第11讲 相关定理在解三角形中的综合应用
（高阶拓展、竞赛适用）
（8 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为 13-15 分
【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用
2 能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用
【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习
知识讲解
1. 海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是 a、b、c，
则三角形的面积为 S = p( p - a)( p - b)( p - c)
p a + b + c其中 = ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
2
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
1 é 2 2 2
2 ù
S = êa2b2
a + b - c
-
4 2 ÷
ú
ê è ú
2. 三倍角公式
sin 3 = 3sin - 4sin3 ，
cos3 = 4cos2 - 3cos
3. 射影定理
a = b cosC + c cos B，b = a cosC + c cos A， c = a cos B + b cos A
4. 角平分线定理
ABC AD BAC AB AC（1）在 中， 为 的角平分线，则有 =
BD CD
2b c cos BAC
（2） AD = 2
b + c
（3） AD2 = AB AC - BD CD （库斯顿定理）
AB S ABD
（4） =AC S ACD
5. 张角定理
sin sin sin( + )
+ =
AB AC AD
6. 倍角定理
在 ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,
(1)如果 A = 2B ,则有: a2 = b2 + bc
(2)如果C = 2A ,则有: c2 = a2 + ab
(3)如果 B = 2C ,则有: b2 = c2 + ac
倍角定理的逆运用
在 ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,
(1)如果 a2 = b2 + bc ,则有: A = 2B 。
(2)如果 c2 = a2 + ab ,则有: C = 2A。
(3)如果b2 = c2 + ac ,则有: B = 2C 。
7. 中线长定理
AD 为 BC 的中线,则中线定理: AB2 + AC 2 = 2 AD2 + DC 2
证明:
在 ABD 和 ADC 中,用余弦定理有:
AD2 + BD2 - AB2 AD2 + DC 2 - AC 2
+ = 0
2AD BD 2AD DC AB2 + AC 2 = 2 AD2 + DC 2
BD = DC
8. 三角恒等式
在 ABC 中，
sin A sin B sin C 4cos A cos B cos C① + + = ；
2 2 2
② cos A + cos B + cosC =1+ 4sin A sin B sin C ；
2 2 2
③ sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2cos Acos B cosC ；
④ cos2 A + cos2 B + cos2 C =1- 2cos Acos B cosC ；
sin2 A sin2 B sin2 C⑤ + + =1- 2sin A sin B sin C ；
2 2 2 2 2 2
cos2 A cos2 B cos2 C 2 2sin A sin B⑥ + + = + sin C ；
2 2 2 2 2 2
⑦ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ；
⑧ cot A cot B + cot A cot C + cot B cot C =1；
cot A cot B cot C⑨ + + = cot A cot B cot C ；
2 2 2 2 2 2
tan A⑩ tan B tan B+ tan C + tan C tan A =1。
2 2 2 2 2 2
考点一、海伦-秦九韶公式及其应用
1
1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为 a，b，c，设 p = (a + b + c)，则该三角形的面
2
积 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若 ABC 的三边长分别为 5，6，7，则该三
角形的面积为 ．
2．（2023·江苏·三模）海伦（Heron，约公元 1 世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海
伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的公式 S△ABC＝
a + b + c
p( p - a)( p - b)( p - c) ，其中 p = ，若 a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切
2
圆的半径 r 的值是 ．
3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一
个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积
"中提出了已知三角形三边 a，b，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂
并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得
1 é c2
2
+ a2 - b2 ù
积.”若把以上这段文字写成公式，即 S = êc2a2 - ÷ ú ， 现在有周长为10 + 2 7 的 ABC 满足4 ê è 2 ú
sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 7 ，则用以上给出的公式求得 ABC 的面积为（ ）
A．6 3 B． 4 7 C．8 7 D．12
4．（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约 1202～1261）独立发现了与海伦公
式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体
的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一
1 é c2 + a2 - b2
2
ù
为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是 S = êa2c2 -
4 ÷
ú ．现将一根长为
ê è 2 ú
20cm 的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为 6cm，则该三角形面积的最大值为（ ）
cm2 ．
A．6 10 B． 4 10 C．6 5 D． 4 5
a + b + c
1．（22-23 高三下·河北·期中）已知 ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， p = ，则 ABC
2
的面积 S = p p - a p - b p - c ，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若 ABC
的周长为 15， sin A + sin B : sin B + sin C : sin C + sin A = 4 : 6 : 5，则 ABC 的面积为 ．
2．（2023·浙江·模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形
三边长求三角形面积的公式.在 ABC 中，设 a,b,c分别为 ABC 的内角 A, B,C 的对边，S 表示 ABC 的面积，
1 é 2 2 2
2
2 ù其公式为 S = êa b2 a + b - c- 2 3 a 3 ÷ ú .若 = ，b = 3 ， S = ，则 c = .4 ê è 2 ú sinB sinC 2
3．（22-23 高三上·陕西渭南·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC 的三个
é 2 2
A B C a b c △ABC S 1 a2c2 a + c
2 - b2 ù
内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则 的面积 = ê - ÷ ú ．若b = 2 ，4 ê è 2 ú
a + b + c c
= ，则△ABC 面积 S 的最大值为（ ）
sin A + sin B + sin C 2sin A
2
A B 1 C D 2． 2 ． ． 3 ． 3
2
1 é c2 + a2 - b2 ù
4．（22-23 高三上·山东滨州·期中）三角形的三边分别为 a，b，c，秦九韶公式 S = êa2c2 -
4 ÷
ú
ê è 2 ú
a + b + c
和海伦公式 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，其中 p = ，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学
2
家婆罗摩笈多在公元 7 世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为 a，b，c，d，则
a + b + c + d
S = ( p - a)( p - b)( p - c)( p - d ) - abcd cos2 q ，其中 p = ，q 为一组对角和的一半.已知四边形四2
条边长分别为 3，4，5，6，则四边形最大面积为（ ）
A．21 B． 4 10 C．10 5 D．6 10
考点二、三倍角公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ABC的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c．若 A = 2B，且A 为锐
c 1
角，则 + 的最小值为（ ）
b cos A
A． 2 2 +1 B．3 C． 2 2 + 2 D． 4
2
1. 已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,C ,若 A 2B c 2b= ,则 + ÷ 的最小值为b è a
7 10
A.-1 B. C.3 D.
3 3
考点三、射影定理及其应用
1．（22-23 高三·吉林长春·阶段练习）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，S 表示 ABC 的面积，
若 ccosB + bcosC = asinA 3， S = (b2 + a2 - c2 )，则 B = （ ）
12
A．90 ° B．60 ° C．45 ° D．30 °
1．（21-22 高三上·全国·阶段练习）在 ABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，
1
c = a cos B + 2cos A， 2b = c，若 cosC = - ，则 ABC 的面积为 .
4
2．（2022·山西临汾·一模）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a = -3b cosC ，则 tanA
的最大值为 .
考点四、角平分线定理及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）△ ABC 中，边BC 内上有一点D，证明： AD 是 A的角平分线的充要条件
AB BD
是 = ．
AC DC
2．（2023·全国·统考高考真题）在 ABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分线交 BC 于 D，
则 AD = ．
1
3．（2024·河北·三模） ABC中， cos A = ， AB = 4, AC = 2．则 A的角平分线 AD 的长为 ．
8
2π
4．（2023·江苏·一模）在 ABC 中， BAC = ， BAC 的角平分线 AD 交BC 于点 D，△ABD 的面积是
3
△ADC 面积的 3 倍，则 tan B =（ ）
A 3 B 3． ． C 3 3 6 - 3． D．
7 5 5 33
3
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知 AD 是 ABC 的 A角平分线， cos BAC = ， AB = 5， AC = 2，则
4
AD = .
2．（2023 高三·全国·专题练习）在 ABC 中，B =120 ， AB = 2 ，A 的角平分线 AD = 3 ，则 AC =（ ）
A．2 B． 5 C． 6 D． 7
3．（2023 秋·山西大同·高三统考阶段练习）（多选）设O为 ABC 的外心， AB = 2 ， AC = 4， BAC 的角平
分线 AM 交BC 于点M ，则（ ）
uuuur
AM 2
uuur 1 uuur uuuurAB AC AM 1
uuur 2 uuur
A． = + B． = AB + AC
3 3 3 3
uuur uuur uuuur uuur
C． AB AO = 2 D． AM AO = 6
考点五、张角定理及其应用
1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知 AD 是 ABC中 BAC 的角平分线，交BC 边于点D .
AB BD
（1）用正弦定理证明： = ；
AC DC
（2）若 BAC =120° ， AB = 2 ， AC =1，求 AD 的长.
2.在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知点 D 在 BC 边上,
AD ^ AC,sin BAC 2 2= , AB = 3 2, AD = 3 ,则CD =
3 __________
1. 在 ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c, AD 是 BAC 的 角 平 分 线 , 若
BAC = ,| AD |= 2 3 ,则 2b + c 的最小值为_______
3
2．（2024·江西宜春·三模）在 ABC 中，设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知C = 120°， ABC 的
周长为 15 15 3，面积为 ．
4
(1)求 ABC 的外接圆面积；
(2)设 D 是边 AB 上一点，在①CD 是边 AB 上的中线；②CD 是 ACB 的角平分线这两个条件中任选一个，
求线段 CD 的长．
考点六、倍角定理及其应用
1.在 △ ABC中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 , 若B = 2 A, = 1, b = 3, 则c = ____________
2．（2020 高三·全国·专题练习）设锐角 ABC 的三个内角A . B . C 的对边分别为 a . b . c，且 c =1， A = 2C ，
则 ABC 周长的取值范围为（ ）
A． (0，2 + 2] B． (0，3 + 3] C． (2 + 2，3+ 3) D．[2 + 2，3+ 3]
1．（22-23 高三上·安徽阜阳·阶段练习） ABC 内角 A, B,C ，C 的对边分别为 a,b,c，若6b = 5c ，C = 2B，则
cosC =（ ）
7 7 24 24A．- B． C．- D．
25 25 25 25
2
2 .在 △ ABC 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 , 若 A = 2 B, + 2 则 的最小值为_____
考点七、中线长定理及其应用
1．（23-24 高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼
奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及
é BC
2
ù
第三边之半的平方和的两倍，即如果 AD 是 ABC 中 BC 2 2 2边上的中线，则 AB + AC = 2 êAD + ÷ ú .
ê è 2 ú
π
(1)若在 ABC 中， AB = 5， AC = 3， BAC = ，求此三角形 BC 边上的中线长；
3
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图 ABC 中，若 AB > AC ，D 为 BC 中点，BD = DC = 3， a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C ，
S 3 3△ABC = ，求 cos DAC 的值.2
2．（2011·吉林·一模）在 ABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，若 a = 7，b = 8， c = 9，则 AC
边上的中线长为 ．
1．（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习） ABC 的三边分别为 a,b,c，边BC 上的中线长为 ．
2．（2020 高三·全国·专题练习） ABC的两边长分别为1, 3 ，第三边上的中线长为 1，则其外接圆的直径为
考点八、三角恒等式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若
tanA + tanB + tanC = 3tanBtanC .
