和差公式
三角形面积公式及其应用
正弦定理解三角形
2024 年新Ⅱ卷，第 15 题,13 分 辅助角公式
正弦定理边角互化的应用
正弦定理解三角形
2023 年新 I 卷，第 17 题,10 分 用和、差角的正弦公式化简、求值
三角形面积公式及其应用
三角形面积公式及其应用
2023 年新Ⅱ卷，第 17 题,10 分 数量积的运算律
余弦定理解三角形
2022 年新 I 卷，第 18 题,12 分 正弦定理边角互化的应用 基本不等式求和的最小值
正弦定理解三角形
2022 年新Ⅱ卷，第 18 题,12 分 三角形面积公式及其应用 无
余弦定理解三角形
2021 年新 I 卷，第 19 题,12 分 正弦定理边角互化的应用 几何图形中的计算
正弦定理边角互化的应用
2021 年新Ⅱ卷，第 18 题,12 分 三角形面积公式及其应用 无
余弦定理解三角形
正弦定理解三角形
2020 年新 I 卷，第 17 题,10 分 无
余弦定理解三角形
正弦定理解三角形
2020 年新Ⅱ卷，第 17 题,10 分 无
余弦定理解三角形
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为 13-15 分
【备考策略】1 掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用
2 会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.
3 会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式
在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。
知识讲解
1. 正弦定理
（1）基本公式：
a b c
2R （其中 R 为 ABC 外接圆的半径）
sin A sin B sin C
（2）变形
a b c 2R a b c a b a c b c
sin A sin B sin C sin A sin B sin C sin A sin B sin A sin C sin B sin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
2. 三角形中三个内角的关系
A＋B π C
A B C π ， ＝ －2 2 2
sin(B C) sin A， cos(B C) cos A， tan(B C) tan A
A B π C C
sin( ) sin cos ,cos(
A B ) cos π C sin C , tan( A B ) tan
π C
cot
C
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3. 余弦定理
（1）边的余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 2， a c2 2ac cos B 2 2 2， c a b 2ab cosC
（2）角的余弦定理
2 2 2 2
cos A b c a cos B a c
2 b2 2 2 2
cosC a b c
2bc ， 2ac ， 2ab
4. 三角形的面积公式
S 1 ABC ah2
S 1 absin C 1 ac sin B 1 ABC bc sin A2 2 2
考点一、正弦定理边角互化解三角形
p
1．（2023·全国·高考真题）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，若 acosB bcosA c，且C ，
5
则 B （ ）
p p 3p 2p
A． B． C． D．
10 5 10 5
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得 A的值，最后利用三角形
内角和定理可得 A的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得 sin Acos B sin B cos A sin C ，
即 sin Acos B sin B cos A sin A B sin Acos B sin B cos A，
整理可得 sin B cos A 0，由于B 0, π ，故 sin B > 0，
π
据此可得 cos A 0, A ，
2
B π A C π π π 3π则 .
2 5 10
故选：C.
2．（2024·湖南永州·三模）已知在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且
acosB
π 7
bcosA 2ccosC ， sin 2A 6
，则 cos A B .
8
7
【答案】 / 0.875
8
【分析】利用正弦定理结合和角正弦公式可得 sin A B 2sin C cosC C 2π，进而求得 ，从而有
3
A B π cos A B cos ，故 2A
π
cos
2A π π π
sin 2A ，即可求解.3 3 6 2 6
【详解】因为 a cos B bcos A 2c cosC ，
由正弦定理可得 sin Acos B sin B cos A 2sin C cosC ，
即 sin A B 2sin C cosC ，所以 sin π C 2sin C cosC ，
即 sin C 2sin C cosC
1
，因为 sin C > 0，所以 cosC ，
2
2π π
因为0 < C < π，所以C ，即 A B ,
3 3
所以 cos A B π π π π 7 cos 2A cos 2A sin 2A .
3 6 2 6 8
7
故答案为： .
8
a cos B bcos A b
3．（2024·四川凉山·二模）设VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 1，则
a cos B bcos A c
A ．
π
【答案】
3
【分析】根据给定等式，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式计算即得.
V a cos B bcos A b 1 sin Acos B sin B cos A sin B【详解】在 ABC 中，由 及正弦定理得： 1，
a cos B bcos A c sin Acos B sin B cos A sin C
而 sin C sin(A B) sin Acos B sin B cos A，
sin Acos B sin B cos A sin B
则 1，
sin Acos B sin B cos A sin Acos B sin B cos A
整理得 sin Acos B sin B cos A sin B sin Acos B sin B cos A，即 2sin B cos A sin B ，
又 sin B > 0，因此 cos A
1
π，而0 < A < π ，所以 A .
2 3
π
故答案为：
3
4．（2024·全国·高考真题）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A 3 cos A 2 ．
(1)求 A．
(2)若 a 2， 2bsinC csin 2B，求VABC 的周长．
π
【答案】(1) A
6
(2) 2 6 3 2
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 sin A 3 cos A 2 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三
角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 B ，然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
π
由 sin A 3 cos A 2 1 sin A 3 可得 cos A 1，即 sin(A ) 1，
2 2 3
由于 A (0, π) A
π π 4π π π π
( , )，故 A ，解得 A
3 3 3 3 2 6
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 sin A 3 cos A 2 ，又 sin2 A cos2 A 1，消去 sin A 得到：
4cos2 A 4 3 cos A 3 0 (2cos A 3)2 0 3，解得 cos A ，
2
又 A (0, π) A
π
，故
6
方法三：利用极值点求解
π
设 f (x) sin x 3 cos x(0 < x < π)，则 f (x) 2sin x (0 < x < π)，
3
显然 x
π
时， f (x)max 2 ，注意到 f (A) sin A 3 cos A 2 2sin(A
π
)，
6 3
f (x)max f (A)，在开区间 (0, π) 上取到最大值，于是 x A必定是极值点，
即 f (A) 0 cos A 3 sin A，即 tan A 3 ，
3
又 A (0, π)
π
，故 A
6
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
r r r r
设 a (1, 3),b (sin A, cos A) ，由题意， a ×b sin A 3 cos A 2 ，
r r r ra b ar b cos ar,b 2cos ar
r
根据向量的数量积公式， × ,b ，
r r r r r r
则 2cos a,b 2 cos ar,b 1，此时 ar,b 0，即 a,b同向共线，
根据向量共线条件，1×cos A 3 ×sin A tan A 3 ，
3
又 A (0, π) A
π
，故
6
方法五：利用万能公式求解
t tan A
2
设 ，根据万能公式，
2 sin A 3 cos A 2
2t 3(1 t )
，
1 t 2 1 t 2
整理可得， t 2 2(2 3)t (2 3)2 0 (t (2 3))2，
解得 tan
A
t 2 3 2t 3，根据二倍角公式，
2 tan A
，
1 t 2 3
又 A (0, π)，故 A
π
6
（2）由题设条件和正弦定理
2bsin C c sin 2B 2 sin B sin C 2sin C sin B cos B ，
又B,C (0, π)
π
，则 sin B sin C 0，进而 cos B 2 ，得到B ，
2 4
C π 7π于是 A B ，
12
sin C sin(π A B) sin(A B) sin Acos B sin B cos A 2 6 ，
4
2 b c
a b c
由正弦定理可得， ，即 sin π sin π sin 7πsin A sin B sin C ，
6 4 12
解得b 2 2,c 6 2 ，
故VABC 的周长为 2 6 3 2
1．（2024·江西九江·三模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 2c a 2bcosA，则B
（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.
【详解】因为 2c a 2bcosA，
由正弦定理， 2sinC sinA 2sinBcosA,
因为 A B C π， 2sin A B 2sinBcosA sinA，
展开化简 2sinAcosB sinA. sinA 0, cosB
1
> ，
2
又B 0, π , B π .
3
故选:B.
2．（2024·河北沧州·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若3bcosB acosC ccosA，且
3b 4c ，则C .
p
【答案】 / 45°
4
1 2 2
【分析】根据三角恒等变换化简计算可得 cosB ，由同角的平方关系可得 sinB ，结合正弦定理计算
3 3
即可求解.
【详解】因为3bcosB acosC ccosA，
所以3sinBcosB sinAcosC sinCcosA，
所以3sinBcosB sin A C .又 sin A C sinB 0，
所以 cosB
1
，所以
3 sinB 1 cos
2 B 2 2 .
3
因为3b 4c ，由正弦定理知3sinB 4sinC ，
π
所以 sinC 2 ，又b > c，所以 B > C ，C .
2 4
π
故答案为：
4
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在VABC 中，记角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，已知
3a 3ccosB csinB ．
(1)求角C ；
(2)已知点D在 AC 边上，且 AD 2DC ，BC 6，BD 2 7 ，求VABC 的面积．
π
【答案】(1) C
3
(2) S 9 3 或 S 18 3
【分析】（1）代入正弦定理和两角和的正弦公式即可；
（2）先确定DC 长度，再确定 AC ，即可判断三角形形状，确定面积．
【详解】（1） 3a 3ccosB csinB ，由正弦定理可得 3 sin(B C) 3 sin C cos B sin C sin B ，
3 sin B cosC 3 cos Bsin C 3 sin C cos B sin C sin B ，
sin B 0，
tan C 3，C 0, π ，
π C ；
3
2
（2）设DC x ， cos π 1 x 36 28 ， 6x x2 8， x 2或 4，
3 2 12x
π
x 2 AC 6 C S 1 6 6 3当 时， ， ，此时三角形为正三角形，3 9 32 2
当 x 4时， AC 12， AB2 BC 2 AC 2 2AC × BC cosC 108，
1
满足 AB2 BC 2 AC 2 ，此时三角形为直角三角形， S 6 3 6 18 32 ．
考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数
1．（2023·浙江·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C
π
所对的边分别为 a,b,c .若B , a 4，且该三角形有两解，
3
则b 的范围是（ ）
A． 2 3, B． 2 3,4
C． 0,4 D． 3 3,4
【答案】B
【分析】利用正弦定理推出b 2 3 ，根据三角形有两解，确定角 A 的范围，从而结合 sin A 的取值范围求
sin A
得答案.
a b 4 sin π
【详解】由正弦定理得 ，所以b a sin B 3 2 3sin A sin B
,
sin A sin A sin A
π 2π π
因为该三角形有两解，故 B < A < , A ,
3 3 2
故 sin A ( 3 ,1) b 2 3 ，即 (2 3,4) ，
2 sin A
故选：B
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，则能使同时满足条件
A π ,b 6 的三角形不唯一的 a 的取值范围是（ ）
6
A． 3,6 B． 3, C． 0,6 D． 0,3
【答案】A
【分析】利用三角形不唯一的条件进行求解即可.
