第09讲 解三角形中的最值及范围问题（含答案） 学案 备战2025年高考数学一轮复习学案（新高考通用）

第 09 讲 解三角形中的最值及范围问题
（15 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为 13-15 分
【备考策略】1 会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题
2 会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题
【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同
时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
知识讲解
解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点
1. 基本不等式
a 0, b 0 ab a b 当且仅当 a b a b 时取等号，其中 叫做正数 a ，b 的算术平均数，
2 ， 2
ab 叫做正数 a ，b 的几何平均数，通常表达为： a b 2 ab （积定和最小），应用条件：“一正，二定，
三相等”
基本不等式的推论 重要不等式
2 a, b R a2 b2 2ab
a 0, b 0 ab a b （和定积最大）
4 当且仅当 a b 时取等号
当且仅当 a b 时取等号
2. 辅助角公式及三角函数值域
形如 y a sin x b cos x ， (a 0) b y a2 b2 sin(x )，其中 tan ， ( , )a 2 2
对于 y Asin( x ) h， y Acos( x ) h类函数， A叫做振幅，决定函数的值域，值域为
A, A ，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
3. 三角形中的边角关系
（1）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（2）在三角形中，大边对大角，小边对小角
（3）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
即 a b A B sin A sin B cos A < cos B
注意：在锐角 ABC 中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如 sin A cos B。
事实上，由 A B A B sin A sin B cos B ，即得。由此对任意锐角2 2 2
ABC ，总有 sin A sin B sin C cos A cos B cosC 。
考点一、面积类最值及范围问题
1．（2024·上海·三模）已知VABC的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且 3a 2csinA．
(1)求 sin C 的值；
(2)若 c 3，求VABC面积S 的最大值．
2．（2024·河北·模拟预测）在锐角VABC 中， a，b ， c分别是角 A, B,C 的对边， c tan B 2a c tan C .
(1)求 B ；
(2)若b 3 ，求VABC 的面积S 取值范围.
3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形 ABCD满足 B ，D点在 AC 的两侧， AB 1，BC 2，
VACD为正三角形，设 ABC a .
π
(1)当a 时，求 AC ；
3
(2)当a 变化时，求四边形 ABCD面积的最大值.
4．（23-24 高三上·江西抚州·阶段练习）已知在平面四边形 ABCD中， AB BC CD 1， AD 2 .
(1)求 2cos A cosC 的值；
(2)记△ABD 与△CBD的面积分别为 S1和 S2 ，求 S 21 S 22 的最大值.
A C
1．（2024·广东茂名·一模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且bsin B C asin .
2
(1)求 B 的大小；
(2)若D是 AC 边的中点，且 BD 2，求VABC 面积的最大值.
2．（2024·江苏·模拟预测）在VABC
AC AD
中，点D在 AB 边上，且满足 .
BC BD
(1)求证： ACD BCD；
(2)若 tan A tan B 3 tan A tan B 3 0 ，CD 2，求VABC 的面积的最小值.
3．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形 ABCD中， AB BC 2 2,CD 2, AD 4 .
(1)若 A, B,C, D 四点共圆，求 AC ；
(2)求四边形 ABCD面积的最大值.
4．（23-24 高一下·吉林长春·期中）已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
3ccos A csin A 3b .
(1)求角C 的大小；
(2)若 c 2，角A 与角 B 的内角平分线相交于点 D，求△ABD 面积的最大值.
5．（23-24 高三上·江西·期末）如图，在△ABC 中，AB=BC=2，D 为△ABC 外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，
∠BCD=β.
(1)求 2cosa cos b 的值；
(2)若△ABD 的面积为 S1，△BCD S S 2 S 2的面积为 2 ，求 1 2 的最大值.
考点二、周长类最值及范围问题
1．（2024·安徽淮北·二模）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c
A
，已知 c b 2csin2
2
(1)试判断VABC 的形状；
(2)若 c 1，求VABC 周长的最大值.
sin C sin A sin B
2．（2024·四川南充·模拟预测）在VABC 中， .
sin A sin B sin B sin C
(1)求A ；
(2)若BC 3，求VABC 周长的最大值.
a
3．（2024·湖南常德·一模）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且 2b .
cosC
(1)判断VABC 的形状；
(2)若VABC 的外接圆半径为 2 ，求VABC 周长的最大值.
4．（2024·山西·三模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 2cos Acos B 2sin2
C
．
2
(1)试判断VABC 的形状；
(2)若VABC 的外接圆半径为 2，求VABC 周长的最大值．
1．（2024 高三下·全国·专题练习）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
sin2 B (cos A cosC)(cos A cosC) sin(A B)sin(A C)．
(1)求 A；
(2)设a 4 3，求VABC 周长的最大值．
ur r
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知向量m, n满足
mr 2a, 6 nr ur r ， 2sinB,b ，且m ^ n．
(1)求角A ；
(2)若VABC 是锐角三角形，且 a 3，求VABC 周长的取值范围．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在VABC 中，D 为 BC 边的中点，且 AD 5．
(1)若VABC 的面积为 2，cos ADC 5 ，求 B ；
5
(2)若 AB2 AC 2 18，求VABC 的周长的最大值．
4．（2024·贵州贵阳·三模）已知VABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且满足
cosC c c cos A .请回答下列问题:
a
(1)证明: VABC 为等腰三角形;
(2)若VABC 的外接圆直径为 1，试求VABC 周长的取值范围.
5．（2024·云南曲靖·二模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 acosC 3csinA b c .
(1)求角 B 的取值范围；
(2)已知VABC 3内切圆的半径等于 ，求VABC 周长的取值范围.
2
考点三、边长类最值及范围问题
1．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且
sin2 C sin2 B sin(π B) cos(π B) ， a < c，b < c ．
3 6
(1)求 tan(A B) 的值；
(2)若△ABC 的面积为12 3 ，求 c 的最小值．
2．（2024·贵州遵义·一模）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
3b a sin C 3a cosC ．
(1)求 A；
(2)若VABC 为锐角三角形， c 2，求 b 的取值范围．
3．（2024·山西晋中·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知b2 c2 bc a2 .
(1)求 tanA；
(2)若b 3 1 c，在边BC 上（不含端点）存在点D，使得 AD 1，求 a的取值范围．
1．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 的三个内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足
b c sin C sin B 2a cosC sin A sin B ．
(1)求角C ．
(2)当VABC 面积的最大值为 4 3 时，求 c的值．
2．（2024·四川·三模）三角形 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c 1 sin 2B cos 2B 3，且 .
sin 2B 2sin2 B 3
(1)求 B ；
(2)若 AC 边上的中线长为 2，求b 的最小值.
3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
(a c) éb2 (a c)
2
ù tan B 2abc(sin A sin C)．
(1)求 B 的大小．
(2)若VABC 的面积为 2 3 ，求b 的取值范围．
考点四、边长和差类最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且2cosC
2sinB sinC
．
sinA
(1)求角A ；
uuur c uuur
(2)若BD DC ，且 AD 2，求b c 的最小值．
b
8．8．2．（2024·上海嘉定·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，
cos2 B sin2 B 1 ．
2
π
(1)求角 B ，并计算 sin B 的值；
6
(2)若b 3 ，且VABC 是锐角三角形，求a 2c的最大值．
3．（2024·广东湛江·一模）已知在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
a cos B C a cos A 2 3c sin B cos A 0．
(1)求 A；
(2)若VABC 外接圆的直径为 2 3 ，求 2c b 的取值范围．
1．（2024·湖北·二模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c a < b ，
c 2a cos Acos B b cos 2A．
(1)求 A；
uuur 1 uuur uuur
(2)者BD BC ， AD 2，求b c 的取值范围．
3
2．（2024·江西·模拟预测）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别记为 a，b ， c，且
tan A cos B sin C ．
cosC sin B
π
(1)若 B C6 ，求 的大小．
(2)若 a 2，求b c 的取值范围．
3．（2024·山西吕梁·一模）设VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知
bcosC 2acosA ccosB ．
(1)求A ；
(2)设A 的角平分线交BC 于点M，AM 1，求b 4c 的最小值．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知__________.
tan A π 在① 2 3 ，② 2b 2acosC c ，③ b c a b c a 3bc，这三个条件中任选一个填在
4
上面的横线上，并解答问题.
(1)求角A ；
(2) VABC 3若 的面积为 ，求 (b 1)2 (c 1)2 的最小值.
2
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
考点五、边长积商类最值及范围问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角VABC 的三内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c ，且
b2 c2 (b ×cosC c ×cosB)2 bc ，
(1)求角A 的大小；
(2)如果该三角形外接圆的半径为 3，求bc的取值范围．
2．（2024·宁夏固原·一模）在锐角VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且
2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B ．
(1)求证：B C 2A；
c b
(2)求 的取值范围．
a
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且满足
sinA cosA sin2B
．
cosA sinA 1 cos2B
π
(1)若C ，求A 的大小；
3
(2) c
2
求 2 2 的取值范围．a b
1．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知
2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B .
(1)证明：B C 2A；
c
(2)求 的取值范围.
b
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）在VABC 中，已知角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，
asin2 B bsin2 A 3ab
2 2 2 a b c ．
(1)求角C 的大小；
a b
(2)若VABC 为锐角三角形，求 的取值范围．
c
3．（2024·山西朔州·一模）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，向量
mr a b,c ,nr sinA sinC,sinA sinB r，且m//nr．
(1)求 B ；
2
(2) b求 2 2 的最小值．a c
考点六、中线最值及范围问题
1．（2024·四川·三模）在VABC中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且满足
2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B .
(1)求A ；
(2)若VABC的面积为16 3 ，D为 AC 的中点，求BD的最小值.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且
a sinA cosCsinB c cosAsinB sinC 3 asinC
2
(1)求 cosB；
(2)设D为边 AC 的中点， AC 2，求线段BD长度的最大值.
sinB sinC cosB cosC
3．（2024·湖北·模拟预测）在VABC 中，已知 ，D 为BC 的中点.
sinA cosA
(1)求 A；
(2)当BC 4时，求 AD 的最大值.
1．（2024·四川南充·二模）在① 2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B ；②
2 2 2 bsin B c sin C a sin A 2sin B sin C cos A 1 sin A B sin A C ；③ sin Ac sin B ；这三个条件中任选3
一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且满足______.
(1)求A ；
(2)若VABC 的面积为16 3 ，D为 AC 的中点，求BD的最小值.
2．（2024·河北·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
sinA 3sinB a c b sinC sinB .
(1)求角C 的大小；
(2)若边 c 2，边 AB 的中点为D，求中线CD 长的最大值.
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a cosC 3a sin C b c 0．
(1)求角A 的大小；
(2)若D是线段BC 上靠近点 B 的三等分点， a 3，求 AD 的最大值．
考点七、角平分线最值及范围问题
1．（2023·浙江·二模）在锐角VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a，b ， c，满足
sin A 1 sin
2 A sin2 C
，且 A C .
sin C sin2 B
(1)求证：B 2C ；
(2)已知BD是 ABC 的平分线，若 a 4，求线段BD长度的取值范围.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角 VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，其中a 8，
a 1 sin
2 A sin2C
，且 a c ．
c sin2B
(1)求证：B 2C ；
(2)已知点M 在线段 AC 上，且∠ABM ∠CBM ，求 BM 的取值范围．
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知VABC 内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，b(sin B sinC) (a c)(sin A
sin C)．
(1)求 A；
(2)A 的平分线 AD 交BC 于D点，9b c 64，求 AD 的最大值．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知VABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足
3c bsin A 3a cos B．
(1)求角 A 的大小；
BC
(2)若 D 是边 BC 上一点，且 AD 是角 A 的角平分线，求 的最小值．
AD
a a2 b2 c23．（2023·河南·三模）在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ，且
c b2
a c ．
(1)求证：B 2C ；
(2)若 ABC 的平分线交 AC 于 D，且 a 12，求线段 BD 的长度的取值范围．
考点八、高线最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c， a 1，
sinB 3bcosA 0．
(1)求角A ；
(2)设 AM 是VABC 的高，求 AM 的最大值．
2．（2023·贵州毕节·统考一模）已知VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c．若
bcos A B csinB ．
2
(1)求角C ；
(2)若 c 3，求BC 边上的高的取值范围．
π 2π 2π ù
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 f x sin x ( 0) ù在 0, 上单调递增，在 , π 上单调
6 3 ú 3 ú
递减，设 x0 ,0 为曲线 y f x 的对称中心．
(1)求 x0 ；
(2)记VABC 的角 A, B,C 对应的边分别为 a,b,c，若cosA cosx0 ,b c 6，求BC 边上的高 AD 长的最大值．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角VABC 中，设边 a,b,c所对的角分别为
A, B,C ，且 a2 b2 bc ．
(1)求角 B 的取值范围；
(2)若 c 4，求VABC 中 AB 边上的高 h 的取值范围．
sin2 B sin2
3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中， sin A sin ACB
ACB

