第12讲 新高考新结构命题下的解三角形解答题综合训练(含答案) 学案 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

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名称 第12讲 新高考新结构命题下的解三角形解答题综合训练(含答案) 学案 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-08-12 17:36:52

文档简介

第12讲 新高考新结构命题下的
解三角形解答题综合训练
(10 类核心考点精讲精练)
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下,高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革,更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计,以“三维”减量增质为核心理念,力求在减少题目数量的同时,提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面:
(1)三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养,确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
(2)三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查,鼓励学生不拘泥于传统模式,展现个人的独
特见解和创造力。
(3)三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查,通过精心设计的题目,引导学生深入思
考和探索,培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的 5 个解答题,每个题目的考查焦点皆充满变数,无法提前预知。解三角形版
块作为一个重要的考查领域,其身影可能悄然出现在第 15 题中,作为一道 13 分的题目,难度相对较为适
中,易于学生入手。然而,同样不能忽视的是,解三角形版块也可能被置于第 16、17 题这样的中等大题中,
此时的分值将提升至 15 分,挑战学生的解题能力和思维深度,难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势,教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能
涉及的知识点及其命题方式,更要能够灵活应对,根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新
结构试卷的特点,结合具体的导数解答题实例,旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南,
以期在新高考中取得更好的成绩。
考点一、面积及最值
1.(2024·河南焦作·模拟预测)记VABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,已知点F 为线段 AC 上
的一点,且 AF = 2CF ,BF = 2, a sin A + c sin C - bsin B
2
= a sin C .
3
(1)求 cos ABC 的值;
(2)求VABC 面积的最大值.
1
【答案】(1)
3
(2) 9 2
4
【分析】(1)由正弦定理和余弦定理即可求得.
(2)由余弦定理、向量运算、三角形面积公式和基本不等式即可求出VABC 面积的最大值.
【详解】(1)
a b c
因为 = = = 2R, a sin A + c sin C - bsin B
2
= a sin C ,
sin A sin B sin C 3
a a c c b b 2 c× + × - × = a × 2 2 2 2则 ,化简得a + c - b = ac ,
2R 2R 2R 3 2R 3
a2 + c2 - b2 2 ac
由余弦定理得, cos ABC = = 3 1
2ac =
.
2ac 3
(2)在VABC 中, cos
1
ABC = , ABC 0, π ,
3
2
sin ABC = 1- cos2 ABC 1 1= - 2 2则 ÷ = ,
è 3 3
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur由 AF = 2CF 得,BF = BA + AF = BA + AC = BA + BC - BA3 3
1
= BA 2+ BC ,
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
BF 1= BA 2 BC 2+ BF 1 BA 2
uuur 2 1 2 4 a2 2 1 2 ac 1即 ,所以 = + BC = c + + = 4 .3 3 è 3 3 ÷ 9 9 3 3 3
1 2 4 2 1 2 1 1 2 4
由基本不等式,得 c + a + 2 ac = 4 2 ac + ac,
9 9 3 3 3 3 3 27
ac 27 c = 2a a 3 6 c 3 6即 ,当且仅当 ,即 ,4 = =
时等号成立,
4 2
1
所以VABC 的面积 S = ac sin ABC 1 27 2 2 9 2
2 =

2 4 3 4
c 3 6 a 3 6 9 2故当 = , = 时,VABC 面积的最大值为 .
2 4 4
2.(2024·贵州铜仁·模拟预测)在VABC 中,已知 tan A + tan B +1 = tan A × tan B, AB = 2 2 , AC = 2 3.
(1)求角 B ;
uuur uuur uuur r
(2)若VABC 为锐角三角形,且GA + GB + GC = 0,求△GAB 的面积.
π 2π
【答案】(1) B = 3 或 3
(2) S 3△ GAB = +13
【分析】(1)利用两角和的正切公式化简等式,利用诱导公式求出 tan C ,再利用正弦定理求出角 B ;
uuur uuur uuur r 1
(2)根据GA + GB + GC = 0得到点G 为三角形VABC 重心,由 SVGAB = S3 VCAB 直接求解即可.
【详解】(1) tan A + tan B = tan A × tan B -1,
Q在三角形中, tan A + tan B 0,
tan A + tan B
\ tan A tan B 1,\ = -1,\ tan(A + B) = -11- tan A g tan B ,
在VABC 中, A + B + C = π,
\ tanC = - tan(A + B) = 1,
又 0
π
< C < π, C = ,
4
Q AC = b = 2 3 , AB = c = 2 2 ,
a b c 2
由正弦定理 = = ,得 sin B bsin C
2 3 × 3
sin A sin B sin C = = 2 = ,c 2 2 2
Q b > c,\ π

B =
3 或 ;3
π
(2)因为VABC 为锐角三角形,所以 B = 3 ,
uuur uuur uuur r
Q GA + GB + GC = 0,
\点G 为三角形VABC 重心,
1
所以 SVGAB = S
1 1
3 VCAB
= × × AB × AC × sin A
3 2 ,
6 + 2
又Q sin B + C = sin A = ,
4
S 1 1 6 + 2 3所以 VGAB = × ×2 2 ×2 3 × = +1,3 2 4 3
3
所以△GAB 的面积为 +1.
3
3.(2024·全国·模拟预测)在VABC 中, AB = 2BC .
(1)若 cos B
3
= ,求 tan A;
5
(2)若 AC = 2,求VABC 面积的最大值.
4
【答案】(1)
7
4
(2)
3
【分析】(1)解法一 4先利用同角三角函数基本关系求得 sin B = ,再利用正弦定理结合两角和正弦公式化5
简求解即可;
7
解法二 结合已知利用余弦定理求得 cos A = ,然后利用同角三角函数基本关系求解即可.65
2 cos B 5a
2 - 4
( )利用余弦定理得 = 2 ,然后利用三角形面积公式结合二次函数性质求解即可.4a
2
【详解】(1)解法一 因为 cos B 3= ,所以
5 sin B = 1- cos
2 B = 1 3 4- 5 ÷
= .
è 5
V sin C AB在 ABC 中,由正弦定理得 = = 2,
sin A BC
所以 sin A
1
= sin C 1= sin B 1+ A = sin B cos A 1+ cos B sin A 2= cos A 3+ sin A,
2 2 2 2 5 10
4
所以7sin A = 4cos A,则 tan A = .
7
解法二 设 AB = 2a,则BC = a ,
V 12ABC AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BC cos B = 4a2 + a2 - a2 13 2在 中,由余弦定理得 = a ,
5 5
AB2 + AC 2 - BC 2 4a
2 13+ a2 - a2
所以 AC 65= a, 所以 cos A = =
5 7= ,
5 2AB × AC 4 65 a2 65
5
sin A 4
所以 sin A = 1- cos2 A
49 4
= 1- = ,所以 tan A = = .
65 65 cos A 7
(2)由(1)中解法二可知BC = a , AB = 2a,
2
VABC cos B AB + BC
2 - AC 2 5a2 - 4
在 中,由余弦定理得 = = ,
2AB × BC 4a2
2
S 1
2
所以 = AB × BC sin B = a2 1- cos2 B = a4 4
5a - 4 1
VABC - a = -9a
4 + 40a2 -16
2 è 4a
2 ÷
4
1 20 2 256 4 2 5
= -9 a2 - ÷ + ,当 a = 时取等号,4 è 9 9 3 3
V 4故 ABC 面积的最大值为 .
3
4.(2024·全国·模拟预测)在VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
cos2B - cos2 BAC = 2sinC sinC - sinB .
(1)求 BAC .
(2)若点D为边BC 的中点,且 AD = 2,求VABC 面积的最大值.
π
【答案】(1)
3
(2) 4 3 .
3
【分析】(1)由二倍角公式化简已知等式,然后由正弦定理角化边再结合余弦定理求得 BAC .
(2)由向量建立等量关系,结合基本不等式求得VABC 面积的最大值即可.
【详解】(1 2)由二倍角公式,得1- 2sin B - 1- 2sin2 BAC = 2sinC sinC - sinB ,
即 sin2 BAC - sin2B = sinC sinC - sinB .
由正弦定理,得 a2 - b2 = c2 - bc,即 c2 + b2 - a2 = bc.
c2 + b2 - a2 bc 1
由余弦定理,得 cos BAC = = = .
2bc 2bc 2
π
因为0 < BAC < π,所以 BAC = .
3
uuur uuur uuur
(2)因为点D为边BC 的中点,所以2AD = AC + AB ,
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
所以 4AD = AC + AB + 2 AC AB cos BAC ,
16
即16 = b2 + c2 + bc 3bc,解得bc 4 3,当且仅当 时,等号成立.3 b = c = 3
S 1所以 △ABC = bcsin BAC
3 3 16 4 3
= bc = ,
2 4 4 3 3
所以VABC 4 3面积的最大值为 .
3
5.(2024·全国·模拟预测)在VABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a =1 .
C B π(1)若 - = ,
12 c = 2bsinC
,求 b;
(2)若 a + b sinA - sinB = c - b sinC ,求VABC 的面积 S 的最大值.
【答案】(1) 3 -1
(2) 3 .
4
π
【分析】(1)根据正弦定理,由 c = 2bsinC 得到sinC = 2sinBsinC ,进而求得 sinB,再由C - B = ,求12
得角 B,A,得到 sinA,再由正弦定理求得 b;
(2)根据正弦定理角化边得到b2 + c2 - a2 = bc ,用余弦定理求得 A,再根据基本不等式求得bc 1,然后利
用三角形面积公式,即可求得 S 的最大值.
【详解】(1)∵ c = 2bsinC ,由正弦定理得sinC = 2sinBsinC ,
又C 0, π ,所以 sinC 0 2,所以 sinB = ,
2
又C - B
π π
= ,所以B < C ,所以 B 为锐角,所以B = ,
12 4
C π π π π π 5π= + = ,所以 A = π - - = ,
12 4 3 4 3 12
sinA sin 5π sin π π sin π cos π cos π sin π 2 + 6故 = = + ÷ = + = ,12 è 6 4 6 4 6 4 4
2
a b b asinB
1
又 = ,所以 = = 2 = 3 -1 .
sinA sinB sinA 2 + 6
4
(2)因为 a + b sinA - sinB = c - b sinC ,
由正弦定理得 a + b a - b = c - b c ,即b2 + c2 - a2 = bc ,
2 2 2
所以 cosA b + c - a bc 1= = = ,
2bc 2bc 2
又 A 0, π A π,所以 = .3
因为 a2 = b2 + c2 - bc,所以1 = b2 + c2 - bc 2bc - bc = bc,
即bc 1,当且仅当b = c =1时等号成立,
1 1 3
所以 S = bcsinA = bc 3 3 1 = ,当且仅当b = c =1时取等号,
2 2 2 4 4
3
所以 S 的最大值是 .
4
考点二、周长及最值
2 tan A a sin B
1.(23-24 高三·河北沧州·模拟)VABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c, = .
1+ tan2 A b
(1)求角A 的大小;
(2)若b + c 2 3= 3a ,VABC 的面积为 ,求VABC 的周长.
3
π
【答案】(1) A = 3 ;
(2) 2 3 + 2 .
【分析】(1)利用同角公式切化弦,正弦定理边化角求解即得.
(2)利用三角形面积公式求出bc,再余弦定理列方程求解即得.
2 tan A 2sin Acos A
【详解】(1)依题意, 2 = 2 2 = 2sin Acos A,1+ tan A sin A + cos A
a sin B sin Asin B
在VABC 中,由正弦定理得 = = sin A,
b sin B
1
因此 2sin Acos A = sin A,而 sin A > 0,则 cos A = ,又0 < A < π ,
2
π
所以 A = .3
2 VABC 2 3 1 bc sin A 2 3
8
( )由 的面积为 ,得 = ,解得bc = ,
3 2 3 3
由余弦定理得 a2 = c2 + b2 - 2bc cos A = c2 + b2 - bc = (b + c)2 - 3bc ,
而b + c = 3a ,则 a 2 = ( 3a)2 - 8,解得 a = 2,b + c = 2 3 ,
所以VABC 的周长为 2 3 + 2 .
cosC cos A
2.(2024·河南新乡·二模)已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, = .
c 4b - a
(1)求 sin C 的值;
(2)若VABC 15 a b 2 6的面积为 ,且 + = c,求VABC 的周长.
2 3
(1) 15【答案】
4
(2) 4 + 6
1
【分析】(1)根据题意,由正弦定理和三角恒等变换的公式,化简求得 cosC = ,进而得到 sin C 的值;
4
15
(2)由若VABC 的面积为 ,求得 ab = 4,再由余弦定理,求得 c = 6 ,进而求得VABC 的周长.
2
cosC cos A cosC cos A
【详解】(1)解:因为 = ,由正弦定理得 = ,
c 4b - a sin C 4sin B - sin A
可得 4sin B cosC - sin AcosC = cos Asin C ,
即 4sin B cosC = sin AcosC + cos Asin C = sin(A + C) = sin B ,
因为 B (0, π)
1
,可得 sin B > 0,所以 4cosC =1,即 cosC = ,
4
所以 sin C 15= 1- cos2 C = .
4
(2 15)解:由(1)知 sin C = ,
4
VABC 15 1 absin C 15 1 ab 15 15因为若 的面积为 ,可得 = ,即 = ,解得 ab = 4,
2 2 2 2 4 2
又因为 a 2 6+ b = c,
3
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = (a + b)2由余弦定理得 - 2ab - 2ab
1