(1)求A ；
(2) 2若不等式b c - b la 恒成立，求实数l 的取值范围.
1．（2023 春·浙江台州·高三校考期中）在① a cos B - bcos A = c - b，② tan A + tan B + tan C - 3 tan B tan C = 0，
1
③ ABC 的面积为 a bsin B + c sin C - a sin A ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解
2
答．
在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且______．
(1)求角 A；
(2)若a = 8， ABC 的内切圆半径为 3，求 ABC 的面积．
一、单选题
1．（23-24 高一·全国·课后作业）在 ABC 中，已知 a =1，b = 3 ，且 AB 边的中线长为 1，那么 c 的长为．
A． 2 B．2 C． 3 D．3
2．（2022·全国·模拟预测）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个 ABC 的三边长分别为 a，b，c，
三角形的面积 S 可由公式 S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 为三角形周长的一半，与古希腊数学家
海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为 24， c = 6，则当三
角形面积最大值时 AB 边上的高为（ ）
A．8 B． 6 2 C．12 D．9 2
3．（23-24 高一下·重庆·阶段练习） ABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且
2b + c cos A + a cosC = 0，b = 2 3 ，若边BC 的中线长等于3，则 c = （ ）
A． 3 B． 2 3 C． 4 3 D．6 3
二、填空题
4．（23-24 高二·全国·假期作业）在 ABC中，已知CB = 7， AC = 8， AB = 9，则 AC 边上的中线长
为 ．
5．（23-24高一下·福建福州·期末）在 ABC 中， ACB =120 , AC = 2, AB = 7, ACB的角平分线交 AB 于D，
则CD = .
6．（22-23 高一·全国·课后作业）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： ABC 的三边是 a,b,c，它们所
对的角分别是 A, B,C ，则有 a = b cosC + c cos B，b = c cos A + a cosC ， c = a cos B + b cos A．请利用上
述知识解答下面的题：在 ABC 中，若 2cosC(a cos B + b cos A) = c ，则C = ．
7．（2019 高一·山东济南·学业考试）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个
三角形，边长分别为 a，b，c，三角形的面积 S 可由公式 S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 为三角形
周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a + b = 5， c = 3，则此三角
形面积的最大值为 .
三、解答题
B
8．（23-24 高二下·福建福州·期中）在 ABC中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且bsinC = 3csin .
2
(1)求角 B 的大小；
(2) b = 6 ABC 7 3若 ，且 的面积为 ，求 AC 边上的中线长.
2
9．（20-21 高一下·福建莆田·阶段练习）在 ABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，若 a = 3，
3 sin AcosC + 3 sin C + b cos A = 0 .
（1）求角A ；
1 1 1
（2）若 AD 为 ABC 的角平分线，证明： + = .
AC AB AD
10．（20-21 高一下·福建·期中）已知 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且满足
sin2 A - sin2 B - sin B sin C = sin2 C .
(1)求角 A；
(2)设点 D 为上 BC 一点，且 AD=2，证明：若 ，则b + c 存在最大值或最小值；请在下面的两个条件中选择
一个填到上面的横线上，并证明.
①AD 是 ABC 的中线；
②AD 是 ABC 的角平分线.
ur
11．（23-24 高一下·湖南株洲·期末）在 ABC中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，向量m = (a, 2b + c)，
r ur r
n = (cosC, cos A)，且m ^ n，D为线段BC 上一点.
(1)求角A 的大小；
(2)若 AD 为角A 的角平分线， a = 7， ABC 的周长为 15，求 AD 的长.
12．（23-24 高一下·重庆·阶段练习）已知 a,b,c分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，满足：
b - 2c cos A = c ．
(1)证明： A = 2C ；
(2)若b = 4 ，且 ABC 为锐角三角形，求 ABC 的面积 S 的取值范围．
13．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角 ABC 中.内角A ， B ，C 所对的边分别是 a，b ， c，已知
a - 2ccos B = c .
(1)求证：B = 2C ；
(2)求 sin B + 2 3 cos2 C 的取值范围.
14．（23-24 高一下·河南郑州·期中）古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长 a，
b，c 计算三角形面积的公式： S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，这个公式常称为海伦公式，其中，
p 1= (a + b + c)．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长 a，b，c 计算三角
2
1 c2 2 2
形面积的公式： S = [c2a2 ( + a - b- )2 ] ，这个公式常称为“三斜求积”公式．
4 2
(1)已知 ABC 的三条边分别为 a = 7,b = 8,c = 3，求 ABC 的面积；
1
(2)利用题中所给信息，证明三角形的面积公式 S = ac sin B；
2
(3)在 ABC 中，b = 4, tan
B sinC
= ，求 ABC 面积的最大值．
2 2 - cosC
15．（22-23 高一下·山东枣庄·期中） ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .
sinA
(1)求 的值；
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.
（i）证明：BD2 = BA·BC - DA·DC ；
（ii）若 a =1，求BD AC 的最大值.
一、单选题
1．（陕西·高考真题）设在 ABC中,角 A，B,C 所对的边分别为a，b,c , 若 bcosC + c cos B = a sin A , 则
ABC的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
二、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）在 ABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分线交 BC 于 D，
则 AD = ．
三、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c﹐已知
sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)证明： 2a2 = b2 + c2
4．（全国·高考真题）△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 BAC,BD=2DC．
sin B
（Ⅰ）求 ；
sin C
（Ⅱ）若 BAC = 60 ,求 B .
5．（全国·高考真题） ABC中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC， ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍．
sin B
(1)求 ；
sin C
(2)若 AD＝1，DC 2＝ ，求 BD 和 AC 的长．
2第11讲 相关定理在解三角形中的综合应用
（高阶拓展、竞赛适用）
（8 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为 13-15 分
【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用
2 能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用
【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习
知识讲解
1. 海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是 a、b、c，
则三角形的面积为 S = p( p - a)( p - b)( p - c)
p a + b + c其中 = ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
2
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
1 é 2 2 2
2 ù
S = êa2b2
a + b - c
-
4 2 ÷
ú
ê è ú
2. 三倍角公式
sin 3 = 3sin - 4sin3 ，
cos3 = 4cos2 - 3cos
3. 射影定理
a = b cosC + c cos B，b = a cosC + c cos A， c = a cos B + b cos A
4. 角平分线定理
ABC AD BAC AB AC（1）在 中， 为 的角平分线，则有 =
BD CD
2b c cos BAC
（2） AD = 2
b + c
（3） AD2 = AB AC - BD CD （库斯顿定理）
AB S ABD
（4） =AC S ACD
5. 张角定理
sin sin sin( + )
+ =
AB AC AD
6. 倍角定理
在 ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,
(1)如果 A = 2B ,则有: a2 = b2 + bc
(2)如果C = 2A ,则有: c2 = a2 + ab
(3)如果 B = 2C ,则有: b2 = c2 + ac
倍角定理的逆运用
在 ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,
(1)如果 a2 = b2 + bc ,则有: A = 2B 。
(2)如果 c2 = a2 + ab ,则有: C = 2A。
(3)如果b2 = c2 + ac ,则有: B = 2C 。
7. 中线长定理
AD 为 BC 的中线,则中线定理: AB2 + AC 2 = 2 AD2 + DC 2
证明:
在 ABD 和 ADC 中,用余弦定理有:
AD2 + BD2 - AB2 AD2 + DC 2 - AC 2
+ = 0
2AD BD 2AD DC AB2 + AC 2 = 2 AD2 + DC 2
BD = DC
8. 三角恒等式
在 ABC 中，
sin A sin B sin C 4cos A cos B cos C① + + = ；
2 2 2
② cos A + cos B + cosC =1+ 4sin A sin B sin C ；
2 2 2
③ sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2cos Acos B cosC ；
④ cos2 A + cos2 B + cos2 C =1- 2cos Acos B cosC ；
sin2 A sin2 B sin2 C⑤ + + =1- 2sin A sin B sin C ；
2 2 2 2 2 2
cos2 A cos2 B cos2 C 2 2sin A sin B⑥ + + = + sin C ；
2 2 2 2 2 2
⑦ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ；
⑧ cot A cot B + cot A cot C + cot B cot C =1；
cot A cot B cot C⑨ + + = cot A cot B cot C ；
2 2 2 2 2 2
tan A⑩ tan B tan B+ tan C + tan C tan A =1。
2 2 2 2 2 2
考点一、海伦-秦九韶公式及其应用
1
1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为 a，b，c，设 p = (a + b + c)，则该三角形的面
2
积 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若 ABC 的三边长分别为 5，6，7，则该三
角形的面积为 ．
【答案】6 6 ．
【分析】将三边长分别代入公式即可求解.
【详解】解：由题意得
Q p 1= (a + b 1+ c) = (5 + 6 + 7) = 9
2 2
\S ABC = p( p - a)( p - b)( p - c) = 9 (9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 6 6
故答案为：6 6
2．（2023·江苏·三模）海伦（Heron，约公元 1 世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海
伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的公式 S△ABC＝
a + b + c
p( p - a)( p - b)( p - c) ，其中 p = ，若 a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切
2
圆的半径 r 的值是 ．
2 6
【答案】
3
【分析】首先根据海伦公式求得三角形 ABC 的面积，然后根据三角形内切圆计算公式，计算出三角形 ABC
的内切圆.
p a + b + c 5 + 6 + 7【详解】 = = = 9 ，S△ABC＝ 9 (9 - 5) (9 - 6) (9 - 7) = 6 6 ，2 2
S 1= a + b + c r r 2S 2 6 6 2 6由于 ABC ，所以 = = = ．2 a + b + c 5 + 6 + 7 3
2 6
故答案为：
3
【点睛】本小题主要考查三角形面积的计算，考查三角形内切圆半径的计算，属于基础题.
3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一
个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积
"中提出了已知三角形三边 a，b，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂
并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得
2
S 1
é 2 2 2 ù
积.”若把以上这段文字写成公式，即 = êc2a2
c + a - b
- ÷ ú ， 现在有周长为10 + 2 7 的 ABC 满足4 ê è 2 ú
sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 7 ，则用以上给出的公式求得 ABC 的面积为（ ）
A．6 3 B． 4 7 C．8 7 D．12
【答案】A
【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得 ABC 的三边边长，利用题中公式可求得 ABC 的面积.
【详解】由题意结合正弦定理可得： a : b : c = sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 7 ，
Q ABC 周长为10 + 2 7 ，即 a + b + c =10 + 2 7 ，
\a = 4 ，b = 6， c = 2 7 .
é 2 2 2
2
ù
S 1
ê 6 + 4 - 2 7 ú
所以 = 62 42 - ÷ê ú = 6 3，4 ê 2 ÷
÷
è
ú
故选：A.