sin B ACB ， AB 1．
(1)求 B．
(2)求 AB 边上的高的取值范围．
考点九、其他线段类最值及范围问题
1．（23-24 高三下·河南周口·开学考试）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为
a,b,c,1 cos2C cos2A cos2B 2sinAsinB．
(1)求角C ；
(2)若 c 5, D为边 AB 上一点， ACD BCD，求CD 的最大值．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 1 3tanA 1 3tanC 4．
(1)求 B ；
uuur uuur
(2)若b 2 3, A
π
, AD DB ，连接CD ，求CD2的值．4
3．（23-24 高一下·吉林白山·阶段练习）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且
sin2 A 3sinAsinB
1．
cos2B cos2C
(1)求角C 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形，点F 为VABC 的垂心，CF 6，求 AF BF 的取值范围．
4．（2024·广东广州·三模）在锐角VABC
A
中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c bsin acosB ．
2
(1)求 A；
CD
(2)若 D 是边BC 上一点（不包括端点），且 ABD BAD ，求 的取值范围．
BD
1 2024· · VABC 1 cos A．（ 贵州贵阳 模拟预测）已知在 中， sin A 0 ，
2
(1)求 A；
(2)若点 D 是边 BC 上一点，BD 2DC ，△ABC 的面积为 3，求 AD 的最小值.
2．（22-23 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知VABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
b c sin B sin C b a sin A．
(1)求 C 的大小；
(2)若 c 3，D 是边 AB 上的一点，且BD 2AD ，求线段 CD 的最大值．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
sin2 C sin C sin B
2 1 .cos B cos2 A
(1)求角 A 的大小；
(2)若VABC 为锐角三角形，点 F 为VABC 的垂心， AF 6，求CF BF 的取值范围.
4．（2024·河北衡水·一模）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c，三角形面积为S ，若D为 AC 边
上一点，满足 AB ^ BD, BD 2 a2 2 3，且 S abcosC .
3
(1)求角 B ；
2 1
(2)求 的取值范围.
AD CD
考点十、外接圆及内切圆半径类最值及范围问题
1．（2024·吉林·二模）已知 VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,VABC 的外接圆半径为 3，且
sin2 B sin2 C sin B sinC sin2 A .
(1)求 a ;
(2)求VABC 的内切圆半径 r 的取值范围
2．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，
3b c sin A 3a cosC ．
(1)求角A 的大小；
R
(2)若 a 7，VABC 外接圆的半径为 R ，内切圆半径为 r ，求 的最小值．
r
2．
1．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
sin2 A ×sin2 B sin 2A ×sin 2B ．
4
(1)求C ；
(2)若 c 2，求VABC 内切圆半径取值范围．
B C 1
2．（2024·全国·模拟预测）在“① 3acosC 3b csinA；② asinB bsin ；③ acosB b c ”这三个2 2
条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且______．
(1)求角A 的大小；
(2)若 a 4, r 表示VABC 内切圆的半径，求 r 的最大值．
考点十一、角度类最值及范围问题
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在VABC 中，角A 、 B 、C 所对的边长分别为 a,b,c，若 a,b,c成等比数
列，则角 B 的取值范围为（ ）
A ． 0,
π ù π π π
6 ú B
ù é é
． 0, ,π ,π
3 ú
C． ê D． 6 ê 3
uuur uuur
2．（2024·山东菏泽·二模）已知在VABC 中，CA ×CB 2,△ABC 的面积为 3．
(1)求角C 的度数；
(2)若BC 2, D, E 是 AB 上的动点，且 DCE 始终等于30°，记 CED a ．当DE 取到最小值时，求a 的
值．
1．（2023 春·上海宝山·高一校考期中）如果VABC 的三边 a、b 、 c满足b2 ac，则角 B 的取值范围
为 ．
2．（2024·上海奉贤·三模）已知三角形 ABC 的三个角对应的边分别为 a、b 、 c
(1)求证：存在以 sin A,sin B,sin C 为三边的三角形；
(2)若以 sin 2A,sin 2B,sin 2C 为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形 ABC 的最小角．
考点十二、正余弦类最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 所对边分别为 a,b,c，已知b 3cosC 1 c 1 3cosB ．
(1)证明：b c 3a；
(2)求 cosA的最小值．
2．（2024·全国·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，已知
sin2 B 2sin AsinC 2sinC sin(A B)．
(1)证明： 2a2 3b2 2ac ；
(2)若VABC
sin C
为锐角三角形，求 的取值范围．
sin A
3．（2024·河北沧州·模拟预测）已知在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
a sin A c sin C (a b)sin B．
(1)求 C；
(2)求 sin2 A sin2 B的最大值．
4．（2023·全国·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,bsinA 3 c acosB ．
(1)求角A 的大小；
(2) sin
2 A
求 的最小值．
sin2B sin2C
5．（23-24 高三上·江苏南京·期中）在VABC 中， A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知b2 c(a c) .
c
(1)若 B
π

4 ，求 的值；a
(2)若VABC 是锐角三角形，求 3 sin B 2cos2 C 的取值范围．
1．（2024·陕西宝鸡·二模）VABC 中，D为BC 边的中点， AD 1 .
2π
(1)若VABC 的面积为 2 3 ，且 ADC ，求 sin C 的值；3
(2)若BC 4，求 cos BAC 的取值范围．
2．（23-24 高三上·山东枣庄·期末）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c .若
2a bcosA c btanBsinA .
(1)求 B ；
sinA sinB
(2)若VABC 为锐角三角形，求 的取值范围.
sinC
3．（2024·河南·一模） VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足b2 a2 ac .
(1)求证：B 2A；
VABC sin(C A) sin B(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
sin A
A, B,C a,b,c, tan π A 1 cos2B73．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 的对边分别为 ．
4 2 sin2B
(1)判断VABC 的形状，并证明；
a2(2) 5a求
c2
的最小值．
4ccosB
4．（2024·辽宁·一模）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足b b a c2 .
(1)求证：C 2B；
(2)若VABC 为锐角三角形，求 2sin C cos B sin B 的最大值．
2c 1
5．（2024·广东佛山·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，其中 a 1， cosA ．
2b
(1)求角 B 的大小；
sin CAB
(2)如图，D为VABC 外一点， AB BD ， ABC ABD ，求 的最大值．
sin CDB
考点十三、正切类最值及范围问题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c uuur uuur uuur uuur uuur. 2已知 AB × AC BA × BC l AB
(1)若l 1，判断VABC 的形状；
1
(2)若l ，求 tan B A 的最大值.
2
1．（2024·云南·二模）VABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，B 是A 与C 的等差中项.
a a b
(1)若 ，判断VABC 的形状;
b a c
tan B
(2)若VABC 是锐角三角形，求 的取值范围.
tan A tanC
考点十四、向量类最值及范围问题
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为 4 的VABC ，若 a,b,c分别是 A, B,C 的对边，且
uuur uuur
a2 bc，则 AB × AC 的取值范围为 ．
π π
2．（23-24 高三上·北京·阶段练习）在VABC sin A sin 中， 4
B cos Acos B．
4
(1)求 C；
uuur uuur
(2)若 AB 2 ，求CA ×CB 的最小值．
3．（2024·湖南邵阳·一模）在VABC 中，内角A 满足 3sin2A cos2A 2 .
(1)求角A 的大小；
uuur
uuur uuur AD
(2)若DC 2BD，求 uuur 的最大值.
BD
π uuur uuur
1．（23-24 高一下·重庆·阶段练习）如图在VABC 中， BAC ，满足
3 AD 3DB
.
π
(1)若 B ，求 ACD的余弦值；
3
uuuur uuur 1 uuur uuuur
(2)点M 是线段CD 上一点，且满足 AM mAC AB，若VABC 的面积为 ，求 AM 的最小值.
2 3
2．（2024·重庆·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知
b 2 ébcos2 π A ê a sin
B cos B ù．
12 2 2 2 ú
(1)求角 A 的大小；
uuur uuur
(2)若BP PC ，且b c 2 ，求 AP 的最小值．
考点十五、参数类最值及范围问题
1．（2023·陕西榆林·统考一模） VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 asinA b la sinB csinC ，
则l 的取值范围为（ ）
A． 2,2 B． 0,2 C． 2,2 D． 0,2
2．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b， c，且
asinC c 2sinB cosAtanC ．
(1)求C ；
uuur uuur
AB lBD l 0 BCD π(2)若 ，且 ，求实数l 的取值范围．
4
1．（2023·全国·模拟预测）已知在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且
bcos 3π A 6 2
sin π B 0 .
1 cos2C
(1)求 csinA的值；
(2)若 2 bsinC atanC ctanC ，且 S△ABC l ，求实数l 的取值范围.
2．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足6cosC c 2b， a 3 .
(1)证明：VABC 外接圆的半径为 3；
(2)若 2SVABC t a2 2b2 11c2 恒成立，求实数 t 的取值范围.
1．（2024·陕西宝鸡·一模）在VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知
2a cos A ×cos B b cos 2A 3c b .
(1)求角 A；
(2)若VABC 的面积为 1，求 a的最小值.
2．（21-22 高二下·山西·期中）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
bcos B 1 acosC 1 ccos A．
2 2
(1)求角 B；
(2)若b 3 ， c b，求 2c a的取值范围．
3．（23-24 高三上·河南·期中）在锐角VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
bc sin C c2 b2 a2 ×sin B π 3 ．
(1)求A ；
(2)若 a 6，求VABC 周长的最大值．
4．（22-23 高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知VABC 为锐角三角形，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
b2 c2 a2 tanA 3bc .
(1)求角A 的大小；
(2)若 a 6 ，求2b c的取值范围.
5．（2023·全国·模拟预测）在锐角VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 a b 6，且VABC 的面
S 3积 ab .
4
(1)求C ；
(2)求 c的最小值.
6．（2023·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
sin A cos B cosC
．
cos B cosC sin A sin B
(1)求C ；
(2)若VABC 2 3外接圆的半径为 ，求VABC 的面积最大值．
3
7．（2024·广西·模拟预测）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个
正三角形的面积依次为 S
cosB cosC 2cosA
1， S2 ， S3 .已知 .b c a
(1)证明： 2S1 S2 S3 ；
(2)若 a 3，求VABC 周长的最大值.
8．（2017·安徽淮北·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 的对角分别为 a，b，c 且
b cosC c cos B 3cos B ．
a a
(1)求 sin B ；
(2)若 D 为 AC 边的中点，且BD 1，求△ABD 面积的最大值．
9．（2023·四川绵阳·模拟预测）在斜三角形 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
cos C B sinA cos C A sinB．
(1)证明： A B ；
1
(2)若 sinB
1 1
，求
c c2 a2
的最小值．
10．（23-24 高三上·山东威海·期末）在VABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,记VABC 的面积为S ，已
uuur uuur
知 3 AB × AC 2S .
(1)求角A 的大小；
(2)若 a 2 3 ，求b2 c2 的最大值.
1．（2024·青海·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
2a cos2 B 2bcos Acos B c ．
(1)求 B；
S
(2)若b 4 ，VABC 的面积为 S．周长为 L，求 的最大值．
L
2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形 ABCD 中，BC ^ CD， AB BC 2 ， ABC q ，
120° q <180° .
(1)若q =120°， AD 3，求 ADC 的大小；
(2)若CD 6 ，求四边形 ABCD 面积的最大值.
3．（2024·河南·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a b c ，且 ccosB 2acosA bcosC 0 .
(1)求A ；
π
(2)如图所示，D为平面上一点，与VABC 构成一个四边形 ABDC ，且 BDC ，若 c 2b 2，求 AD 的
3
最大值.
4．（2024·重庆·三模）已知在数列 an 中， a1 1,a
an
n 1 1 2a ．n
ì 1 ü
(1)求证：数列 í 是等差数列，并求数列 a aa n n 1 的前
n项和 Sn ；
n
1 1
(2)在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a ,bcosC c cos Ba a 2a cos A，求VABCn 1 n
面积的最大值．
5．（2024·江西·模拟预测）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b 是 a，c 的等比中项．
(1)求 B 的最大值：
acosB bcosA
(2)若 C 为钝角，求 的取值范围．
bcosC ccosB
6．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角VABC 中.内角A ， B ，C 所对的边分别是 a，b ， c，已知
a 2ccos B c .
(1)求证：B 2C ；
(2)求 sin B 2 3 cos2 C 的取值范围.
7．（2024·广东江门·模拟预测）已知VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c且满足
c 2(a b) cos B．
A
(1)证明： 3；
B
a
(2)若A 为钝角，求 的取值范围．
b
8．（2024·四川内江·模拟预测）已知 f (x) sin x ×cos
π
x .
3
(1)求 f (x) 的单调增区间和对称中心；
2 2
(2)在锐角 VABC 中，A，B C a,b,c . 3 . b c， 的对边分别是 f (A) 求 的值域.
4 bc
9．（2024·辽宁·二模）在VABC 中，D为BC 边上一点， DC CA 1，且VACD面积是△ABD 面积的 2 倍．
(1)若 AB 2AD，求 AB 的长；
sin ADB
(2)求 sin B 的取值范围．
10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 a，b，c 分别为VABC 三个内角 A，B，C 的对边， a 2， A 60° .
(1)写出命题 p：“已知 a，b，c 分别为VABC 三个内角 A，B，C 的对边， a 2
2
， A 60° .若b 3 ，则VABC
3
是直角三角形”的逆命题 q，并判断逆命题 q 的真假；
(2)若VABC 外的点 D 满足DB ^ AB ， BDC 120°，求△BCD面积的最大值.
一、单选题
1．（四川·高考真题）在 ABC 中， sin2 A≤sin2 B sin2 C sin BsinC ．则 的取值范围是（ ）

A．（0， ] B．[ ， ） C．（0， ] D．[ ， ）
6 6 3 3
二、双空题
c
2．（北京· 3高考真题）若VABC 的面积为 (a2 c2 b2 ) ,且∠C 为钝角，则∠B= ； 的取值范围
4 a
是 .
三、解答题
3．（全国·高考真题）设锐角三角形 ABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a,b,c, a 2bsin A
（1）求 B 的大小；
（2）求 cos A sin C 的取值范围.
A C
4．（全国·统考高考真题） ABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 a sin bsin A．
2
（1）求 B ；
（2）若 ABC为锐角三角形，且 c 1，求 ABC面积的取值范围．
5．（江西·高考真题）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
cosC (cos A 3 sin A) cos B 0．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 a c 1，求b 的取值范围．
6．（浙江·统考高考真题）在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bsin A 3a 0．
（I）求角 B 的大小；
（II）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围．第 09 讲 解三角形中的最值及范围问题
（15 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为 13-15 分
【备考策略】1 会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题
2 会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题
【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同
时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
知识讲解
解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点
1. 基本不等式
a 0, b 0 ab a b 当且仅当 a b a b 时取等号，其中 叫做正数 a ，b 的算术平均数，
2 ， 2
ab 叫做正数 a ，b 的几何平均数，通常表达为： a b 2 ab （积定和最小），应用条件：“一正，二定，
三相等”
基本不等式的推论 重要不等式
2 a, b R a2 b2 2ab
a 0, b 0 ab a b （和定积最大）
4 当且仅当 a b 时取等号
当且仅当 a b 时取等号
2. 辅助角公式及三角函数值域
形如 y a sin x b cos x ， (a 0) b y a2 b2 sin(x )，其中 tan ， ( , )a 2 2
对于 y Asin( x ) h， y Acos( x ) h类函数， A叫做振幅，决定函数的值域，值域为
A, A ，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
3. 三角形中的边角关系
（1）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（2）在三角形中，大边对大角，小边对小角
（3）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
即 a b A B sin A sin B cos A < cos B
注意：在锐角 ABC 中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如 sin A cos B。
事实上，由 A B A B sin A sin B cos B ，即得。由此对任意锐角2 2 2
ABC ，总有 sin A sin B sin C cos A cos B cosC 。
考点一、面积类最值及范围问题
1．（2024·上海·三模）已知VABC的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且 3a 2csinA．
(1)求 sin C 的值；
(2)若 c 3，求VABC面积S 的最大值．
【答案】(1) 3
2
(2) 9 3
4
【分析】（1）由正弦定理即可得 sin C 3 ；
2
1
（2）由余弦定理结合重要不等式可得 ab取值范围，再由三角形的面积公式 SVABC absin C 可求出面积的2
最大值.
【详解】（1）由题意可知， 3a 2c sin A，
由正弦定理得 3 sin A 2sin C sin A，
因为 A，C (0, π)，所以 sin A 0 ，
即 sin C 3 .
2
（2）由（1）可知 sin C 3 ，
2
C π 2π所以 或C .
3 3
在VABC 中，由余弦定理得
AB2 AC 2 BC 2 2AC BC cosC ，
当C
π
时， c 3，
3
9 b2 1 a2 2ab × b2 a2 ab 2ab ab ab ，
2
当且仅当 a b 3时取等号，即 ab 9，
VABC S 1 3 9 3故 的面积 .△ABC absinC ab 2 4 4
当C
2π
时， c 3，
3
9 b2 1 a2 2ab × b2 a2 ab 2ab ab 3ab ，
2
当且仅当 a b 3 时取等号，即 ab 3，
VABC S 1 absinC 3故 的面积 VABC ab
3 3
.
2 4 4
综上所述，VABC 9 3的面积最大值为 .
4
2．（2024·河北·模拟预测）在锐角VABC 中， a，b ， c分别是角 A, B,C 的对边， c tan B 2a c tan C .
(1)求 B ；
(2)若b 3 ，求VABC 的面积S 取值范围.
π
【答案】(1) ;
3
3 3 3 ù
(2) ,2 4 ú
.