4 = (a + b)
2 5- ab = (2 6 c)2 -10,
2 3
整理得 c2 = 6,解得 c = 6 ,
a b 2 6所以 + = 6 = 4,
3
所以VABC 的周长为 a + b + c = 4 + 6 .
3.(2024·陕西·模拟预测)VABC 的内角 A, B,C a,b,c,
c - b sinA
的对边分别为 = .
a - b sinC + sinB
(1)求C ;
(2)若 a + b = 6,求VABC 的周长最小值.
π
【答案】(1) C =
3
(2)9
【分析】(1)首先利用正弦定理,边角互化,转化为边的关系,利用余弦定理求角C 的值;
(2)根据(1)中等式结合基本不等式求周长的最小值.
c - b sinA c - b a
【详解】(1)因为 = ,由正弦定理可得 = ,
a - b sinC + sinB a - b c + b
整理得 a2 + b2 - c2 = ab,
a2 + b2cosC - c
2 ab 1
由余弦定理知 = = = ,
2ab 2ab 2
π
且0 < C < π,所以C = .
3
(2
2
)由(1)可知: a2 + b2 - c2 = ab,整理得 c2 = a + b - 3ab = 36 - 3ab,
a + b 2
且 ab = 9,当且仅当 a = b = 3时,等号成立,
4
则 c2 = 36 - 3ab 9,即c 3,可得 a + b + c 9,
所以VABC 的周长最小值9 .
f x 4sin x π 4.(2024·全国·模拟预测)已知函数 = + ÷cosx -1.
è 6
(1)求 f x 的最小正周期与图象的对称中心;
(2)在VABC 中, f A =1, BC = 4,求VABC 周长的取值范围.
kπ π
【答案】(1)T = π ; - ,0÷ ,k Z
è 2 12
(2) 8,12
【分析】(1)易得 f x = 2sin 2x π+ ÷,再利用正弦函数的性质求解;
è 6
(2)由 f A =1, BC = 4结合正弦定理得到外接圆的半径,从而有周长
π
L△ABC = a + b + c
4 3 8 3
= 4 + 4cosC + sinC + sinC = 8sin C + ÷ + 4,再利用正弦函数的性质求解.
3 3 è 6

【详解】(1)解:由题意得 f x 4 3 1= sinx + cosx ÷÷cosx -1 = 2 3sinxcosx + 2cos
2x -1,
è 2 2
= 3sin2x + cos2x = 2sin 2x
π
+ ÷,
è 6
f x T 2π所以 的最小正周期 = = π2 ;
2x π kπ π令 + = kπ,k Z,则 x = - ,k Z,
6 2 12
故 f x kπ π 图象的对称中心为 - ,0÷ ,k Z .
è 2 12
f A = 2sin 2A π+ π 1(2)由 ÷ =1

,得 sin 2A + = ,
è 6 è 6 ÷ 2
π
又0 < A < π ,所以 < 2A
π 13π
+ < ,
6 6 6
2A π 5π所以 + = A
π B C 2π,则 = ,则 + = .
6 6 3 3
设VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,
b c 4 8 3
= = =
由正弦定理得 sinB sinC sin π 3

3
b 8 3 sinB 8 3 2π 4 3= = sin - C 8 3
3 3 3 ÷
= 4cosC + sinC , c = sinC ,
è 3 3
L a b c 4 4cosC 4 3 sinC 8 3则周长 △ABC = + + = + + + sinC ,3 3
= 4 + 4cosC + 4 3sinC 8sin
π
= C +
+ 4,
è 6 ÷
C 0, 2π π C + π 5π 因为 ÷,所以 , ÷ ,
è 3 6 è 6 6
故 sin

C
π
+
1
÷ ,1
ù
ú ,因此 L△ABC 8,12 .è 6 è 2
5.(2024·陕西汉中·二模)在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,请从下列条件中选择一个条
件作答:(注:如果选择条件①和条件②分别作答,按第一个解答计分.)
uuur uuur
①记V
π
ABC 的面积为 S,且 3 AB × AC = 2S ;②已知 a sin B = b cos(A - ).6
(1)求角 A 的大小;
(2)若VABC 为锐角三角形,且 a = 6 ,求VABC 周长的取值范围.
π
【答案】(1) A = 3 ;
(2) (3 2 + 6,3 6] .
【分析】(1)选①,利用数量积的定义及三角形面积公式求解;选②,利用正弦定理边化角,再利用差角
的余弦化简即得.
(2)利用正弦定理化b + c 为角 B 的函数,再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围.
uuur uuur 1
【详解】(1)选条件①,由 3 AB × AC = 2S ,得 3bc cos A = 2 bc sin A,整理得2 tan A = 3
,而
0 < A < π ,
A π所以 = .3
π π
选条件②,由 a sin B = b cos(A - )及正弦定理,得 sin Asin B = sin B cos(A - ),
6 6
而 sin B > 0,则 sin A = cos(A π) 3- = cos A 1+ sin A,整理得 tan A = 3 ,而0 < A < π ,
6 2 2
π
所以 A = .3
π b c a 6
2 1 A = = = = = 2 2( )由( )知 3 ,由正弦定理得 sin B sin C sin A π ,sin
3
因此b + c = 2 2 sin B + 2 2 sin C = 2 2[sin B + sin(
π
+ B)]
3
2 2(3= sin B 3+ cos B) = 2 6 sin(B π+ )
2 2 6
ì
0 < B
π
<
V π π π π 2π由 ABC
2
为锐角三角形,得 í ,解得 < B <2π π ,因此
< B + < ,
0 < - B < 6 2 3 6 3
3 2
3 sin(B π则 < + ) 1,于是3 2 < b + c 2 6 ,3 2 + 6 < a + b + c 3 6 ,
2 6
所以VABC 周长的取值范围是 (3 2 + 6,3 6] .
考点三、边长、线段及最值
1.(2024·陕西西安·模拟预测)在平面四边形 ABCD中, CBD = 30°, BAD = 60°,BC = 4,BD = 2 3 .
(1)若 AD = AB ,求VACD的面积.
(2)求 AC 的最大值.
【答案】(1) 3
(2) 2 + 2 3
【分析】(1)由题意计算出CD 、 AD 及 ADC ,借助面积公式即可得;
(2)借助△ABD 中BD定长, BAD 定角,则△ABD 外接圆圆心到A 点的距离为定值,再计算出圆心到
点C 的距离,由三角形三边关系即可得.
【详解】(1)
由 CBD = 30°,BC = 4,BD = 2 3 ,
则CD2 = BD2 + CD2 - 2BD ×CD cos CBD = 4,
即CD = 2,有CD2 + BD2 = CD2 ,故 BDC=90° ,
由 AD = AB , BAD = 60°,则△ABD 为正三角形,
即有 AD = AB = BD = 2 3 , ADC = 90° + 60° =150°,
1 1
则 SVACD = AD×CD sin ADC = 2 3 2
1
= 3;
2 2 2
(2)
由BD = 2 3 , BAD = 60°,
作出△ABD 外接圆,令圆心为O,
ABD R 1 BD则△ 外接圆半径 = × = 2,
2 sin BAD
即有OA = OB = 2, DOB = 2 BAD =120°,
DBO 180° -120°则 = = 30°,则 CBO = 30° + 30° = 60°,
2
即有CO2 = BC 2 + BO2 - 2BC × BO cos CBO =12,
即CO = 2 3 ,
则 AC AO + OC = 2 + 2 3 ,当且仅当A 、O、C 三点共线时等号成立,
即 AC 的最大值为 2 + 2 3 .
2.(2024·全国·模拟预测)在锐角VABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
a cos B = b 1+ cos A .
(1)证明: A = 2B;
c
(2)求 的取值范围.
a
【答案】(1)证明见解析
2
(2) ,
2 3
2 3 ÷÷è
【分析】(1)由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式,即可得出答案;
π π
(2)由VABC 2 3是锐角三角形,可求出 < B < ,进而求出 < cos B < ,由正弦定理结合两角和的正弦
6 4 2 2
c 2cos B 1 1 1定理可得 = - ,令 cos B = t , y = 2t - ,由 y = 2t - 的单调性即可求出答案.
a 2cos B 2t 2t
【详解】(1)由 a cos B = b 1+ cos A ,结合正弦定理得 sin Acos B = sin B 1+ cos A ,
即 sin Acos B - cos Asin B = sin B ,
所以 sin A - B = sin B,
所以 A - B = B或 A - B + B = π (舍去),所以 A = 2B .
π π
(2)在锐角VABC 中,0 < B
π
< ,0 < A = 2B < ,0 < C = π - 3B < ,
2 2 2
π
即 < B
π
< 2 3,所以 < cos B < .
6 4 2 2
c sin C sin 3B sin 2B cos B + cos 2B sin B
= = = = 2cos B 1- .
a sin A sin 2B sin 2B 2cos B
2 3
令 cos B = t , y = 2t
1
- , t
2t
,2 2 ÷÷