A π【详解】因为 ,b 6 ，则bsin A 6
1
3，
6 2
要使满足条件的三角形不唯一，则bsin A < a < b ，即3 < a < 6 .
故选：A.
3．（2023·广东茂名·三模）（多选）VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c .以下结论中正确的有（ ）
A．若 a 40,b 20, B 25o，则VABC 必有两解
B．若 sin2A sin2B，则VABC 一定为等腰三角形
C．若 acosB bcosA c，则VABC 一定为直角三角形
B πD．若 ,a 2，且该三角形有两解，则b3 的范围是 3,
【答案】AC
【分析】根据正弦定理可判断选项 A；已知条件得出角 A, B的关系，可判断选项 B；化边为角可判断选项 C；
根据正弦定理可判断选项 D，进而可得正确选项.
A a 40,b 20, B 25o sinA asinB 40sin25
o
【详解】对于 ，若 ，则 2sin25o <1，
b 20
又A > B，所以VABC 必有两解，故 A 正确；
对于 B，若 sin2A sin2B，则 2A 2B或 2A π 2B，
π
即 A B 或 A B ，所以VABC 为等腰三角形或直角三角形，故 B 错误；
2
对于 C，由正弦定理得： acosB bcosA c sinAcosB sinBcosA sinC ，
即 sin A B sinC sin A B sinBcosA 0 π，而 sinB 0，故 A ，
2
所以VABC 一定为直角三角形，故 C 正确；
π
对于 D，若 B ,a 2，且该三角形有两解，所以 asinB < b < a3 ，
2sin π即 < b < 2 ，也即
3 3 < b < 2
，故 D 错误.
综上所述，只有 AC 正确，
故选：AC.
π
1．（23-24 高二下·浙江·期中）在VABC 中， A , AB 4, BC a，且满足该条件的VABC 有两个，则 a的
3
取值范围是（ ）
A． 0,2 B． 2,2 3 C． 2,4 D． 2 3,4
【答案】D
【分析】由正弦定理求出 sinC ，由 sinC <1，且BC < AB，可得 a的取值范围.
a 4 2 3
【详解】由正弦定理可得： ，所以
sin A sinC sinC <1
，所以 a > 2 3 ，
a
因为满足条件的VABC 有两个，所以BC < AB，即 a < 4，所以 a的取值范围是 2 3,4
故选：D
2．（2023·安徽·模拟预测）（多选）在VABC 中， AB 3, B 60o，若满足条件的三角形有两个，则 AC 边的
取值可能是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
【答案】BC
【分析】根据 AB sinB < AC < AB即可求解.
3
【详解】根据题意可得：满足条件的VABC 有两个，可得 AB sinB < AC < AB < AC < 3 ，
2
故选:BC
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）在 VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，且已知 a 2，
则（ ）
A．若 A 45o，且VABC 有两解，则b 的取值范围是 (2, 2 2)
B．若 A 45o，且b 4 ，则VABC 恰有一解.
C．若 c 3，且VABC 为钝角三角形，则b 的取值范围是 ( 13,5)
D．若 c 3，且VABC 为锐角三角形，则b 的取值范围是 ( 5, 13)
【答案】AD
【分析】根据正弦定理，判断三角形的解的个数，即可判断 AB，根据余弦定理和三边的关系，即可判断
CD.
2 b b
【详解】A 选项：由正弦定理， ， sinB <1，
sin45o sinB 2 2
且b > a 2，则 2 < b < 2 2 ，选项 A 正确；
选项 B：bsin A 4 2 2 2 > 2，所以VABC 无解，故 B 错误；
2
C 选项：① c为最大边：32 > 22 b2 ，且3 < 2 b，此时1< b < 5 ；
② b 为最大边：b2 > 22 32 ，且b < 2 3，此时 13 < b < 5，选项 C 错误；
D 选项：b2 < 22 32 ，且32 < 22 b2 ，所以 5 < b < 13 ，选项 D 正确；
故选；AD.
考点三、余弦定理求值
1．（2023·北京·高考真题）在VABC 中， (a c)(sin A sin C) b(sin A sin B) ，则 C （ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为 (a c)(sin A sin C) b(sin A sin B) ，
所以由正弦定理得 (a c)(a c) b(a b)，即 a2 c2 ab b2 ，
2 2 2
则 a2
a b c ab 1
b2 c2 ab，故 cosC ，
2ab 2ab 2
又0 < C < π，所以C
π
.
3
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题）在VABC 中，已知B 120°， AC 19 ， AB 2 ，则BC （ ）
A．1 B． 2 C． 5 D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于 BC 长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设 AB c, AC b, BC a，
结合余弦定理：b2 a2 c2 2ac cos B 可得：19 a2 4 2 a c cos120o，
即： a2 2a 15 0，解得： a 3（ a 5舍去），
故BC 3 .
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
3．（2023·全国·高考真题）在VABC 中， BAC 60°, AB 2, BC 6 ， BAC 的角平分线交 BC 于 D，则
AD ．
【答案】 2
【分析】方法一：利用余弦定理求出 AC ，再根据等面积法求出 AD ；
方法二：利用余弦定理求出 AC ，再根据正弦定理求出B,C ，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记 AB c, AC b, BC a，
方法一：由余弦定理可得， 22 b2 2 2 b cos 60o 6，
因为b > 0，解得：b 1 3，
由 SVABC SVABD SVACD 可得，
1
2 b sin 60o 1 2 AD sin 30o 1 AD b sin 30o，
2 2 2
3b 2 3 1 3
解得： AD b 2．1 3 3
2
故答案为： 2．
方法二：由余弦定理可得， 22 b2 2 2 b cos 60o 6，因为b > 0，解得：b 1 3，
6 b 2
由正弦定理可得， o ，解得： sin B
6 2 2
， sin C ，
sin 60 sin B sin C 4 2
因为1 3 > 6 > 2 ，所以C 45o ，B 180o 60o 45o 75o，
又 BAD 30o ，所以 ADB 75o ，即 AD AB 2．
故答案为： 2．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
2 2 2
4．（2023·全国·高考真题）记VABC b c a的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 2．
cosA
(1)求bc；
acosB bcosA b
(2)若 1，求VABC 面积．
acosB bcosA c
【答案】(1)1
(2) 3
4
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出 sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
2 2 2
1 2 2 2 b c a 2bc cos A【详解】（ ）因为 a b c 2bc cos A，所以 2bc 2，解得：bc 1．
cos A cos A
a cos B bcos A b sin Acos B sin B cos A sin B
（2）由正弦定理可得
a cos B bcos A c sin Acos B sin B cos A sin C
sin A B sin B sin A B sin B
1
sin A B sin A B sin A ， B
变形可得： sin A B sin A B sin B，即 2cos Asin B sin B，
1
而0 < sin B≤1，所以 cos A ，又0 < A < π ，所以
2 sin A
3
，
2
故VABC 的面积为 S 1△ABC bcsin A
1 1 3 3 ．
2 2 2 4
1．（2021·安徽安庆·二模）在VABC 中， a，b，c 分别是 A， B，C 的对边.若b2 ac，且
a2 3bc c2 ac ，则 A的大小是 （ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
【分析】由b2 ac，且a2 3bc c2 ac ，得到b2 c2 a2 3bc ，利用余弦定理求解.
【详解】因为b2 ac，且a2 3bc c2 ac ，
所以b2 c2 a2 3bc ，
2 2 2
所以 cos A b c a 3 ，
2bc 2
因为 A 0, π A π，所以 ，
6
故选：A
2．（2024·安徽合肥·一模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 2bcosC a 2 c B π，且 3 ，
则a （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】A
【分析】给 2bcosC a 2 c 两边同时乘以 a，结合余弦定理求解即可.
【详解】因为 2bcosC a 2 c ，两边同时乘以 a得：
2abcosC a2 2 c ，由余弦定理可得 a2 b2 c2 2abcosC ，
则 a2 b2 c2 a2 2 c ，所以有 a2 c2 b2 a2c，
又 a2 c2 b2
π
2ac cos B ，所以 a2c 2ac cos B ，又因为 B 3 ，
所以 a 1 .
故选：A
3．（2023·广东广州·三模）在VABC 中，点 D 在边BC 上， AB 6 ，CD 3，B 45°， ADB 60°，则 AC
的长为 ．
【答案】 19
【分析】根据题意，由条件可得 AD ，然后在VACD中由余弦定理即可得到结果.
【详解】
由题意，作 AE ^ BD交BD于E ，
因为 AB 6 ，CD 3，B 45°， ADB 60°，
AD AE 32 2
所以 AE AB 3 ，则 sin 60° 3 ，2
2
在VACD中，由余弦定理可得， AC 2 AD2 CD2 2AD ×CD cos ADC
22 32 2 2 3 cos120° 19 .
所以 AC 19 .
故答案为： 19 .
4．（2023·全国·高考真题）在VABC 中，已知 BAC 120° ， AB 2 ， AC 1 .
(1)求 sin ABC ；
(2)若 D 为 BC 上一点，且 BAD 90°，求△ADC 的面积.
【答案】(1) 21 ；
14
(2) 3 .
10
【分析】(1) 5 7首先由余弦定理求得边长BC 的值为BC 7 ，然后由余弦定理可得 cos B ，最后由同角
14
sin B 21三角函数基本关系可得 ；
14
S
(2) △ABD由题意可得 4
1
S ，则 S△ACD S△ABC ，据此即可求得△ADC 的面积.△ACD 5
【详解】（1）由余弦定理可得：
BC 2 a2 b2 c2 2bc cos A
4 1 2 2 1 cos120o 7，
2
cos B a c
2 b2 7 4 1 5 7
则BC 7 ， ，
2ac 2 2 7 14
sin ABC 1 cos2 B 1 25 21 .
28 14
1
S AB AD sin 90
o
（2）由三角形面积公式可得 △ABD 21 4 ，S△ACD AC AD sin 30o
2
S 1则 △ACD S
1 1 3
△ABC
2 1 sin120
o
5 5 2
.
10
考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状
1．（22-23 高三·吉林白城·阶段练习）已知VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别是 a，b ， c，若
(a b c)(b c a) 3bc ，且 sin A 2sin B cosC ，那么VABC 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】将 a b c b c a 3bc化简并结合余弦定理可得A 的值，再对 sin A 2sin B cosC 结合正、余
弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.
【详解】由 a b c b c a 3bc，得 (b c)2 a2 3bc ，
b2 c2 a2 1
整理得b2 c2 a2 bc ，则 cos A ，2bc 2
因为 A 0, π π，所以 A 3 ，
2 2 2
又由 sin A 2sin B cosC a b c及正弦定理，得 a 2b × ，化简得b c ，
2ab
所以VABC 为等边三角形，
故选：B
A
2．（22-23 高三上·河北·阶段练习）在VABC 中，角 A, B,C 对边为 a,b,c，且2c ×cos2 b c，则VABC 的形
2
状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
2 A
【分析】先根据二倍角公式化简 cos ，根据余弦定理化简得到 c 2 a 2 b 2 即可得到答案.