【分析】（1）利用 c tan B 2a c tan C 进行化简，可求 cos B，进而可求 B ；
S 3 sin 2A π 3 π π（2）由正弦定理及三角恒等变换化简可得 ，结合锐角三角形得到 < A <6 2 ，根据2 6 4
正弦函数的性质即可求解．
c sin B 2a c sin C
【详解】（1）因为 c tan B 2a c tan C ，所以 ，
cos B cosC
根据正弦定理可得 sin C sin B cosC 2sin A sin C cos B sin C .
因为C 0, π ，所以 sin C 0，
所以 sin B cosC 2sin A sin C cos B 2sin Acos B sin C cos B，
所以 sin B cosC sin C cos B 2sin Acos B，即 sin B C 2sin Acos B .
因为 B C π A，所以 sin π A 2sin Acos B，即 sin A 2sin Acos B .
1
因为 A 0, π ，所以 sin A 0，所以 cos B .
2
π
因为B 0, π ，所以 B .3
a c b 3
2
（2）由正弦定理得 sin A sin C sin B 3 ，
2
所以 a 2sin A,c 2sin C .
S 1 ac sin B 3 ac 3所以 × 2sin A × 2sin C 3 sin Asin C
2 4 4
3 sin Asin

A π 3 sin A 1

sin A
3
cos A
3

2 2
3 sin2 A 3 sin Acos A 3 1 cos 2A 3 × sin 2A
2 2 2 2 4
3 sin 2A 3

cos 2A 3 3 3 sin 2A
1
cos 2A 3 4 4 4 2 2 2 4
3
sin 2A π 3
2 6
.
4
因为VABC 是锐角三角形，
ì0 A π π < <
ì
0 < A < 2 2 π π
所以 í ,即 í ，解得 < A < ，
0 < C π<
6 2
0 2π π< A <
2 3 2
π 2A π 5π所以 < <

，所以 sin 2A
π

1
,1
ù
，
6 6 6 6 2 ú
3 ù
所以 sin

2A
π 3 3 3 3 2 6 4
,
2 4 ú
,

3 3 3 ù
所以VABC 的面积S 取值范围为 , ú .
2 4
3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形 ABCD满足 B ，D点在 AC 的两侧， AB 1，BC 2，
VACD为正三角形，设 ABC a .
π
(1)当a 时，求 AC ；
3
(2)当a 变化时，求四边形 ABCD面积的最大值.
【答案】(1) 3
(2) 2 5 3
4
【分析】（1）在VABC 中，由余弦定理可得 AC 的值；
（2）由余弦定理可得 AC 2 的表达式，进而求出正三角形 ACD的面积的表达式，进而求出四边形 ABCD的
面积的表达式，由辅助角公式及a 的范围，可得四边形面积的范围．
π
【详解】（1）因为 AB 1，BC 2， B 3 ，
1
由余弦定理可得： AC AB2 BC 2 2AB × BC cos B 1 4 2 1 2 3 .
2
（2）由余弦定理可得 AC 2 AB2 BC 2 2AB × BC cosa 1 4 2 1 2cosa 5 4cosa ，
因为VACD 3 5 3为正三角形，所以 S△ACD AC
2 3 cosa ，
4 4
S 1△ABC AB × BC sina
1
1 2sina sina ，
2 2
所以 S ABCD S△ABC S
5 3 π 5 3
△ACD sina 3 cosa 2sin

a

四边形 ，4 3 4
a 0, π a π π 2π 因为 ，所以
3
, ，
3 3
ù
所以 sin a
π 3 ,1 ， 3
ú
2

S 3
ù
所以 , 2
5 3

四边形ABCD ，
4 4
ú

5π
故当a 5 3时，四边形 ABCD面积的最大值为 2 .6 4
4．（23-24 高三上·江西抚州·阶段练习）已知在平面四边形 ABCD中， AB BC CD 1， AD 2 .
(1)求 2cos A cosC 的值；
(2)记△ABD 与△CBD的面积分别为 S1和 S 2 22 ，求 S1 S2 的最大值.
3
【答案】(1)
2
31
(2)
32
【分析】（1）在△ABD 和△BCD中利用余弦定理表示出BD2，即可得到方程，解得即可；
（2）利用三角形的面积公式表示出 S 21 S 22 ，然后结合上一问条件求解.
【详解】（1）
在△ABD 中，由余弦定理可得BD2 AB2 AD2 2AB × ADcosA 5 4cosA，
在△BCD中，由余弦定理可得BD2 BC 2 CD2 2BC ×CDcosC 2 2cosC ，
3
所以5 4cos A 2 2cosC ，即 2cosA cosC .
2
S 2 1 AB2 AD2sin2 A sin2 A S 2 1 2 2 2 1（2 2）依题意 1 × ，4 2
BC ×CD sin C sin C ，
4 4
S 2 S 2 2所以 1 2 sin A
1 sin2 C 1 1 1 cos2 A cos2 C
4 4 4
1 cos2 A 1 1
2
2cos A
3

4 4 2
2
2cos2 A 3 cos A 11 2 cos A
3 31 ，
2 16 8 32
3 31
又 1 < cos A <1，所以当 cos A 时 S 21 S 2
14
2 取最大值 （此时BD ，该四边形符合题意），8 32 2
31
即 S 21 S
2
2 的最大值为 .32
A C
1．（2024·广东茂名·一模）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且bsin B C asin .
2
(1)求 B 的大小；
(2)若D是 AC 边的中点，且 BD 2，求VABC 面积的最大值.
π
【答案】(1) B 3
(2) 4 3
3
【分析】（1）借助三角形内角与正弦定理边角转化，结合二倍角公式计算即可得；
（2）借助向量线性运算与基本不等式，结合三角形面积公式计算即可得.
π B B
【详解】（1）Q A B C π ，\sinA sin B C ，\bsinA asin acos ，
2 2
\由正弦定理可得 sinBsinA sinAcos
B
，
2
QsinB 2sin B cos B B，\2sin cos
B sinA sinAcos B ，
2 2 2 2 2
Q A, B (0, π),sinA 0， cos
B
0，\sin
B 1 B π
π，即 ，即 B ；
2 2 2 2 6 3
1 3
（2）依题意， SVABC acsinB ac ，2 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2
BA BC 2 BD ， BA BC 4 ， BA BC 16 ，
即 a2
π
c2 2ac cos 16，
3
即 c2 a2 ac 16 3ac 4 3 ，当且仅当 a c 时，等号成立，
3
ac 16 1 16 3 4 3即 ，\VABC 面积的最大值为
3
.
2 3 2 3
AC AD
2．（2024·江苏·模拟预测）在VABC 中，点D在 AB 边上，且满足 .
BC BD
(1)求证： ACD BCD；
(2)若 tan A tan B 3 tan A tan B 3 0 ，CD 2，求VABC 的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 4 3
AC AD sin ADC sin BDC
【分析】（1）因为
AC BC
，所以
BC BD AD BD
，由正弦定理可得 ，则可得
sin ACD sin BCD
sin ACD sin BCD ，则得 ACD BCD；
2π
（2）由 tan A tan B 3 tan A tan B 3 0 ，化简可得 tan A B 3 ，则得 c ，3
ACD BCD π ，因为 S△ABC S△ACD S△BCD ，则可得 AC BC 2 AC BC ，再由基本不等式可得3
AC BC 4 AC BC ，即 AC BC≥16，则得到VABC 的面积的最小值.
【详解】（1）
AC AD AC sin ADC
在VACD中，由正弦定理 ，得 ，
sin ADC sin ACD AD sin ACD
BC BD BC sin BDC
在△BCD中，由正弦定理 ，得 ，
sin BDC sin BCD BD sin BCD
AC AD
AC BC
sin ADC sin BDC
因为 ，所以 ，所以 ，
BC BD AD BD sin ACD sin BCD
因为 ADC BDC π，所以 ADC π BDC ，
所以 sin ADC sin π BDC sin BDC ，
所以 sin ACD sin BCD ，
又因为 ACD， BCD 0, π ，且 ACD BCD < π ，
所以 ACD BCD .
（2）因为 tan A tan B 3 tan A tan B 3 0 ，
所以 tan A tan B 3 1 tan A tan B ，
tan A tan B
所以 tan A B 3 ，
1 tan A tan B
因为0 < A B π A B
π
< ，所以 ，所以C π A 2π B 3 ，3
π
由（1）知 ACD BCD，则 ACD BCD ，
3
因为 S△ABC S△ACD S△BCD ，
1 AC BC sin 2π 1所以 AC CD sin
π 1
BC CD sin π ，
2 3 2 3 2 3
又CD 2，
所以 AC BC 2AC 2BC 2 AC BC
因为 AC BC≥ 2 AC BC ，
所以 AC BC 2AC 2BC 2 AC BC 4 AC BC ，
所以 AC BC≥16，当且仅当 AC BC 4时等号成立，
所以VABC 1 3的面积的最小值为 16 4 3 .
2 2
3．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形 ABCD中， AB BC 2 2,CD 2, AD 4 .
(1)若 A, B,C, D 四点共圆，求 AC ；
(2)求四边形 ABCD面积的最大值.
【答案】(1) AC 3 2
(2) 3 7 .
【分析】（1）在VABC 、VACD中分别利用余弦定理表示出 AC 2 ，再由四点共圆得到
cos ADC cos ABC ，即可求出 AC ；；
（2）由（1）可得 cos ADC cos ABC
1
，再由面积公式得到 sin ADC sin
S
ABC ，将两式平方再
4 4
2 2cos ADC ABC 1 S
2
相加得到 ，结合余弦函数的性质计算可得.
16
【详解】（1）在VABC 中，由余弦定理得： AC 2 AB2 BC 2 2AB × BCcos ABC
8 8 2 8 ×cos ABC 16 16cos ABC ，
在VACD中，由余弦定理得： AC 2 AD2 CD2 2AD ×CDcos ADC
16 4 2 8 ×cos ADC 20 16cos ADC ，
因为 A, B,C, D 四点共圆，所以 ABC ADC π，因此 cos ADC cos ABC ，
上述两式相加得：2AC2 36，所以 AC 3 2 （负值已舍去）.
（2）由（1）得：16 16cos ABC 20 16cos ADC ，
1
化简得 cos ADC cos ABC ，
4
cos2则 ADC 2cos ADC cos ABC cos2 ABC
1
①，
16
四边形 ABCD的面积 S
1 1
AB × BCsin ABC AD ×CDsin ADC
2 2
1
2 2 2 2sin ABC 1 2 4sin ADC
2 2
4 sin ADC sin ABC ，
整理得 sin
S
ADC sin ABC ，
4
2
则 sin2 ADC 2sin ADC sin ABC sin2 ABC S ②
16
2
①②相加得： 2 2 cos ADC cos ABC sin ADC sin ABC 1 S ，
16
2
即 2 2cos ADC ABC 1 S ，
16
由于0 < ADC < π,0 < ABC < π ，
所以当且仅当 ADC ABC π时， cos ADC ABC 取得最小值 1，
2
此时四边形 ABCD 1 S的面积最大，由 4 ，解得 S 3 7 ，
16
故四边形 ABCD面积的最大值为3 7 .
4．（23-24 高一下·吉林长春·期中）已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
3ccos A csin A 3b .
(1)求角C 的大小；
(2)若 c 2，角A 与角 B 的内角平分线相交于点 D，求△ABD 面积的最大值.
π
【答案】(1) C
3
(2) 3
3
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简得到 sin C 3 cosC ，即可得
解；
ADB 2π
π π
（2）依题意 ，设 DAB a

，由三角形为锐角三角形求出a , ，在△ABD 中利用正弦定3 12 4
理表示 AD ，即可表示出 SVABD ，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 3ccosA csinA 3b ，
由正弦定理得 3 sin C cos A sin C sin A 3 sin B 3 sin A C ，
所以 3 sin C cos A sin C sin A 3 sin AcosC 3 sin C cos A，
所以 sin C sin A 3 sin AcosC ，
tan C sin C又0 < A < π ，得 sin A 0，所以 sin C 3 cosC ，即 3 ，cosC
π
由0 < C < π，解得C ；
3
（2）由题意 CAB CBA
2π
， DAB DBA
1
CAB CBA π ，
3 2 3
ADB 2π π所以 ，设 DAB a ，\ ABD a ，
3 3
π π
Q0 π< 2a < ，又Q ABC π
π 2π 2π
2a 2a ，则0 < 2a
π
< ，\a
, ，
2 3 3 3 2 12 4
在△ABD AB AD中，由正弦定理可得： .sin ADB sin ABD
2 AD
即 sin 2π

sin π
4 π
a ，\ AD sin 3
a
3
，
3 3
1
\SVABD AB × AD ×sina
1
2 4 sin π a sina
2 2 3 3
4
sin
π cosa π cos sina
3 3 3
sina