è
1 2 , 3

因为 y = 2t - 在 ÷÷上单调递增,2t è 2 2
所以 y > 2 2 2 3 2 3- = , y < 3 - = ,
2 2 3 3
c 2 2 3
所以
a
, ÷÷ .
è 2 3
3.(2024·江苏扬州·模拟预测)记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a + b + c a + b - c = 3,且
VABC 3 3的面积为 .
4
(1)求角C ;
uuur uuur
(2)若 AD = 2DB ,求 CD 的最小值.

【答案】(1)
3
(2) 6
3
sinC C
【分析】(1)借助余弦定理与面积公式可得 = 3 ,结合二倍角公式可得 tan = 3,即可得解;
1+ cosC 2
uuur 1 uuur 2 uuur
(2)结合题意借助向量,可得CD = CA + CB,结合模长与数量积的关系计算即可得
3 3
uuur2
CD 1= b2 4 2+ a2 - ,利用基本不等式即可得其最值.
9 9 3
【详解】(1)Q a + b + c a + b - c = 3,\3 = (a + b)2 - c2 = a2 + b2 - c2 + 2ab
3
结合余弦定理得3 = 2abcosC + 2ab = 2ab 1+ cosC ,\ab = 2 1+ cosC ,
sinC
QS 1VABC = absinC
3 3
= ,\ = 3 ,
2 4 1+ cosC
2sin C cos C
2 2 = tan C = 3 Q C 0, π C π 2π即 C ,又 ÷ ,\ = ,故C = ;cos2 2 2 è 2 2 3 3
2
2π 3
(2)由(1)知:C = ,ab = = 33 2 1+ cosC ,
uuur uuur uuur 1 uuurCD CA 2
uuur
Q AD = 2DB,\ = + CB,3 3
uuur2 uuur uuur 2
\CD 1 CA 2 1= + CB

÷ = b
2 4 a2 4+ + abcosC 1= b2 4 a2 2+ - ,
è 3 3 9 9 9 9 9 3
1 4 2 1 4 2 2 2 2
又 b2 + a2 - 2 b2 × a2 - = 2 - = ,
9 9 3 9 9 3 3 3 3
2 6
当且仅当b = 2a = 6 时,CD 长取最小值,此时CD = = ,
3 3
\CD 6长的最小值为 .
3
4.(2024·江西鹰潭·二模)VABC 的内角 A, B,C a b c
1- sin A sin B
的对边分别为 , , ,满足 = .
cos A cos B
A 2B π(1)求证: + = ;
2
2 2
(2) a + b求 2 的最小值.c
【答案】(1)证明见解析,
(2) 4 2 - 5
【分析】(1)根据题意,化简得到 sin A + B = cos B = sin π - B ÷ ,即可得证;
è 2
π π a2 + b2
(2)由(1)知 A = - 2B 且C = + B,利用正弦定理得到 2 = 4cos
2 B 2+ 2 - 5,结合基本不等式,2 2 c cos B
即可求解.
1- sin A sin B π
【详解】(1)证明:由 = ,可得 A 且 sin Acos B + cos Asin B = cos B ,
cos A cos B 2
所以 sin A + B = cos B = sin π - B2 ÷ ,è
π π
因为 A, B为三角形的内角,可得 A + B = - B ,即 A + 2B = ,得证.
2 2
π
(2)解:由(1)知 A = - 2B ,且C = π - A B
π
- = + B,
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2cos2 B -1 +1- cos2 B
所以 a + b sin A + sin B cos 2B + sin B
2 = 2 = =c sin C cos2 B cos2 B
a2 + b2
所以 2 = 4cos
2 B 2+ 2 - 5 4 2 - 5
2
,当且仅当 cos2 B = 时,等号成立,
c cos B 2
a2 + b2
所以 2 的最小值为 4 2 - 5c
5.(2024·全国·一模)已知VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 AD 是 BC 边上的
高. (sin A - sin B)(a + b) = (c - 2b)sin C .
(1)求角 A;
(2)若 sin(B - C) 2= , a = 5,求 AD.
10
A π【答案】(1) = 4
(2) AD = 6
【分析】(1)已知条件利用正弦定理角化边,化简后由余弦定理求出 cos A,得角 A;
3
(2)由 sin(B - C) 2= , sin(B + C) 2= ,得 sin B cosC 3 2= , cos B sin C 2 2= ,有 tan B = tan C ,得
10 2 10 10 2
CD 3= BD ,有BD = 2,CD = 3,再由即 tan B + tan C 1
AD AD AD AD
+ - tan B tan C = + +1- × = 0 ,解出 AD
2 BD CD BD CD
的值.
【详解】(1)VABC 中, (sin A - sin B)(a + b) = (c - 2b)sin C ,
由正弦定理,有 (a - b)(a + b) = (c - 2b)c ,即 a2 - b2 = c2 - 2bc,
得b2 + c2 - a2 = 2bc ,
2 2
cos A b + c - a
2 2bc 2
由余弦定理, = = = ,
2bc 2bc 2
π
由0 < A < π ,得 A = .4
(2) sin(B - C) = sin B cosC - cos B sin C 2= ,
10
sin A = sin π - (B + C) = sin(B + C) = sin B cosC + cos B sin C 2= ,
2
解得 sin B cosC 3 2= , cos B sin C 2 2= ,则B,C 都为锐角,
10 10
sin B cosC 3 tan B 3有 = ,得 = tan C ,
cos B sin C 2 2
V AD tan C AD锐角 ABC 中, AD ^ BC ,则有 tan B = BD , = ,CD
由 tan B
3
= tan C ,则CD
3
= BD ,
2 2
又BC = a = BD + CD = 5,得BD = 2,CD = 3,
tanA = -tan(B + C) =1 tan B + tan C由 ,得 = -1,即 tan B + tan C +1- tan B tan C = 0,
1- tan B tan C
AD AD AD AD 2
+ +1- × = 0 AD AD AD, + +1- = 0,解得 AD = 6 .
BD CD BD CD 2 3 6
6.(2024·陕西西安·模拟预测)在VABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
sin A = sin C cos B 3- sin B sin C ,
3
(1)求角C 的大小;
(2)若C 的角平分线交 AB 于点D,且CD = 2,求a + 2b的最小值,

【答案】(1) C =
3
(2) 6 + 4 2
【分析】(1)利用正弦函数的和差公式化简题设条件,从而得到 tan C ,由此得解;
1 1 1
(2)利用三角面积公式推得 + = ,从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
a b 2
3
【详解】(1)因为 sin A = sin C cos B - sin B sin C ,
3
所以 sin C cos B 3- sin B sin C = sin C + B = sin C cos B + cosC sin B ,
3
3
所以- sin B sin C = cosC sin B,
3
由于0 < B < π ,则 sin B > 0 3,所以- sin C = cosC ,即 tan C = - 3 ,
3
又C (0,π)

,所以C = .
3
(2)因为C 的角平分线交 AB 于点D,且CD = 2, S△ABC = S△ACD + S△BCD ,
1
根据三角形面积公式可得 ab ×sin
2π 1
= b π 1×CD ×sin + a ×CD ×sin π ,
2 3 2 3 2 3
1 sin 2π sin π sin π 1 1 1
等式两边同除以 ab ×CD 可得 3 = 3 + 3 ,则 + = ,2 CD a b a b 2