4．（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约 1202～1261）独立发现了与海伦公
式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体
的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一
1 é c2 + a2 - b2
2
ù
为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是 S = êa2c2 -
4 ÷
ú ．现将一根长为
ê è 2 ú
20cm 的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为 6cm，则该三角形面积的最大值为（ ）
cm2 ．
A．6 10 B． 4 10 C．6 5 D． 4 5
【答案】A
1
【分析】 S = 4a2c2 -[(c + a)2 - 2ac - b2 ]2，代入后利用基本不等式可求S 的得最大值．
4
【详解】令b = 6，则 a + c =14，
1 é c2 + a2 - b2
2
ù
S = êa2c2 1- ÷ ú = 4a
2c2 -[(c + a)2 - 2ac - b2 ]2，
4 ê è 2 ú 4
代入得 S
1
= [(2ac)2 - (160 - 2ac)2 ] 1= 160(4ac -160) ，
4 4
由基本不等式：14 = a + c≥2 ac，所以 4ac≤196，可得 S≤6 10 ，
当且仅当 a = c = 7 时取等号，
所以 a = c = 7 时，面积S 取得最大值6 10 ．
故选：A．
a + b + c
1．（22-23 高三下·河北·期中）已知 ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， p = ，则 ABC
2
的面积 S = p p - a p - b p - c ，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若 ABC
的周长为 15， sin A + sin B : sin B + sin C : sin C + sin A = 4 : 6 : 5，则 ABC 的面积为 ．
15 3
【答案】
4
【分析】先用正弦定理解得 a=3，b=5，c=7，代入海伦公式即可解得.
【详解】解：可令 sin A + sin B = 4k, sin B + sin C = 6k, sin C + sin A = 5k,
将上式相加： sin A + sin B sin C
15
+ = k,
2
3
由此可解的： sin A = k,sin B
5
= k,sin C 7= k,
2 2 2
由正弦定理： a : b : c = 3: 5 : 7,
又因为： a + b + c = 15,
p a + b + c 15解得：a=3，b=5，c=7.所以 = =
2 2
代入海伦公式解得：S= 15 3
4
15 3
故答案为：
4
2．（2023·浙江·模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形
三边长求三角形面积的公式.在 ABC 中，设 a,b,c分别为 ABC 的内角 A, B,C 的对边，S 表示 ABC 的面积，
é 21 2 2 2 2 2 ùS = êa b a + b - c- ú . 2 3 a b 3 S 3其公式为 ÷ 若 = ， = ， = ，则 c = .4 ê è 2 ú sinB sinC 2
21
【答案】1 或
3
【分析】由正弦定理结合题设推得 a = 2c ，利用条件解方程可得答案.
b a
【详解】在 ABC 中，由正弦定理得 = ,
sinB sin A
2a a
而b 3 a 2 3 a= 3 ，故 = ，结合 = 可得 = ,
sinB sin A sinB sinC sin A sinC
即有 sin A = 2sin C,\a = 2c，
2
3 3 1 é 212c2 4c + 3 - c
2 ù
由b = 3 ， S = 可得 = ê - ú ，
2 2 4 ÷ê è 2 ú
整理得3c4 -10c2 + 7 = 0，解得 c2 =1或 c2
7
= ，
3
故 c =1或 c 21= ，符合题意，
3
1 21故答案为： 或
3
3．（22-23 高三上·陕西渭南·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC 的三个
2
A B C a b c △ABC S 1
é 2
a2c2 a + c
2 - b2 ù
内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则 的面积 = ê - ÷ ú ．若b = 2 ，4 ê è 2 ú
a + b + c c
= ，则△ABC 面积 S 的最大值为（ ）
sin A + sin B + sin C 2sin A
2
A 2． 2 B．1 C． D3 ． 3
【答案】C
【分析】先利用正弦定理求出 c = 2a ，代入公式，结合二次函数可求答案.
a + b + c c a
【详解】因为 = = ，所以 c = 2a ；
sin A + sin B + sin C 2sin A sin A
2
1 é 2 2 2 ù
因为b = 2 ，所以 S = êa2
c2 a + c - b 1- ú = -9a4 ÷ + 20a
2 - 4 ，
4 ê è 2 ú 4
2 10 1 100 10 2
当 a = 时，S 有最大值，最大值为 -9 + 20 - 4 = .
9 4 81 9 3
故选：C.
1 é
2
c2 + a2 - b2 ù
4．（22-23 高三上·山东滨州·期中）三角形的三边分别为 a，b，c，秦九韶公式 S = êa2c2 -
4 ÷
ú
ê è 2 ú
p a + b + c和海伦公式 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，其中 = ，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学
2
家婆罗摩笈多在公元 7 世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为 a，b，c，d，则
a + b + c + d
S = ( p - a)( p - b)( p - c)( p - d ) - abcd cos2 q ，其中 p = ，q 为一组对角和的一半.已知四边形四2
条边长分别为 3，4，5，6，则四边形最大面积为（ ）
A．21 B． 4 10 C．10 5 D．6 10
【答案】D
p 3 + 4 + 5 + 6【分析】由题意可得 = = 9，由已知可推出
2 S = 6 10 sinq
，即可得出答案．
【详解】∵a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，
p 3+ 4 + 5 + 6∴ = = 9，又易知0 < q < π， sinq > 0，
2
则 S = ( p - a)( p - b)( p - c)( p - d ) - abcd cos2 q
= 6 5 4 3- 3 4 5 6cos2 q = 6 10 sinq ，
π
当 sinq =1，即q = 时，有最大值为
2 6 10
.
故选：D．
考点二、三倍角公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ABC的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c．若 A = 2B，且A 为锐
c 1
角，则 + 的最小值为（ ）
b cos A
A． 2 2 +1 B．3 C． 2 2 + 2 D． 4
【答案】A
方法一：
c 1 1
【分析】将式子 + 中的边 b、c 都转化为角的关系，即变为 2cos A + +1，由于 cos A > 0，利用均
b cos A cos A
值不等式便可求得其最小值.
【详解】Qsin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B = sin 2B cos B + cos 2B sin B
= 2sin B cos2 B + 2cos2 B -1 sin B = sin B 4cos2 B -1 = sin B(2cos 2B +1)
\sin C = sin B(2cos A +1) c，即 c = b(2cos A +1)，\ = 2cos A +1．
b
c 1
Q A为锐角\cos A > 0 ，则 + = 2cos A
1
+ +1 2 2 +1
b cos A cos A
1
当且仅当 2cos A = ，即 cos A 2= 时，等号成立，
cos A 2
c 1
\ + 的最小值为 2 2 +1．b cos A
故选：A
方法二：三倍角公式
Q A = 2B, \sin C = sin 3B = 3sin B - 4sin3 B
c 3sin B - 4sin3 B
\ = = 3- 4sin2 B
b sin B
= 2cos A +1
c 1 1
Q A为锐角\cos A > 0 ，则 + = 2cos A + +1 2 2 +1
b cos A cos A
2cos A 1= cos A 2当且仅当 ，即 = 时，等号成立，
cos A 2
c 1
\ + 的最小值为 2 2 +1．b cos A
故选：A
2
1. 已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,C A 2B c 2b, 若 = ,则 + 的最小值为
b è a ÷
7 10
A.-1 B. C.3 D.
3 3
解析:
因为 A = 2B, A + B + C = p ,所以由正弦定理,得
c 2b
2
sin 3B 2sin B 2 3sin B - 4sin3 B 2+ = + = + 1 2 1
b a ÷ sin B ÷ ÷
= 3 - 4sin B +
è è sin 2B sin B è cos B cos2 B
4cos2 B 1= + -1
cos2 B
因为 A = 2B p,所以0 < B < ,
3
cos2 B > 0 , 4cos2 B 1+ -1 2 4cos2 B 1所以 所以 2 2 -1 = 3 ,cos B cos B
1 2
当且仅当 4cos2 B = 2 时,即 cos B = 时等号成立,cos B 2
c 2b
2
所以 + ÷ 的最小值为 3.b è a
故选:C.
考点三、射影定理及其应用
1．（22-23 高三·吉林长春·阶段练习）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，S 表示 ABC 的面积，
若 ccosB + bcosC = asinA， S 3= (b2 + a2 - c2 )，则 B = （ ）
12
A．90 ° B．60 ° C．45 ° D．30 °
【答案】B
【分析】利用三角形射影定理求出角 A，再利用面积定理求出角 C 即可计算作答.
【详解】在 ABC 中，由射影定理 a = ccosB + bcosC 及 ccosB + bcosC = asinA得： asinA = a，解得 sin A =1，
o o b
2 + a2 - c2
而0 < A <180 ，则 A 3 2 3S= 90o，由余弦定理 cosC = 及 S = (b2 + a2 - c2 )得： cosC = ，
2ab 12 ab
1
而 S = absin C ，因此，
2 cosC = 3 sin C
，即 tan C 3= ，又0o < C <180o，则C = 30o ，
3
所以B =180o - A - C = 60o .
故选：B
1．（21-22 高三上·全国·阶段练习）在 ABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，
1
c = a cos B + 2cos A， 2b = c，若 cosC = - ，则 ABC 的面积为 .
4
3 15
【答案】
4
【分析】由三角形中的射影定理 c = a cos B + b cos A ,结合已知条件求得b 的值，进而得到 c的值，然后利用
余弦定理求得 a的值，进而利用面积公式求得.
【详解】由三角形中的射影定理 c = a cos B + b cos A ,结合已知条件 c = a cos B + 2cos A，可得b = 2 ,
1
又∵ 2b = c，∴ c = 4，由 c2 = a2 2+ b2 - 2ab cosC ，可得16 = a + 4 - 4a - 4 ÷，è
2
a = 3 ( ) ∴ 1 absin C 1 3 2 1 1 3 15解得 负值舍去 ， 三角形的面积为 = - - ÷ = ，2 2 è 4 4
3 15
故答案为： .
4
2．（2022·山西临汾·一模）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a = -3b cosC ，则 tanA
的最大值为 .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得 tan C = -4 tan B，再由和角的正切公式，配方变形即可计算
作答.
【详解】在 ABC 中，由射影定理 a = bcosC + ccos B 及 a = -3b cosC 得： c cos B = -4b cosC ，
由正弦定理边化角为： sin C cos B = -4sin B cosC ，于是得 tan C = -4 tan B，
由 a = -3b cosC > 0得， cosC < 0，即角C 是钝角， tan B > 0，
tan A tan B tan B + tan C 3tan B 3 3= - + C = - = 2 = 2 1- tan B tan C 1+ 4 tan B 1 4
- 2 tan B ÷ + 4
，
è tan B
1 1
当且仅当 = 2 tan B ，即 tan B = 时取“=”，
tan B 2
3
所以 tanA 的最大值为 .