2
【详解】因为2c ×cos2
A
b c，
2
2c 1 cos A所以 × b c ，即 c c cos A b c，
2
所以 c cos A b，
2 2 2
在VABC 中，由余弦定理： cos A b c a ，
2bc
b2 c2 a2
代入得， c × b ，即b2 c2 a2 2b2 ，
2bc
所以 c 2 a 2 b 2 .
所以VABC 直角三角形.
故选：B
A a
3．（2024 高三·全国·专题练习）设△ ABC 的三边长为BC a ，CA b， AB c，若 tan ，
2 b c
tan B b ，则△ ABC 是（ ）．
2 a c
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】若三角形各边长为 a、b、c 且内切圆半径为 r，
A a B b
法一：由内切圆的性质有 tan 、 tan ，根据边角关系可得 a b或 2
2 b c 2 a c a b
2 c2 ，注意讨论所
得关系验证所得关系的内在联系；
π
法二：由半角正切公式、正弦定理可得 A B 或 A B ，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角
2
形的形状.
P 1【详解】设 a b c ，△ ABC 的内切圆半径为 r，如图所示，
2
法一：
tan A r a tan B r b∴ ①； 2 p a b c 2 p b a c ②.
p b a a c 2 p b a a c
①÷②，得： × p a b c b ，即 2 p a b b c ．
于是b b c c a b a a c b c a ，
ab2 b3 bc2 a2b a3 ac2， a b a2 b2 c2 0，
从而得 a b或 a2 b2 c2 ，
∴ A B 或 C 90°．故△ ABC 为等腰三角形或直角三角形，
（1）当 a b时，内心 I 在等腰三角形CAB的底边上的高CD 上，
2
S 1
2
AB ×CD 1 a2 c ×c 2S c × a
2 c
ABC ，从而得 4 ．△ 2 2 4 r a b c 2a c
2
2 c
p a 1 b c a 1
c × a 2 2
又 c ① 4 a a 4a c a，代入 式，得 ，即 ，2 2 2a c 1× c b c a c 2a c a c
2
2a c a2
上式两边同时平方，得： 2a c 2 ，化简a c c
2 2a2 0，即
c 2a
．即△ ABC 直角三角形，
∴△ ABC 为等腰直角三角形．
2 2 2 r 1（2）当 a b c 时，易得 a b c 2 ．
1 a b c b
代入②式，得 21 ，此式恒成立， a c b a c
2
综上，△ ABC 为直角三角形．
法二：
A sin A B sin B sin A sin A
利用 tan ， tan 及正弦定理和题设条件，得 ①，
2 1 cos A 2 1 cos B 1 cos A sin B sin C
sin B sin B
②.
1 cos B sin A sin C
∴1 cos A sin B sin C ③；1 cos B sin A sin C ④.
π π
由③和④得：1 cos A sin B 1 cos B sin A，即 sin A cos A sin B cos B ， sin
A
sin
B
4
，
4
因为 A, B为三角形内角，
∴ A
π
B π π π π 或 A π B ，即 A B 或 A B ．
4 4 4 4 2
（1）若 A B ，代入③得：1 cos A sin B sin C ⑤
又C π A B π 2A，将其代入⑤，得：1 cos A sin A sin 2A．
2
变形得 sin A cos A sin A cos A 0，
即 sin A cos A sin A cos A 1 0 ⑥，
由 A B 知 A 为锐角，从而知 sin A cos A 1 0．
π π
∴由⑥，得： sin A cos A 0 A
π
，即 ，从而B ，C 4 ．4 2
因此，△ ABC 为等腰直角三角形．
A B π π（2）若 ，即C ，此时③④恒成立，
2 2
综上，△ ABC 为直角三角形．
故选：B
1．（2024 高三·全国·专题练习）在VABC 中，若 acosA bcosB，则VABC 的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项.
b2 c2 a2 a2 c2 b2
【详解】因为 acosA bcosB，故 a b ，
2bc 2ac
整理得到 a2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 0，
a2 b2 c2 a2 2故 b 0，故 a2 b2 或 c 2 a 2 b 2 ，
即 a b或 c 2 a 2 b 2 ，故VABC 的形状为等腰或直角三角形，
故选：D.
A c b
2．（22-23 2高三·河南商丘·阶段练习）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin ，
2 2c
则△ABC 是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D． A 30°的三角形
【答案】A
【分析】根据题意，先由降幂公式化简，然后由余弦定理可得 a2 b2 c2 ，即可得到结果.
sin2 A c b 1 cos A 1 b b【详解】因为 ，所以 ，所以 cos A ，
2 2c 2 2 2c c
b2 c2 a2 b
再由余弦定理可知 ，所以b2 c2 a2 2b2 ，即 a2 b2 c2 ，
2bc c
所以△ABC 是直角三角形.
故选：A
3．（22-23 高三·阶段练习）设VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若b2 c2 a2 ca ，且
sin A 2sin C ，则VABC 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】先利用余弦定理求出角 B ，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出b ，即可得解.
【详解】因为b2 c2 a2 ca c2 a2 2ca cos B，
所以 cos B
1
，
2
又B 0, π π，所以 B 3 ，
因为 sin A 2sin C ，由正弦定理得 a 2c ，
则b2 c2 a2 ca c2 4c2 2c2 3c2，
则b2 c2 a2 ，
所以VABC
π
为有一个角为 的直角三角形.
3
故选：B.
4．（2023·四川凉山·二模）在VABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c．命题
1 tan2 A
p : 2 bcos(A C)A 0，命题 q :VABC 为等腰三角形．则 p 是 q 的（ ）1 tan2 a
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换公式和正弦定理，把 p 中等式化为 sin2A sin 2B ，从而
cos A B sin A B 0 π，得C 或 A B ，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
2
b sin B
【详解】根据正弦定理可得 ，
a sin A
sin2 A
1 2
1 tan2 A 2 A
2 bcos A C cos sin Bcos π B 所以 A
2
1 A
tan2 a sin2 sin A
2 1 2
cos2 A
2
cos2 A sin2 A
2 2 sin B cos B A cos A
sin B cos B
cos2 sin2 A sin A sin A
2 2
1 1
cos Asin A sin B cos B sin 2A sin 2B
2 2 0
sin A sin A sin A sin A
所以 sin 2A sin2B，
即 sin é A B A B ù sin é A B A B ù ，
sin A B cos A B cos A B sin A B sin A B cos A B cos A B sin A B
整理得 cos A B sin A B 0，则 cos A B 0或 sin A B 0，
因为0 < A < π ，0 < B < π ，0 < A B < π ， π < A B < π，
A B π π则 或 A B 0，即C 或 A B ，所以由 p 不能推出q；
2 2
当VABC 为等腰三角形时，C
π
不一定为 ， A, B也不一定相等，所以由q不能推出 p ，
2
故 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
故选：D
考点五、三角形面积的应用
1．（2023·全国·高考真题）在VABC 中，已知 BAC 120° ， AB 2 ， AC 1 .
(1)求 sin ABC ；
(2)若 D 为 BC 上一点，且 BAD 90°，求△ADC 的面积.
21
【答案】(1) ；
14
(2) 3 .
10
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC 的值为BC 7 ，然后由余弦定理可得 cos B 5 7 ，最后由同角
14
21
三角函数基本关系可得 sin B ；
14
S
(2) △ABD 4
1
由题意可得 S ，则 S△ACD S5 △ABC
，据此即可求得△ADC 的面积.
△ACD
【详解】（1）由余弦定理可得：
BC 2 a2 b2 c2 2bc cos A
4 1 2 2 1 cos120o 7，
a2 c2 b2 7 4 1 5 7
则BC 7 ， cos B ，
2ac 2 2 7 14
sin ABC 1 cos2 B 1 25 21 .
28 14
1
S AB AD sin 90
o
（2）由三角形面积公式可得 △ABD 21 4 ，S△ACD AC AD sin 30o
2
S 1 S 1 1则 2 1 sin120o 3△ACD 5 △ABC 5 2
.
10
3
2．（2022·浙江·高考真题）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知4a 5c,cosC ．
5
(1)求 sin A 的值；
(2)若b 11，求VABC 的面积．
【答案】(1) 5 ；
5
(2) 22．
【分析】（1）先由平方关系求出 sin C ，再根据正弦定理即可解出；
2
2 a b
2 c2 1
（ ）根据余弦定理的推论 cosC 以及 4a 5c可解出 a，即可由三角形面积公式 S absin C
2ab 2
求出面积．
4
【详解】（1）由于 cosC
3
， 0 < C < π，则 sin C ．因为 ，
5 5 4a 5c
由正弦定理知 4sin A 5 sin C sin A 5，则 sin C 5 ．
4 5
2
2
2 4a 5c a2 b2 c2 a 121
16 a
a2 11
（ ）因为 ，由余弦定理，得 cosC 5 3 5 ，
2ab 22a 2a 5
即 a2 6a 55 0，解得 a 5，而 sin C
4
，b 11，
5
1 1 4
所以VABC 的面积 S absin C 5 11 22．
2 2 5
3．（2024·全国·高考真题）记VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinC 2 cos B，
a2 b2 c2 2ab
(1)求 B；
(2)若VABC 的面积为3 3 ，求 c．
π
【答案】(1) B 3
(2) 2 2
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出 cosC,sin C ，最后结合已知 sin C 2 cos B 得 cos B的值即可；
（2）首先求出 A, B,C ，然后由正弦定理可将 a,b均用含有 c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程
求解.
【详解】（1）由余弦定理有 a2 b2 c2 2ab cosC ，对比已知 a2 b2 c2 2ab，
cosC a
2 b2 c2 2ab 2
可得 ，
2ab 2ab 2
因为C 0, π ，所以 sin C > 0，
2
2 从而 sin C 1 cos C 1 2 2 2
，
2
1
又因为 sin C 2 cos B ，即 cos B ，2
注意到B 0, π ，
所以 B
π
.
3
π π π π 5π
（2）由（1 2）可得 B C 0, π C A π 3 ， cosC ， ，从而 ， ，2 4 3 4 12
sin A sin 5π sin π π 2 3 2 1 6 2而 12 4 6
，
2 2 2 2 4
a b c
由正弦定理有 sin 5π
sin π sin π ，
12 3 4
从而 a 6 2 × 2c 3 1 c,b 3 × 2c 6 c，
4 2 2 2
由三角形面积公式可知，VABC 的面积可表示为
S 1 1 3 1 6 2 3 3 2VABC absin C × c × c × c ，2 2 2 2 2 8
3 3
由已知VABC 的面积为3 3 ，可得 c2 3 3 ，
8
所以 c 2 2 .