则 a + 2b = 2(a + 2b)
1 1 2b a 2b a
+
= 2 ÷ 3+ +

÷ 2 3+ 2 × ÷÷ = 6 + 4 2 ,è a b è a b è a b
2b a
当且仅当 = ,即b = 2 + 2, a = 2 + 2 2 时,等式成立,
a b
故a + 2b的最小值为6 + 4 2 .
考点四、三角函数值及最值
1.(2024·上海·三模)已知在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,b =1,且满足
2acosB = cosC + ccosB.
(1) a 4 13若 = ,求VABC 的面积S ;
13
(2)求a + 2c的最大值,并求其取得最大值时 cosC 的值.
【答案】(1) 3 3 3或 ;
13 13
(2) 2 21 21最大值 , .
3 14
【分析】(1)首先由余弦定理求出 c,再结合三角形面积公式即可求解;
(2)由正弦定理边化角,结合三角恒等变换即可求解.
【详解】(1)Qb =1, 2a cos B = cosC + c cos B,\2a cos B = b cosC + c cos B,
Q a b c又 = = = 2R ,\2sin Acos B = sin B cosC + sin C cos Bsin A sin B sin C ,
\2sin Acos B = sin(B + C).
又Q在VABC 中, B + C = π - A, A (0, π),\2sin Acos B = sin A,
1
因为 sin A > 0,所以 cos B = ,
2
又Q在VABC 中, B (0, π) π,\ B = 3 ,
再由三角形的余弦定理得:b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ,\1 = a2 + c2 - ac ,
c2 4 13 c 3 0 c 13 c 3 13即 - + = ,解得 = 或 = ,
13 13 13 13
c 13 S 1 ac sin B 1 4 13 13 3 3当 = 时,\ = = = ,
13 2 2 13 13 2 13
c 3 13 S 1 ac sin B 1 4 13 13 3 3 3 3当 = 时,\ = = = ,
13 2 2 13 13 2 13
Q a c b 1 2 3= = = =
2 a 2 3 sin A 2 3( ) sin A sin C sin B 3 3 ,\ = , c = sinC .3 3
2
a 2c 2 3 sin A 4 3 2 3\ + = + sin C = sin C π 4 3 +

÷ + sin C3 3 3 è 3 3
5 3
= sin C + cosC 2 21 5 7= sin C 21+ cosC 2 21= sin(C j) 2 21+ .
3 3 è 14 14 ÷
÷
3 3
π
其中, sinj 21= , cosj 5 7= ,j 0, ÷,
14 14 è 2
Q π 2π 在VABC 中, B = ,\C 3
0,
3 ÷

è
\当C +j
π
= 时,a + 2c 2 21取到最大值 ,
2 3
此时, cosC = cos
π
-j ÷ = sinj
21
= .
è 2 14
2.(2024·全国·模拟预测)设VABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,若
2sin2C = cosC ×cos A - B +1.
2
(1) a + b
2
求 2 的值;c
(2)若VABC 为锐角三角形,求 cosC 的取值范围.
【答案】(1)2
é1 3
(2) ê , ÷÷
2 3
【分析】(1)根据题意,由三角恒等变换公式化简,再由正弦定理以及余弦定理公式,代入计算,即可得
到结果;
cosC 1 a b= + 1
3
(2)根据题意,由余弦定理可得 ÷,构造函数 y = x + < x < 3 ,求导即可得到其值4 è b a x
3 ÷÷è
域.
【详解】(1)因为 2sin2C = cosC ×cos A - B +1,
所以 sin2C = cos2C + cosC ×cos A - B = cosC écosC + cos A - B ù
= cosC é cos A - B - cos A + B ù = cosC ×2sinAsinB,
即 sin2 C = 2cosC sin Asin B ,
由正弦定理及余弦定理的推论得 c2 = 2abcosC = a2 + b2 - c2,
a2 + b2
所以 2 = 2 .c
2 2 2 2
(2)由(1 a + b a + b)知 2 = 2 ,即 c
2 = ,
c 2
2 2
a2 b2 a + b2 2 2 + -
所以 cosC a + b - c 1 a b= = 2 = + .
2ab 2ab 4 b a ֏
因为VABC 是锐角三角形,
ì
a2 + c2 > b2 ,
2 2
所以 í b + c > a2 , 3 b解得 < < 3 .
2 3 a
c2 a + b
2
= ,
2
1 3 2
令函数 y = x + 1 x -1 < x < 3 ÷÷ ,则 ,x è 3
y =1-
x2
=
x2
令 y < 0 3,得 < x <1,令 y > 0,得1 < x < 3 ,
3
y 3 则函数 在 ,1÷÷上单调递减,在 1, 3 上单调递增,
è 3
当 x =1时, y 有极小值,即最小值为 ymin = 2 ,
x 3 y 4 3 4 3当 = 时, = ,当 x =1时, y = ,
3 3
é 4 3
所以 y ê2, ÷÷,
3
é1 3
故 cosC 的取值范围为 ê , ÷÷ .
2 3
3.(2024·广东广州·模拟预测)记VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
π
bsin B + c sin C - a sin A = 2bsin B sin C 且C .
2
π
(1)求证:B = A + ;
2
(2)求 cos A + sin B + sin C 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2,3
π
【分析】(1)根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为 cos A = sin B,结合诱导公式及C
2
可证B = A
π
+ .
2
B A π(2)根据 = + 及 cos A = sin B,结合诱导公式和二倍角余弦公式将
2
2
cos A + sin B + sin C = 2sin B + sin C = 2sin A π π+ + sin - 2A ÷ ÷ 化为2 2 2 cos A
1 3
+ ÷ - ,先求出角 A 的范围,è è è 2 2
然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.
【详解】(1)因为bsin B + c sin C - a sin A = 2bsin B sin C ,
由正弦定理得,b2 + c2 - a2 = 2bc sin B ,由余弦定理得b2 + c2 - a2 = 2bc cos A = 2bc sin B,
p π
所以 cos A = sin B,又 cos A = sin( - A),所以 sin( - A) = sin B .
2 2
π π
又0 < A < π ,0 < B < π ,所以 - A = B 或 - A + B = π,
2 2
所以 A + B
π π
= 或B = A + ,
2 2
C π又 ,所以 A B π C
π B A π+ = - ,所以 = + ,得证.
2 2 2
π π
(2)由(1)知B = A + ,所以C = π - A - B = - 2A,
2 2
cos A sin B sin C 2sin B sin C 2sin A π π又 cos A = sin B,所以 + + = + = +

2 ÷
+ sin - 2A÷
è è 2
2
= 2cos A + cos 2A = 2cos2 A + 2cos A -1 = 2 cos A 1+ 3 ÷ - ,
è 2 2
ì
0 < A < π

0 < B = A π+ < π 0 A π因为 í ,所以 < < 2,所以2 < cos A <1, 4 2
0 π < C = - 2A < π 2
2 2
因为函数 y 1 3= 2 cos A + ÷ - 在 cos A ,1÷÷单调递增,è 2 2 è 2
2
2 1 3 1 2 3 1 2 3
所以 2 + ÷÷ - = 2 < 2
cos A +
2 2 2 2 ÷
- < 2
2
1+ ÷ - = 3,
è è è 2 2
所以 cos A + sin B + sin C 的取值范围为 2,3 .
4.(23-24 高三上·重庆·阶段练习)在VABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足b = a - 2bcosC
(1)求证:C = 2B;
(2)若VABC 为锐角三角形,求2sinC + cosB - sinB的最大值.
【答案】(1)证明见解析
17
(2)
8
【分析】(1)利用正弦定理将边化角,借助三角恒等变换公式化简即可.
π π
(2)利用VABC 为锐角三角形,求出 < B < ,表示出2sinC + cosB - sinB,并进行换元转化为二次函数,
6 4
进而求得最大值.
【详解】(1)由题b = a - 2bcosc ,
由正弦定理: sin B = sin A - 2sin B cosC = sin(B + C) - 2sin B cosC ,
所以 sin B = sin B cosC + cos B sinC - 2sin B cosC ,
整理 sin B = sinC cos B - cosC sin B,
所以 sin B = sin C - B ,
\B = C - B或B + C - B = π(舍),
\C = 2B .
(2)QVABC 为锐角三角形,
ì
0 < π 3B
π
- <
2
π\í0 < B < ,
π π π π
解得: < B < ,所以0 < - B < ,
2 6 4 4 12
0 2B π < < 2
且 sin π = sin π π -

÷ = sin
π cos π - cos π sin π 6 - 2= ,
12 è 3 4 3 4 3 4 4
由(1)问,C = 2B,\ 2sinC + cosB - sinB = 2sin 2B + cos B - sin B,

令 t = cos B
π 3 -1
- sin B = 2 sin - B ÷ 4
0,
2 ÷è ÷

è
则 sin 2B =1- cos B - sin B 2 ,
2
2sinC + cosB - sinB = 2 1- t 2 + t = -2t 2 + t + 2 = -2 t 1- 17所以 ÷ + ,
è 4 8
3 -1
因为 t 0, 2 ÷÷
,
è
\ t 1 17当 = 时,所求2sinC + cosB - sinB的最大值为 .
4 8
5.(23-24 高三上·重庆·阶段练习)在VABC 中,内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c,已知
2acsinA + a2 + c2 - b2 = 0.
π
(1)若 A = , a = 2,求VABC 的面积;
6
4sin2(2) C + 3sin
2 A + 2
求 的最小值,并求出此时 B 的大小.
sin2B
【答案】(1) 3
(2) 4sin
2C + 3sin2 A + 2 2π
2 的最小值是 5,此时B =sin B 3
【分析】(1)结合余弦定理与面积公式即可得;
(2)结合三角恒等变换与三角形内角和,将原式中多变量换成单变量,再结合基本不等式即可得.
a2 + c2 - b2
【详解】(1)由题意得 sinA + = 0,
2ac
2 2 2
因为 cosB a + c - b= ,
2ac
所以 sinA + cosB = 0,故 cosB = -sinA,
A π 1又 = ,所以 cosB = - .
6 2
因为 B 、C 是VABC 的内角,所以 B 为钝角,
B 2π所以 = ,所以C
π
= ,
3 6
所以VABC 是等腰三角形,则 a = c = 2 ,
S 1 acsinB 1 2 2 3所以 △ABC = = = 3 .2 2 2
(2)由(1)可知,在VABC 中, cosB = -sinA < 0 ,
π
即 B 为钝角,则B = A + ,
2

因为 A + B + C = π,C = π - A - B = - 2B ,
2
4sin2C + 3sin2 A + 2 4cos2 2B + 3cos2B + 2
所以 2 = 2 ,sin B sin B
f B 4cos
2 2B + 3cos2B + 2
设 = ,
sin2B
4 1- 2sin2B则
2
+ 3 1- sin2B + 2
f B = =
sin2B
16sin4B -19sin2B + 9
2 =16sin
2B 9+ 2 -19,sin B sin B
由 sin2B 0,1 ,
故 f B =16sin2B 9+ -19 2 16sin2B 9× -19 = 5,
sin2B sin2B
当且仅当16sin2B
9
= ,即
sin2B sinB
3
= ,
2