4
3
故答案为：
4
考点四、角平分线定理及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）△ ABC 中，边BC 内上有一点D，证明： AD 是 A的角平分线的充要条件
AB BD
是 = ．
AC DC
【答案】证明见解析
AB BD AB BD
【分析】证明两个命题为真：一个是由 AD 是 A的角平分线证明 = ，一个是由 = 证明 AD
AC DC AC DC
是 A的角平分线．
AB BD
【详解】证明：设 p ： AD 是 A的角平分线，q： = ．
AC DC
如图，过点 B 作 BE // AC 交 AD 的延长线与点E ，
（1）充分性（ p q ）：若 1 = 2，则 1 = E ，所以 2 = E，所以 AB = BE，又△ BDE ∽△ CDA，所以
BE BD AB BD
= =
AC DC ，所以 ．AC DC
AB BD
（2）必要性 （ q p ）：反之，若 = ，则∵ BE / / AC BE BD，∴△ BDE ∽△ CDA，∴ =AC DC ，所以AC DC
AB = BE，所以 2 = E，又 BE // AC ，所以 1 = E ，所以 1 = 2．
AB BD由（1）（2）可得， AD 是 A的角平分线的充要条件是 = ．
AC DC
【点睛】本题考查充分必要条件的证明，要证明 p 是q的充要条件，必须证明两个命题为真：即充分性：
p q ，必要性： q p ．
2．（2023·全国·统考高考真题）在 ABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分线交 BC 于 D，
则 AD = ．
【答案】 2
【分析】方法一：利用余弦定理求出 AC ，再根据等面积法求出 AD ；
方法二：利用余弦定理求出 AC ，再根据正弦定理求出B,C ，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记 AB = c, AC = b, BC = a，
方法一：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，
因为b > 0，解得：b =1+ 3，
由 S ABC = S ABD + S ACD 可得，
1
2 b sin 60o 1= 2 AD sin 30o 1+ AD b sin 30o，
2 2 2
2 3 1+ 3
解得： AD
3b
= b = = 23 + 3 ．1+
2
故答案为： 2．
方法二：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，因为b > 0，解得：b =1+ 3，
6 b 2 sin B 6 + 2由正弦定理可得， o = = ，解得： = ， sin C
2
= ，
sin 60 sin B sin C 4 2
因为1+ 3 > 6 > 2 ，所以C = 45o ，B =180o - 60o - 45o = 75o，
又 BAD = 30o ，所以 ADB = 75o ，即 AD = AB = 2．
故答案为： 2．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
1
3．（2024·河北·三模） ABC中， cos A = ， AB = 4, AC = 2．则 A的角平分线 AD 的长为 ．
8
【答案】2
【分析】作出图形，利用余弦定理求得BC ，进而求得 cos B的值，利用正弦定理可求得BD的值，最后在
△ABD 中利用余弦定理求得 AD 的长.
1
【详解】在 ABC 中， cos A = ， AB = 4 ， AC = 2，
8
由余弦定理得BC = AB2 + AC 2 - 2AB AC cos A = 3 2 ，
AB2 + BC 2 - AC 2 5 2
由余弦定理得 cos B = = ，
2AB BC 8
由题意可得 BAD = CAD ， ADB + ADC = π ，\sin ADB = sin π - ADC = sin ADC ，
在△ABD
BD AB
中，由正弦定理得 = ，①
sin BAD sin ADB
CD AC
在 ACD中，由正弦定理得 = ，②
sin CAD sin ACD
BD AB 2① ②得 = = 2，\BD = 2CD ，则BD = BC = 2 2 ，
CD AC 3
在△ABD 中，由余弦定理得 AD = AB2 + BD2 - 2AB BD cos B = 2 .
故答案为： 2 .
2π
4．（2023·江苏·一模）在 ABC 中， BAC = ， BAC 的角平分线 AD 交BC 于点 D，△ABD 的面积是
3
△ADC 面积的 3 倍，则 tan B =（ ）
A 3 B 3 C 3 3 6 - 3． ． ． D．
7 5 5 33
【答案】A
【分析】利用面积之比可得 c = 3b，，作 AB 边上高，垂足为 H ，即可求 tan B .
【详解】
1
S AB AD sin BAD
因为 △ABD = 2
AB
1 = = 3，S△ADC AC AD sin CAD AC
2
即 c = 3b，在 ABC 中，作 AB 边上高，垂足为 H ，
3
tan B CH bsin CAH bsin CAH
b
则 = = = = 2
3
= ，
BH AB + AH AB + bcos CAH 7 b 7
2
故选:A.
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知 AD 是 ABC 的 A角平分线， cos BAC
3
= ， AB = 5， AC = 2，则
4
AD = .
5 14 5
【答案】 / 14
7 7
sin2q sinq sinq
【分析】设 BAD = CAD = q ，借助张角定理可得 = + ，结合数据计算即可得解.
AD AB AC
【详解】设 BAD = CAD = q ，
sin2q sinq sinq
则由张角定理可得： = + ，
AD AB AC
2sinqcosq sinq sinq 2cosq 1 1
故 = + ，即有 = + ，
AD AB AC AD AB AC
2cosq 1 1 7
所以 = + = ，则 AD
20
= cosq ，
AD 5 2 10 7
又因 cos2q = 2cos2q
3
-1 = cosq 14，4 =
，
4
AD 20所以 = cosq 20 14 5 14= = .
7 7 4 7
2．（2023 高三·全国·专题练习）在 ABC 中，B =120o， AB = 2 ，A 的角平分线 AD = 3 ，则 AC =（ ）
A．2 B． 5 C． 6 D． 7
【答案】C
2
【分析】由正弦定理求得 sin ADB = ，则 ADB = 45o，从而得到C = 30o ，再根据正弦定理即可求出答
2
案．
【详解】如图，
AB AD AB sin B
由正弦定理 = 可得， sin ADB = ，
sin ADB sin B AD
Q B =120o ， AB = 2 ， AD = 3 ，
\sin ADB 2= ，得 ADB = 45o，
2
\ ADC =135o ， BAD =180o -120o - 45o =15o，
\ BAC = 30o，\C = 30o，
\ AC AB AB sin B由正弦定理 = 得， AC = = 6 .
sin B sin C sin C
故选：C．
3．（2023 秋·山西大同·高三统考阶段练习）（多选）设O为 ABC 的外心， AB = 2 ， AC = 4， BAC 的角平
分线 AM 交BC 于点M ，则（ ）
uuuur 2 uuur 1 uuur uuuur uuur uuur
A． AM = AB + AC B． AM
1
= AB 2+ AC
3 3 3 3
uuur uuur uuuur uuur
C． AB AO = 2 D． AM AO = 6
【答案】AC
uuuur
【分析】对于 A、B
BM 1
：根据题意结合正弦定理可得 = ，结合平面向量的线性运算求 AM ；对于 C、D：CM 2
根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解.
AB BM BM sin BAM
【详解】在 ABM 中，有正弦定理可得 = ，可得 = ，
sin AMB sin BAM AB sin AMB
AC CM CM sin CAM
在△ACM 中，有正弦定理可得 = ，可得 = ，
sin AMC sin CAM AC sin AMC
因为 AB = 2 ， AC = 4， AM 为 BAC 的角平分线，
可知 BAM = CAM , AMB = π - AMC ，
则 sin BAM = sin CAM ,sin AMB = sin π - AMC = sin AMC ，
sin BAM sin CAM
可得 = ，
sin AMB sin AMC
BM CM BM AB 1
所以 = ，即 = = ，
AB AC CM AC 2
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
可得 AM = AB + BM = AB
1
+ BC AB 1= + AC - AB 2 AB 1= + AC ，3 3 3 3
故 A 正确，B 错误；
分别取 AB, AC 的中点F , E，连接OE,OF ，可知OE ^ AC,OF ^ AB ，
uuur uuur uuur uuur uuur 2
因为O为 ABC 的外心，则 AB AO = AB AO cos BAO
1
= AB = 2，
2
uuur uuur uuur uuur uuur 2
AC AO = AC AO cos CAO 1= AC = 8，
2
uuuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur
所以 AM AO = AB + AC AO = AB AO + AC AO
2 1
= 2 + 8 = 4 ，
è 3 3 ÷ 3 3 3 3
故 C 正确；D 错误.
故选：AC.
考点五、张角定理及其应用
1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知 AD 是 ABC中 BAC 的角平分线，交BC 边于点D .
AB BD
（1）用正弦定理证明： = ；
AC DC
（2）若 BAC =120° ， AB = 2 ， AC =1，求 AD 的长.
4
【答案】(1)证明见解析；(2) .
3
【详解】试题分析：（1）根据 AD 是的角 BAC 平分线,利用正弦定理、三角形内角和定理及诱导公式，即
可证明结论成立；(2)根据余弦定理，先求出BC 的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出 AD 的长.
试题解析：（1）∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAD=∠CAD
根据正弦定理，在△ABD 中， =
在△ADC 中， =
∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC
∴ = ， =
∴ =
（2）根据余弦定理，cos∠BAC=
即 cos120°=
解得 BC=
又 =
∴ = ，
解得 CD= ，BD= ；
设 AD=x，则在△ABD 与△ADC 中，
根据余弦定理得，
cos60°=
且 cos60°=
解得 x= ，即 AD 的长为 ．
2.在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知点 D 在 BC 边上,
AD AC,sin BAC 2 2^ = , AB = 3 2, AD = 3 ,则CD =
3 __________
解：如图
Qsin BAC 2 2 =
3
\cos BAC = 1- sin2 BAC 1=
3
sin BAC sin BAD sin DAC
由张角定理得: = +
AD AC AB
2 2 sin BAC p p - ÷ sin
3 = è 2 即 + 2
3 AC 3 2
2 2 -cos BAC 1
= +
9 AC 3 2
1
2 2 - 3 1= +
9 AC 3 2
\ AC = 3 2
\CD = AD2 + AC 2 = 3 3
1. 在 ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c, AD 是 BAC 的 角 平 分 线 , 若
BAC p= ,| AD |= 2 3 ,则 2b + c 的最小值为_______
3
【解析】如图:
Q AD 是 BAC 的角平分线
BAD CAD 1 BAC p\ = = =
2 6
sin BAC sin BAD sin DAC
由张角定理得: = +
AD AC AB
sin p sin p sin p
即 3 = 6 + 6
2 3 b c
1 1 1
\ + =
b c 2
1 1 2c 4b 2c 4b
\2b + c = 2b + c +
÷ 2 = + + 6 6 + 4 = 6 + 4 2
è b c b c b c
2c 4b
（当且仅当 = ,即 c = 2b时取“=”）
b c
2．（2024·江西宜春·三模）在 ABC 中，设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知C = 120°， ABC 的
15 3
周长为 15，面积为 ．
4
(1)求 ABC 的外接圆面积；
(2)设 D 是边 AB 上一点，在①CD 是边 AB 上的中线；②CD 是 ACB 的角平分线这两个条件中任选一个，
求线段 CD 的长．
49π
【答案】(1)
3
(2)答案见解析
15 3
【分析】（1）由 ABC 的面积为 ，求得 ab =15，再由 ABC 的周长为15，得到 a + b =15 - c，结合余
4
弦定理，求得 c = 7，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解；
uuur 1 uur uuur
（2）若选择①：法 1：由CD = (CA + CB)，结合向量的运算法则，即可求解；
2
法 2：设b > a，列出方程组求得 a = 3,b = 5，结合 cos ADC + cos CDB = 0，列出方程，即可求解；
若选择②，设b > a，求得 a = 3,b = 5，根据 S△ABC = S△ACD + S△BCD ，列出方程，即可求解；
sin ACB sin BCD sin ACD
法 2：由 = + ，列出方程，即可求解.