4．（2022·北京·高考真题）在VABC 中， sin 2C 3 sin C ．
(1)求 C ；
(2)若b 6，且VABC 的面积为6 3 ，求VABC 的周长．
p
【答案】(1)
6
(2) 6+ 6 3
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 cosC 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 a的值，由余弦定理可求得 c的值，即可求得VABC 的周长.
【详解】（1）解：因为C 0,p ，则 sin C > 0，由已知可得 3 sin C 2sin C cosC ，
cosC 3
p
可得 ，因此，C .
2 6
1 3
（2）解：由三角形的面积公式可得 SVABC absin C a 6 3 ，解得2 2 a 4 3 .
3
由余弦定理可得 c2 a2 b2 2ab cosC 48 36 2 4 3 6 12 ， c 2 3，
2
所以，VABC 的周长为 a b c 6 3 6 .
1．（2024·北京大兴·三模）VABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c， acosB 3 ，bsinA 1.
(1)求 B的大小；
(2)若b 2 ，求VABC 的面积.
π
【答案】(1) B 6
(2) 3 1
2
acosB cosB b 3
【分析】（1）由已知得 3 ，结合正弦定理得 × 3 得
bsinA b sinB tanB
，计算得到 B 的大小.
3
π
（2）法一：由（1）知 B 6 ，代入 acosB 3 求得 a 2，结合余弦定理b
2 a2 c2 2ac ×cosB 求得 c 3 1
或 c 3 1，最后利用三角形面积公式计算结果；法二：求出C 的大小，再利用三角形面积公式即可.
acosB a b cosB b
【详解】（1）由已知得 3 ，由正弦定理 得 × 3 3得
bsinA sinA sinB b sinB tanB 3
tanB 0 B 0,
π π
> ， 得 B
2 6
π
（2）法一：由（1）知 B ，代入 acosB 3 得 a 26 ，
由余弦定理b2 a2 c2 2ac ×cosB 得 2 4 c2 2 3c
c2 2 3c 2 0 得 c 3 1或 c 3 1
①当 c 3 1 S 1时， VABC ac ×sinB
3 1
2 2
②当 c 3 1 1 3 1 时， SVABC ac ×sinB 2 2
法二：b 2 代入bsinA 1 2得 sinA
2
π 3π
∵ a > b，∴ A > B， A A 4 或 4
A π C π π π 7π① 时， 4 4 6 12
sinC sin 7π sin π π
sin
π π π π
×cos cos ×sin
12 3 4 3 4 3 4
3 2 1 2
2 2 2 2
6 2
4
S 1VABC ab sinC
1 2 2 6 2 3 1×
2 2 4 2
A 3π C π 3π π π② 时，
4 4 6 12
sinC sin π sin π π sin
π
×cos π cos π ×sin π
12 3 4 3 4 3 4
3 2 1 2
2 2 2 2
6 2
4
S 1 1 6 2 3 1VABC ab ×sinC 2 2 2 2 4 2
2．（2024·福建莆田·三模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且b cosC 1 c 2 cos B .
(1)证明： a b 2c .
(2)若 a 6， cosC
9
，求VABC 的面积.
16
【答案】(1)证明见解析
(2) 15 7 135 7或
4 16
【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可；
（2）利用余弦定理及（1）的结论，三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）根据正弦定理知b cosC 1 c 2 cos B sin B cosC sin B 2sin C sin C cos B，
整理得 sin B cosC sin C cos B sin B 2sin C sin B C sin B 2sin C ，
因为 A B C π，
所以 sin A sin B C sin A sin B 2sin C ，
由正弦定理可得 a b 2c；
9
（2 cosC sin C 1 cos2 C 5 7）因为 ，所以 ，16 16
由余弦定理可得 c2
27
a2 b2 2abcosC 2，即 c 36 b2 b，
4
则 4c2 144 4b2 27b ，
因为 a 6，所以6 b 2c ，所以36 12b b2 4c2 ，
则144 4b2 27b 36 12b b2，即b2 13b 36 0 ，
解得b 4 或b 9，
当b 4 1时， a 6，此时VABC 的面积 S absin C 1 4 6 5 7 15 7 ，
2 2 16 4
当b 9时， a 6，此时VABC 1的面积 S absin C 1 6 9 5 7 135 7 .
2 2 16 16
所以VABC 15 7 135 7的面积为 或 .
4 16
3．（2024·浙江·模拟预测）已知VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c.已知 c 3, SVABC b
2 sinC .
(1)求 a的取值范围；
(2)求 B最大时，VABC 的面积.
【答案】(1) 2 < a < 6
(2) 3 3
2
【分析】（1）结合三角形面积公式可得 a 2b，再结合三角形三边关系可列不等式求解 a的范围；
π
（2）由余弦定理结合基本不等式可得 B的最大值为 ，此时
6 a : b : c 2 :1: 3
，结合三角形面积公式即可
求解.
1 2
【详解】（1）由于 SVABC absin C b sin C ，2
所以 a 2b .
由三角形的三边关系知: a b > c,a b < c .
又 c 3，所以 2 < a < 6 ；
2 cos B a
2 c2 b2 3b2 c2 2 3bc 3
（ ）由余弦定理可得， ，当 a : b : c 2 :1: 3时取等，
2ac 4bc 4bc 2
π 1 1 2 1 3 3
又B 0, π ，所以 B的最大值为 ，此时 SVABC ac sin B 3 3 .6 2 2 3 2 2
4．（2024·安徽滁州·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, 2b cosC c 2a．
(1)求 B 的大小；
(2)若 a 3，且 AC 19边上的中线长为 ，求VABC 的面积．
2
2π
【答案】(1) B
3
(2) 15 3
4
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）取 AC 的中点D，连接BD，在VABC 和△CBD中，分别利用余弦定理表示 cosC ，结合b2 a2 c2 ac
化简求出 c，再利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1） 2bcosC c 2a，
a2 b2 c2 由余弦定理得 2b × c 2a ，
2ab
a2 2 2
化简得 a2 c2 b2 ac, cosB c b 1 ．
2ac 2
B 0, π 2π， B ；
3
（2）由（1）可得b2 a2 c2 ac c2 3c 9 ①，
cosC a
2 b2 c2
又 ②，
2ab
取 AC 的中点D，连接BD，
2
2 b 19
在△CBD中， cosC BC
2 CD2 BD2 a
4 4 ③，
2BC ×CD ab
由②③得 2c2 b2 1 ④，
由①④得 c2 3c 10 0 ，解得 c 5或 c 2（舍去），
c 5，
S 1 VABC acsinB
15 3
.
2 4
考点六、外接圆、内切圆半径问题
π
1．（2024·贵州六盘水·三模）在VABC 中， AB 2 ， AC 3， A ，则VABC 外接圆的半径为（ ）
3
A 7 B 21 C 2 7 2 21． ． ． D．
3 3 3 3
【答案】B
【分析】由余弦定理可得BC 的值，再由正弦定理可得VABC 外接圆的半径．
π
【详解】因为 AB 2 ， AC 3， A ，由余弦定理可得：
3
BC AB2 AC 2 4AB × AC cos A 4 9 2 2 3 3 7 ，
2
BC 7
设VABC
2R
外接圆的半径为 R ，由正弦定理可得： sin A R 213 ，则 ．
3
7
故选：B．
2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点A ， B ，C ，D构成的四边形 ABCD中， AB 1，
BC 2，CD 3， AD 4 .
(1)求VACD面积的取值范围；
(2)若四边形 ABCD存在外接圆，求外接圆面积.
【答案】(1) 0,2 5
1155π
(2)
288
【分析】（1）根据三角形的性质，求 AC 的范围，再根据余弦定理求 cos ADC 的范围，以及 sin ADC 的范
围，最后代入面积公式，即可求解；
（2）由余弦定理和有外接圆的四边形的性质，求 AC 和 sin ADC ，最后代入外接圆面积公式，即可求解.
【详解】（1）由三角形的性质可知， AB BC > AC ，即 AC < 3，
且 AC CD > AD，即 AC >1，所以1 < AC < 3，
ADC cos ADC 9 16 AC
2 25 AC 2
△ 中， ，
2 3 4 24
所以 cos ADC
2 5
,1 ，则 sin ADC 3
0,
3
，
S 1VADC 3 4 sin ADC 6sin ADC ，2
所以△ADC 面积的取值范围是 0,2 5 ；
（2）△ADC 中， AC 2 9 16 2 3 4 cos ADC 25 24cos ADC ，
VABC 中， AC 2 1 4 2 1 2 cos ABC 5 4cos ABC ，
即 25 24cos ADC 5 4cos ABC
因为四边形 ABCD存在外接圆，所以 ADC ABC 180o，即 cos ADC cos ABC ，
5 2
即 25 24cos ADC 5 4cos ADC ，得 cos ADC ，
7 sin ADC 1
5 2 6 ，
7 7
此时 AC 2 25 24
5 55
385，即
7 7 AC
，
7
2R AC 2310 R 2310由 ，
sin ADC 12 24
2
ABCD S πR2 π 2310
1155π
四边形 外接圆的面积 24
.
288
3．（2023·湖北·二模）已知在VABC 中，其角A 、 B 、C 所对边分别为 a、b 、 c，且满足
bcosC 3bsin C a c．
(1)若b 3 ，求VABC 的外接圆半径；
uuur uuur
(2)若 a c 4 3 ，且BA × BC 6 ，求VABC 的内切圆半径
【答案】(1)1
(2)1
π 1
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得 sin B 6
，即可求出
2
B π
3 ，再由正弦定理的定义可求得
VABC 的外接圆半径；
（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.
bcosC 3bsinC
【详解】（1）因为 1，所以bcosC 3bsin C a c 0，
a c
所以 sin B cosC 3 sin B sin C sin A sin C 0，
因为 A B C π，所以 sin B cosC 3 sin B sin C sin B C sin C 0，
所以 3sin B sinC cos B sinC sinC 0 ，
因为C 0, π sin C 0 sin π 1，所以 ，所以 B 6 ， 2
因为B 0, π π π，所以B ，
6 6
π b
所以 B ，所以外接圆半径 2R 23 ．sin B
所以R 1 .
uuur uuur π
（2）因为BA × BC 6 ，由题可知 B ，所以 ac 123 ，
又因为b2 a2 c2 2ac cos B ， a c 4 3 可得b 2 3 ，
1
因为 S ac ×sin B 3 3．
2
V S 1由 ABC 的面积 a b 1 c r ac ×sin B，得 r 1．
2 2
1．（2024·河南信阳·模拟预测）设 VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知 a 9,b 8,c 5，
则VABC 的外接圆的面积为（ ）
225 π 125 π 123 π 113A． B． C． D． π
11 11 6 6
【答案】A
【分析】由余弦定理先求出 cosC ，结合同角平方关系求出 sin C ，再由正弦定理求出外接圆半径为 R ，即可
得解．
【详解】因为 a 9，b 8， c 5，
a2 b2 c2cosC 81 64 25 5所以 ，
2ab 2 9 8 6
所以 sin C 1 cos2 C 11 ，
6
设VABC 的外接圆半径为 R ，
R c 5 15 11 225
则 2sin C 211 11 ，则VABC 的外接圆的面积 S πR π ．11
3
故选：A．
2．（2024·辽宁大连·一模）在V
π
ABC 中, A , AB 3, AC 2
3
(1)求点A 到边BC 的距离:
(2)设 P 为边 AB 上一点，当PB2 PC 2取得最小值时，求VPBC外接圆的面积.