2sina cosa 2 sin2 a 2 1 cos 2a 3 3 sin 2a × sin 2a cos 2a
3 3 2 3 3
2 3 3
sin 2a
1 cos 2a 3 2 3 sin
2a π 3 ，
3 2 2 3 3

6 3
Qa π , π 2a π π , 2π sin 2a π
3 ù
，\ ，\ ,1 ，
12 4 6 3 3 6


ú
2
2 3 sin 2a π 3
3 3 3 ù 3 3 3 ù
\ 3 6 3
, ，即 S
3 3 ú VABD
,
3 3 ú
，

3
所以△ABD 面积的最大值为 .
3
5．（23-24 高三上·江西·期末）如图，在△ABC 中，AB=BC=2，D 为△ABC 外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，
∠BCD=β.
(1)求 2cosa cos b 的值；
(2)若△ABD 2 2的面积为 S1，△BCD 的面积为 S2 ，求 S1 S2 的最大值.
3
【答案】(1)
2
31
(2)
2
【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可；
3 31
（2）根据题意，由（1）知2cosa cos b ，求出 S 2 2
2 1
S2 取得最大值，最大值为 .2
【详解】（1）在VABD 中，由余弦定理，得BD2 AB2 AD2 2AB × ADcosa 20 16cosa ，
在△BCD中，由余弦定理，得BD2 BC 2 CD2 2BC × CDcos b 8 8cos b ，
所以 20 16cosa 8 8cos b ，
所以8 2cosa cos b 12 ，
2cosa cos b 3 .
2
（2）由题意知 S
1
1 AB × ADsin BAD 4sina ， S
1
2 2
BC ×CDsin BCD 2sin b ，
2
S 21 S
2
2 16sin
2 a 4sin2 b 16 1 cos2 a 4 1 cos2 b
所以 ，
20 16cos2 a 4cos2 b
3 1
由（1）知，2cosa
3
cos b ，所以 cos b 2cosa , cosa ,1 ，2 2 4
2
所以 S 2 21 S2 20 16cos
2 a 4 2cosa 3 32cos2 a 24cosa 11
2
2
32 3 31 cosa 8
，
2
3 1
所以当 cosa ,1
31
时， S
2
1 S
2
2 取得最大值，最大值为 .8 4 2
考点二、周长类最值及范围问题
A
1．（2024·安徽淮北·二模）记VABC 的内角 A, B,C 2的对边分别为 a,b,c，已知 c b 2csin
2
(1)试判断VABC 的形状；
(2)若 c 1，求VABC 周长的最大值.
【答案】(1) VABC 是直角三角形
(2) 2 1
cos A b【分析】（1）根据题意，求得 ，利用余弦定理列出方程，得到 a2 b2 c2 ，即可求解；
c
（2）由（1）和 c 1，得到 a sin A, b cos A，则VABC 周长为1 sin A cos A，结合三角函数的性质，即
可求解.
c b 2csin2 A sin2 A c b 1 cos A c b【详解】（1）解：由 ，可得 ，所以 ，
2 2 2c 2 2c
1 cos A 1 b b
即 ，所以 cos A ，
2 2 2 2c c
b2 c2 a2 b π
又由余弦定理得 ，可得 a2 b2 c2 ，所以C ，
2bc c 2
所以VABC 是直角三角形
（2）解：由（1）知，VABC 是直角三角形，且 c 1，可得 a sin A, b cos A，
所以VABC 周长为1 sin A cos A 1 2 sin A
π


，
4
A π π π 3π因为
0, ，可得 A , ，
2 4 4 4

所以，当 A 时，即VABC 为等腰直角三角形，周长有最大值为 2 1.4
sin C sin A sin B
2．（2024·四川南充·模拟预测）在VABC 中， .
sin A sin B sin B sin C
(1)求A ；
(2)若BC 3，求VABC 周长的最大值.
2π
【答案】(1)
3
(2) 3 2 3
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出b c 的最大值，即可得解.
sin C sin A sin B c a b
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
sin A sin B sin B sin C a b b c
即bc c2 a2 b2 ，
2
cosA b c
2 a2 bc 1
由余弦定理 ，
2bc 2bc 2
Q A 0,π 2π，\ A .
3
（2）因为 a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc 9，
即 b c 2 bc 9，
b c 2 Qbc ，当且仅当b c 时取等号，
2
2
\9 b c 2 bc b b c 3 c 2 b c
2
，即b c 2 3 ，
2 4
又b c a 3，所以3 < b c 2 3 ，当且仅当b c 3时取等号，
\VABC 周长 L a b c 3 2 3，
即VABC 周长的最大值为3 2 3.
a
3．（2024·湖南常德·一模）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且 2b .
cosC
(1)判断VABC 的形状；
(2)若VABC 的外接圆半径为 2 ，求VABC 周长的最大值.
【答案】(1)等腰三角形
(2) 3 6
【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明 B C ；
（2）先用基本不等式证明sin A sin B sinC 3 3 ，然后利用正弦定理与外接圆半径的关系可得到
2
a b c 3 6 ，最后说明等号可以取到，即得结果.
【详解】（1）由正弦定理并结合已知有
sin B cosC sin C cos B sin B C sin A a sin B 2bcosC sin B 2sin B cosC .
b b
故 sin B cosC sin C cos B，从而 sin B C sin B cosC sin C cos B 0 .
由于B,C 0, π ，从而B C π, π ，故由 sin B C 0可知 B C ，所以VABC 一定是等腰三角形.
（2）设VABC的外接圆半径为 R .
一方面，我们有 sin A sin B sin C sin B C sin B sin C
sin B cosC sin C cos B sin B sin C
2sin B × 3 cosC 2sin C × 3 cos B
sin B sin C
2 3 2 3
sin2 B 3cos2 C sin2 C 3cos2 B
sin B sin C
2 3 2 3
sin2 B 3 3sin2 C sin2 C 3 3sin2 B
sin B sin C
2 3 2 3
3
sin2 B 3 sin B sin2 C sin C 3
3 3
2 2
3 sin B 3 3 sin C 3 3 3 3 3
3 2

3
，
2 2 2
故 a b c 2R sin A 3 3 3 3 sin B sin C 2R × 2 2 × 3 6 ；
2 2
π
另一方面，当VABC是边长为 6 的等边三角形时，有 a b c 6 ， A B C .3
a 6 R a 6 1 2 6 2b
2
此时 cosC ， 2sin A ，且 a b c 3 6 .
2 2
3
×
2
所以VABC 周长的最大值是3 6 .
【点睛】关键点点睛：值得一提的是，第 2 小问证明 a b c 3 6 时并不需要使用第 1 小问得到的 B C .
若使用该条件，则 sin A sin B sin C 可化为 2 sin B cos B sin B ，然后再利用
2
sin B × 3 cos B 2sin B sin B 3cos
2 B sin B 3
3 3 3

3
sin B 亦可得到结果. 但这样并未从本质3 2 3 2 4
上减少工作量，反而使解析失去了一般性和启发性，因此本解析不采用此法.
4．（2024·山西·三模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 2cos Acos B
C
2sin2 ．
2
(1)试判断VABC 的形状；
(2)若VABC 的外接圆半径为 2，求VABC 周长的最大值．
【答案】(1) VABC 为等腰三角形
(2) 6 3
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换可得 cos A B 1，结合 A, B 0, π 分析求解；
π
（2）利用正弦定理可得VABC 周长 L 8sin A 4sin 2A，构建函数 f x 8sin x 4sin 2x, x 0, ，利用
2
导数求最值，即可得结果.
2cos Acos B 2sin2 C【详解】（1）由题意可知： 1 cosC 1 cos A B
2
1 cos Acos B sin Asin B ，
整理得 cos Acos B sin Asin B cos A B 1，
且 A, B 0, π ，则 A B π, π ，可知 A B 0，即 A B ，
所以VABC 为等腰三角形.
a b c
（2）由正弦定理 4 ，可得 a 4sin A,b 4sin B,c 4sin C ，
sin A sin B sin C
则VABC 周长 L a b c 4sin A 4sin B 4sin C 4sin A 4sin B 4sin A B ，
π
由（1

）可知： A B 0, ，
2
可得 L 4sin A 4sin A 4sin 2A 8sin A 4sin 2A，
构建函数 f x 8sin x 4sin 2x, x 0,
π
，
2
则 f x 8cos x 8cos 2x 8 cos x 1 2cos x 1 ，
因为 x
π
0, ，则 cos x 0,1 ，
2
x 0, π cos x 1 ,1 当 3
时， ，则 f x > 0；
2
x π , π 当 时， cos x 0,
1 f x < 0
3 2 ，则 ； 2
可知 f x π π在 0, π 3 内单调递增，在 , 内单调递减， 3 2
f x f π 则 3 6 3，
所以当且仅当VABC 为等边三角形时，VABC 周长取到最大值6 3 .
1．（2024 高三下·全国·专题练习）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
sin2 B (cos A cosC)(cos A cosC) sin(A B)sin(A C)．
(1)求 A；
(2)设a 4 3，求VABC 周长的最大值．
π
【答案】(1) A 3 ；
(2)12 3 .
【分析】（1）将原等式转化为角的正弦的齐次式，再利用正、余弦定理求出角 A 的余弦值即得.
（2）利用（1）的信息，结合基本不等式求解即得.
【详解】（1）在VABC 中，由 sin2 B (cos A cosC)(cos A cosC) sin(A B)sin(A C)，
得 sin2 B cos2 A cos2 C sin(π C)sin(π B) ，即 sin2 B sin2 C sin2 A sin C sin B ，
2 2 2
由正弦定理得b2 2 2
b c a 1
c a bc ，由余弦定理得 cos A ，又 A 0, π ，2bc 2
所以 A
π
.
3
π
（2）由（1）知， A ，b2 c2 23 a bc ，又a 4 3，
2 2
则 48 b c bc (b c)2 3bc (b c)2
3
(b c)2 1 (b c)2 ，
4 4
于是b c 8 3 ，当且仅当b c 4 3时取等号，
所以VABC 周长的最大值为 4 3 8 3 12 3 .
ur r
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知向量m, n满足
ur r
mr 2a, 6 r ， n 2sinB,b ，且m ^ n．
(1)求角A ；
(2)若VABC 是锐角三角形，且 a 3，求VABC 周长的取值范围．
π 2
【答案】(1) A 或 π .3 3
(2) (3 3 3,9]
ur r
【分析】（1）由m ^ n，得到 2a × 2sinB 6b ，再利用正弦定理求解；
π π
（2）根据 a 3和 A 3 ，利用正弦定理得到外接圆的半径，然后由
b c 6sin B 求解.
6
ur r
【详解】（1）解：∵ m ^ n，
∴ 2a × 2sinB 6b 0，即 2a × 2sinB 6b .
由正弦定理得 2sin Asin B 3 sin B .
∵ sin B 0 ，∴ sin A 3 ，
2
∵ A (0, π) ∴ A π 2， 或 π .3 3
（2）∵ a 3，且三角形 ABC 为锐角三角形，
∴ A π .3
a b c 3
2 3
∴由正弦定理得 sin A sin B sin C 3 .
2
∴ b 2 3sin B， c 2 3sinC .
b c é 2π ù∴ 2 3 sinB sinC 2 3 sinB sin B ê ，
3
ú


2 3 sinB
3 cosB 1 sinB 2 3
3 3
2 2
sinB cosB ，
2 2
2 3 3

3sinB cosB 3 3 1 π 2 sinB cosB 2 2 2 6sin B . 6
π
又∵ VABC 为锐角三角形，∴ 0 < B < ，
2
∴ 0
2 π B π π B π π B π 2π< < ，得 < < ， < < .
3 2 6 2 3 6 3
3 π 3 3 6sin B ∴ < sin(B ) 1， < 6，
2 6 6
∴ 3 3 < b c 6，又∵ a 3，
∴ 3 3 3 < a b c 9 .
∴ VABC 的周长的取值范围为 (3 3 3,9] .
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在VABC 中，D 为 BC 边的中点，且 AD 5．
(1)若VABC 的面积为 2，cos 5 ADC ，求 B ；
5
(2)若 AB2 AC 2 18，求VABC 的周长的最大值．
π
【答案】(1)
4
(2)10
【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，求得BD 1，由余弦定理，求得 AB 2 2 ，再由正弦定
2
理求得 sinB ，进而求得 B 的值；
2
（2）设CD BD x，分别在△ABD 和VACD中，利用余弦定理，列出方程求得 x 2，结合
AB AC 2 2 AB2 AC 2 ，即可求解.
【详解】（1）解：因为VABC 的面积为 2，且D为BC 的中点，
1
可得 SVABD AD BD sin ADB 1，2
又因为 sin ADB 2 5 sin ADC ，可得BD 1，所以BC 2
5
在△ABD 中，由余弦定理得 AB2 AD2 BD2 2AD × BD ×cos ADB
( 5)2 12 2 5 1 2 5 8，所以 AB 2 2 ，
5
AB AD
由正弦定理 ，可得
sin ADB sinB sinB
2
，
2
因为 ADC ADB π 5且cos ADC ，
5
可得 cos ADB cos(π ADC) 5 cos ADC < 0，
5
π
即 ADB 为钝角，所以 B 为锐角，所以B .
4
（2）解：设CD BD x，分别在△ABD 和VACD中，
由余弦定理 AB2 AD2 BD2 2AD × BD ×cos ADB，
即 AB2 x2 5 2x × 5 cos ADB ，同理可得 AC 2 x2 5 2x × 5 cos ADB，
所以 AB2 AC 2 2(x2 5) 18，可得 x 2，
2 2 2
又因为 AB AC 2 AB AC 36 ，当且仅当 AB AC 时，等号成立，
所以 AB AC 6，所以VABC 周长的最大值为10．
4．（2024·贵州贵阳·三模）已知VABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且满足
cosC c c cos A .请回答下列问题:
a
(1)证明: VABC 为等腰三角形;
(2)若VABC 的外接圆直径为 1，试求VABC 周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
3 3 ù
(2) 0， ú
2
【分析】（1）由正弦定理可得 sin B sin C ，因此可证得该三角形为等腰三角形；
（2）由（1）可得角 B 的范围，由正弦定理可得 a，b ， c的表达式，进而求出周长的表达式，利用导数求
周长的取值范围．
c c cos A
【详解】（1）证明：因为cosC ，由正弦定理可得 sin AcosC sin C cos A sin C ，
a
即 sin(A C) sin C ，
在三角形中， sin(A C) sin B ，
所以 sin B sin C ，又因为B，C 均为三角形的内角，即 B C ，
即证得VABC 为等腰三角形；
π
（2）由（1）可得C B (0, )2 ，
a b c
由正弦定理可得 2R，而 2R 1，
sin A sin B sin C
所 sin A sin( 2B) sin 2B，b sin B， c sin C sin B ，
所以 a b c sin 2B 2sin B，
设 f (x) sin 2x 2sin x， x (0,
π)，
2
则 f (x) 2cos 2x 2cos x (2cos x 1)(2cos x 2)，
当 x (0,
π) 时， f (x) 0 ， f (x)3 在定义域内单调递增，
x ( π , π当 )时， f (x) < 0 ， f (x) 在定义域内单调递减．
3 2
f x f π 3 3所以 max ， 3 2
f (0) 0 f (π， ) 2 ，所以 f (x) (0, 3 3 ]．
2 2