CD AC BC
1 ABC 15 3 S 1【详解】（ ）解：由 的面积为 ，可得 △ABC = absin120
15 3
° = ，解得 ab =15，
4 2 4
又由 ABC 的周长为15，可得 a + b + c =15，即 a + b =15 - c，
由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = (a + b)2 - 2ab - 2ab cos120°
= (15 - c)2 2 15 2 15 ( 1- - - )，解得 c = 7，
2
7
设外接圆半径为 R，由正弦定理得 = 2R R 7 3，所以 = ，sin120° 3
πR2 49π所以 ABC 的外接圆面积为 = ．
3
（2）解：若选择①：
法 1：由（1）知， a + b =15 - c = 8及 ab =15，
uuur 1 uur uuur uuur uuur uuur
由CD = (CA + CB)，可得 | CD |2
1
= (CA 1+ CB)2 = (b2 + a2 + 2ab cos120°)
2 4 4
1
= [(a + b)2 - 3ab] 1= (82 3 15) 19- = ，
4 4 4
uuur
| CD | 19 19所以 = ，即CD = ．
2 2
法 2：不妨设b > a，由 a + b =15 - c = 8及 ab =15，解得 a = 3,b = 5，
在 ACD和△BCD中，可得 cos ADC + cos CDB = 0，
(7)2 + CD2 - 52 (7)2 + CD2 - 32
由余弦定理得 2 7 +
2 19
7 = 0，解得CD = ．2 CD 2 CD 2
2 2
若选择②，不妨设b > a，由 a + b =15 - c = 8及 ab =15，解得 a = 3,b = 5，
法 1：由 S△ABC = S△ACD + S△BCD ，
15 3 1 1 15
可得 = 5 CD sin 60° + 3 CD sin 60°，解得CD = ．
4 2 2 8
sin ACB sin BCD sin ACD
法 2：由张角定理，得 = + ，
CD AC BC
sin120° sin 60° sin 60°
即 = + ，解得CD
15
= ，
CD 5 3 8
考点六、倍角定理及其应用
1.在 △ ABC中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 , 若B = 2 A, = 1, b = 3, 则c = ____________
解 ∵ B = 2 A
2
由倍角定理得： 2 = 2 + ，即( 3) = 12 + 1 × ∴ = 2
2．（2020 高三·全国·专题练习）设锐角 ABC 的三个内角A . B . C 的对边分别为 a . b . c，且 c =1， A = 2C ，
则 ABC 周长的取值范围为（ ）
A． (0，2 + 2] B． (0，3 + 3] C． (2 + 2，3+ 3) D．[2 + 2，3+ 3]
【答案】C
a b c 1
【解析】由锐角三角形求得30° < C < 45°，由正弦定理可得 = = = a bsin A sin B sin C sin C ，求出 ， 关于 cosC 的
函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
【详解】∵ ABC 为锐角三角形，且 A + B + C = p ，
0 < A
p p p
<
2
0 < 2C < 0 < C <
2 4
p
∴ 0 < B < 0 < p - C - 2C
p p p
<
2 2
< C < ，
6 3
p p p
0 < C < 0 < C < 0 < C < 2 2 2
p C p∴ < < 2， < cosC 3< ，
6 4 2 2
又∵ A = 2C ，
∴ sin A = sin 2C = 2sin C cosC ，
a c
又∵ c =1， = ，
sin A sin C
∴ a = 2cosC ，
b c
由 = ，
sin B sin C
b c sin B sin 3C sin C cos 2C + cosC sin 2C= = = = 4cos2即 C -1，
sin C sin C sin C
∴ a + b + c = 2cosC + 4cos2 C -1+1 = 4cos2 C + 2cosC ，
令 t = cosC t ( 2 3，则 ， )，
2 2
又∵函数 y = 4t 2 + 2t ( 2 3在 ， ) 上单调递增，
2 2
∴函数值域为 (2 + 2，3+ 3)，
故选：C
【点睛】本题考查三角形的正弦定理和运用，考查三角函数的恒等变换，以及余弦函数的性质，考查化简
变形能力，属于难题．
1．（22-23 高三上·安徽阜阳·阶段练习） ABC 内角 A, B,C ，C 的对边分别为 a,b,c，若6b = 5c ，C = 2B，则
cosC =（ ）
7
A - B 7
24 24
． ． C．- D．
25 25 25 25
【答案】A
【分析】根据正余弦二倍角公式、正弦定理化简即可得所求.
【详解】因为C = 2B，所以 sinC = sin 2B = 2sin B cos B
又因为6b = 5c ，由正弦定理得6sin B = 5sin C =10sin B cos B ，
因为B 0, π 3，所以 sin B 0 ，则 cos B =
5
2
所以 cosC = cos 2B = 2cos2 B 1 3 7- = 2 ÷ -1 = - .
è 5 25
故选：A.
2
2 .在 △ ABC 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 , 若 A = 2 B, 2 则 + 的最小值为_____
解 ∵ = 2
由倍角定理得： 2 = 2 + = ( + )
. ∴ + 2
2 2
= + 4 = + 4
2 4 4 4
2 ( )
= + = 1 + + ≥ 2 × 1 = 3
( 当且仅当 =
4
时取 ′′ = ′′)
考点七、中线长定理及其应用
1．（23-24 高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼
奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及
é BC 2 ù
第三边之半的平方和的两倍，即如果 AD 是 ABC 2 2中 BC 边上的中线，则 AB + AC = 2 êAD2 + 2 ÷ ú
.
ê è ú
(1)若在 ABC 中， AB = 5
π
， AC = 3， BAC = ，求此三角形 BC 边上的中线长；
3
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图 ABC 中，若 AB > AC ，D 为 BC 中点，BD = DC = 3， a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C ，
S 3 3△ABC = ，求 cos DAC 的值.2
【答案】(1) AD
7
=
2
(2)证明见解析
1
(3) -
2
【分析】（1）余弦定理求出BC = 19 ，再用所给式子求出中线即可；
（2）左右两个三角形△ABD 和 ACD分别使用余弦定理，得到两个方程，结合 cos ADB = - cos ADC ，相
加即可证明；
2a2
（3） a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C ，利用三角恒等变换，求得b2 + c2 = ，结合
3
é BC 2 ùAB2 + AC 2 = 2 êAD2 +
÷ ú，求出 AD ．在 ACD，用面积公式求出 sin ADC ，进而求出 AC ，再用余
ê è 2 ú
弦定理即可解.
【详解】（1）
如图所示，
由余弦定理得，BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AB AC cos A，
BC 2 52 32 2 5 3 cos π代值计算得到 = + - ，求得
3 BC = 19
；
é 2
AB2 AC 2 2 AD2 BC
2
ù é2 ù
由于 + = ê + ÷ ú，代值计算得5 + 3
2 = 2 êAD2 19+ 7 ÷÷ ú，求得 AD =
ê è 2 ú ê è 2 ú 2
（2）在△ABD 中， AB2 = AD2 + BD2 - 2AD BD cos ADB；
在 ACD中， AC 2 = AD2 + CD2 - 2AD CD cos ADC ；
1 é BC 2 ù
两式相加，且 cos ADB = -cos ADC, BD = CD = BC AB2 + AC 2 = 2 AD2 +
，得到 ê
2 ÷
ú，则原式得
ê è 2 ú
证．
（3）由于 a sin A + 3bsin B = 3bsin A - C = 3b(sin AcosC - sin C cos A) = 3bsin AcosC - 3bsin C cos A
则由正弦定理，得 a2 + 3b2 = 3ba cosC - 3bc cos A，
a2 2a2 3b2 3ba + b - c
2 2
3bc b + c
2 - a2
即 + = - ，
2ab 2bc
2a2
去分母整理得到3b2 + 3c2 = 2a2，即b2 + c2 = ．
3
且BD = DC = 3，则 BC = a = 6，则b2 + c2 = 24．
é 2 ù
AB2由于 + AC 2 2
BC= êAD2 + ÷ ú，且BD = DC = 3 c
2 + b2 = 2 éAD2，即 + 9ù
ê è 2
ú
联立解出 AD = 3
S 3 3 3 3 1由于 △ABC = ，则 S ADC = = AD DC sin ADC
1
= 3 3sin ADC ，
2 4 2 2
1
解得 sin ADC = ，则 cos 3 ADC = （负数不满足）.2 2
由余弦定理得到 AC 2 = DC 2 + AD2 - 2AD DC cos 3 ADC ，代值计算， AC 2 = 9 + 3- 6 3 = 3， 则
2
AC = 3 ，
2
cos DAC AD + AC
2 - DC 2 3 + 3 - 9 1
则 = = = - ．
2AD AC 2 3 3 2
2．（2011·吉林·一模）在 ABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，若 a = 7，b = 8， c = 9，则 AC
边上的中线长为 ．
【答案】7
uuur 1 uuur uuur uuur
【分析】先利用余弦定理计算出 cos B，设 AC 中点为D，将BD = BA + BC 两边平方后求得 BD .2
a2 + c2 - b2 72 + 92 2a = 7 b = 8 c = 9 cos B -8 11【详解】解：因为 ， ， ，由余弦定理得 = = = .
2ac 2 7 9 21
uuur 1 uuur uuur uuur 2 1 uuur2 uuur uuur uuur2设D是 AC 中点，则BD = BA + BC ，两边平方得 BD = BA + 2BA BC + BC2 4
1 uuur= 81+ 2 9 7
11
+ 49 = 49，所以 BD = 7，即 AC 边上的中线长为 7 .
4 è 21 ÷
故答案为： 7
1．（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习） ABC 的三边分别为 a,b,c，边BC 上的中线长为 ．
1
【答案】 2 b2 + c2 - a22
b2 + c2 - a2
【分析】由余弦定理知 cos A = ，再利用向量的中线公式、数量积的定义及数量积的运算律，即
2bc
可求解.
b2 + c2 - a2
【详解】设BC 边上的中线为 AD ，由余弦定理知 cos A = ，
2bc
uuur uuur2 uuur uuur 2 uuur uuur2 1 b
2 + c2 - a2 1
则 | AD | = AD 1 1= é ùê AB + AC ú = c2 + 2AB AC + b2 = 2 2 b + 2bc + c ÷ = é 2 b2 + c2 - a2 ù ， 2 4 4 è 2bc 4
1
所以中线长为 2 b2 + c2 - a2 ．2
1 2 2 2
故答案为： 2 b + c - a .2
2．（2020 高三·全国·专题练习） ABC的两边长分别为1, 3 ，第三边上的中线长为 1，则其外接圆的直径为
【答案】2
【解析】设BD = CD = x，在 ABD 中，由余弦定理得1 =1+ x2 - 2x cos ADB ，在 ACD中，得到
p
3 =1+ x2 - 2x cos ADC ，两式相加，求得 x =1，得到 ABD 为等边三角形，可得 B = ，再结合正弦定理，
3
即可求解.