3 21
【答案】(1)
7
7
(2) π
3
【分析】（1）利用余弦定理可得 a 7 ，再由面积相等可得结果；
（2）求出PB2 PC 2的表达式并利用二次函数性质求得PA 2 时， PB2 PC 2 5min ，由正弦定理求出
VPBC外接圆的半径可得结论.
【详解】（1）设VABC 的内角 A, B,C 所对的边为 a,b,c，即 c 3,b 2 ；
a2 b2 c2 1由余弦定理可得 2bc cos A 4 9 2 2 3 7 ，解得
2 a 7
；
又VABC 1 3 3的面积 S bc sin A ；
2 2
设点A 到边BC 的距离为d ，
S 1 ad 3 3因此 ，
2 2
解得 d 3 21 .
7
3 21
点A 到边BC 的距离为 .
7
（2）如下图所示：
在△PAC 中，由余弦定理可得PC 2 PA2 AC 2 2PA × AC ×cos A PA2 4 2PA；
所以PB2 PC 2 PB2 PA2 2PA 4，
又PB PA 3，所以PB 3 PA，且0 PA 3；
因此PB2 PC 2 3 PA 2 PA2 2PA 4 2PA2 8PA 13 2 PA 2 2 5；
易知当PA 2 2 2时， PB PC 5min ；
AC 2, PA 2, A π 2π由 可得△PAC 为正三角形，所以 BPC ；
3 3
设VPBC外接圆的半径为 R ，
a 7
在VPBC 2R 21中由正弦定理可得 sin BPC sin 2π
，解得R ；
3 3
2 7
所以VPBC外接圆的面积为 πR π .
3
3．（2024·山西晋城·一模）在VABC 中， AB 3 3， AC 5 3 ，BC 7 3 ．
(1)求 A 的大小；
(2)求VABC 外接圆的半径与内切圆的半径．
A 2π【答案】(1) 3
3
(2)
2
【分析】（1）由余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.
2
1 cos A AB AC
2 BC 2 1
【详解】（ ）由余弦定理得 ，
2AB × AC 2
因为0 < A π A
2π
< ，所以 3 ．
2R BC 7 3VABC r 14（2）设 外接圆的半径与内切圆的半径分别为 R ， ，由正弦定理得 sin A 3 ，则
2
R 7 ．
VABC 1的面积 S AB × AC sin A 45 3× ，
2 4
1
由 r(AB AC BC) S ，得 r
2S 3
．
2 AB AC BC 2
4．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
sin2 A ×sin2 B sin 2A ×sin 2B ．
4
(1)求C ；
(2)若 c 2，求VABC 内切圆半径取值范围．
【答案】(1) C
π
；
2
(2) (0, 2 1]
【分析】（1）根据正弦的二倍角公式结合两角和的余弦公式与三角形内角关系求解即可；
1 1
（2）根据 ab (a b c)r
2sin Acos A
化简可得 r ，再设 t sin A cos A，根据正弦函数的值域求解
2 2 sin A cos A 1
即可.
π
【详解】（1）由题意 sin2 Asin2 B sin Acos Asin Bcos B得 sin Asin B cos Acos B ，即 cos(A B) 0 ， A B ，2
π
故C ．
2
1
（2）因为 ab
1
(a b c)r ， r 为内切圆半径，
2 2
r ab 2sin A × 2cos A 2sin Acos A所以 ．
a b 2 2sin A 2cos A 2 sin A cos A 1
2
设 t sin A cos A r t 1，则 t 1，
t 1
π ù
又因为 t 2 sin A ， A 0,
π sin A π 2 ， ,1ú ， t (1, 2]，
4 2 4 2
所以三角形内切圆半径的取值范围为 (0, 2 1]．
考点七、双正弦
1．（2024·福建泉州·一模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c cos B b cosC a b ，
点 D 是 BC 上靠近 C 的三等分点
(1)若VABC 的面积为3 3，求 AD 的最小值；
BAD π(2)若 ，求 sin 2B ．
6
【答案】(1)2
(2) 3 ．
4
【分析】（1）先通过正弦定理将条件角化边后化简整理可得C ，再利用面积公式求得 AC ×CD，进而利用余
弦定理及基本不等式求最值；
π
（2）设B q ,CD x ，则 CAD q , BD 2x，利用正弦定理将代入角和边整理计算可得答案.
2
【详解】（1）由已知及正弦定理可得： sin C cos B sin B cosC sin A sin B （※），
A B C π，所以 sin A sin(B C) sin BcosC cos BsinC ，
代入（※）可得： 2sin B cosC sin B ，又因为 sin B 0 ，
所以 cosC
1 ,C π ，
2 3
1 1
由己知得： S△ACD S△ABC AC ×CD ×sin C 3 ，所以 AC ×CD 4，3 2
故 AD2 AC 2 CD2 2AC ×CD ×cosC 2AC ×CD AC ×CD AC ×CD 4，
当且仅当 AC CD 2时等号成立．
所以 AD 的最小值为 2；
B q ,CD x CAD π（2）设 ，则 q , BD 2x．
2
CD AD x AD x
在VACD中，由正弦定理得： πsin π q
sin C ，即 sin π q sin cosq ，
2 2 3
2x AD
在△ABD
BD AD
中，由正弦定理得： ，即 π ，
sin BAD sin B sin sinq6
3
将上面两式相比，得：8sinq cosq 3,sin 2q ，
4
即 sin 2B 3 ．
4
2．（2024·山东日照·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c．分别以 a,b,c为边长的正三角形的面积
依次为 S1, S2 , S3 ，且 S1 S
3
2 S3 bc．4
(1)求角A ；
uuur uuur
(2)若BD 4CD， CAD
π
，求 sin ACB6 ．
2π
【答案】(1)
3
(2) 2 7
7
1
【分析】（1）根据题意，化简得到 a2 b2 c2 bc ，利用余弦定理求得 cos A ，即可求解；2
（2）设 ACB a ，在△ABD 和VACD 3中，利用正弦定理化简得到 cosa sina ，结合三角函数基本关
2
系式，联立方程组，求得 sin ACB 的值.
3 3
【详解】（1）解：由分别以 a,b,c为边长的正三角形的面积依次为 S a2 , S b2 , S 31 2 3 c
2 ，
4 4 4
则 S 3 S S a2 3 3 31 2 3 b
2 c2 bc ，可得 a2 b2 c2 bc ，
4 4 4 4
b2 c2 a2 1
由余弦定理得 cos A ，
2bc 2
因为 A (0, π)，所以 A
2π
.
3
（2）解：设 ACB a （其中a 为锐角），
BD AD CD AD
ABD V 在△ 和 ACD中，由正弦定理可得 sin(2π π) sin(π a ) 且 sin π sin(π a ) ，
3 6 3 6
BD sin(π a )
3 CD sina
于是 5π sin sin π
，
6 6
sina sina
BD 4CD,sin 5π π π
4
又因为 sin ，所以
6 6 sin( a ) 3 1
，
3 cosa sina2 2
3
化简得 cosa sina ，
2
根据同角三角函数的基本关系式，可得 cos2 a sin2 a 1，
因为 sina > 0 2 7 2 7，联立方程组，解得 sina ，即 sin ACB .
7 7
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）在VABC 中，D为BC 边的中点．
(1)若 AC 2 3， ACD DAC
π
，求 AB 的长；
6
(2)若 BAD ACD
π uuur uuur
， AB × AC 0 ，试判断VABC 的形状．2
【答案】(1)2；
(2)非直角的等腰三角形.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理计算得解.
（2）利用正弦定理，结合诱导公式及二倍角的正弦化得 sin 2 ACD sin 2 ABD ，再结合已知即可推理得
解.
2p CD AC
【详解】（1）依题意， ADC ，在△ADC 中，由正弦定理得 ，
3 sin DAC sin ADC
CD 2 3
1 即 3 ，解得CD 2，则BC 2CD 4，
2 2
在VABC 中，由余弦定理得 AB2 AC 2 BC 2 2AC × BC cos∠ACB ，
即 AB2 12 16 2 2 3 4 3 4，所以 AB 2 .
2
BAD ACD π（2）由 ，得 ABD DAC
π CD AD
，在△ADC 中， ，
2 2 sin DAC sin ACD
BD AD
在△ABD 中， ，又CD BD，两式作商得：
sin BAD sin ABD
sin BAD sin ABD cos ACD sin ABD
，即 ，则 sin 2 ACD sin 2 ABD ，
sin DAC sin ACD cos ABD sin ACD
ACD ABD π uuur uuur于是 ACD ABD 或 ，而 AB × AC 0 ，即 BAC
π
，
2 2
因此 ACD ABD
π
， ACD ABD ，
2
所以VABC 为非直角的等腰三角形.
4．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD中， AB AC 2 3, ADC CAB 120° ，设
DAC q .
(1)若 AD 2，求 BD 的长；
(2)若 ADB 15°，求 tanq .
【答案】(1) 2 7
(2) 6 3 3
【分析】（1）在VACD中由正弦定理解出 ACD，再在△ABD 中由余弦定理解出 BD 即可；
（2）在△ABD 中由正弦定理解出 BD ，再在△BCD中，由正弦定理解出 BD ，由 BD 相等关系得
6cosq 2 3 sin 120° q
，最后解出 tanq 即可.
cos15° sin15°
AC AD
【详解】（1）在VACD中，由正弦定理得： ，
sin ADC sin ACD
2 3 2
即 ， sin ACD
1
，因为 ADC 120°，
sin120° sin ACD 2
所以0° < ACD < 60°，解得 ACD 30°，则 DAC 30°， DAB 30° 120° 150°，
2 3
在△ABD 中，由余弦定理得： BD 12 4 2 2 2 3 28，
2
所以 BD 2 7 .