0, 3 3
ù
所以，VABC 周长的取值范围是 2 ú ．
5．（2024·云南曲靖·二模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 acosC 3csinA b c .
(1)求角 B 的取值范围；
(2)已知VABC 3内切圆的半径等于 ，求VABC 周长的取值范围.
2
0, 2π 【答案】(1) 3
(2)答案见解析
π 1
【分析】（1）由正弦定理可得 sinAcosC 3sinCsinA sinB sinC ，利用三角恒等变换可得 sin A ，
6 2
可求角 B 的取值范围；
（2）由三角形的面积可求得 a b c bc ，结合余弦定理可得 (bc)2 2bc(b c) (b c)2 (b c)2 3bc，
计算可得b c 2或b c 6，进而可求得
VABC 的周长 L a b c b2 c2 2bc cos A b c ，设VABC 与圆内切于点D, E, F ，
b c AC AB AD AF 3，进而分析可得VABC 的周长的取值范围.
【详解】（1）Qa cosC 3c sin A b c
由正弦定理得： sinAcosC 3sinCsinA sinB sinC ，
\sin AcosC 3 sin C sin A sin B sin C ，\sin AcosC 3 sin C sin A sin(A C) sin C ，
\ 3sinCsinA cosAsinC sinC .
Qsin C 0 3 sin A π 1，\ cos A 1 \sin ， A .
6 2
Q π A π 5π A π π < < ， \ ，\ A
π
，
6 6 6 6 6 3
2π
\ 角 B 的取值范围是 0, .
3
2 QS 1（ ） bc sin A 3 bc, S 1 a b c ·r 3 a b c ，
2 4 2 4
\a b c bc ，即 a b c bc ，
由余弦定理得： a2 b2 c2 bc .
\(bc)2 2bc(b c) (b c)2 (b c)2 3bc ，
\bc 2 b c 3 . \(bc)2 2bc 2(b c) 3，
b c 2Qbc （当且仅当b c 时取等号），
2
2
\2(b c) 3 (b c) ,\b c 2或b c 6 .
4
设VABC 与圆内切于点D, E, F ，则 AD AF rgtan 60
3
° .
2
\b c AC AB AD AF 3
\b c 6（当且仅当b c 3时取等号）.
VABC 的周长 L a b c b2 c2 2bc cos A b c ，
(b c)2 3bc b c (b c)2 3(b c )2 b c
2
3
(b c) 9（当且仅当b c 3时两处都取等号）.
2
\Lmin 9，
Qc AB DB r 3 2π B B (< B < )，tan 2 tan 3
2 2
\B 0时， c ， L ,
\VABC 的周长的取值范围是 9, .
考点三、边长类最值及范围问题
1．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且
sin2 C sin2 B π π sin( B) cos( B) ， a < c，b < c ．
3 6
(1)求 tan(A B) 的值；
(2)若△ABC 的面积为12 3 ，求 c 的最小值．
【答案】(1) 3
(2)12
【分析】（1）由三角恒等变换化简可得 sin C ，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；
（2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.
sin2 C sin2 B sin(π B) cos( π B) sin2 B 1 ésin π 2B sin π ù【详解】（1）因为 ê 3 6 2 2 6 ú
sin2 B 1 cos 2B 1 sin2 B 1 1 2sin2 B 1 3 ，2 2 2 4 4
因为 sin C 0 3，所以 sin C ，
2
由△ABC 为钝角三角形且 a < c，b < c 知，C 为钝角，
1
所以 cosC ，即
2 tan C 3
，
所以 tan(A B) tan π C tan C 3 .
（2 1）因为 S△ABC absin C
3
ab 12 3 ，
2 4
所以 ab 48，
由余弦定理， c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 ab 3ab 144 ，
当且仅当 a b 4 3时，等号成立，
此时 c2 的最小值为144，所以 c 的最小值为12 .
2．（2024·贵州遵义·一模）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
3b a sin C 3a cosC ．
(1)求 A；
(2)若VABC 为锐角三角形， c 2，求 b 的取值范围．
π
【答案】(1) A ;3
(2)1 < b < 4 .
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
（2）利用正弦定理、和角的正弦公式化简，再利用正切函数的取值范围求解即得.
【详解】（1）在VABC 中，由 3b a sin C 3a cosC 及正弦定理，
得 3 sin B sin Asin C 3 sin AcosC ，
则 3 sin AcosC sin Asin C 3 sin(A C) 3 sin AcosC 3 cos Asin C ，
即 sin Asin C 3 cos Asin C ，而 sin C 0，于是 tan A 3 ，
又0 < A
π
< π ，所以 A .3
2π
π
（2）由（1
2sin( C)
）知， A 3 ，由正弦定理得b
c sin B 3 3 cosC sin C 3 1，
sin C sin C sin C tan C
ì0 C π < <
V 2 π π由 ABC 为锐角三角形，得 í ，解得 < C < ，
0 2π C π< < 6 2
3 2
tan C 1 1则 ，\ < 3 ,则1 < b < 4 ，
3 tan C
所以 b 的取值范围是1 < b < 4 .
3．（2024·山西晋中·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知b2 c2 bc a2 .
(1)求 tanA；
(2)若b 3 1 c，在边BC 上（不含端点）存在点D，使得 AD 1，求 a的取值范围．
【答案】(1) 3
6 ù
(2) ,3 3ú
2
【分析】（1）直接用余弦定理求得 cos A，进而得到 tan A；
π π
（2）思路一：利用正弦定理三角恒等变换得B ,C ，进一步结合正弦定理得
4 12
6 q πa b 3 3 sinq ，由 ,11π 即可求解；思路二：设边BC 上的高线长为 h ，则4 12 AD 长度的取值范2
围是 h,b ，从而条件等价于 h 1 < b，最后用 a表示 h 和b ，即可求出 a的范围.
b2 c21 a
2 b2 c2 b2 c2 bc 1
【详解】（ ）由余弦定理得 cos A ，所以
2bc 2bc 2
sin A 1 cos2 A 1
1

tan A 4 3 .
cos A cos A 1
2
（2）方法一：因为b 3 1 c，所以 sin B 3 1 sin C ，
1 2π
由（1）知道 cos A ，所以 A ，
2 3
所以C
π
B，
3
sin B 3 1 sin C sin B 3 1 sin π B 3 1 3 cos B 1 所以由 ，可得 3 sin B2 2 ，
从而 3 3 sin B 3 3 cos B 0（因为 sin B 0），
π π
所以 tan B 1，结合 B 是三角形内角可知，B ,C ，
4 12
π 11π
当 AD 1时，在三角形 ACD中，设 ADC q ，则q ,4 12 ，
b sinq b sinq
由正弦定理得 ，故 sin π ，AD sin C 12
因为 sin C sin
π
sin π π 3 2 1 2 6 2 ，12 3 4 2 2 2 2 4
所以b 6 2 sinq ，
2π
a sin BAC sin
ABC 3
6
在三角形 中，由正弦定理得 ，
b sin B sin π 2
4
a 6故 b 3 3 sinq ，2
q π 11π 因为 , ，
4 12
6 2 ù
所以sinq 的取值范围是 ,14 ú ，
ù
所以 a
6
的取值范围是 ,3 3ú .
2
方法二：在本小问的解析中，所有“线段BC 上”均不含端点 B 和C .
由 cos A
1
< 0知角A 是钝角，所以角B,C 都是锐角，
2
这表明点A 在直线BC 上的投影 H 在线段BC 上.
设 AH h，则由 H 在线段BC 上及b 3 1 c c 可知，
对线段BC 上的点D， AD 长度的取值范围是 h,b ，所以条件等价于 h 1 < b .
b2 2 2 3 1 2 1 3 1 2
而我们有 a2 b2 c2 bc b2 b b 3b ，
2 23 1 3 1 3 1 2
6
故b a .
3
由于 sin A 1 cos2 A 1 1 3 ，
4 2
h ah 2S
2 2
VABC
bc sin A 3b 3a a
故我们又有 a a a 2 3 1 a 3 3 1 a 3 3 .
a
所以条件等价于 1 6< a 6，即 < a 3 3 .
3 3 3 2
6 ù
综上， a的取值范围是 ,3 3 .
2
ú

1．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 的三个内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足
b c sin C sin B 2a cosC sin A sin B ．
(1)求角C ．
(2)当VABC 面积的最大值为 4 3 时，求 c的值．
π
【答案】(1) C
3
(2) c 4
【分析】（1）利用正弦定理角化边，然后整理，利用余弦定理得答案；
（2）先利用余弦定理及基本不等式求出 ab的最值，然后代入面积公式计算即可.
【详解】（1）因为 b c sin C sin B 2a cosC sin A sin B ，
所以由正弦定理，得 b c c b 2a cosC a b ，
所以 c2 b2 2a2 cosC 2ab cosC ．
2 2 2
由余弦定理，得 c2 b2 2ab a b c × 2a2cosC ，
2ab
所以 a2 2a2 cosC ，所以 cosC
1
．
2
π
因为C 0, π ，所以C ；
3
（2 1 3）由三角形的面积公式，得 S absinC ab ．
2 4
由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 ab 2ab ab ab，
当且仅当 a b时，等号成立，则 ab的最大值为 c2 ，
所以 S 3 c2max 4 3 ，解得 c 4（负值舍去）．4
2．（2024·四川·三模）三角形 ABC 中，角 A, B,C 1 sin 2B cos 2B 3的对边分别为 a,b,c，且 .
sin 2B 2sin2 B 3
(1)求 B ；
(2)若 AC 边上的中线长为 2，求b 的最小值.
π
【答案】(1) B 3
(2) 4 3
3
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式化简即可得解；
（2）利用向量化及余弦定理结合基本不等式即可得解.
1 1 sin 2B cos 2B 3【详解】（ ）由 ，
sin 2B 2sin2 B 3
2sin B cos B 2cos2 B 3 2cos B sin B cos B 3
得 ，即 ，
2sin B cos B 2sin2 B 3 2sin B cos B sin B 3
cos B 3
所以 ，即 tan B 3 ，
sin B 3
又B 0, π π，所以 B 3 ；
（2）设 AC 的中点为D，
uuur uur uuur
则 2BD BA BC ，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
平方得 4BD BA BC 2BA × BC ，即16 a2 c2 ac 3ac，
16 4 3
所以 ac ，当且仅当 a c 时取等号，3 3
2 2 2 π 2 2
由余弦定理得b a c 2ac cos a c ac 16 2ac ，
3
ac 16 b2 16 2 16 16因为 ，所以 ，
3 3 3
b 4 3 4 3即 的最小值为 ，当且仅当 a c 时取等号.
3 3
3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
(a c) é 2 b (a c)
2
ù tan B 2abc(sin A sin C)．
(1)求 B 的大小．
(2)若VABC 的面积为 2 3 ，求b 的取值范围．

【答案】(1) B
3
(2) é 2 2,2 3
【分析】（1）切化弦后角化边可得 a c é b
2 a c 2 ù b 2abc a c ，结合余弦定理可得cosB
cosB cosB 1，可求得 B ；
b2 6
（2）由面积可得 sinAsin 2 A ，结合 A 的范围以及三角恒等变换可得b 的取值范围.
3
2 2 sinB
【详解】（1）由已知条件可知 a c é b a c ù 2abc sinA sinC ，cosB
2 2 b
则由正弦定理，得 a c éb a c ù 2abc a c ．cosB
b2 a2 c2 a2 c2 b2
整理，得 cosB 1．由余弦定理知 cosB ，
2ac 2ac
cosB cosB 1 cosB 1则 ，所以 ．
2
B 又
0, ，所以B ．
2 3
A C 2 C 2 （2）由（1）可知， ，则 A．
3 3
ì
0

< A < ,
2
因为VABC 为锐角三角形，所以 í 解得 < A <
0 2
．
< A < , 6 2
3 2
a c b 2b
由正弦定理，得 a
2b
，所以 sinA,c
2b
sin 2 A
sinA sinC sinB ．3 3 3 3
VABC 1 acsinB 1 2b sinA 2b sin 2 A 3因为 的面积为 2 3 ，所以 × × × 2 3 ，2 2 3 3 3 2
b2 6 2 3
所以 sinAsin 2 A ．易知 sinAsin A sinA cosA
1
sinA