【详解】如图所示，在 ABC中，设 AB =1, AC = 3, AD =1，且BD = CD = x，
在 ABD 中，由余弦定理，可得 AB2 = AD2 + BD2 - 2AD BD cos ADB ，
即1 =1+ x2 - 2x cos ADB ，①
在 ACD中，同理可得3 =1+ x2 - 2x cos ADC ，②
又由 ADB + ADC = p ，可得 cos ADB + cos ADC = 0，
p
由①+②，得 4 = 2 + 2x2 ，解得 x =1，所以 ABD 为等边三角形，可得B = ，
3
2R AC 3= = = 2
设 ABC的外接圆的半径为 R ，可得 ABC的外接圆直径为 sin B 3 .
2
故答案为： 2 .
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的
边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一
角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
考点八、三角恒等式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若
tanA + tanB + tanC = 3tanBtanC .
(1)求A ；
(2)若不等式b c - b la2恒成立，求实数l 的取值范围.
π
【答案】(1)
3
é1
(2) ê ,+
3 ÷
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式以及两角和的正切公式，化简整理可得
tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC ，可得 tanA = 3 ，进而即得；
b c - b 2 c
（2）由余弦定理可推得b2 + c2 - a2 = bc ，变形即可得出 2 = ÷ -1，根据已知条件，得出C 的范围，a è a
c 3 2 3
, 2 b c - b 1即可得出 ÷÷，然后根据不等式的性质得出- < 2 < ，即可得出实数l 的取值范围.a è 3 3 3 a 3
tanA tan B C tanB + tanC【详解】（1）由 A + B + C = π，得 = - + = - ，
1- tanBtanC
整理可得 tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC .
又 tanA + tanB + tanC = 3tanBtanC ，所以 tanA = 3 .
A π π因为 0, ÷ ，所以 A = .
è 2 3
2 2 2
2 cosA b + c - a 1（ ）由余弦定理可得 = = ，于是，b2 + c2 - a2 = bc ，
2bc 2
2 2
2 2 2 b c - b c - a c
2
所以bc - b = c - a ，则 = =
a2 a2 a ÷
-1，
è
c sinC 2 3
由正弦定理得 = = sinC .
a sinA 3
在锐角 ABC 中， A π 2π= 3 ，则 B + C = .3
又B,C 0,
π π π
2 ÷，故
< C < ，
è 6 2
1 c 2 3
所以 < sinC <1，所以 = sinC
3 , 2 3 ，
2 a 3
÷÷
è 3 3
1 c
2
4 2 c
2 1
所以 < ÷ < ，- <
3 ÷
-1< ，
è a 3 3 è a 3
2 b c - b 1
因此，- < < .
3 a2 3
b c - b
由题意可得l 2 恒成立，a
1
于是，l .3
é1
所以，实数l 的取值范围是 ê ,+
÷ .
3
1．（2023 春·浙江台州·高三校考期中）在① a cos B - bcos A = c - b，② tan A + tan B + tan C - 3 tan B tan C = 0，
1
③ ABC 的面积为 a bsin B + c sin C - a sin A ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解
2
答．
在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且______．
(1)求角 A；
(2)若a = 8， ABC 的内切圆半径为 3，求 ABC 的面积．
π
【答案】(1) A = 3
(2)11 3
【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，
结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应特殊角注
意角的范围即可求解；
选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应特殊角注意角
的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）若选①，由 a cos B - bcos A = c - b及正弦定理，得 sin Acos B - cos Asin B = sin C - sin B，
即 sin Acos B - cos Asin B = sin A + B - sin B ，
即 sin Acos B - cos Asin B = sin Acos B + cos Asin B - sin B，
所以 2cos Asin B = sin B ，
因为0 < B < π ,所以 sin B 0 ，
所以 cos A
1
= ，又0 < A < π ,
2
π
所以 A = 3 ．
若选②，由 tan A + tan B + tan C - 3 tan B tan C = 0，得
tan C tan A + tan B tan A B tan A + tan B= = - + = - ，
3 tan B -1 1- tan A tan B
∴ 3 tan B = tan A tan B，
π
因为0 < B < π ,所以 tan B 0 ，当B = 时， tan B 不存在，
2
所以 tan A = 3 ，又0 < A < π ,
所以 A
π
=
3 ．
1
若选③，因为 ABC 的面积为 a bsin B + c sin C - a sin A ，
2
S 1 1所以 △ABC = a bsin B + c sin C - a sin A = bc sin A，2 2
即b2 + c2 - a2 = bc ，
2
cos A b + c
2 - a2 1
所以 = = ，又0 < A < π ,
2bc 2
所以 A
π
=
3 ．
π
（2）由（1）知， A = 3 ，
∵ ABC 内切圆半径为 3，
1
∴ a + b + c 3 1= bc sin A，即
2 2 b + c + 8 3
3
= bc
2
b + c 1+ 8 = bc①，
2
a2 = b2 2 π 2
1
由余弦定理，得 + c - 2bccos ，即b + c2 - 2bc = 643 ，2
2
所以 b + c - 3bc = 64②，
1 2
联立①②，得 bc -8
÷ - 3bc = 64，解得bc = 44，
è 2
S 1所以 △ABC = 44
3
=11 3 ．
2 2
一、单选题
1．（23-24 高一·全国·课后作业）在 ABC 中，已知 a =1，b = 3 ，且 AB 边的中线长为 1，那么 c 的长为．
A． 2 B．2 C． 3 D．3
【答案】B
uuur 1 uuur uuur【分析】记 AB 边的中点为D，连结CD ，根据题意得到CD = CB + CA2 ，由向量模的计算公式求出角C ，
从而可得出结果.
【详解】如图：记 AB 边的中点为D，连结CD ，
uuur
CD 1 uuur uuur则 = CB + CA2 ，
又 a =1，b = 3 ，且 AB 边的中线长为 1，
uuur 1 uuur uuur 2 1 1
所以1 = CD =
2 CB + CA = 1+ 3 + 2 1 3 cosC = 4 + 2 3 cosC ，2 2
所以 cosC p= 0，因此C = 2 ；
又斜边上的中线是斜边的一半，所以 c 的长为 2.
故选 B
【点睛】本题主要考查解三角形，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.
2．（2022·全国·模拟预测）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个 ABC 的三边长分别为 a，b，c，
三角形的面积 S 可由公式 S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 为三角形周长的一半，与古希腊数学家
海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为 24， c = 6，则当三
角形面积最大值时 AB 边上的高为（ ）
A．8 B． 6 2 C．12 D．9 2
【答案】B
【分析】代入公式 S = p p - a p - b p - c ，结合基本不等式可得当 a = b = 9 时三角形的面积取得最大
值，再计算 AB 边上的高即可
【详解】由题意得， a + b =18， p =12，则
S = 12 12 - a 12 - b 12 - 6 = 6 2 12 - a 12 - b
6 2 12 - a +12 - b = 6 2 3 =18 2 ，
2
当且仅当12 - a =12 - b，且 a + b =18，即 a = b = 9 时，等号成立，此时三角形的面积取得最大值，所以 AB
6 2
边上的高为 92 - ÷ = 6 2
è 2
故选：B.
3．（23-24 高一下·重庆·阶段练习） ABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且
2b + c cos A + a cosC = 0，b = 2 3 ，若边BC 的中线长等于3，则 c = （ ）
A． 3 B． 2 3 C． 4 3 D．6 3
【答案】C
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出 cos A，即可求出A ，设BC 的中
uuur uuur uuur
点为D，则 AD
1
= AB + AC ，将两边平方，结合数量积的运算律及定义计算可得.2
【详解】因为 2b + c cos A + a cosC = 0，
由正弦定理可得 2sin B + sin C cos A + sin AcosC = 0，
所以 2sin B cos A + sin AcosC + sin C cos A = 0 ，
所以 2sin B cos A = -sin A + C ，
所以 2sin B cos A = -sin π - B ，
所以 2sin B cos A = -sin B ，
因为 sin B 0 ，所以 cos A
1
= - ，
2
因为 A 0, π A 2π，所以 = 3 ．
uuur uuur uuur
设BC 的中点为D，则 AD
1
= AB + AC2 ，
uuur2 1 uuur2 uuur uuur uuur2
所以 AD = AB + 2AB AC + AC ，4
uuur uuur uuur uuur
又 AB AC = AB AC cos BAC
1
= - bc，
2
所以 c2 - bc + b2 = 36，又b = 2 3 ，
所以 c2 - 2 3c - 24 = 0，解得 c = 4 3 或 c = -2 3 （舍去）.
故选：C
二、填空题
4．（23-24 高二·全国·假期作业）在 ABC中，已知CB = 7， AC = 8， AB = 9，则 AC 边上的中线长
为 ．
【答案】 7
【分析】先利用余弦定理求得 cos A的值,再设中线,利用余弦定理求出中线的值.
cos A AB
2 + AC 2 - BC 2 92 + 82 - 72 2
【详解】由条件知： = = = ,
2 AB AC 2 9 8 3
AC
2
AC
设中线长为 x ,由余弦定理知： x2 = ÷ + AB
2 - 2 AB cos A
è 2 2
= 42 + 92 2 2- 4 9 = 49
3
所以 x = 7 .所以 AC 边上的中线长为 7 .
故答案为: 7 .
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
5．（23-24高一下·福建福州·期末）在 ABC 中， ACB =120o , AC = 2, AB = 7, ACB的角平分线交 AB 于D，
则CD = .
2
【答案】 3
【分析】在 ABC 21中，由余弦定理可得： BC =1，由正弦定理可得 sin B = ，根据角平分线的性质可得：
7
CD BD
DA = 2BD 2 7= ，在△BCD中，由正弦定理可得： = 即可求解.
3 sin B sin DCB
【详解】因为在 ABC 中， ACB =120o , AC = 2, AB = 7
由余弦定理可得： AB2 = AC 2 + BC 2 - 2AB BC cos ACB，解得 BC =1
AC AB 2 7= 21
由正弦定理可得： = ，即 sin B 3 ，解得：sin B sin ACB sin B =
，
2 7
BD BC
因为 ACB 的角平分线交 AB 于D，所以 BCD = 60° ，由角平分线性质可得： = ，所以DA AC
DA 2 7= 2BD = ，
3
7
CD 2
在△BCD
CD BD 3
中，由正弦定理可得： = ，即 = ，解得：CD =
sin B sin DCB 21 3 3
7 2
2
故答案为： 3
6．（22-23 高一·全国·课后作业）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： ABC 的三边是 a,b,c，它们所
对的角分别是 A, B,C ，则有 a = b cosC + c cos B，b = c cos A + a cosC ， c = a cos B + b cos A．请利用上
述知识解答下面的题：在 ABC 中，若 2cosC(a cos B + b cos A) = c ，则C = ．
π
【答案】
3
1
【分析】由题可得 cosC = ，计算即可.