（2）
如图：由 DAC q ，则 BAD 120° q ，因为 ADB 15°，
AB BD
所以在△ABD 中，由正弦定理知： sin15° sin 120° q ，
2 3 sin 120° qBD ，
sin15°
由 DBA 180° 120° q 15° 45° q ，
因为 AB AC 2 3, CAB 120 ABC
180° 120°
°，所以 30°，
2
CBD ABC ADB 30° 45° q q 15°，
由 BDC ADC ADB 120° 15° 105°，
BCD 180° 105° q 15° 90° q ，
BC BD BD
所以在△BCD中，由正弦定理知： sin105° sin 90° q cosq ，
由 sin105° sin 90° 15° cos15°，
2 2
在VABC 中， BC
2 2 3 2 3 1 2 × 2 3 × 2 3 × 2 36，所以 BC 6，
BD 6cosq 2 3 sin 120° q所以 ，又因为 BD ，cos15° sin15°
6cosq 2 3 sin 120° q
即 ，
cos15° sin15°
2 3 3
cosq
1
sinq
所以 6cosq
2 2 ，
cos 45° 30° sin 45° 30°
6cosq 3cosq 3 sinq
即 6 2 6 2 ，
4 4
所以6 6 2 cosq 6 2 3cosq 3 sinq ，
9 2 3 6 cosq 3 2 6 sinq ，
所以 tanq 9 2 3 6
9 2 3 6 3 2 6 72 36 3
6 3 3，
3 2 6 12 12
故 tanq 6 3 3 .
1．（2024·河北沧州·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 2的对边分别为 a，b，c，已知 a c c b ．
(1)求证： B 3C π；
(2)若 ABC 的角平分线交 AC 于点 D，且 a 12，b 7 ，求 BD 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 4 6 .
【分析】（1）利用余弦定理结合已知变形，再利用正弦定理边化角及和差角的正弦推理即得.
AB BC
（2）利用正弦定理结合已知可得 ，由此求出 AD,CD ，再利用余弦定理建立方程求解即得.
AD CD
【详解】（1）在VABC 中，由余弦定理 a2 c2 b2 2cbcos A 2及 a c c b ，
得b2 2cbcos A bc ，即b 2c cos A c ，由正弦定理，得 sin B 2sinC cos A sinC ，
即 sin C sin(C A) 2sin C cos A sin AcosC cos Asin C sin(A C)，
由0 < C < π，得 sin(A C) sin C > 0，则0 < A C < A < π ，
因此C A C ，即 A 2C ，则 2C B C π ，
所以 B 3C π．
2 a2（ ）由 c c b 2，得12 c c 7 ，由 c > 0，得 c 9．
ABD BCD AB sin ADB sin BDC BC在△ ，△ 中，由正弦定理，得 ，
AD sin ABD sin CBD CD
9 12
则 ，解得 AD 3，从而DC 4 ，又cos ADB cos C DB 0，
AD 7 AD
32 BD2 92 42 BD2 122
由余弦定理，得 0，解得BD 4 6 ，
2 3BD 2 4BD
所以 BD 的长为 4 6 .
2．（2024·河南·三模）已知 P 是VABC 内一点，PB PC, BAC
π , BPC 3π , ABP q .
4 4
π
(1)若q , BC 2 ，求 AC ；
24
π
(2)若q ，求 tan BAP .
3
【答案】(1) AC 1
(2) tan BAP 3 6 .
【分析】（1）在等腰△BPC 中可得 PBC ，进而得 ABC ，在VABC 中运用正弦定理可求得 AC 的值.
π AP
（2）求出 ACP 的值，设 BAP a ，则 PAC a ，在VABP、△APC 中，由正弦定理可得 、
4 PB
AP
，结合PB PC 求解即可.
PC
【详解】（1）如图所示，
BPC 3π , PB PC π在△BPC 中， ，所以 PBC .
4 8
ABC PBC q π π π所以 .
8 24 6
V AC BC
AC 2
ABC 1 在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 AC 1 .
sin ABC sin BAC 2
2 2
（2）如图所示，
q π当 时， ACP π BAC ABP
π
2 PBC .
3 6
设 BAP a ，则 PAC
π
a .
4
V sin
π
在 ABP中，由正弦定理得 AP 3 .
PB sina
π
AP sin 6
在△APC 中，由正弦定理得 PC .sin π a
4
sin π sin π 3 1
3 6
因为PB PC ，所以 2sin
2
a ，即 ，sin π a sina 2 4 cosa sina 2
3 2 3 2
整理得 ，即 ，解得 tana 3 6 ，即 tan BAP 3 6 .
sina cosa sina tana 1 tana
3．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角的对边，且
3c sin A a cosC b c．
(1)求 A；
(2)若 BC 2，将射线 BA 和 CA 分别绕点 B，C 顺时针方向旋转15o，30o，旋转后相交于点 D（如图所示），
且 DBC 30o，求 AD．
π
【答案】(1) A 3
(2) 6
3
【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变形，即可求解；
（2）由条件确定几何图形中的角的值，再根据正弦定理和余弦定理求解.
【详解】（1）由正弦定理可知 3 sin C sin A sin AcosC sin B sin C ,
又因为 sin B sin A C sin AcosC cos Asin C ，
所以 3sinC sin A cos AsinC sinC ，且 sin C > 0，
则 3 sin A cos A 1，即 2sin
A π 1
，所以 sin A
π 1 ，
6 6 2
π π 5π π π
因为 A 0, π ， A ,6 ，所以 A ， 6 6 6 6
π
所以 A 3 ；
（2）由条件可知， ABD 15o ， ACD 30o，且 DBC 30o，
所以 ABC 15o 30o 45o ，又 BAC 60o ，
所以 ACB 180o 60o 45o 75o， BCD 75o 30o 105o ，
BDC 180o 30o 105o 45o，且BC 2
VABC AC BC BC ×sin ABC 2 sin 45
o 2 6
中， ,sin ABC sin BAC ，得 AC sin BAC sin 60o 3
BC DC o
△BCD中， ，得DC BC ×sin DBC 2 sin 30 2 ，
sin BDC sin DBC sin BDC sin 45o
VACD中， AD AC 2 DC 2 2AC × DC ×cos ACD ，
8 2 2 6 3 6 2 2 .
3 3 2 3
考点八、双余弦
1．（2024·全国·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C
π
的对边分别为 a,b,c， tanA 3 ，bsin C 2sin( C) ．3
(1)求 c；
1
(2)若点D在边BC 上，且BD a AD 4 3， ，求VABC 的面积．3 3
【答案】(1) 2
(2) 2 3
π
【分析】（1）根据条件 tanA 3 ，得到 A bsinC 2sinB3 ，从而有 ，利用正弦定理边转角，即可求出结果；
2 2
（2）根据条件，在VABC 2 2 a 4 b中，利用余弦定理得到a b +4 2b ， cosB ，在△ABD 中，利用余
4a
a2 12
弦定理得到 cosB ，联立方程，即可求解.
12a
【详解】（1）因为 tanA 3 ，又0 < A < π A
π
，所以 3 ，
则bsinC 2sin
π
C
2sin A C ，
3
因为 A C π B，所以bsinC 2sin π B 2sinB ，
由正弦定理，得bc 2b，所以 c 2．
（2）由（1）知 c 2， A π 3 ，
a2 c2 b2 a2 4 b2
在VABC 中，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc ×cos BAC b2 4 2b ①， cosB ②，
2ac 4a
a2 16
c2 2 2 4 2
在△ABD 中，由余弦定理得 cosB
BD AD 9 3 a 12 ③，
2c × BD 4a 12a
3
a2 12 a2 4 b2
由②③得 ，化简得3b2 2a2 24 0 ，
12a 4a
2
把①代入得3b 2 b2 4 2b 24 0 ，即b2 4b 32 0，
b 4 VABC S 1 bcsin BAC 1 3解得 ，于是 的面积 4 2 2 3 .
2 2 2
1．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形 ABCD中， AB BC 2 2,CD 2, AD 4 .
(1)若 A, B,C, D 四点共圆，求 AC ；
(2)求四边形 ABCD面积的最大值.
【答案】(1) AC 3 2
(2) 3 7 .
【分析】（1）在VABC 、VACD中分别利用余弦定理表示出 AC 2 ，再由四点共圆得到
cos ADC cos ABC ，即可求出 AC ；；
1 S
（2）由（1）可得 cos ADC cos ABC ，再由面积公式得到 sin ADC sin ABC ，将两式平方再
4 4
2
相加得到 2 2cos ADC ABC 1 S ，结合余弦函数的性质计算可得.
16
【详解】（1）在VABC 中，由余弦定理得： AC 2 AB2 BC 2 2AB × BCcos ABC
8 8 2 8 ×cos ABC 16 16cos ABC ，
在VACD中，由余弦定理得： AC 2 AD2 CD2 2AD ×CDcos ADC
16 4 2 8 ×cos ADC 20 16cos ADC ，
因为 A, B,C, D 四点共圆，所以 ABC ADC π，因此 cos ADC cos ABC ，
上述两式相加得：2AC2 36，所以 AC 3 2 （负值已舍去）.
（2）由（1）得：16 16cos ABC 20 16cos ADC ，
化简得 cos ADC cos ABC
1
，
4
2
则 cos ADC 2cos ADC cos ABC cos2 ABC
1
①，
16
1
四边形 ABCD的面积 S AB × BCsin ABC
1
AD ×CDsin ADC
2 2
1 1
2 2 2 2sin ABC 2 4sin ADC
2 2
4 sin ADC sin ABC ，
整理得 sin ADC sin ABC
S
，
4
2
则 sin2 ADC 2sin ADC sin ABC sin2 ABC S ②
16
2
①② 1 S相加得： 2 2 cos ADC cos ABC sin ADC sin ABC ，
16
1 S 2
即 2 2cos ADC ABC ，
16
由于0 < ADC < π,0 < ABC < π ，
所以当且仅当 ADC ABC π时， cos ADC ABC 取得最小值 1，
2
此时四边形 ABCD 1 S的面积最大，由 4 ，解得 S 3 7 ，
16
故四边形 ABCD面积的最大值为3 7 .
2．（2024·河北·二模）已知VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,VABC 的面积为 S ,a 2b .
(1)若 S 4 15,VABC 为等腰三角形，求它的周长；
3
(2)若 sinC ，求 sinA,sinB .
5
【答案】(1)20；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合三角形面积公式求解即得.
（2）按C 为钝角和不是钝角分类，利用余弦定理和正弦定理求解即得.
【详解】（1）由VABC 为等腰三角形，得 c a 2b ，
2 2 2 2 2 2
由余弦定理 cosC a b c 4b b 4b 1 sinC 1 cos2C 15，则 ，
2ab 4b2 4 4
1 15
于是 S absinC b2 4 15 ，则b 4, a c 8，
2 4
所以VABC 的周长为 20.