3 3


2 2
3 1 1sinAcosA 1 sin2 A 3 1 1 sin2A cos2A sin 2A ．
2 2 4 4 4 2 6 4
1
又 < A <
5
，所以 < 2A < ，则 < sin 2A 16 6 6 ，6 2 2 6
1 1
所以 < sin
2A 1 3 ，
2 2 6 4 4
所以8 b2 <12．因为b 0，所以 2 2 b < 2 3 ，
故b 的取值范围为 é 2 2,2 3 ．
考点四、边长和差类最值及范围问题
2sinB sinC
1．（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且2cosC ．
sinA
(1)求角A ；
uuur c uuur
(2)若BD DC ，且 AD 2，求b c 的最小值．
b
2π
【答案】(1) A 3
(2)8
【分析】（1）解法一:根据正弦定理，化简得到b2 c2 a2 bc，再利用余弦定理得
b2 2cosA c a
2 1
，根据角的范围求出即可；解法二：根据正弦定理，化简得到 2cosA 1 sinC 0，
2bc 2
2b c
根据角的范围求出即可；解法三：由题意及正弦定理得，2cosC ，化简得到 2cosA 1 c 0，根据
a
角的范围求出即可
uuur uuur uuur uuur2 1 1 1
（2）解法一：利用向量 AB, AC 表示 AD ，根据 AD 4列方程，整理得 ，然后利用基本不等式求b c 2
BD kc,CD kb,k 0 1 1 1最值即可，解法二：设 ，利用余弦定理可得 ，然后利用基本不等式求最值即
b c 2
可
2b c
【详解】（1）解法一：由题意及正弦定理得，2cosC ；
a
2 2 2
2 a b c 2b c由余弦定理得， ，整理得b2 c2 a2 bc，
2ab a
b2 c2 a2 1
所以 cosA ．
2bc 2
又0 < A π A
2π
< ，故 3 ．
解法二：由题设可得， 2sinAcosC 2sinB sinC 2sin A C sinC ，
即 2sinAcosC 2sinAcosC 2cosAsinC sinC ，
整理得 2cosA 1 sinC 0．
又因为 sin C 0，所以 cos A
1
．又0 < A < π ，故 A
2π

2 3
，
2b c
解法三：由题意及正弦定理得，2cosC ，
a
所以2acosC 2b c 2acosC 2ccosA c ，
整理得 2cosA 1 c 0．
1
又因为 c 0，所以 cosA ．又0 < A < π ，故 A 2π 3 ．2
uuur c uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（2）解法一：因为BD DC ，则 AD AB BD
c b c
AB BC AB AC ，
b c b c b c b
uuur2 b uuur c uuur
2
b2 uuur2 c2 uuur2 bc uuur uuur
所以 AD AB AC 2 AB 2 AC 2 2 AB × AC ． c b c b (c b) (c b) (c b)
uuur uuur uuur
因为 AD 2, AB c, AC b, BAC
2π
，
3
b2c2 b2c2 2 2
所以 4
2b c 2π
2 2 2 cos ，整理得b
2c2 4(b c)2 ．
(b c) (b c) (b c) 3
b 0,c 0 b+ c = 1 1 1 1因为 ，所以 bc ，即 ．
2 b c 2
b c 2 1 1 故 b c 2
c b c b
b c
2 4 2 2 × 8，
b c b c
当且仅当b c 4时，等号成立．
故b c 的最小值是 8．
uuur c uuur
解法二：因为BD DC ，所以设BD kc,CD kb,k 0 ．
b
设 ADB q ，
在VADB 中，由余弦定理得 c2 4 c2k 2 4ckcosq ①；
2 2 2
在△ADC 中，由余弦定理得b 4 b k 4bkcos π q ，即b2 4 b2k 2 4bkcosq ②．
① b ② c bc2 cb2，得 4 b c bck 2 b c ．因为b 0,c 0，
bc 4 bck 2所以 * ．
VABC (b c)2 k 2 b2 c2 2bccos 2π在 中，由余弦定理得 ，
3
2 2 2 2 k 2 1 bc即 (b c) k b c bc，则 * 2 2(b ，代入 整理得b c 4(b c)
2 ．
c)2
所以b+ c =
1 bc 1 1 1，即 ．
2 b c 2
则b c 2 1 1 b c 2 2 c b c b c b 4 2



4 2 2 × 8，
b c b c b c b c
当且仅当b c 4时，等号成立．
故b c 的最小值是 8．
1
2．（2024·上海嘉定·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 2 2的对边分别为 a、b 、 c， cos B sin B ．
2
π
(1)求角 B ，并计算 sin B 6
的值；

(2)若b 3 ，且VABC 是锐角三角形，求a 2c的最大值．
π 2π π π 2π
【答案】(1) 或 ；当B sin
B 时， 1；当B 时， sin

B
π

1

3 3 3 6 3 6 2
(2) 2 7
【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得 cos B
1 π
± ，求出 B，进而求出 sin(B )即可；
2 6
B π（2）由题意可得 3 ，求出 C 的范围，根据正弦定理可得
a 2sin A,c 2sin C ，利用三角恒等变换化简
计算得 a 2c 2 7 sin(C )（ tan 3 ），结合 的范围和正弦函数的性质即可求解.
5
ìcos2 B sin2 B 1
2 1 1
【详解】（1）由 í cos B ±
cos2 B sin2 1
，得 cos B ，则 ，

B 4 2
2
π 2π
又0 < B < π ，所以 B 或 .3 3
B π当 时， sin(B
π
) sin π 1
3 6 2 ；
B 2π sin(B π) sin 5π 1当 时， .
3 6 6 2
π
（2）若VABC 为锐角三角形，则 B 3 ，
ì
0 C
π
< <
2 π π
有 í ，解得 < C < .
0 A 2π< C π< 6 2
3 2
a c b 3
2
由正弦定理，得 sin A sin C sin B 3 ，则 a 2sin A,c 2sin C ，
2
所以 a 2c 2sin A 4sinC 2sin(2π C) 4sinC 3 2( cosC 1 sinC) 4sinC
3 2 2
5sinC 3 cosC 2 7 sin(C )，
tan 3 tan 3 3 tan π
π
其中 ，又 < ，所以0 < < ，
5 5 3 6 6
π 2π π
则 < C < ，故当C 时， sin(C )取到最大值 13 3 ，2
所以a 2c的最大值为 2 7 .
3．（2024·广东湛江·一模）已知在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
a cos B C a cos A 2 3c sin B cos A 0．
(1)求 A；
(2)若VABC 外接圆的直径为 2 3 ，求 2c b 的取值范围．
π
【答案】(1) A
3
(2) 3,6
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得b 2 3 sin B,c 2 3 sin C ，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得
2c b 6sin C π ，再由三角函数的性质求解即可.
6
【详解】（1）由 A B C π可得： A π B C ，所以 cos A cos B C ，
所以 a cos B C a cos B C 2 3c sin B cos A，
a cos B cosC a sin B sin C a cos B cosC a sin B sin C 2 3c sin B cos A，
a sin B sin C 3c sin B cos A，由正弦定理可得 sin Asin B sin C 3 sin C sin B cos A，
因为 sin C 0,sin B 0 ，所以 sin A 3 cos A，所以 tan A 3 ，
因为 A 0, π π，所以 A .
3
a b c
（2）由正弦定理可得 2R 2 3，
sin A sin B sin C
所以b 2 3 sin B,c 2 3 sin C ，
故 2c b 4 3 sin C 2 3 sin B 2 3 2sin C sin B ，
B 2π C,C 2π 又 A B C π，所以
3
0,
3
，

é 2π ù 3 3
所以 2c b 2 3 ê2sin C sin C ú 2 3 sin C cosC
3 2 2
6sin C
π
，又C
0, 2π π π π ，所以C ,6 3 6
，
6 2
所以 2c b 6sin
C π 3,6 ，所以 2c b 的取值范围为 3,6 .
6
1．（2024·湖北·二模）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c a < b ，
c 2a cos Acos B b cos 2A．
(1)求 A；
uuur 1 uuur uuur
(2)者BD BC ， AD 2，求b c 的取值范围．
3
π
【答案】(1) A 3
(2) 12 7 < b c < 6
7
【分析】（1）借助正弦定理、三角形内角和与两角差的正弦公式计算即可得；
（2）借助向量的模长与平方的关系，结合数量积公式计算可得 (b c)2 3c2 36，借助三角函数的性质，可
12 7
令b c 6cosa ， 3c 6sina ，结合余弦定理计算可得 < 6cosa < 6 ，即可得解.
7
【详解】（1）由正弦定理得 sin C 2sin Acos Acos B sin B cos 2A，
则 sin C sin 2Acos B sin B cos 2A，
则 sin C sin 2A B ，QC π A B ，\sin A B sin 2A B ．
π
即 A B 2A B或 A B π 2A B ，解得 A 2B或 A 3 ．
因为 a < b π，所以 A < B ，所以 A 2B舍去，即 A 3 ；
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur（2）由BD BC 得 AD AB AC AB ，则 AD 1 AC 2 AB ，3 3 3 3
uuur
| AD |2 1则 b2
4 c2 4 bccos A
9 9 9 ，
4 1 b2 4 c2 2则 bc，则b2 4c2 2bc 36，即 (b c)2 3c2 36．9 9 9
π
令b c 6cosa ， 3c 6sina ，因为 c 0，b c 0，所以0 < a < ．2
π
因为b 6cosa 2 3 sina 0，所以 tana < 3，解得0 < a < ．3
π
由（1）得 A ，则 a2 b2 23 c 2bc cos A b
2 c2 bc ，
又因为 a < b ．所以 a2 < b2 ，所以b2 c2 bc < b2，
解得 c < b 3，所以 2 3 sina < 6cosa 2 3 sina ，解得 tana < ，
2
所以 0 < tana
3
< ．
2
π
令 tana
3
1 ，则 0 < a < a1 < 3 ，则
cosa1 < cosa < 1．2
cosa 2 7 12 7 6cosa 6 12 7因为 1 ，所以 < < ，即 < b c < 6．7 7 7
2．（2024·江西·模拟预测）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别记为 a，b ， c，且
tan A cos B sin C ．
cosC sin B
B π(1)若 6 ，求C 的大小．
(2)若 a 2，求b c 的取值范围．
C 2π【答案】(1)
3
(2) 2,
tan A cos B sin C【分析】（1）由 ，得 sin AcosC sin Asin B cos Acos B cos Asin C ，再利用两角和差的
cosC sin B
正余弦公式化简，进而可求得 A, B的关系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出b,c，再根据 A, B的关系结合三角函数的性质即可得解.
tan A cos B sin C sin A cos B sin C【详解】（1）因为 ，所以 ，
cosC sin B cos A cosC sin B
即 sin AcosC sin Asin B cos Acos B cos Asin C ，
即 sin AcosC cos Asin C cos Acos B sin Asin B ，
所以 sin A C cos A B ，即sin B cos A B ，
A,B (0,π) B A B π B A B π而 ，所以 或 ，
2 2
π π
所以 A 2B 或 A （舍去），
2 2
π
又因为 B ，所以 A
π

6 ，6
所以C
2π
；
3
（2）由（1）得 A
π
2B ，
2
a b c
因为 sin A sin B sin C ，
b a sin B 2sin B 2sin B 2sin B
所以 sin A sin A sin π 2B cos 2B ， 2
2sin π B
c a sin C 2sin C
2 2cos B ，
sin A sin A sin π 2B cos 2B
2
2 sin B cos B 2 sin B cos Bb c 2 2
则 cos 2B cos2 B sin2 B cos B sin B cos π ， B


4
ì
0 < B < π

0 π又由 í < 2B < π
π
，得0 < B < ，
2 4

0
π
< B < π
2
π B π π所以 < <
π 2
，所以0 < cos B < ，4 4 2 4 2
所以b c 2, .
3．（2024·山西吕梁·一模）设VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知
bcosC 2acosA ccosB ．
(1)求A ；
(2)设A 的角平分线交BC 于点M，AM 1，求b 4c 的最小值．
A 2π【答案】(1) 3
(2)9
【分析】（1）首先根据正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，即可求解；
（2）首先根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式，求得b c bc ，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）QbcosC 2a cos A c cos B .
由正弦定理，得 sin B cosC sin C cos B 2sin Acos A
\sin(B C) 2sin Acos A，即 sin A 2sin Acos A
Q A 0, π \sin A 0
\cos A 1 2π，即 A
2 3
（2）由题意可得， S△ABM S△AMC S△ABC
1
\ c × AM ×sin 60o 1 b × AM ×sin 60o 1 bc sin120o
2 2 2
\b c bc
1 1
即 1
b c
\b 1 1 b 4c b 4c 4c (b 4c)( ) 5 5 2 × 9
b c c b c b
b 4c 3
当且仅当 ，即b 3,c 时，等号成立，
c b 2
所以b 4c 的最小值为 9.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知__________.
π
在① tan A 2 3 ，② 2b 2acosC c ，③ b c a b c a 3bc，这三个条件中任选一个填在
4
上面的横线上，并解答问题.
(1)求角A ；
(2)若VABC 3的面积为 ，求 (b 1)2 (c 1)2 的最小值.
2
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
π
【答案】(1)
3
(2) 6 4 2
【分析】（1）选择①，由 tan
π
A 2 3 ，求得4 tanA 3
，即可求解；

1
若选②：由正弦定理得 2sinB 2sinAcosC sinC ，进而求得 cosA ，即可求解；
2
1
若选③：化简求得b2 c2 a2 bc ，结合余弦定理，求得 cosA ，即可求解.
2
（2）由（1）和面积公式，求得bc 2 2，结合b c2 2 b c 2 2bc 4 bc 2，即可求解.
π tanA 1
【详解】（1）解：若选①：由 tan A 2 3 ，可得 2 3 ，
4 1 tanA
所以 2 3 2 3 tanA tanA 1，即 1 3 tanA 3 3，解得 tanA 3 ，
因为 A 0, π π，所以 A .3
若选②：因为 2b 2acosC c ，由正弦定理得 2sinB 2sinAcosC sinC ，
又因为 sinB sin é π A C ù sin A C sinAcosC cosAsinC ，
所以 2 sinAcosC cosAsinC 2sinAcosC sinC ，即 2cosAsinC sinC ，
因为C 0, π 1，所以 sinC 0，可得 cosA ，
2
A 0, π A π又因为 ，所以 .3
若选③：因为 b c a b c a 3bc，可得 (b c)2 a2 3bc ，即b2 c2 a2 bc ，
b2 c2 a2 bc 1
由余弦定理得 cosA ，
2bc 2bc 2
又因为 A 0, π A π，所以 .3
π
2 1 3 3（ ）解：由（1）知 A 3 ，所以 SVABC bcsinA bc ，可得bc 2，2 4 2
(b 1)2所以 (c 1)2 b2 c2 2 b c 2 2bc 4 bc 2 6 4 2 ，
当且仅当b c 2 时等号成立，所以 (b 1)2 (c 1)2 的最小值为6 4 2 .
考点五、边长积商类最值及范围问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角VABC 的三内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c ，且
b2 c2 (b ×cosC c ×cosB)2 bc ，
(1)求角A 的大小；
(2)如果该三角形外接圆的半径为 3，求bc的取值范围．
π
【答案】(1)
3
(2) 6,9
【分析】（1）由余弦定理将 cos B, cosC 化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；
（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.
【详解】（1）Qb2 c 2 b cosC c cos B 2 bc ，
2
2
b2 c 2 b a b
2 c2 2 2 2
由余弦定理可得 × c
a c b
× bc ，
2ab 2ac


化简整理得b2 c2 a2 bc ，又b2 c2 a2 2bc cos A，
\cos A 1 π，又 0 < A < 2 ，2
π
所以 A .3
（2）因为三角形外接圆半径为 R 3 ，所以b 2 3sin B， c 2 3sinC ，
\bc 12sin B sin C 2π，由（1）得 B C 3 ，

所以bc 12sin B sin C 12sin B sin
2π B 12sin B
3
cos B
1
sin B
3 2 2
6 3 sin B cos B 6sin2 B 3 3 sin 2B 3 1 cos 2B

6 3 sin 2B 1

cos 2B2 2
3

6sin 2B
π
3，
6
VABC B C 2π因为 是锐角三角形，且 3 ，
π π π π 5π 1 π
所以 < B < ，\ < 2B < ，\ < sin
6 2 6 6 6 2
2B
6
1，

π
\6 < 6sin 2B 6
3 9，即6 < bc 9 .