2
【详解】由题得， 2cosC(a cos B + b cos A) = c ，
由第一余弦定理知 c = a cos B + b cos A，
所以 2cosCgc = c ，
所以 cosC
1
= ，又 C 为三角形的内角
2
C π解得 = ，
3
π
故答案为：
3
7．（2019 高一·山东济南·学业考试）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个
三角形，边长分别为 a，b，c，三角形的面积 S 可由公式 S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 为三角形
周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a + b = 5， c = 3，则此三角
形面积的最大值为 .
【答案】3
【分析】计算出 p = 4 ，得到 S = 2 ab - 4 ，由基本不等式求出 S = 2 ab - 4 3 .
a + b + c 5 + 3
【详解】因为 a + b = 5， c = 3，所以 p = = = 4，
2 2
故 S = 4 4 - a 4 - b 4 - 3 = 2 4 - a 4 - b = 2 16 - 4 a + b + ab = 2 ab - 4 ，
a + b 2 5
因为 ab 25 = ，当且仅当 a = b = 时，等号成立，
4 4 2
25
故 S = 2 ab - 4 2 - 4 = 3，
4
故答案为：3
三、解答题
8．（23-24 高二下·福建福州·期中）在 ABC中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且bsinC = 3csin
B
.
2
(1)求角 B 的大小；
(2)若b = 6，且 ABC 7 3的面积为 ，求 AC 边上的中线长.
2
π
【答案】(1) B = 3
(2)4
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得 ac =14，再根据余弦定理求得 a2 + c2 = 50，再根据中线向量关系，
利用数量积公式，即可求解.
【详解】（1）Q bsinC
B B
= 3csin ，∴由正弦定理得： sinBsinC = 3sinCsin ，
2 2
Q C 0, π ，∴ sinC > 0，
∴ sinB = 3sin
B B B B
，即 2sin cos = 3sin ，
2 2 2 2
Q B 0, π B ÷ ，∴ sin 0 ， 2 è 2 2
B π
∴ cos B 3= ，\ =
2 2 2 6
\B π=
3
1 1 3 7 3
（2）QS ABC = acsinB = ac = ， \ac =14 ，2 2 2 2
在 ABC 中，由余弦定理b2 = a2 + c2 - 2accosB 得
36 = a2 + c2 - ac，所以 a2 + c2 = 50，
uuur uuur uuur
设 AC 的中点为D，则 2BD = BC + BA ，
两边同时平方得：
uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur
4BD = (BC + BA)2 = BC + BA + 2BC BA= a2 + c2 + ac = 64
uuur 2
所以 BD =16 ，所以BD = 4 .
9．（20-21 高一下·福建莆田·阶段练习）在 ABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别是 a，b ， c，若 a = 3，
3 sin AcosC + 3 sin C + b cos A = 0 .
（1）求角A ；
1 1 1
（2）若 AD 为 ABC 的角平分线，证明： + = .
AC AB AD
2p
【答案】（1） A = ；（2）证明见解析.
3
【分析】（1）逆用三角形的和角的正弦公式，再由正弦定理、三角形的内角性质化简并求出角A .
（2）由角平分线想到用正弦定理表示三角形的面积，三角形面积为 AD 拆分出来的两个小三角形面积之和，
化简即可.
【详解】（1）解：由 3 sin AcosC + 3 sin C + b cos A = 0，得
3 sin AcosC + 3 sin C cos A + b cos A = 0，
即 3 sin AcosC + 3 sin C cos A + b cos A = 3 sin A + C + bcos A = 3 sin B + bcos A = 0，
由 a = 3
3
，得 a sin B + b cos A 3= 0，由正弦定理，得 sin Asin B + sin B cos A = 0，又 sin B 0 ，得
3 3
sin A + 3cos A = 0，
又 A 0,p ，C 0,p ，如 A p= ， 3 sin AcosC + 3 sin C + b cos A = 0 3 cosC = 0 p，解得C =2 2 ，与
三角形三角和为p 矛盾，所以 A
p
.
2
2p
所以 tan A = - 3 ， A = .3
（2）由 AD 为 ABC
1 AB AD sin p 1的角平分线，得 + AC
p 1 2p
AD sin = AB AC sin ，所以
2 3 2 3 2 3
AB AC 1 1 1
AB AD + AC AD = AB AC ，即 AB + AC = ， 所以 + = .
AD AC AB AD
10．（20-21 高一下·福建·期中）已知 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且满足
sin2 A - sin2 B - sin B sin C = sin2 C .
(1)求角 A；
(2)设点 D 为上 BC 一点，且 AD=2，证明：若 ，则b + c 存在最大值或最小值；请在下面的两个条件中选择
一个填到上面的横线上，并证明.
①AD 是 ABC 的中线；
②AD 是 ABC 的角平分线.
2p
【答案】(1) 3 ；
(2)选择①证明见解析；选择②证明见解析.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解作答.
（2）选择条件①，利用向量数量积建立关系，再借助均值不等式推理作答；
选择条件②，利用三角形面积公式建立关系，再借助“1”的妙用计算作答.
【详解】（1）在 ABC 中，由正弦定理及 sin2 A - sin2 B - sin B sin C = sin2 C 得： a2 - b2 - bc = c2 ，
2 2 2 2p
由余弦定理得 cos A
b + c - a 1
= = - ，而0 < A < p ，解得： A = ，
2bc 2 3
2p
所以 A = .
3
uuur 1 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2
（2）选择①，AD 是 ABC 的中线，则 AD (AB AC) AD
1
= + ，于是得 = (AB + 2AB AC + AC )，
2 4
AD=2 16 = c2
b + c 1
而 ，则有 - bc + b2 = (b + c)2 - 3bc (b + c)2 - 3( )2 = (b + c)2，当且仅当b = c 时取“=”，
2 4
即b + c 8，因此当b = c = 4时， b + c = 8max ，
所以b + c 存在最大值.
p
选择②，AD 是 ABC 的角平分线， BAD = DAC = ，由 S + S = S 得：
3 ABD ADC ABC
1 AB ADsin p 1+ AD ACsin p 1= AB ACsin 2p ，而 AD=2，于是得 2b + 2c = bc ，
2 3 2 3 2 3
1 1 1
即 + = ，b + c = 2(b c)(
1 1
+ + ) = 2(2 b c+ + ) 8，当且仅当b = c 时取“=”，
b c 2 b c c b
即当b = c = 4时， b + c = 8min ，
所以b + c 存在最小值.
ur
11．（23-24 高一下·湖南株洲·期末）在 ABC中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，向量m = (a, 2b + c)，
r ur r
n = (cosC, cos A)，且m ^ n，D为线段BC 上一点.
(1)求角A 的大小；
(2)若 AD 为角A 的角平分线， a = 7， ABC 的周长为 15，求 AD 的长.
A 2π【答案】(1) = 3
15
(2) AD = .
8
ur r
【分析】（1）由m ^ n，得 a cosC + (2b + c) cos A = 0，然后利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简变形
可求得角A ；
（2）利用余弦定理结合已知条件可求得bc =15，再由 AD 为角A 的角平分线，可得 S△ ABD + S△ ACD = S△ ABC ，利
用三角形面积公式化简可求出 AD 的长.
ur r ur r
【详解】（1）解：Qm = (a, 2b + c)， n = (cosC, cos A)，且m ^ n，
\a cosC + (2b + c) cos A = 0 ，
由正弦定理得 sin AcosC + 2sin B cos A + sin C cos A = 0 ，
\sin(A + C) + 2sin B cos A = 0，
Qsin(A + C) = sin(π - B) = sin B ，\sin B + 2sin B cos A = 0，
在三角形 ABC 中， sin B 0 ，
1
\1+ 2cos A = 0，\cos A = - ，
2
∵ A 0, π 2π，\ A = .
3
（2）解： a = 7， a + b + c = 15 b + c = 8，
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
即 49 = (b + c)2 - 2bc - 2bccos
2π
，解得bc =15 .
3
π
Q AD 为角A 的角平分线，\ BAD = CAD = ，
3
∵ S△ ABD + S△ ACD = S△ ABC ，
1 c AD sin π 1 b AD sin π 1∴ + = c b sin
2π
，
2 3 2 3 2 3
∴ (b + c)AD = bc
bc
，得 AD =
b + c
15
\ AD = .
8
12．（23-24 高一下·重庆·阶段练习）已知 a,b,c分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，满足：
b - 2c cos A = c ．
(1)证明： A = 2C ；
(2)若b = 4 ，且 ABC 为锐角三角形，求 ABC 的面积 S 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2) S 2 3 , 8 ．
【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，结合 sin B = sin A + C ，利用正弦的差角公式整理化简即可求得
结果；
（2）根据 A, B,C 之间的关系，结合正弦定理，构造面积关于C 的函数关系，再结合三角形形状，求得C 的
范围，进而求函数值域即可.
【详解】（1）证明：∵ b - 2c cos A = c ，∴ 2R sin B - 2 2R sin C cos A = 2R sin C ，
∴ sin A + C - 2sin C cos A = sin C ，∴ sin AcosC - cos AsinC = sinC ，
∴ sin A - C = sin C ，∴ A - C = C 或 A - C + C = π，
∵ A,C 0, π ，∴ A = 2C .
（2）∵ A = 2C ，∴ B = π - 3C ，∴ sin B = sin 3C ．
a b 4 sin 2C
由正弦定理得 = 且b = 4 ，∴ a =
sin A sin B sin 3C
1
∴ S = absin C
1 4sin 2C 8sin 2C sin C
= 4 sin C =
2 2 sin 2C + C sin 2C cosC + cos 2C sin C ，
∵ ABC 为锐角三角形且 A = 2C ，
∴ cosC 0 ， cos 2C 0，
2 tan2 C
S 8 tan 2C tan C
16 tan C 16
2 = =
∴ = = 8 1- tan C 2
tan 2C + tan C 2 tan C 3- tan C
3
- tan C
2 + tan C1- tan C tan C
0 < A
π
< 0 < 2C
π
<
2 2
π π π π
∵ ABC
为锐角三角形，∴ 0 < B <
， 0 < π - 3C < ∴ C 2 2
, ÷，
è 6 4
0 π π < C <
0 < C < 2 2
3
∴ tan C ,1 ，
è 3 ÷
÷
S 16=
此时 3 tan C 为增函数，∴ S 2 3,8- ．
tan C
13．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角 ABC 中.内角A ， B ，C 所对的边分别是 a，b ， c，已知
a - 2ccos B = c .
(1)求证：B = 2C ；
(2)求 sin B + 2 3 cos2 C 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2) 1+ 3,2 3
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理变形，利用两角和差公式求得 sin C = sin B - C ，然后利用正
弦函数性质即可求得B = 2C ；
π
（2）利用三角恒等变换得 sin B + 2 3 cos2 C = 2sin
B +
÷ + 3，由条件求 B 的范围，结合正弦函数性质求
è 3
解范围即可.