3 4
（2）在VABC 中， sinC ，当C 不为钝角时， cosC 1 sin2C ，
5 5
4 9b2 3 5
由余弦定理得， c2 a2 b2 2abcosC 4b2 b2 2 × 2b2 × ，解得 c b，
5 5 5
3 5
a b c
2b b
b
由正弦定理 ，得 5 ，所以
sinA sinB sinC 3 sinA
2 5 5
， sinB ；
sinA sinB 5 5
5
C 2 4当 为钝角时， cosC 1 sin C ，
5
2
由余弦定理得， c a2 b2 2abcosC 4b2 b2 2
4 41
× 2b2 × ( ) b2 c 205，解得 ，5 5 b5
205
a b c
2b b
b
5 sinA 6 205 ,sinB 3 205由正弦定理 ，得 3 ，所以sinA sinB sinC
.
sinA sinB 205 205
5
考点九、解三角形中的证明问题
1．（23-24 高二下·浙江杭州·期中）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足b a 2bcosC ．
(1)求证：C 2B；
(2)求 2sin C cos B sin B 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
17
(2)
8
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.
π
（2）利用（1），求出0 < B < ，表示出2sinC cosB sinB，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大
3
值.
【详解】（1）由题b a 2bcosC ，
由正弦定理： sin B sin A 2sin B cosC sin(B C) 2sin B cosC ，
所以 sin B sin B cosC cos B sinC 2sin B cosC ，
整理 sin B sinC cos B cosC sin B，
所以 sin B sin C B ，结合三角形内角性质，
B C B或B C B π（舍）,
C 2B .
π
（2）由 0 < B C < π ，则由（1）问，C 2B,得：0 < B < ，
3
π π B π所以 < < ，
12 4 4
且 sin
π
sin
π π π π π π 2 6
sin cos cos sin ,
12 3 4 3 4 3 4 4
又 2sinC cosB sinB 2sin 2B cos B sin B，
令 t cos B sin B 2 sin
π B 1 3 ,1
2
4
2
，则 sin 2B 1 cos B sin B ，
2
所以 2sinC cosB sinB 2 1 t 2 t 2t 2 t 2 1 2 t 17 ,
4 8
1 3
因为 t ,12
,
1 17
当 t 时，所求2sinC cosB sinB的最大值为 .
4 8
2．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，点 D，E 都是边 BC 上且与 B，C 不重合的点，且点 D 在 B，E 之间，
AE × AC × BD AD × AB ×CE ．
(1)求证： sin∠BAD sin∠CAE ．
2 2
(2)若 AB ^ AC AD AE 2，求证： 2 2 ．BD CE 1 sin DAE
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分别在VABC ，△ABD ，△ACE中，利用正弦定理即可得证；
π π
（2）设 BAD CAE a ，则0 < a < ， DAE 2a ，在△ABD ，△ACE中，利用正弦定理即可得
4 2
证.
sin B AC
【详解】（1）如图．在VABC 中，由正弦定理，得 ．
sin C AB
BD sin B
在△ABD 中，由正弦定理，得 sin BAD ．
AD
CE sin C
在△ACE中，由正弦定理，得 sin CAE ．
AE
sin BAD BD × AE ×sin B BD × AE × AC
所以 1，
sin CAE CE × AD ×sin C CE × AD × AB
所以 sin∠BAD sin∠CAE ．
（2）因为 AB ^ AC ，
B C π所 ，所以 sin C cos B．
2
π
由 BAC 可知 BAD ， CAE 均为锐角．
2
由（1）知， BAD CAE ．
π π
设 BAD CAE a ，则0 < a < ， DAE 2a ．
4 2
1 sin DAE
由 sin DAE cos 2a 1 2sin2 a ，得 sin2 a ．2
AD sin B
在△ABD 中，由正弦定理，得 ．
BD sina
AE sin C cos B
在△ACE中，由正弦定理，得 ．
CE sina sina
AD2 AE2 sin2 B cos2 B 1 2
所以 ．
BD2 CE2 sin2 a sin2 a sin2 a 1 sin DAE
3．（23-24 高三上·河南信阳·阶段练习）设VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
1 sin A 1 cos 2B
．
cos A sin 2B
(1)证明： A 2B
π
．
2
a2(2)求 2 的取值范围．c
【答案】(1)证明见解析
(2) 0,1
【分析】
（1）利用二倍角公式及正弦的和角公式化简变形条件结合角的范围证明即可；
2
（2 a）利用（1）结论及正弦定理、三角恒等变换化简得 2 4cos
2 B 1 2 4，换元利用导数判定单调性c cos B
求值域即可.
【详解】（1）证明如下：
1 sin A 1 cos 2B 2sin2 B sin B
由 ，
cos A sin 2B 2sin B cos B cos B
则有 cos B sin Acos B sin B cos A，所以 cos B sin A B ，
因为 A B 0, π ，所以 cos B sin A B > 0，则 B 为锐角．
所以 cos B sin
π
B
sin A B
π π ，所以 B A B
或
2 2
B A B π ，
2
A 2B π π则 或 A ，
2 2
π
由题意知 cos A 0，所以 A ，
2
所以 A 2B
π
．
2
π π π
（2）由（1）知 A 2B ,C B ，且B 0, ，2 2 4
2 π 2
a2 2
sin 2B 2
sin A 2 cos2 2B 2cos B 1
由正弦定理，有 2 c sin2
C 2 2sin2 π B
cos B cos B
2
a2
即 2 4cos
2 B 1
c cos2
4
B
令 t cos2 B
1 ,1 ，记 f t 4t
1
4，
2 t
2t 1 × 2t 1f t
1
> 0． f t 在 ,1
2 上单调递增．t 2
f 1 < f (t) < f (1)即 f (t) (0,1)．
2
a2
故 2 的取值范围为 0,1 ．c
1．（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，D 是边 BC 上一点，
BAD a ， CAD b ， AD d ，且 2ac sina 2absin b 3bc．
5π
(1)若 A ，证明： a 3d ；
6
(2)在（1）的条件下，且CD 2BD，求 cos ADC 的值．
【答案】(1)证明见解析
13
(2)
14
BD sin B CD sin C sina sin b 3
【分析】（1）应用正弦定理得 sina 、 sin b ，根据已知有 ，将左侧化
d d b c 2a
1 3
简整理为 ，即可证结论；
2d 2a
2 2 2
（2）由 ADB ADC 180°及余弦定理得到 a2 b2 2c2 ，结合 cos A
b c a
求得 a 7b，最后应
2bc
用余弦定理求 cos ADC 即可.
【详解】（1）
sina sin B sina BD sin B在△ABD 中，由正弦定理得 ，则 ，
BD AD d
sin b sin C sin b CD sin C在VACD中，由正弦定理得 ，则 ，
CD AD d
2ac sina 2absin b 3bc sina sin b 3因为 ，所以 ，
b c 2a
sin a sin b BD sin B CD sin C 1
BD sin A CD sin A BD
1
CD a
而 1
b c bd cd 2 2
．
ad ad ad ad 2d
1 3
所以 ，即 a 3d ．
2d 2a
2a a
（2）由CD 2BD，得CD ，BD ，
3 3
2 2 2 2
△ABD cos ADB BD d AB 2a 9c
2
在 中，由余弦定理得 ，
2BD × d 2a2
2 2
VACD cos ADC CD d AC
2 5a2 9b2
在 中，由余弦定理得 ，
2CD ×d 4a2
由 ADB ADC 180°， cos ADB cos ADC ，
2a2 9c2 5a2 9b2
即 2 2 ，整理得， a
2 b2 2c2 ，
2a 4a
2 2 2
VABC cos A b c a c
2 c 3
在 中，由余弦定理得 ，
2bc 2bc 2b 2
∴ c 3b ，故 a2 b2 6b2，即 a 7b，
a2 4a2
2 2 2 b2 2 2 2 2
所以 cos ADC
AD DC AC 5a 9b 35b 9b 13
9 9 .
2AD × DC 4a2 4a2 28b2 14
9
2．（22-23 高一下·山东枣庄·期中）VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
4a sin A bsinC cos A csin Acos B .
sinA
(1)求 的值；
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.
（i）证明：BD2 BA·BC DA·DC ；
（ii）若 a 1，求BD × AC 的最大值.
【答案】(1) 12
(2)（i 3 2）证明见解析；（ii）
2
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
（2）（i）在△ABD 和△BCD中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式
的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）因为VABC 中，4a sin A bsinC cos A csin Acos B，
故 4sin2 A sin B sin C cos A sin C sin Acos B sinC(sinBcosA sinAcosB)
sinCsin A B sin2 C ，
因为 A,C (0,π), sinA,sinC > 0
sinA 1
，故 ；
sin C 2
（2）（i）证明：△ABD AD AB中，由正弦定理得 ①，
si n ABD si n ADB
又 AB2 AD2 BD2 2AD × BD ×cos ADB ②，
同理在△BCD CD BC中， ③sin CBD sin CDB ，
BC 2 CD2 BD2 2CD × BD ×cos CDB ④，
BD 是 ABC 的角平分线，则 ABD CBD ，
则 sin ABD sin CBD ，
又 ADB CDB π ，故 sin ADB sin CDB,cos ADB cos CDB 0，
AD AB AD AB CD BC
故①÷③得 ⑤，即 , ，
CD BC AC AB BC AC AB BC
CD ② AD ④ CD × AB2 AD × BC 2 CD × AD AD CD CD AD × BD2由 得，
CD × AD × AC AC × BD2 ，
BD2 CD × AB
2 AD × BC2
则 CD × AD
AC
BC × AB2 AB × BC 2
CD × AD BA × BC DA × DC ，
AB BC
即BD2 BA·BC DA·DC ；
sin A 1
（ii）因为 ，故 c 2a ，
sin C 2
AD AB 2 2 1则由⑤得 ，则 AD AC,DC AC ，
CD BC 3 3
BD2 2 2由 a 1 2以及（i）知 AC ，
9
BD2 2即 AC2 2，则BD2 2 2 29 AC
2 BD × AC ，
9 3
BD2 2 AC 2 BD2 2当且仅当 ，结合 AC2 2 BD 1,AC 3 2，即 时等号成立，9 9 2
BD AC 3 2 BD × AC 3 2故 × ，即 的最大值为 .
2 2
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于BD2 BA·BC DA·DC 的证明，证明时要利用正余弦定理得到涉及
到的线段之间的等量关系，然后利用分式的性质进行变形，过程比较复杂，计算量较大，因此要十分注意.