结合 B 为钝角,即当B = 时等号成立,
3
4sin2C + 3sin2 A + 2 2π
所以 2 的最小值是 5,此时B = .sin B 3
考点五、内切圆、外接圆半径问题
1.(22-23 高一下·浙江·阶段练习)在 VABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,在以下条件中选择一个条件:
π
① a + c = 2bsin C +

÷ ;② b + c sinB - sinC = a - c sinA;③ 2a - c cosB = bcosC .求解以下问题.(选
è 6
择多个条件的,以所选的第一个计分)
(1)求角 B ;
uuur uuur
(2)若 a + c = 4 3 ,且BA × BC = 6 ,求VABC 的内切圆半径.
π
【答案】(1) B = 3
(2)1
π 1
【分析】(1)选①.由已知得bcosC + 3bsinC - a - c = 0 ,由正弦定理得化边为角,进而得 sin B - ÷ = ,
è 6 2
结合 B 的范围可得 B .
1
选②.由正弦定理化角为边得 b + c b - c = a - c a ,则 cosB = ,可得 B .
2
1
选③.由已知得 2acosB = ccosB + bcosC = a ,即 2acosB = a ,则 cosB = ,可得 B .
2
uuur uuur
(2)因为BA × BC = 6 ,所以 ac =12,由余弦定理求得b = 2 3 ,求得VABC 的面积,利用面积法求得内切
圆半径.
【详解】(1)选①.
a + c = 2bsin π 因为 C + ÷ ,所以6 bcosC + 3bsinC - a - c = 0

è
所以 sinBcosC + 3sinBsinC - sinA - sinC = 0,因为 A + B + C = p ,
所以 sinBcosC + 3sinBsinC - sin B + C - sinC = 0,
所以 3sinBsinC - cosBsinC - sinC = 0,
C 0, π sinC 0 sin 因为 ,所以 ,所以 B
π 1
-
6 ÷
= ,
è 2
因为B 0, π B π π π,所以 - = ,所以 B = 3 .6 6
选②.
b + c sinB - sinC = a - c sinA,则 b + c b - c = a - c a ,
所以b2
1
- c2 = a2 - ac,即 a2 + c2 - b2 = ac,所以 cosB = ,2
因为B 0, π π,所以 B = 3 .
选③.
因为 2acosB = ccosB + bcosC = a ,所以 2acosB = a ,
又 a 0,所以 cosB
1
= ,
2
因为B 0, π π,所以 B = 3 .
uuur uuur π
(2)因为BA × BC = 6 ,由(1)可知 B = ,所以 ac =123 ,又 a + c = 4 3 ,
b2则 = a2 + c2 - 2accosB = (a + c)2 - 2ac - 2accosB = (4 3)2
1
- 2 12 - 2 12 =12,
2
1
所以b = 2 3 ,又VABC 的面积 S = ac ×sinB = 3 3 ,
2
1
设VABC 的内切圆半径为 r ,则 S = a + b + c r = 3 3,
2
1
所以 4 3 + 2 3 r = 3 3 ,解得 r =1.
2
2.(2024·全国·模拟预测)已知VABC 中,角A , B ,C 的对边分别是 a,b , c,
3b - c sin A = 3a cosC .
(1)求角A 的大小;
R
(2)若 a = 7,VABC 外接圆的半径为 R ,内切圆半径为 r ,求 的最小值.
r
π
【答案】(1)
3
(2)2
【分析】(1)利用正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式得 sin C( 3 cos A - sin A) = 0,由0 < C < p ,得
到 tan A = 3 ,得到A ;
(2)利用余弦定理及基本不等式求得 (b + c)max =14,利用等面积法求得 r 的最大值,利用正弦定理求得 R ,
R
求出
r
【详解】(1)由 3b - c sin A = 3a cosC 及正弦定理,
得 3 sin B - sin C sin A = 3 sin AcosC ,
故 3 sin(A + C) - sin C sin A = 3 sin AcosC ,
即 3 sin AcosC + 3 cos Asin C - sin C sin A = 3 sin AcosC ,
即 sin C( 3 cos A - sin A) = 0.
由0 < C < π,则 sin C 0,故 3 cos A - sin A = 0,即 tan A = 3 .
p
因为0 < A < π ,所以 A = 3 .
(2)由(1)和余弦定理可得, 49 = b2 + c2 - bc = (b + c)2 - 3bc,
bc (b + c)
2 49 2- 2
故 = , 49 = (b + c)2 - 3bc (b + c)2 3 b + c (b + c)-
3
= ,
è 2 ÷ 4
即b + c 14,当且仅当b = c = 7时等号成立.
故 (b + c)max =14.
1 1
由利用等面积法求得 r 的最大值,易知 (a + b + c)r = bc sin A,
2 2
(b + c)2 - 49
故 r bc sin A 3 bc 3 3
7 3
= = × = × 3 = (b + c 7) 7 3- ,故 rmax = ,
a + b + c 2 b + c + 7 2 b + c + 7 6 6 6
R a 7 3
R
利用正弦定理 = = ,所以 的最小值为 2.
2sin A 3 r
uuur uuur
3.(2022·湖北·三模)在VABC中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b , c,已知 3 AB × AC = 2S△ABC ,b + c = 8.
(1)求角A 的大小;
(2)求VABC外接圆半径的最小值.
p
【答案】(1) A = 3
(2) 4 3
3
uuur uuur
【分析】(1)由平面向量数量积的定义结合三角形的面积公式化简 3 AB × AC = 2S△ABC 即可得出答案.
a
(2)由余弦定理结合均值不等式可得 a 4,所以DABC外接圆半径的最小值 rmin = ,代入即可得出2sin A
答案.
uuur uuur 1
【详解】(1)因为 3 AB × AC = 2S△ABC ,所以 3bc cos A = 2 bc sin A,2
p
整理得 sin A = 3 cos A,所以 tan A = 3 ,又 A 0,p ,所以 A = 3 .
2 2 2 2
p
( )因为a = b + c - 2bc cos ,b + c = 8,
3
2
所以 a2 = b + c 2 - 2bc - bc = 64 - 3bc,故 a2 64 b + c- 3 ÷ =16,即 a 4,
è 2
当且仅当b = c = 4时,等号成立,所以 a的最小值为 4.
所以 r a 4 3min = = .2sin A 3
4.(2024·吉林·二模)已知 VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,VABC 的外接圆半径为 3,且
sin2 B + sin2 C - sin B sinC = sin2 A .
(1)求 a ;
(2)求VABC 的内切圆半径 r 的取值范围
【答案】(1) 3

0, 3
ù
(2) ú
è 2
【分析】(1)由正弦定理化为边,再由余弦定理求解即可;
(2)根据等面积法可得出 r 的表达式,利用正弦定理转化为函数,再由三角函数求值域即可得出范围.
【详解】(1)由正弦定理可得,b2 + c2 - bc = a2 ,即b2 + c2 - a2 = bc ,
2 2 2
所以 cos A
b + c - a 1
= = ,
2bc 2
由0 < A
π
< π 可知, A = 3 ,
a
所以 = 2R = 2 3 ,故
sin A a = 2 3 sin
π 2 3 3= = 3 .
3 2
(2)因为VABC 的内切圆半径 r ,
所以 S
1
△ABC = (a + b + c) × r
1
= bc sin A,
2 2
r bc sin A 3 bc即 = = × ,
a + b + c 2 3+ b + c
又因为b2 + c2 - bc = a2 = 9,所以 (b + c)2 - 9 = 3bc ,
r 1 (b + c)
2 - 9 b + c - 3
所以 = × = ,
2 3 3+ b + c 2 3

由正弦定理b + c = 2R(sin B + sin C)
é
= 2 3 êsin B + sin
2π ù
- B

÷ú = 2 3 sin B
3
+ cos B 1+ sin B ÷
è 3 è 2 2 ÷

= 2 3 3 sin B
3
+ cos B π
2 2 ÷÷
= 6sin B + ÷,
è è 6
2π π π 5π
又B 0, 3 ÷
,则B + ,
6 ÷

è è 6 6
sin B π 1+ ,1ù π所以 ÷ ú ,故b + c - 3 = 6sin

B + - 3 0,3 ,
è 6 è 2 è 6 ÷
r b + c - 3
3 ù
所以 =
2 3
0, 2 ú
.
è
5.(2023·广西南宁·一模)在VABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a = 2,且
sin A + sin B b - c
= .
sin C b - a
(1)求VABC 的外接圆半径 R;
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围.
2 3
【答案】(1) R =
3

(2) r 0,
3
÷÷
è 3
【分析】(1)由正弦边角关系可得b2 + c2 - a2 = bc ,应用余弦定理即可求 cos A,进而确定其大小;
b 4
2
2 = sin B c
4
= sin C b + c - 4( )由正弦定理有 , ,根据余弦定理有
3 3 bc =
,结合(1)及
3
S 1 bc sin A 1VABC = = a + b + c r
2 3 π 3
,应用三角恒等变换有 r = sin
2 2 3
B +
6 ÷
- ,由三角形内角性质、正弦
è 3
函数性质求范围即可.
sin A + sin B b - c a + b b - c
【详解】(1)因为 = ,由正弦边角关系得 = ,即b2 + c2 - a2 = bc ,
sin C b - a c b - a
b2 + c2 - a2 bc 1 π
由余弦定理,得 cos A = = = ,又 A 0, π ,所以 A = ,
2bc 2bc 2 3
2R a 2 4 3= = =
R 2 3由 sin A 3 3 ,则 = .3
2
b c a 2 4
= = = = 4 4
(2)由正弦定理得 sin B sin C sin A π 3 ,所以b = sin B c = sin Csin , ,
3 3 3
2
2 2
由余弦定理,得 4 = b + c - 2bc cos
π
= b + c 2 - 3bc b + c - 4,所以
3 bc =