【详解】（1）因为 a - 2ccos B = c，
所以 sin A = sin C + 2sin C cos B = sin B cosC + cos B sin C ，
所以 sin C = sin B cosC - cos B sin C = sin B - C ，
因为B,C
π π
为锐角三角形内角，所以0 < B < ， 0 < C <
2 2
，
π π
所以- < B - C < ，所以C = B - C ，即B = 2C ；
2 2
2 sin B + 2 3 cos2（ ） C = sin B + 3 π1+ cos 2C = sin B + 3 cos B + 3 = 2sin B + ÷ + 3，
è 3
0 B π < <
2
B π π π 2π π 5π
由题意得 0 < C = < ，解得 < B < ，所以 < B + < ，
2 2 3 2 3 3 6
0 < π
3B π
- <
2 2
1
所以 < sin B
π 3
+ ÷ < ，所以1+ 3 < sin B + 2 3 cos2 C < 2 3 ，2 è 3 2
即 sin B + 2 3 cos2 C 的取值范围为 1+ 3,2 3 .
14．（23-24 高一下·河南郑州·期中）古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长 a，
b，c 计算三角形面积的公式： S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，这个公式常称为海伦公式，其中，
p 1= (a + b + c)．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长 a，b，c 计算三角
2
1 2 2 2
形面积的公式： S = [c2a2 (c + a - b- )2 ] ，这个公式常称为“三斜求积”公式．
4 2
(1)已知 ABC 的三条边分别为 a = 7,b = 8,c = 3，求 ABC 的面积；
1
(2)利用题中所给信息，证明三角形的面积公式 S = ac sin B；
2
(3)在 ABC b 4, tan
B sinC
中， = = ，求 ABC 面积的最大值．
2 2 - cosC
【答案】(1) 6 3 ；
(2)证明见解析；
(3) 4 3 .
【分析】（1）根据给定条件，利用海伦公式求出三角形面积.
（2）利用余弦定理，结合“三斜求积”公式，计算推理得证.
（3）由二倍角公式化简 tan
B sinC
= ，得 2sin B = sin A + sin C ，再利用正弦定理角化边，然后用海伦公
2 2 - cosC
式及基本不等式求出面积最大值.
1 1
【详解】（1）依题意， p = (a + b + c) = (7 + 8 + 3) = 9 ，
2 2
所以 ABC 的面积 S = p( p - a)( p - b)( p - c) = 9(9 - 7)(9 -8)(9 - 3) = 6 3 .
2 2
2 cos B c + a - b
2
（ ）由余弦定理 = ，得 c2 + a2 - b2 = 2ac cos B ，
2ac
1 2 2 2
将上式代入 S = [c2
1
a2 (c + a - b- )2 ] ，得 S = [c2a2 - (2ac cos B )2 ] ，
4 2 4 2
S 1则 = éc2a2 - (ac cos B)2 ù 1= ac 1- cos2 2 B ，而 sin B + cos
2 B =1，且 sin B > 0，
4 2
1
所以 S = ac 1
1 1
- cos2 B = ac sin2 B = acsin B .
2 2 2
sin B sin B 2cos B
（3） tan
B 2 2 2 sin B= = = tan B sinC，而 = ，
2 cos B cos B B 2cos cos B +1 2 2 - cosC
2 2 2
sin B sin C
则 = ，整理得 2sin B = sin(B + C) + sin C = sin A + sin C ，
cos B +1 2 - cosC
a b c
根据正弦定理 = = ，得 2b = a + c b = 4 a + c = 8 p = 6sin A sin B sin C ，由 ，得 ， ，
S = 6(6 - a)(6 - b)(6 - c) = 12(6 - a)(6 - c) 12[(6 - a) + (6 - c)由海伦公式得， ]2 = 4 3 ，
2
当且仅当6 - a = 6 - c，即 a = c = 4 时， ABC 面积取最大值 4 3 .
15．（22-23 高一下·山东枣庄·期中） ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .
sinA
(1)求 的值；
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.
（i）证明：BD2 = BA·BC - DA·DC ；
（ii）若 a =1，求BD AC 的最大值.
1
【答案】(1) 2
(2) i 3 2（）证明见解析；（ii）
2
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
（2）（i）在△ABD 和△BCD中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式
的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）因为 ABC 中，4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B，
故 4sin2 A = sin B sin C cos A + sin C sin Acos B = sinC(sinBcosA + sinAcosB)
= sinCsin A + B = sin2 C ，
因为 A,C (0,π),\sinA,sinC > 0
sinA 1
，故 = ；
sin C 2
AD AB
（2）（i）证明：△ABD 中，由正弦定理得 = ①，
si n ABD si n ADB
又 AB2 = AD2 + BD2 - 2AD BD cos ADB ②，
同理在△BCD CD BC中， = ③sin CBD sin CDB ，
BC 2 = CD2 + BD2 - 2CD BD cos CDB ④，
BD 是 ABC 的角平分线，则 ABD = CBD ，
则 sin ABD = sin CBD ，
又 ADB + CDB = π ，故 sin ADB = sin CDB,cos ADB + cos CDB = 0，
AD AB AD AB , CD BC故①÷③得 = ⑤，即 = \ = ，
CD BC AC AB + BC AC AB + BC
由CD ② +AD ④得，CD AB2 + AD BC 2 = CD AD AD + CD + CD + AD BD2
= CD AD AC + AC BD2 ，
BD2 CD AB
2 + AD BC2
则 = - CD AD
AC
BC AB2 + AB BC 2
= - CD AD = BA BC - DA DC ，
AB + BC
即BD2 = BA·BC - DA·DC ；
sin A 1
（ii）因为 = ，故 c = 2a ，
sin C 2
AD AB 2 1
则由⑤得 = = 2，则 AD = AC,DC = AC ，
CD BC 3 3
2
由 a =1以及（i）知BD2 = 2 - AC2 ，
9
即BD2
2
+ AC2 = 2，则
9 BD
2 2 2 2+ AC2 BD AC ，
9 3
BD2 2= AC 2 BD2 2 2 3 2当且仅当 ，结合 + AC = 2，即
9 9 BD =1,AC =
时等号成立，
2
故BD AC 3 2 3 2 ，即BD AC 的最大值为 .
2 2
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于BD2 = BA·BC - DA·DC 的证明，证明时要利用正余弦定理得到涉及
到的线段之间的等量关系，然后利用分式的性质进行变形，过程比较复杂，计算量较大，因此要十分注意.
一、单选题
1．（陕西·高考真题）设在 ABC中,角 A，B,C 所对的边分别为a，b,c , 若 bcosC + c cos B = a sin A , 则
ABC的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
2 p
【分析】利用正弦定理可得 sin B + C = sin A，结合三角形内角和定理与诱导公式可得 sin A = 1, A = ，从
2
而可得结果.
【详解】因为bcosC + c cos B = a sin A，
所以由正弦定理可得 sin B cosC + sin C cos B = sin2 A，
sin B + C = sin2 A sin A = sin2 A，
sin A 1, A p所以 = = ，所以是直角三角形.
2
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几
种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角
的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
二、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）在 ABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分线交 BC 于 D，
则 AD = ．
【答案】 2
【分析】方法一：利用余弦定理求出 AC ，再根据等面积法求出 AD ；
方法二：利用余弦定理求出 AC ，再根据正弦定理求出B,C ，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记 AB = c, AC = b, BC = a，
方法一：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，
因为b > 0，解得：b =1+ 3，
由 S ABC = S ABD + S ACD 可得，
1
2 b sin 60o 1= 2 AD 1 sin 30o + AD b sin 30o，
2 2 2
3b 2 3 1+ 3
解得： AD =
1 b
= = 2
+ 3 + 3
．
2
故答案为： 2．
方法二：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，因为b > 0，解得：b =1+ 3，
6 b 2 6 + 2 2
由正弦定理可得， o = = ，解得： sin B = ， sin C = ，sin 60 sin B sin C 4 2
因为1+ 3 > 6 > 2 ，所以C = 45o ，B =180o - 60o - 45o = 75o，
又 BAD = 30o ，所以 ADB = 75o ，即 AD = AB = 2．
故答案为： 2．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
三、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c﹐已知
sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)证明： 2a2 = b2 + c2
5π
【答案】(1) 8 ；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得， sin C = sin C - A ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 sin C sin Acos B - cos Asin B = sin B sin C cos A - cosC sin A ，再
根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由 A = 2B， sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得， sin C sin B = sin B sin C - A ，而
0 B π< < ，所以 sin B 0,1 ，即有 sin C = sin C - A > 0 ，而0 < C < π,0 < C - A < π，显然C C - A，所以，
2
5π
C + C - A = π，而 A = 2B， A + B + C = π，所以C = ．
8
（2）由 sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得，
sin C sin Acos B - cos Asin B = sin B sin C cos A - cosC sin A ，再由正弦定理可得，
ac cos B - bc cos A = bc cos A - ab cosC ，然后根据余弦定理可知，
1 a2 c2 b2 1 b2 c2 a2 1 b2 c2 a2 1+ - - + - = + - - a2 + b2 - c2 ，化简得：
2 2 2 2
2a2 = b2 + c2，故原等式成立．
4．（全国·高考真题）△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 BAC,BD=2DC．
sin B
（Ⅰ）求 ；
sin C
（Ⅱ）若 BAC = 60o ,求 B .
1
【答案】（Ⅰ） 2 ；（Ⅱ）30
o .
sin B DC 1
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得： = = .（Ⅱ）由诱导公式可得
sin C BD 2
sin C = sin BAC B 3 + = cos B 1+ sin B. 由（Ⅰ）知 2sin B = sin C ,
2 2
所以 tan 3 B = , B = 30o.
3
AD BD
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 = ,
AD DC
= , 因为 AD 平分 BAC,BD=2DC,所以
sin B sin BAD sin C sin CAD
sin B DC 1
= = . .
sin C BD 2
（Ⅱ）因为 C =180o - BAC + B , BAC = 60o ,
所以 sin C = sin 3 1 BAC + B = cos B + sin B. 由（I）知 2sin B = sin C ,
2 2
所以 tan 3 B = , B = 30o.
3
考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.
5．（全国·高考真题） ABC中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC， ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍．
sin B
(1)求 ；
sin C
(2) AD 1 DC 2若 ＝ ， ＝ ，求 BD 和 AC 的长．
2
1
【答案】（1） 2 ；（2）1
【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.
试题解析：
1
（1） ， S ACD = AC AD sin CAD ，2
∵ S ABD = 2S ACD ， BAD = CAD ，∴ AB = 2AC ．
sin B AC 1
由正弦定理可知 = = .
sin C AB 2
（2）∵ BD : DC = S ABD : S ACD = 2 :1 DC
2
， = ，
2
∴ BD = 2 ．
设 AC = x，则 AB = 2x，
在△ ABD与△ ACD中，由余弦定理可知，
2
cos ADB AD + BD
2 - AB2 3 - 4x2
= = ，
2AD BD 2 2
3
- x22 2 2
cos ADC AD + CD - AC = = 2 ，
2AD CD 2
∵ ADB + ADC = p ，∴ cos ADB = -cos ADC ，
3 2
∴ 3- 4x2
- x
= - 2 ，解得 x =1，
2 2 2
即 AC =1．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．