3．（23-24 高三上·江苏·开学考试）如图，在△ABC 内任取一点 P，直线 AP、BP、CP 分别与边 BC、CA、
AB 相交于点 D、E、F．
BD ABsin BAD
(1)试证明：
DC ACsin DAC
(2)若 P 为重心， AD 5, BE 4,CF 3，求VABC 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）利用正弦定理及角的互补关系即可证结论；
（2）由题意 AD, BE,CF AP
10 , PD 5为中线，可得 , BP
8
, PE 4 ,CP 2, PF 1，再由
3 3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PC PB 2PD、 PA PB 2PF 、PC PA 2PE ，求 cos BPC, cos APB, cos APC ，进而求对应正弦值，
结合 SVABC SVBPC SVAPB SVAPC 及三角形面积公式求面积.
ABD AB BD
AB sin BAD
【详解】（1）△ 中 ，则BD ，
sin ADB sin BAD sin ADB
AC DC DC AC sin DACVACD中 ，则 ，
sin ADC sin DAC sin ADC
又 ADB ADC π,则 sin ADB sin ADC ，
BD AB sin BAD
所以 ，得证.
DC AC sin DAC
（2）由 P 是重心，则 AD, BE,CF 为中线，又 AD 5, BE 4,CF 3，
AP 10 5所以 , PD , BP
8 4
, PE ,CP 2, PF 1，
3 3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
而PC PB 2 2 2 2PD，则PC 2PC × PB PB 4PD ，
所以 4
32
cos BPC 64 25 4 ，可得 cos BPC 0，且 BPC (0, π)，所以 BPC π ，
3 9 9 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur cos APB 4 cos APC 3同理 PA PB 2PF ，PC PA 2PE ，可得 ， ，5 5
所以 sin APB
3
， sin APC
4
，
5 5
则 SVABC S S S
1 8 2 1 10 8 3 1 10 4VBPC VAPB VAPC 2 8 .2 3 2 3 3 5 2 3 5
考点十、解三角形中的实际应用
1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的
高．如图，点E ， H ，G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表
高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高 AB
（ ）
表高 表距 表高 表距
A． 表高 B． 表高
表目距的差 表目距的差
表高 表距 表高 表距
C． 表距 D． 表距
表目距的差 表目距的差
【答案】A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
DE EH , FG CG由平面相似可知， ，而 DE FG ，所以
AB AH AB AC
DE EH CG CG EH CG EH
，而 CH CE EH CG EH EG ，
AB AH AC AC AH CH
AB CG EH EG DE EG DE DE 表高 表距即 ＝ +表高．
CG EH CG EH 表目距的差
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B、C 两点 B、C 与楼底在同一
水平面上）的俯角分别是75o和15o，则B、C 两点之间的距离为（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
【答案】D
【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可.
BC 100 100 100 tan 75° tan15° 100 tan 60°(1 tan15° tan 75°)【详解】由题意，
tan15° tan 75° tan15° tan 75° tan15° tan 75°
而 tan15° tan 75
sin15° sin 75° sin15° cos15°
° × × 1，
cos15° cos 75° cos15° sin15°
所以BC 100 2 3 200 3 .
故选：D
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山
上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高
度．把塔底与塔顶分别看作点 C，D，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点 A，B，测得 AB 20 3m，
在点 A 处测得点 C，D 的仰角分别为30°， 60°，在点 B 处测得点 D 的仰角为30°，则塔高 CD 为 m．
【答案】20
【分析】确定VACD,VBAD 每个角的大小，可得VACD,VBAD 均为等腰三角形，在VACD中，设 | CD | x，
通过余弦定理计算 | AB | 3x 即可.
【详解】在VACD中，延长DC 与BA的延长线交于点 E，如图所示.
由题意可知， CAE 30° , DAE 60° , DBA 30°，
因为小李同学根据课本书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发，
所以 A, B, E 三点在同一条直线上.
所以 DAC 30° , DCA 120° , ADC 30° , BDA 30° ，
所以VACD,VBAD 为等腰三角形，
即 | CD | | CA |,| AD | | AB | .
设 | CD | x，即 | CA | x， DCA 120°，
在VACD中，由余弦定理得
| AD |2 | CD |2 | CA |2 2 | CD || CA | cos DCA ,
即 | AD |2 x2 x2 2x x (
1
× × )， | AD | 3x，
2
所以 | AB | 3x ，
又因为 | AB | 20 3 ，
所以 x = 20 .
故答案为： 20 .
1．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小
镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
a1 1.00m，之后将小镜子前移a 6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2 0.60m，已
知人的眼睛距离地面的高度为 h 1.75m，则钟楼的高度大约是（ ）
A． 27.75m B．27.25m C． 26.75m D． 26.25m
【答案】D
ah
【分析】设钟楼的高度为 PQ，根据相似得到PQ a a ，代入数据计算得到答案.1 2
【详解】如下图，设钟楼的高度为 PQ，
由△MKE :△PQE，可得：EQ
PQ × KE a1 × PQ ，
MK h
由△NTF : PQF
PQ ×TF PQ × a
△ ，可得：FQ 2 ，
NT h
EQ FQ a1 × PQ PQ ×a故 2 a ，
h h
PQ ah 6 1.75 10.5故 26.25ma1 a2 1 0.6 0.4
，
故选：D.
2．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591 年），因鸿雁南北迁徙时常
在境内停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的
限制，分别选择 C 点和一建筑物 DE 的楼顶 E 为测量观测点，已知点 A 为塔底， A,C , D 在水平地面上，来
雁塔 AB 和建筑物 DE 均垂直于地面（如图所示）.测得CD 18m, AD 15m，在 C 点处测得 E 点的仰角为
30°，在 E 点处测得 B 点的仰角为 60°，则来雁塔 AB 的高度约为（ ）（ 3 1.732，精确到0.1m）
A．35.0m B．36.4m C．38.4m D．39.6m
【答案】B
【分析】现从四棱锥C ABED 中提取两个直角三角形VECD 和△BEF 的边角关系，进而分别解出两个三角
形边DE, BF 的长，求出来雁塔 AB 的高度即可.
【详解】过点E 作EF ^ AB，交 AB 于点F ，
在直角三角形VECD 中，因为 ECD 30°，
所以DE CD × tan DCE 18 tan30° 6 3 ，
在直角三角形△BEF 中，因为 BEF 60°，
所以BF EF × tan FEB 15 tan60° 15 3 ，
则 AB BF AF BF ED 15 3 6 3 21 3 36.4 m .
故选：B.
3．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距 14 公里的 A, B两座炮台，A 在 B 的正东方.某次演习时，A
向西偏北q 方向发射炮弹， B 则向东偏北q 方向发射炮弹，其中q 为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里外
q
的同一目标，接着A 改向向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点M ，则 B 炮台与弹着点M 的
2
距离为（ ）
A．7 公里 B．8 公里 C．9 公里 D．10 公里
【答案】D
【分析】设炮弹第一次命中点为C ，在VABC
q
中利用余弦定理求出 cosq ，又二倍角公式求出 cos ，最后在
2
VABM 中利用余弦定理计算可得.
【详解】依题意设炮弹第一次命中点为C ，则 AB 14 ， AC BC AM 18，
q
CBA CAB q ， MAB ，
2
在VABC 中BC 2 AC 2 AB2 2AC × AB cosq ，
7
即182 142 182 2 14 18cosq ，解得 cosq ，18
cosq 2cos2 q 1 7 q 5所以 ，又q 为锐角，解得 cos （负值舍去），
2 18 2 6
在VABM 2中BM AM 2 AB2 2AM × AB cos
q
2
182 5 142 2 18 14 100，
6
所以BM 10，即 B 炮台与弹着点M 的距离为10公里.
故选：D
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）在VABC 中， a,b,c分别为角 A, B,C
π
的对边，若 tanA 3，B ，bc 2 10 ，则
4
a （ ）
A．2 B．3 C． 2 2 D．3 2
【答案】B
sinA 3 10 10【分析】根据同角三角函数关系求得 ， cosA ，利用两角和的正弦公式求得 sinC 2 5 ，
10 10 5
利用正弦定理求得 b，c，进而求出 a 的值．
ìsin2 A cos2 A 1
【详解】由 tanA 3，可得 A
0,
π 3 10 10
，根据2 í sinA 进而求出 sinA ， cosA ， 3 10 10 cosA
由B
π
可得 sinB 2 ， cosB 2 ，4 2 2
则 sinC sin A B sinAcosB sinBcosA 3 10 2 10 2 2 5 ，
10 2 10 2 5
b sinB 10
由正弦定理可知 ，
c sinC 4
又因为bc 2 10 ，解得b 5 ， c 2 2 ，
3 10
a bsinA
5
由正弦定理可得 10 3．
sinB 2
2
故选：B．
2．（2024·重庆·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c B
2
，若 π,b 6, a2 c2 3ac ，则VABC
3
的面积为（ ）
9 3 9 9A． B． C 9 3． D．
4 4 2 2
【答案】A
【分析】利用余弦定理求得 ac ，进而利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】由余弦定理得b2 a2 c2 2ac cos B ，即36 a2 c2 ac 3ac ac 4ac ，解得 ac 9，
所以三角形 ABC 1 1 3 9 3的面积为 ac sin B 9 .
2 2 2 4
故选：A
二、多选题
3．（2024·重庆·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边为 a,b,c,若b 2 3,c 2,C
p
，则VABC 的面积可以是
6
（ ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D．3 3
【答案】AC
【分析】根据余弦定理和面积公式即可求解.
2 2 π
【详解】由余弦定理得: c a 12 4 3a cos 4，
6
2 1即 a 6a 8 0,a 2 或 4，故面积 S absin C 3 或 2 3 .2
故选：AC.
三、填空题
4．（2024·山东威海·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 6 ，b c 4 ，
cosC 6 ．则 sin A = ．
6
5
【答案】
3
【分析】在VABC 6中，由余弦定理可得 c2 -b2 = 6-2 6b (- ) ，结合已知求得b,c，再由正弦定理可求
6
得 sin A .
【详解】在VABC 中，由余弦定理可得 c2 a2 b2 2abcosC ，
所以 c2 -b2 = 6-2 6b (- 6 ) ，所以 (c-b)(c +b) = 6+ 2b，
6
因为 c b 4 ，所以 4(c-b) = 6+ 2b，所以 4c-6b = 6
解得b 1,c 3，
cosC 6由 ，可得 sin C 30 ，
6 6
在V
c a
ABC 中，由正弦定理可得 ，
sin C sin A
30
所以 sin A a sin C
6
6 5 .
c 3 3
5
故答案为： .
3
π
5．（2024·北京西城·三模）在VABC 中，若 c 2， a 3， A ，则 sin C 6 ，b .
3
1
【答案】 / 3
3 3 ± 23
【分析】在VABC 中，运用正弦定理求得 sin C ，运用余弦定理求得b 即可.
a