3
利用等面积法可得 S
1 1
VABC = bc sin A = a + b + c r ,2 2
2
则 r bc sin A 3 b + c - 4 3= = = b + c - 2
a + b + c 6 2 + b + c 6
3 4 4 3 é 4 4 2 ù
= sin B + sin C - 2

÷ = ê sin B + sin
π - B
6 3 3 6 3 3 3 ÷
- 2
è è
ú

2 3 sin B π 3= + ÷ - ,3 è 6 3
π B π π 2π π π πB A =
π 5π
∵ a b ,∴ ,故
3
0, ÷ , ÷ ,则B + , , ,
è 3 è 3 3 6 è 6 2 ÷ è 2 6 ÷
sin B π 1+ ,1
3
所以 6 ÷ ÷
,故 r 0, ÷ .
è è 2 ÷è 3
6.(2023·山东·一模)如图,平面四边形 ABCD中, AD = 5,CD = 3, ADC =120°.VABC 的内角 A, B,C
a,b,c a + b sinA - sinC的对边分别为 ,且满足 = .
c sinA - sinB
(1)判断四边形 ABCD是否有外接圆?若有,求其半径 R ;若无,说明理由;
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围.
【答案】(1)有,R 7 3=
3
ù
(2) r 0,
7 3
è 6
ú

【分析】(1)先由余弦定理求 AC ,再由正弦定理结合条件得b2 = a2 + c2 - ac,所以 cosB
1
= B π, = 3 ,所以2
A, B,C, D 四点共圆,则四边形 ABCD的外接圆半径就等于VABC 外接圆的半径.由正弦定理即可求出 R ;
1
(2)由三角形面积公式得到 S
1 1
VABC = acsinB = a + b + c × r ,则 r = a + c - 7 ,由正弦定理得2 2 2 3
π 2π π
a 14 3= sinA c 14 3, = sinC ,化简得 a + c =14sin A + ÷,因为 A 6
0, ÷ ,所以14sin A + ÷ 7,14 ,
3 3 è è 3 è 6
即可得到 a + c的取值范围,从而得到半径 r 的取值范围.
【详解】(1)在VACD中, AC 2 = AD2 + DC 2 - 2AD × DC ×cos120° = 49,
所以 AC = 7 ,
a + b sinA - sinC a - c
由正弦定理, = = ,可得b2 = a2 + c2 - ac,
c sinA - sinB a - b
1
再由余弦定理, cosB = ,又B 0, π π,所以 B =
2 3

因为 ADC =120°,所以 ABC + ADC = 180°,所以 A, B,C, D 四点共圆,
则四边形 ABCD的外接圆半径就等于VABC 外接圆的半径.
2R b 7 14 3= = = 7 3
又 sinB 3 3 ,所以R = .3
2
2
(2)由(1)可知: a2 + c2 - ac = 49 ,则 a + c = 49 + 3ac,
S 1VABC = acsinB
1
= a + b + c × r ,
2 2
a + c 23 ac 1 - 49r 1则 = × = = a + c - 7 .
2 7 + a + c 2 3 7 + a + c 2 3
VABC a c b 14 3在 中,由正弦定理, = = = ,
sinA sinC sinB 3
14 3 14 3
所以 a = sinA, c = sinC ,
3 3
a c 14 3则 + = sinA + sinC 14 3= é sinA + sin 120° - A ù3 3
14 3
= sinA
3
+ cosA 1 14 3 3 3+ sinA÷÷ = sinA + cosA3 2 2 3 2 2 ÷÷è è

=14 sinA
3 cosA 1 π× + × ÷÷ =14sin
A +
2 2 6 ÷

è è
A 0, 2π A π+ π又 ÷ ,所以 ,

3 6 6 6 ÷

è è
π 1
所以 sin A + ÷ ,1
ù π
è 6 è 2 ú
,14sin A + ÷ 7,14 ,即 a + c 7,14 ,
è 6
1 ù
因为 r = a + c - 7 ,所以 r 0,
7 3
2 3 6 ú

è
考点六、中线、角平分线、高线问题
1.(2024·四川成都·三模)在VABC 中,BC = 5, AC = 6,cosB
1
= .
8
(1)求 AB 的长;
(2)求 AC 边上的高.
【答案】(1)4
(2) 5 7
4
【分析】(1)根据题意,由余弦定理代入运算得解;
(2)求出 sin B ,由等面积法求解.
1
【详解】(1)由题, a = 5,b = 6, cos B = ,由余弦定理得,
8
1 25 + c2 - 36
\ = ,解得 c = 4,即 AB = 4 .
8 2 5c
1 3 7
(2)在VABC 中, cos B = ,
8 \sin B =
,设 AC 边上的高为 h ,
8
1
则 bh
1
= ac sin B,即
2 2 6h
3 7 5 7
= 5 4 ,解得 h = .
8 4
5 7
所以 AC 边上的高为 .
4
2.(23-24 高三上·河北保定·阶段练习)记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为S ,且
S abc= .
4
(1)求VABC 的外接圆的半径;

(2)若b + c = 2 ,且 A = 3 ,求BC 边上的高.
【答案】(1)1;
(2) 12 .
【分析】(1)根据给定条件,利用正弦定理、三角形面积公式求解即得.
(2)结合(1)的信息,求出边 a,再利用余弦定理结合已知面积关系求解即得.
【详解】(1)在V
1
ABC 中, bc sin A
abc
= S = ,解得 a = 2sin A,
2 4
由正弦定理得VABC R
1 a
的外接圆的半径 = × =1 .
2 sin A

(2)由(1)知, a = 2sin = 3,
3
2 2 2 2π
由余弦定理得 a = b + c - 2bc cos = (b + c)2 - bc ,则bc = 22 - ( 3)2 =1,
3
1 abc
令BC 边上的高为 h ,则 ah = S = ,即 h
1 1
= bc = ,
2 4 2 2
1
所以BC 边上的高为 2 .
ccosA c
3.(23-24 高三上·黑龙江·期中)在VABC 中,角A , B ,C 所对的边分别为 a,b , c, - = 0 .
acosC 2b - c
(1)求角A ;
(2)若 a = 2,求BC 边上高的最大值.
π
【答案】(1) A = 3
(2) 3 .
【分析】(1)用正弦定理边化角即可求解;
(2)用余弦定理结合基本不等式即可求解.
ccosA c 0 sinCcosA sinC【详解】(1)由正弦定理及 - = ,得 - = 0 .
acosC 2b - c sinAcosC 2sinB - sinC
因为 sinC 0,所以 2sinBcosA - sinCcosA - sinAcosC = 0,
所以 2sinBcosA - sin A + C = 0,所以2sinBcosA - sinB = 0 .
1 π
因为 sinB 0,所以 cosA = .因为0 < A < π ,所以 A = .
2 3
(2)由(1)及余弦定理得:b2 + c2 = 4 + bc 2bc,所以bc 4,
1
所以 SVABC = bcsinA 3 ,当且仅当b = c = 2时等号成立,2
1
设BC 边上的高为 h ,又因为 S△ABC = a ×h = h,所以2 h 3
.
即BC 边上高的最大值为 3 .
4.(2023·广东广州·模拟预测)在锐角VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
2c2 = a2 + c2 - b2 tanA + tanB .
(1)求角A 的大小;
(2)若边 a = 2 ,边BC 的中点为D,求中线 AD 长的取值范围.
π
【答案】(1) A = 4
10 , 2 + 2
ù
(2) ú .
è 2 2
【分析】(1)由余弦定理结合正弦定理,可得出角的正切即可求出角;
uuur uuur uuur
2 1
(2)由 | AD | = (AB + AC)2 ,结合正弦定理应用辅助角公式,根据锐角三角形中角的范围,即可应用三角
4
函数值域求出范围
2
【详解】(1)由余弦定理得 2c = 2accosB tanA + tanB ,
即 c = acosB tanA + tanB ,
由正弦定理得 sinC = sinAcosB tanA + tanB sinA sinB= sinAcosB + cosA cosB ÷è
sin A + B
sinAcosB sinAsinC= = ,
cosAcosB cosA
QsinC 0,\sinA = cosA,即 tanA =1,
Q A 0,
π
÷ ,
π
\ A = .
è 2 4
(2)由余弦定理得: 2 = b2 + c2 - 2bc ,则b2 + c2 = 2 + 2bc .
uuur 1 uuur uuur| AD |2 = (AB + AC)2 1= c2 + b2 + 2bc
4 4
1
= 1+ 2bc
2
b c a
由正弦定理得 = = = 2
sinB sinC sinA
所以b = 2sinB,c = 2sinC ,
bc = 4sinBsinC = 4sinBsin 3π - B ÷ = 2 2 sinBcosB + sin2B = 2 -cos2B + sin2B + 2
è 4