所以bc的取值范围为 6,9 .
2．（2024·宁夏固原·一模）在锐角VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且
2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B ．
(1)求证：B C 2A；
c b
(2)求 的取值范围．
a
【答案】(1)证明见解析
3 3
(2) ,
3 3
【分析】（1）利用二倍角公式与正弦定理的变换边换，结合余弦定理与三角形内角和的关系即可得解；
（2）利用三角函数的和差公式与正弦定理的变换边换，将所求转化为关于角C 的表达式，再利用三角函数
的值域即可得解.
【详解】（1）因为 2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B ，
所以 2sinBsinC 1 2sin2 C 1 1 2sin2 A 1 2sin2 B，
则 sinBsinC sin2 C sin2 A sin2 B，
由正弦定理可得bc c2 a2 b2 ，即bc b2 c2 a2 ，
b2 c2 a2cos A bc 1所以 ，
2bc 2bc 2
A π 0, A π又 ，故 3 ，由 A B C π， 2
2π
故B C π A 2A；
3
3 1
（2）由（1）得 sin A , cos A ，
2 2
因为 sin B sin A C sin AcosC cos Asin C 3 cosC 1 sin C ，
2 2
c b sin C sin B 2 3 1
所以由正弦定理得
a sin A 3
sin C cosC sin C
2 2
2 1
sin C
3 cosC 2 sin C π ，
3 2 2

3 3
ì0 C π < <
又锐角VABC
2 π π
中，有 í < C <
0 π π π
，解得 ，
< B < 6 2
3 2
π 1 π 1
所以 < C
π π
< ，则 < sin
C < ，
6 3 6 2 3 2
3 2 sin C π 3 3 2 π 3所以 < < ，即 < sin

3 3 3 3 3 3
C < ，
3 3
c b 3 3
故 的取值范围为 ,3 3 a
.

3．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且满足
sinA cosA sin2B
．
cosA sinA 1 cos2B
π
(1)若C ，求A 的大小；
3
2
(2) c求 2 2 的取值范围．a b
5π
【答案】(1) A
24
1
(2) ,1 ．
3
【分析】（1）根据题中已知条件利用正切函数化简或逆用余弦函数两角和差公式从而可求解.
（2）由（1）及正弦定理把边化成角，再利用辅助角公式及函数求导求出范围从而求解.
tanA 1 2sinBcosB
【详解】（1）方法一： tan
A π tanB，由VABC
π
为锐角三角形且C ，所以
1 tanA 2cos2B 4 3
A π 2π 5π B A A ．
4 3 24
sinA cosA 2sinBcosB sinB
方法二： 2 cosAcosB sinAsinBcosA sinA 2cos B cosB
cosAsinB sinAcosB cos B A sin B A tan B A 1．
π π 2π 5π
由VABC 为锐角三角形且C ，所以B A , B A A ．
3 4 3 24
π 3π
（2）由（1）知B A ,C π A B 2A，
4 4
由正弦定理知：
sin2 3π 2A 1
c2 sin2C 4 sin 2A cos 2A
2
2
a2 b2 sin2 A sin2B sin2 A sin2 A π π ，
1 cos
4 1 cos 2A
2A
2
2 2
c2 sin 2A cos 2A 2所以 ．令 sin 2A cos 2A t ，则1 2sin 2Acos 2A t 2，
a2 b2 2 sin 2A cos 2A
c2 2 t 2 t 2 2 4 t 2 2 2
所以 2 2

l 4 f l ，其中l t 2．a b 2 t 2 t l
π π 3π π π π
又由VABC 为锐角三角形，0 < B A < ，0 < C 2A < < A < ，
4 2 4 2 8 4
t sin2A cos2A 2sin 2A π π A π< < 2A
π
，因为 ，所以 0,
π
，所以 t 2sin
2A π 0,1 ，
4 8 4 4 4 4
则l t 2 2,3 ，
f l 1 2 2 < 0，所以 f l 在 2,3 f l
1
上单调递减，则 ,1

．l 3
c2 1
即 2 2 的取值范围是 ,1a b 3
．

1．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知
2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B .
(1)证明：B C 2A；
c
(2)求 的取值范围.
b
【答案】(1)证明见解析
1
(2) , 2


2
【分析】（1）借助二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形内角和的关系计算即可得；
（2）借助正弦定理将边化为角后，借助三角函数的值域计算即可得.
【详解】（1）证明：由 2sinBsinC cos2C 1 cos2A cos2B ，
得 2sinBsinC 1 2sin2 C 1 1 2sin2 A 1 2sin2 B，
即 sinBsinC sin2 C sin2 A sin2 B，
由正弦定理可得bc c2 a2 b2 ，即 a2 b2 c2 bc，
由余弦定理可得 a2 2
1
b c2 2bc cos A，故 cos A ，2
π π
又 A 0, ，故 A ，由 A B C π，
2 3
故B C π A
2π
2A；
3
（2）由正弦定理可得：
sin π A B sin
π B 1 3
c sin C sin B cos B
3 2 2 1 3 ，
b sin B sin B sin B sin B 2 2 tan B
又锐角VABC 中，有0 B
π 0 π π B π π< < ， < < ，解得 < B
π
< ，
2 3 2 6 2

即 tan B
3
,
1
，即 0, 3 ，
3 tan B
c 1 3 1
故
b 2 2 tan B
, 2
2
.

2．（2024·江苏盐城·模拟预测）在VABC 中，已知角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，
asin2 B bsin2 A 3ab
2 2 2 a b c ．
(1)求角C 的大小；
a b
(2)若VABC 为锐角三角形，求 的取值范围．
c
π
【答案】(1) C
3
(2) 3,2ù
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为 a2 b2 c2 ab，
再利用余弦定理即可求解；
a b π
（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得 2sin A ，根据锐角三角形可得Ac 6
的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在VABC 中，
a 1 cosB b 1 cosA
asin2 B bsin2 A a b acosB bcosA
2 2 2 2 2 2
a b 1
2 2 2 2 2 2
acosB bcosA a b 1 a a c b b c a b
2 2 2 2 2ac 2bc
a b c
，
2
因为 asin
2 B bsin2 A 3ab
2 2 2 a b c ，
a b c 3ab
所以 2 2 a b c ，
2 2 2 cosC a
2 b2 c2 1
化简得 a b c ab，由余弦定理得 ，
2ab 2
又C 0, π ，所以C π ；
3
sinA sin 2π A
2 a b sinA sinB
3
（ ）由正弦定理知
c sinC sin π
3
2 3
sinA cosA
1 2 3
sinA sinA
3
cosA 3 2 2 3 2 2

2 3 1 sinA cosA
π
2sin
A ，
2 2

6


ì0 A π < <
VABC 2 π由 为锐角三角形可知 í π ，而
C ，
0 < B < 3
2
ì0 π < A < 2 π π
所以 í 得 < A < ，
2π π 6 20 < A <
3 2
π π 2π
所以 < A < ，
3 6 3
3 π
所以 < sin A
π


1，即 3 < 2sin A 2，2 6 6
a b
则 的取值范围为 3，2ùc .
3．（2024·山西朔州·一模）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，向量
mr a b,c ,nr sinA sinC,sinA sinB ，且mr //nr．
(1)求 B ；
2
(2) b求 2 2 的最小值．a c
π
【答案】(1) B 3
(2) 12
【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得 a2 c2 b2 ac，结合余弦定理可求 B ；
（2）利用基本不等式可求最小值.
r r
【详解】（1）因为m//n ，所以 a b sinA sinB c sinA sinC ，
由正弦定理可得 a b a b c a c 即 a2 b2 ac c2，
2 2 2
故 a2 2 2 cos B
a c b 1
c b ac，所以 ，
2ac 2
π
而 B 为三角形内角，故 B .3
b2 22 1 a c
2 ac 1 ac（ ）结合（ ）可得： ,
a2 c2 a2 c2 a2 c2
1 ac ac 1 1 2 2 1 1 ，当且仅当 a c 时等号成立，a c 2ac 2 2
b2 1
故
a2 2
的最小值为 2 . c
考点六、中线最值及范围问题
1．（2024·四川·三模）在VABC中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且满足
2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B .
(1)求A ；
(2)若VABC的面积为16 3 ，D为 AC 的中点，求BD的最小值.
π
【答案】(1) A 3
(2) 4 2
cos A 1【分析】（1）根据正弦定理进行边化角得 ，则得到A 的大小；
2
（2）利用三角形面积公式得bc 64，再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.
【详解】（1）因为 2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B ，
由正弦定理可得 2sin C sin B cos A sin B sin A B sin B sin C ，
又C (0,π)， B (0, π) ，故 sin C 0， sin B 0 ，
所以 cos A
1
，又 A (0, π) A
π
，故 .
2 3
1 π
（2） SVABC cbsin A 16 3 ，又 A ,\bc 64，2 3
2
在VBAD b b π中，由余弦定理BD2 BA2 AD2 2 × BA × AD ×cos A c2 2c × ×cos ，
2 2 3
2
c2 b 1
2
cb b 1 2 c2 × cb 1 cb 32，
4 2 4 2 2
b
当且仅当 c 4 2 时取等号，
2
\BD的最小值为 4 2 ．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且
a sinA cosCsinB c cosAsinB sinC 3 asinC
2
(1)求 cosB；
(2)设D为边 AC 的中点， AC 2，求线段BD长度的最大值.
3
【答案】(1)
4
(2) 7 .
【分析】（1）由题设条件重新组合后将acosC ccosA证明替换成b ，再利用正、余弦定理即可求得；
uuur2 1
（2）利用三角形中线的向量表达式和向量数量积的定义式，可推得BD (4 3ac) ，根据余弦定理和基
4
本不等式求得ac 8，代入即可计算得到.
【详解】（1）由 a sinA cosCsinB c cosAsinB 3 sinC asinC ，
2
得 asinA csinC sinB acosC ccosA 3 asinC (*).
2
因为 sinB sin A C ，所以 sinB sinAcosC cosAsinC ，
由正弦定理，得b acosC ccosA，
代入（*）得， asinA csinC bsinB
3
asinC .
2
2 2 2 3
由正弦定理，得 a c b ac ，
2
3
a2 c2 2 ac由余弦定理的推论，得cosB b 3 2 .
2ac 2ac 4
3
（2）由余弦定理，得b2 a2 c2 2accosB ，即 4 a2 c2 ac，2
a2 c2 4 3所以 ac 2ac ，当且仅当
2 a c 2 2
时等号成立，故得ac 8 .
uuur uuur uuur
又BD
1
BA BC ，两边平方可得，2
uuur2 1 uuur uuur 1 uuur2 uuur uuur uuur2 2BD (BA BC) (BA 2BA × BC BC )
4 4
1 uuur2 uuur uuur uuur2 1
(BA 2 BA × BC cos ABC BC ) c2 2accos ABC a24 4
1
(a2 c2 3 ac) 1 (4 3 ac 3 ac) 1 (4 3ac) 7，
4 2 4 2 2 4
uuur
所以 BD 7 ，即线段BD长度的最大值为 7 .
V sinB sinC cosB cosC3．（2024·湖北·模拟预测）在 ABC 中，已知 ，D 为BC 的中点.
sinA cosA
(1)求 A；
(2)当BC 4时，求 AD 的最大值.
A π【答案】(1) 3
(2) 2 3
【分析】
（1）根据两角和差及诱导公式结条件计算即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值.
【详解】（1）
Q sinB sinC cosB cosC ，
sinA cosA
\ sinB sinC cosA cosB cosC sinA，
即 sinBcosA sinCcosA cosBsinA cosCsinA，
\sinBcosA cosBsinA cosCsinA sinCcosA，即 sin B A sin A C .
\B A A C 2kπ k Z 或 B A A C 2kπ π k Z ，
当B A A C 2kπ k Z 时，B C 2A 2kπ k Z ，
2kπ π
由 A B C π，0 < A < π 有 A k Z ，即 k 0时 A π .
3 3 3
当 B A A C 2kπ π k Z 时，B C 2kπ π k Z （舍）.
π
\ A .
3
（2）
设 AB c， AC b ，
π
由（1 2 2）及余弦定理有16 b c 2bccos ，即16 b2 c2 bc .
3
\16 bc b2 c2 2bc，即bc 16，当且仅当b c 4时等号成立.
uuur uuur uuur
由 D 为边BC 的中点有 AD
1
AB AC ，2
uuur2
\ AD 1 uuur2 uuur uuur uuur2AB 2AB × AC AC 1 c2 1 2cbcos b2 c2 cb b24 4 3 4
1
16 2cb 4 1 bc 4 8 12，
4 2
当且仅当b c 4时等号成立.
uuur
\ AD 12 2 3 ，当且仅当b c 4时等号成立.
\ AD 的最大值为 2 3 .
1．（2024·四川南充·二模）在① 2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B ；②
2 2 2 bsin B c sin C a sin A 2sin B sin C cos A 1 sin A B sin A C ；③ sin Ac sin B ；这三个条件中任选3
一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且满足______.
(1)求A ；
(2)若VABC 的面积为16 3 ，D为 AC 的中点，求BD的最小值.
π
【答案】(1)
3
(2) 4 2
1
【分析】（1）若选①，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到 cos A ，即可得
2
解；若选②，根据平方关系及诱导公式得到 sin2 B sin2 C sin2 A sin C sin B ，再利用正弦定理将角化边，
最后由余弦定理计算可得；若选③，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将边化角，即可得解；
（2）由面积得bc 64，结合余弦定理和基本不等式求最值.
【详解】（1）若选择①： 2c sin B cos A b sin Acos B cos Asin B ，
由正弦定理可得 2sin C sin B cos A sin B sin A B sin B sin C ，
又C (0,π)， B (0, π) ，故 sin C 0， sin B 0 ，
所以 cos A
1
π，又 A (0, π)，故 A .
2 3
若选择②： sin2 B sin2 C cos2 A 1 sin(A B)sin(A C) ，
则 sin2 B sin2 C sin2 A sin(A B)sin(A C) sin C sin B，
由正弦定理可得b2 c2 a2 bc ，
2 2 2
故 cos A
b c a 1
，
2bc 2
又 A (0, π)
π
，故 A .3
bsinB csinC asinA 2
若选择③ sin AcsinB ；3
b2 c2 a2 1
由正弦定理可得 sin A，
2bc 3
再由余弦定理得 cos A
1
sin A，即 tan A 3 ，3
Q A (0, π) π，\ A ．
3
1
（2） SVABC cbsin A 16 3 A
π
，又 ,\bc 64，
2 3
2
在VBAD b b π中由余弦定理BD2 BA2 AD2 2 × BA × AD ×cos A c2 2c × ×cos ，
2 2 3
b2 1 2
c2 cb 2 c2 b 1 1× cb cb 32，
4 2 4 2 2
c b当且仅当 4 2 时取等号，
2
\BD的最小值为 4 2 ．
2．（2024·河北·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
sinA 3sinB a c b sinC sinB .
(1)求角C 的大小；
(2)若边 c 2，边 AB 的中点为D，求中线CD 长的最大值.
π
【答案】(1) C
6
(2) 3 2
【分析】（1）由正弦定理边角互换以及余弦定理进行化简即可得解.
（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为 sinA 3sinB a c b sinC sinB ，
由正弦定理可得： a 3b a c b c b ，则 a2 3ab c2 b2，
即 a2 b2 c2 3ab ，
2 2 2
由余弦定理可得： cosC a b c 3ab 3 ，
2ab 2ab 2
因为C 0, π C π，所以 .
6
uuur 1 uuur uuur
（2）因为D为 AB 的中点，所以CD
2 CA CB ，
uuur2 1 uuur uuur 2 1 uuur2 uuur uuurCD CA CB CA 1 CA CB 1
uuur2 1
则 × CB a2 3ab b2 ，
4 4 2 4 4
又由余弦定理得， c2 a2 b2 2ab cos B，
即 4 a2 b2 3ab，所以CD2 1 4 2 3ab 1 3 ab .4 2
由 4 a2 b2 3ab得， 4 3ab a2 b2 2ab ，
则 ab 4 2 3 ，当且仅当 a b 2 2 3 取等号，
即CD2 1+ 3 4 2 3 1+2 3 22 3 7 4 3 3 2 ，2
所以CD 3 2，即中线CD 长的最大值为 3 2 .
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a cosC 3a sin C b c 0．
(1)求角A 的大小；
(2)若D是线段BC 上靠近点 B 的三等分点， a 3，求 AD 的最大值．
π
【答案】(1)
3
(2) 3 1
π 1
【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和辅助角公式化简可得 sin A ，即可求
6 2
解；
3 b2 2c2
（2）方法一：由余弦定理可得b2 c2 bc 9 ① 、 AD2 2，可分别用 3 种思路（思路 1：利
b2 c2 bc
b
用余弦定理切入；思路 2：利用正弦定理切入；思路 3：利用极限思想）求出 的取值范围，进而利用换元
c
法构造函数，结合导数求解 ADmax 即可；方法二：
可分别用 2 种思路（思路 1：齐次化不等式处理；思路 2：正弦定理函数处理）求出 ADmax ；方法三：如图，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 AD AO OD AO OD ，确定当 A,O,D 三点共线时等号成立，求出 AO , OD 即可.
【详解】（1） a cosC 3a sin C b c 0，由正弦定理得
sin AcosC 3 sin Asin C sin B sin C ，
又 sin B sin( A C ) sin A cos C + cos A sin C ，
所以 sin AcosC 3 sin Asin C sin AcosC cos Asin C sin C ，
π 1
由 sin C 0整理得 3 sin A cos A 1，即 sin A 6
，
2
π π 5π π
解得 < A <