π
= 2sin 2B -

4 ÷
+ 2
è
ì 0 π< B <
VABC
2 π π
因为 是锐角三角形,所以 í ,即 < B <3π π , 0 < - B < 4 2
4 2
π 2B π 3π则 < - < , 2 < sin π 2B - ÷ 1,\bc 4 4 4 2 4 2 2,2 + 2 ù .è
10 2 + 2 ù
中线 AD 长的取值范围是 , ú .
è 2 2
5.(2023·浙江·模拟预测)在VABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且bcosC + csin B
a + 2b
= a, = 6 2 ,
sin A + 2sin B
(1)求b ;
(2)求 AC 边上中线长的取值范围.
【答案】(1)6
(2) 3,3+ 3 2 ù
【分析】(1)根据题意利用正弦定理进行边角转化,分析运算即可;
uuur uuur uuur
(2)利用余弦定理和基本不等式可得 ac 0,18 2 +18ù ,再根据BD 1 BA 1= + BC ,结合向量的相关运算2 2
求解.
【详解】(1)因为bcosC + csin B = a ,
由正弦定理可得 sin B cosC + sin C sin B = sin A = sin B + C = sin B cosC + cos B sin C ,
整理得 sin C sin B = cos B sin C ,
且C 0, π ,则 sin C 0,可得 sin B = cos B,即 tan B =1,
且B 0, π π,则B = ,
4
a b
由正弦定理 = = 2R,其中 R 为VABC 的外接圆半径,
sin A sin B
可得 a = 2R sin A,b = 2R sin B,
a + 2b 2R sin A + 4R sin B
又因为 = = 2R = 6 2 ,
sin A + 2sin B sin A + 2sin B
所以b = 2R sin B 2= 6 2 = 6 .
2
(2)在VABC 中,由余弦定理b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ,即36 = a2 + c2 - 2ac ,
则 a2 + c2 = 36 + 2ac 2ac,当且仅当 a = c 时,等号成立,
36
可得 ac =18 2 + 2 ,即 ac 0,18 2 + 2 ù2 - 2
设 AC 边上的中点为 D,
uuur 1 uuur 1 uuur uuur2 1 uur 1 uuur 2 uur2 uur uuur uuur2
因为BD = BA + BC ,则BD = BA + BC
1 BA 1= + BA × BC 1+ BC
2 2 è 2 2 ÷ 4 2 4
1
= a2 + c2 1+ ac cos B 1= 36 + 2ac 2+ ac 9 2= + ac 9,27 +18 2 ù ,4 2 4 4 2
即BD 3,3 + 3 2 ù ,所以 AC 边上中线长的取值范围为 3,3+ 3 2 ù .
6.(2023·安徽马鞍山·模拟预测)在① a - b sin A + C = a - c sinA + sinC ;② 2atanB = b tanB + tanC ;
π π 1
③ sin - C ÷cos C + ÷ = ,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题.在VABC 中,内
è 6 è 3 4
角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,且满足________.
(1)求C ;
(2)若VABC 的面积为5 3 ,D为 AC 的中点,求BD的最小值.
p
【答案】(1)
3
(2) 10
【分析】(1)若选择条件①,利用正弦定理将角化边,再由余弦定理计算可得;选择条件②,利用正弦定
理将边化角,再由同角三角函数的基本关系将切化弦,结合两角和的正弦公式计算可得;选择条件③,利
π
用诱导公式求出 cos C + ÷ ,即可得解;
è 3
uuur uuur uuur uuur
(2)由面积公式求出 ab,再由BD = BC + CD,将两边平方,结合数量积的运算律及基本不等式求出 BD
的最小值,即可得解.
【详解】(1)选择条件①, a - b sin A + C = a - c sinA + sinC ,
则 a - b sin B = a - c sinA + sinC ,
由正弦定理可得 a - b b = a - c a + c ,即 a2 + b2 - c2 = ab,
a2 + b2 - c2 1 π
所以 cosC = = ,由C 0, π ,所以C = .
2ab 2 3
选择条件②, 2atanB = b tanB + tanC ,
由正弦定理可得 2sin AtanB = sin B tanB + tanC
2sinAsinB sinB sinB sinC即 = +

cosB è cosB cosC ÷
sin B sin B cosC + sin C cos B
sin B + C
= × = sin B sinBsinA× = ,
cos B cosC cos B cosC cosBcosC
由 A, B,C 0, π ,所以 sin A > 0, sin B > 0,显然 cos B 0,
所以 cosC
1
= ,由C 0, π π,所以C = .
2 3
sin π C π- 1选择条件③, ÷cos C + ÷ = ,
è 6 è 3 4
sin é π π C ù即 ê - + ÷ú cos

C
π 1
+ = ,
2
÷
è 3 è 3 4
cos2 C π 1 cos C π 1所以 + = ,则 + = ± ,
è 3 ÷ 4 è 3 ÷ 2
C 0, π π C π 4π π 1由 , < + < ,则 cos C +3 3 3 3 ÷ = - ,è 2
π 2π π
所以C + = ,则C = .
3 3 3
1 1 3
(2)由 S = absinC = ab = 5 3,解得 ab = 20 .
2 2 2
uuur uuur uuur
又BD = BC + CD,
uuur2 uuur uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur2所以BD = BC + CD = BC + 2BC ×CD + CD
2 2
= a2 2a 1+ b 1- 1 2 b 1 1 1 ÷ + b = a + - ab ab - ab = ab =10,2 è 2 è 2 ÷ 4 2 2 2
uuur
所以 BD 10 ,当且仅当a = 10,b = 2 10 时等式成立,
所以BD取最小值是 10 .
7.(23-24 高一下·辽宁·期中)在VABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 sinC + 3cosC = a,
b = 3 .
(1)若 a + c = 2,求边 AC 上的角平分线BD长;
(2)若VABC 为锐角三角形,求边 AC 上的中线 BE 的取值范围.
(1) BD 3【答案】 =
6
7 , 3
ù
(2) 2 2úè
π 1
【分析】(1)先由正弦定理结合两角和的正弦求出 B = ,再根据余弦定理及已知得 ac =3 ,然后利用面积3
分割法列方程求解即可;
uuur2 1 π
(2)利用向量加法运算及数量积模的运算得BE = 3 + 2ca ,利用正弦定理得 ac = 2sin 2A - ÷ +1,然4 è 6
后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】(1)
b
由 sin C + 3 cosC = a 及正弦定理得 sinC + 3 cosC = sin A,sin B
即 sin B ×sin C + 3 sin B ×cosC = 3 sin A,
即 sin B ×sin C + 3 sin B ×cosC = 3 sin B cosC + 3 cos B sin C ,
所以 sin B ×sin C = 3 cos B sin C ,因为 sinC 0,所以 tan B = 3 .
因为 B (0, π) B
π
,所以 = .3
1
由余弦定理得3 = c2 + a2 - ac = c + a 2 - 3ac,又 a + c = 2,所以 ac = ,
3
1
由 SVABC = SVABD + SVBDC 得 ac sin B
1
= c × BD sin B 1× + a × BD ×sin B ,
2 2 2 2 2
所以 ac sin
π
= BD × c + a sin π 1 3 1 3,所以
3 6 = BD × 2 ×
,解得BD = .
3 2 2 6
(2)
uuur 1 uuur uuur
因为E 为 AC 的中点,所以BE =
2 BA + BC ,
uuur2 1
则BE = uuur uuur 2BA + BC 1= c2 + a2 + 2ca cos B 1= 3+ ca ca 3 + 2ca+ = ,4 4 4 4
b b
由正弦定理得 ac = sin A × sin C = 4sin A ×sin C = 4sin A sin
2π× - A
sin B sin B ֏ 3

= 4sin A 3 cos A 1× + sin A = 2 3 sin Acos A + 2sin
2 A
è 2 2 ÷
÷

= 3 sin 2A +1- cos 2A = 2sin 2A π -

÷ +1,
è 6
ì0 A π < <
因为VABC
2 π π
为锐角三角形,所以 í ,所以 < A <
2π π 6 2

0 < - A <
3 2
π π 5π 1
所以 < 2A - < ,所以 < sin

2A
π
-
6 6 6 ÷
1,所以2 < ac 3,
2 è 6
uuur2 ù
所以BE
1 7 9 7 3
= 3 + 2ca ù , ú,所以BE 4 4 4 ,2 2 ú ,è è
7 3 ù
即边 AC 上的中线 BE 的取值范围为 , ú .
è 2 2
8.(23-24 高一下·四川成都·期中)已知VABC 的内角A , B ,C 的对边为 a,b , c,且
3(sin A - sin B) 3c - 2b
= ,
sin C a + b
(1)求 sin A ;
16
(2)若VABC 的面积为 2 ;
3
①已知E 为BC 的中点,且b + c = 8,求VABC 底边BC 上中线 AE 的长:
②求内角A 的角平分线 AD 长的最大值.
(1) sin A 2 2【答案】 = ;
3
(2)① 4 6 ;② 4 6
3 3
1
【分析】(1)根据正弦定理边角互化,由余弦定理可得 cos A = ,即可由同角关系求解,
3
(2)①根据面积公式可得bc =16 ,结合b + c = 8以及向量的模长公式即可求解,②利用等面积法可得
AD c b 2bc cos A+ = A 6,进而根据半角公式可得
2 cos =
,即可得 AD c 32 6+ b = ,利用基本不等式
2 3 3
即可求解.
3(a - b) 3c - 2b 2 2
【详解】(1)由正弦定理,得 = ,即 c + b2 - a2 = bc,
c a + b 3
2
c2 + b2 - a2 bc 1 A (0, π故 cos A = = 3 = ,因为 cos A > 0,所以 ),
2bc 2bc 3 2
所以 sin A = 1- cos2 A = 1 1 2 2- = ;
9 3
(2)①由(1)知 sin A 2 2= ,因为VABC
16
的面积为 2 ,
3 3
1 16
所以 bcsin A = 2 ,解得bc =162 3 ,
uuur 1 uuur uuur
且b + c = 8,解得b=c = 4,由于 AE = AB + AC ,
2
uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur 1 2 2 1 2 2 2
所以 AE = AB + AC + 2AB × AC = c + b + 2bc cos A4 4 = 4 c + b + bcè 3 ÷
1 2 1 8 32 uuur 2 uuur= 16+16+ 16÷ = 16 = ,所以4 3 4 3 3 AE =
32 AE = 4 6 ;
è 3 3
②因为 AD 为角A 的角平分线,所以 sin BAD = sin CAD
1
= sin A 2 ÷