，又 A 0, ，
6 6 6 2
A π π所以
π
，即 A
6 6 3
；
（2）由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A，得b2 c2 bc 9 ①，
2 2 2 2
由CD 2BD得 cos BDA cos CDA 0 AD 1 c AD 4 b，即 0，
2AD 4AD
3 b2 2c2 3 b2 2c2
解得 AD2 1
3 b
2 2c2 2 2 2 2 2．9 b c bc
b
下面用三种方法求 的取值范围．
c
思路 1：用余弦定理切入．
2 2
因为VABC 为锐角三角形，所以 cos B c 9 b 0，即 c2 9 b2 0，
6c
b
将①代入得 < 2，
c
b 1
同理，由 cosC 0，得 ，
c 2
1 b
故 < < 2．
2 c
思路 2：用正弦定理切入．
ì0° < C < 90°
因为VABC 为锐角三角形，所以 í ° ° °
0 < B 120 C < 90
解得30° < C < 90°，
b sin B sin 120° C 3 1 1 1
由正弦定理得 × , 2 ．
c sin C sin C 2 tan C 2 2
思路 3：用极限方法求解．
因为VABC 为锐角三角形，
当B 90°
b 2 ° b 1时， ；当
c C 90
时， ；
c 2
b 1
故
, 2 ．
c 2
接下来换元构造函数求最值．
2
x b 1 ,2 3 b 2c
2 3 x2 2
设 ，则
c 2 2 2 2
．
b c2 bc x2 x 1
2
3 x2 2 3 x 2x 2
设 f (x) 1 ，则 f (x) ，
x2
2, x , 2 2
x 1 2 x2 x 1
由 f (x) 0
1
得 x2 2x 2 < 0，又 < x < 2，2
1
所以 < x < 3 1，由 f (x) < 0 得
2 3 1< x < 2
，
f (x) (1所以 在 , 3 1)单调递增，在 ( 3 1,2)单调递减，
2
故 f (x)max f ( 3 1) 4 2 3 ( 3 1)
2 ．
所以 ADmax 3 1．
方法二：思路 1，齐次化不等式处理
uuur uuur uuur
由CD 2BD得 AD
1
AC 2 AB ，
3 3
1 4 4 1 2 2
两边平方得 AD2 b2 c2 bccos60° b2 4c2 2bc b 4c 2bc 9 9 9 9 b2 c2 ， bc
b x2 2x 4 1 3(x 1) 3(x 1)
3
令 x ，则 f (x) 2 1
1 3 4 2 3 ，
c x2 x 1 x x 1 (x 1)2 3(x 1) 3 (x 1) 3x 1
3
则 AD 3 1，当 x 1 即x 1 x 3 1
时等号成立，

故 AD 的最大值为 3 1．
思路 2：正弦定理函数处理
uuur 1 uuur 2 uuur
由CD 2BD，得 AD AC AB ，
3 3
AD2 1 b2 4 2 4两边平方得 c bccos60°
1
b2 4c2 2bc ．9 9 9 9
b c 3
又因为 2 3 ，则b 2 3 sin B,c 2 3 sin C ，
sin B sin C sin 60°
代入得 AD2
1
b2 4c2 2bc 2 3 sin 2C 4 ．9 3
又因为VABC 为锐角三角形，
ì
0 < C
π
<
2 π π
所以 í ，解得 < C < ，
0 < B 2π π C < 6 2
3 2
2C π π 5π
π
当 2

即C 时， AD 2 3sin 2C 4的最大值为3 2 3 4 2 3
，
12
所以 ADmax 4 2 3 3 1．
uuur uuur uuur
方法三：设BC 的中点为E,VABC 外接圆的圆心为 O，则 AD AO OD，
uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AD AO OD AO OD ，
uuur uuur
2 AO a 2r 2 3 ，所以 AO 3 ，
sin A
OE2 r 2 CE2 9 3 3 ，
4 4
OE 3 , DE 1所以 ，所以OD 1．
2 2
所以 AD 3 1，当且仅当 A,O,D 三点共线时等号成立，此时VABC 为锐角三角形．
考点七、角平分线最值及范围问题
1．（2023·浙江·二模）在锐角VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a，b ， c，满足
sin A 1 sin
2 A sin2 C
，且 A C .
sin C sin2 B
(1)求证：B 2C ；
(2)已知BD是 ABC 的平分线，若 a 4，求线段BD长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
4 3
(2) , 2 23
【分析】（1）由正弦定理得b2 c2 ac，又由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ，结合整理可得角的关系；
BC BD
（2）由正弦定理得 ，又因为VABC 为锐角三角形且B 2C ，结合三角函数值域可求得线
sin BDC sinC
段BD长度的取值范围.
1 sinA sinC sin
2 A sin2C a c a2 c2 a c a c
【详解】（ ）由题意得 2 ，由正弦定理得 ，sinC sin B c b2 b2
1 a c
因为 A C ，则 a c ，即 a c 0，可得 2 ，整理得b
2 c2 ac，
c b
由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ，整理得 c a 2ccosB ，
由正弦定理得 sinC sinA 2sinCcosB，
故 sinC sin B C 2sinCcosB，整理得 sinC sin B C ，
π π π π
又因为VABC 为锐角三角形，则C 0, , B 0, ，可得B C 2 2
, ，
2 2
所以C B C ，即B 2C .
BC BD
（2）在△BCD中，由正弦定理得 ，
sin BDC sinC
BD BCsinC 4sinC 2所以 ，
sin BDC sin2C cosC
ì
0
π
< C <
2
因为VABC 为锐角三角形，且B 2C

，所以 í0
π
< 2C < π，解得 < C π< .
2 6 4

0 < π 3C
π
<
2
2 3 4 3
故 < cosC < ，所以 < BD < 2 2 .
2 2 3
4 3
因此线段BD长度的取值范围 , 2 2 .
3
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角 VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，其中a 8，
a sin21 A sin
2C
，且 a c2 ．c sin B
(1)求证：B 2C ；
(2)已知点M 在线段 AC 上，且∠ABM ∠CBM ，求 BM 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
8 3
(2) , 4 23
【分析】（1）由正弦定理得b2 c2 ac，又由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ，结合整理可得角的关系；
BC BM
（2）由正弦定理得 ，又因为VABC 为锐角三角形且B 2C ，结合三角函数值域可求得线
sin BMC sinC
段 BM 长度的取值范围.
1 a 1 sin
2 A sin2C
【详解】（ ）因为 ，
c sin2B
a c sin2 A sin2C a c a2 c2 a c a c
即 2 ，由正弦定理可得 ，c sin B c b2 b2
a c 1 a c又 ，即 a c 0，所以 2 ，整理得b2 c2 ac，c b
由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB ，整理得 c a 2ccosB ，
由正弦定理得 sinC sinA 2sinCcosB，
故 sinC sin B C 2sinCcosB，
即 sinC sin B cosC sin C cos B 2sinCcosB，
整理得 sinC sin B C ，
π
又因为VABC 为锐角三角形，则C 0, , B
0, π ，可得B C
π
,
π
2 2
，
2 2
所以C B C ，即B 2C .
（2）因为点M 在线段 AC 上，且∠ABM ∠CBM ，即 BM 平分 ABC ，
又B 2C ，所以 C CBM ，则∠BMC π C ∠CBM π 2C ，
BC BM
在△MCB 中，由正弦定理得 ，
sin BMC sinC
BM BCsinC 8sinC 8sinC 4所以 ，
sin BMC sin2C 2sin C cosC cosC
ì
0 < C
π
<
2
π
因为VABC
π π
为锐角三角形，且B 2C ，所以 í0 < 2C < ，解得 < C < .
2 6 4

0 < π 3C
π
<
2
2
故 < cosC 3 8 3< ，所以 < BM < 4 2 .
2 2 3
8 3
因此线段 BM 长度的取值范围 , 4 2 .
3


1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知VABC 内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，b(sin B sinC) (a c)(sin A
sin C)．
(1)求 A；
(2)A 的平分线 AD 交BC 于D点，9b c 64，求 AD 的最大值．
A 2π【答案】(1) 3
(2)4
1
【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得b(b c) (a c)(a c)，再结合余弦定理可得 cos A ，即可得
2
结果；
（2）根据题意结合面积关系可得 AD
bc
，再利用基本不等式分析求解.
b c
【详解】（1）因为b(sin B sinC) (a c)(sin A sinC)，
由正弦定理得b(b c) (a c)(a c)，整理得b2 c2 a2 bc，
2 2
cos A b c a
2 bc 1
由余弦定理得 ，
2bc 2bc 2
且 A 0, π ，所以 A 2π .3
1 π
（2）因为 AD 为 A 的角平分线，则 BAD= CAD= A= ，
2 3
由 S△ ABD S△ ACD S△ ABC ，
1 c AD sin BAD 1可得 × × b × AD ×sin CAD
1
bcsin BAC.
2 2 2
整理得 AD b c bc ，
又因为9b c 64，
AD bc 1 1 1
可得 b c 1 1 1 1 9b c 1 c 9b
b c b c 64 64
9 1
b c
1
4
1 2 c 9b
，
64
× 10
b c
c 9b
当且仅当 ，即 c 3b 16时，等号成立，
b c
所以 AD 的最大值为 4.
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知VABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足
3c bsin A 3a cos B．
(1)求角 A 的大小；
BC
(2)若 D 是边 BC 上一点，且 AD 是角 A 的角平分线，求 的最小值．
AD
【答案】(1) A
2π

3
(2) 2 3
2π
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到 tan A 3 ，求出 A 3 ；
bc
（2）利用余弦定理得到BC b2 c2 bc ，由三角形面积公式和 S△ ABD S△ ACD S△ ABC 求出 AD ，表达b c
BC b2 c2 bc

出 AD bc ，利用