è
由于 SVADB + SVADC = SVABC ,
1
所以 AD c sin
A 1 AD bsin A 1 bc sin A bc sin A cos A+ = = ,
2 2 2 2 2 2 2
A A
由于 sin 0 ,所以 AD c + b = 2bc cos ,
2 2
A 1
由于 cos A = 2cos2 -1 = cos2 A 2= cos A 6= ,
2 3 2 3 2 3
又bc =16 ,所以 AD c + b 2bc cos A 2 16 6 32 6= = =
2 3 3
由于b + c 2 bc = 8,当且仅当b = c = 4时,等号取得到,
32 6 4 6
故 = AD c + b 2 bc AD = 8 AD ,故 AD ,
3 3
考点七、三角形中的证明问题
1.(2024·内蒙古包头·一模)如图,在VABC 中, ABC = 90°,D 是斜边 AC 上的一点, AB = 3AD,
BC = 6 .
(1)若 DBC = 60°,求 ADB 和DA;
(2)若BD = 2 ,证明:CD = 2DA .
【答案】(1) ADB =120°,DA = 6
(2)证明见解析
【分析】(1)利用正弦定理及几何关系得出 ADB =120°,进而得出△DBC 是等边三角形及边长,进而可
求解.
(2)在VBDC 与△BDA中,利用余弦定理列出方程组,化简即可证明.
【详解】(1)由 DBC = 60°, ABC = 90°,可得 ABD = 30° .
AB AD
因为 AB = 3AD,所以在VADB 中,由正弦定理可得 = ,即sin ADB sin ABD
sin ADB AB sin ABD 3 = = ,
AD 2
则 ADB =120°或 60°,又因为 DBC = 60°,故 ADB =120° .
因此 BDC = 60°,又因为 DBC = 60°,所以△DBC 是等边三角形,
所以DB = DC = BC = 6 ,
又在VADB 中, ABD = 30°, ADB =120°,故 BAD = 30°,
所以DA = DB = 6 .
(2)证明:令 BDC = q ,DA = x,DC = y,.
因为 AB = 3AD,则 AB = 3x .
ì 6 = 2 + y
2 - 2 2ycosq ,
在VBDC 与△BDA中,由余弦定理可得 í
3x
2 = x2 + 2 - 2 2xcos p -q
cos y
2 - 4 2x2 - 2
消去 q ,得 = ,整理得 y - 2x xy + 2 = 0,
y x
所以 y = 2x,即CD = 2DA .
2.(2022·广东·二模)如图,已知△ABC 内有一点 P,满足 PAB = PBC = PCA = a .
(1)证明:PB sin ABC = AB sina .
(2)若 ABC = 90o , AB = BC =1,求 PC.
【答案】(1)证明见解析
(2) PC 10=
5
PB AB
【分析】(1)由正弦定理得 = ,即PB sin APB = AB sina ,即要证明 sin ABC = sin APB
sina sin APB
即可,由此利用三角形内角和证明可得结论;
(2)由题意求得PB = sina ,继而求得PC = 2 sina ,在VPAB
5
中利用余弦定理求得 sina = ,即可求得
5
答案.
【详解】(1)证明:
PB AB
在△ABP 中,由正弦定理得 = ,
sina sin APB
即PB sin APB = AB sina ,
要证明PB sin ABC = AB sina ,只需证明 sin ABC = sin APB ,
在△ABP 中, APB = p - a + ABP ,
在△ABC 中, ABC = a + ABP,
所以 APB = p - ABC ,
所以 sin APB = sin p - ABC = sin ABC ,
所以PB sin ABC = AB sina .
(2)由(1)知PB sin ABC = AB sina ,又因为 ABC = 90o , AB =1,
所以PB = sina ,
p
由已知得△ABC 为等腰直角三角形,所以 BCA = CAB = ,
4
则 BCP
p
= -a ,
4
p 3p
所以在△PBC 中, BPC = p - -a ÷ -a = ,
è 4 4
BC PC
由正弦定理得 = ,
sin BPC sin PBC
1 PC
=
即 sin 3p sina ,
4
即PC = 2 sina .
2
2
由余弦定理得 sin a + 2 sina - 2sina 2 sina cos 3p =1,4
由题意知 sina > 0,
故解得 sina
5
= ,
5
10
所以PC = .
5
c - b sinA + sinB
3.(22-23 高一下·北京·期中)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = .
a sinC + sinB
(1)求角 C 的大小;
(2)CD 为△ACB 的内角平分线,且 CD 与直线 AB 交于点 D.
AD AC
(i)求证: = ;
BD BC
(ii)若 a = 2, c = 19 ,求 CD 的长.
【答案】(1) C

=
3
6
(2)(i)证明见解析;(ii)CD =
5
【分析】(1)由正弦边角关系得 a2 + b2 - c2 = -ab,应用余弦定理求 C 的大小;
(2)(i)由角平分线两侧三角形面积比,结合等面积法及三角形面积公式证明结论;
3 cos A 4= AD AC(ii)由正弦定理可得 sin A = ,进而得 ,设 = = k 并表示出 AC = 2k ,应用余弦定理
19 19 BD BC
列方程求 k,最后求 CD 的长.
c - b a + b
【详解】(1)由题设 = ,则 c2 - b2 = a2 + ab,故 a2 + b2a c b - c
2 = -ab,
+
2 2 2 2π
所以 cosC a + b - c 1= = - ,又C (0,π),故C = .
2ab 2 3
(2)(i)由题设 ACD = BCD,若 AB 上的高为 h ,
S 1又 VACD = AC ×CD sin ACD
1
= AD × h,
2 2
S 1 1VBCD = BC ×CD sin BCD = BD ×h,2 2
1 1
S AC ×CD sin ACD AD ×hVACD
所以 = 21 =
2 AD AC,即 = .
SVBCD BC ×CD sin 1 BCD BD ×h BD BC
2 2
c a 4
(ii a sin ACB 3)由 = ,则 sin A = = ,又A 为锐角,故 cos A = ,
sin ACB sin A c 19 19
AD AC
若 = = k ,则 AC = 2k ,且 AD = kBD ,
BD BC AD + BD = 19

AC 2 + AB2 - BC 2 4k 2 +15 4
由余弦定理知: cos A = = = ,
2AC × AB 4 19k 19
所以 4k 2
5
-16k +15 = (2k - 3)(2k 3- 5) = 0,可得 k = k =2 或 ,2
AD CD 6
当 k
3
= 3 19
2 ,则 AC = 3 < 19 , AD = ,此时 = ,则CD = ;5 sin ACD sin A 5
k 5 2π当 = ,则 AC = 5 > 19 ,即 B > ACB = ,不合题设;2 3
综上,CD
6
= .
5
4.(2024·全国·模拟预测)在VABC 中,点 D,E 都是边 BC 上且与 B,C 不重合的点,且点 D 在 B,E 之间,
AE × AC × BD = AD × AB ×CE .
(1)求证: sin∠BAD = sin∠CAE .
2 2
(2)若 AB ^ AC AD AE 2,求证: 2 + = .BD CE2 1- sin DAE
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【分析】(1)分别在VABC ,△ABD ,△ACE中,利用正弦定理即可得证;
π π
(2)设 BAD = CAE = a ,则0 < a < , DAE = - 2a ,在△ABD ,△ACE中,利用正弦定理即可得
4 2
证.
sin B AC
【详解】(1)如图.在VABC 中,由正弦定理,得 = .
sin C AB
在△ABD 中,由正弦定理,得 sin BAD
BD sin B
= .
AD
在△ACE中,由正弦定理,得 sin CAE
CE sin C
= .
AE
sin BAD BD × AE ×sin B BD × AE × AC
所以 = = =1,
sin CAE CE × AD ×sin C CE × AD × AB
所以 sin∠BAD = sin∠CAE .
(2)因为 AB ^ AC ,
所B + C
π
= ,所以 sin C = cos B.
2
由 BAC
π
= 可知 BAD , CAE 均为锐角.
2
由(1)知, BAD = CAE .
π π
设 BAD = CAE = a ,则0 < a < , DAE = - 2a .
4 2
2 sin2 a 1- sin DAE由 sin DAE = cos 2a =1- 2sin a ,得 = .2
ABD AD sin B在△ 中,由正弦定理,得 = .
BD sina
AE sin C cos B
在△ACE中,由正弦定理,得 = = .
CE sina sina
AD2 AE2 sin2 B cos2 B 1 2
所以 2 + = + = = .BD CE2 sin2 a sin2 a sin2 a 1- sin DAE
5.(2022·湖北·模拟预测)已知VABC 的外心为O,M , N 为线段 AB, AC 上的两点,且O恰为MN 中点.
(1)证明: | AM | × | MB |=| AN | × | NC |
S
(2)若 | AO |= 3 VAMN, |OM |= 1,求 S 的最大值.VABC
【答案】(1)证明见解析
4
(2)
9
【分析】(1)设 AM = x1, BM = y1, AN = x2 , CN = y2 ,利用余弦定理求得 cos AMO, cos BMO,再根据
cos AMO + cos BMO = 0,化简,可求得 x1y1,同理可求得 x2 y2 ,即可得证;
(2)利用余弦定理求得 cos AOM , cos AON ,再根据 cos AOM + cos AON = 0 2 2结合(1)求得 x1 + x2 ,
设 m
x
= 1 , l x= 2
y y ,可求得
l + m ,再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.
1 2
【详解】(1)证明:设 AM = x1, BM = y1, AN = x2 , CN = y2 ,
2 2
cos AMO x1 + OM - AO
2 y 2 + OM 2 - BO2
由余弦定理知: = , cos BMO = 12x1 ×OM 2y

1 ×OM
由O是VABC 外心知 AO = BO = CO,
而 cos AMO + cos BMO = 0,
x 2 + OM 2 - AO2 y 2 + OM 2 - BO21 1
所以 + = 02x ,1 ×OM 2y1 ×OM
即 (x y + OM 2 - AO21 1 )(x1 + y1) = 0 ,
而 x1 + y1 0,因此 x1 y1 = AO
2 - OM 2 ,
同理可知 x y = AO22 2 - ON
2 ,
因此 x1y1 = x2 y2,
所以 | AM | × | MB |=| AN | × | NC |;
(2)解:由(1)知 x1 y1 = x2 y2 = 2,
2 2 2 2 2 2
由余弦定理知: cos AOM
AO + OM - x1 cos AON AO + ON - x= , = 2 ,
2AO ×OM 2AO ×ON
代入 cos AOM + cos AON = 0 x 2 2得 1 + x2 = 8,
x x 2 2m = 1 , l = 2 x x设 ,则 m + l = 1 + 2y = 4 ,1 y2 2 2
SV AMN AM × BM ml 1 1 4= = = 5 =因此 SV ABC AB × AC (m +1)(l +1) 1+ 1 5+ 9 ,
ml 4
当且仅当 m = l = 2时取到等号,
SVAMN 4
因此 S 的最大值为 .VABC 9
6.(22-23 高一下·山东枣庄·期中)VABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知
4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .
sinA
(1)求 的值;
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.
(i)证明:BD2 = BA·BC - DA·DC ;
(ii)若 a =1,求BD × AC 的最大值.
【答案】(1) 12
(2)(i 3 2)证明见解析;(ii)
2
【分析】(1)根据正弦定理边化角,结合两角和的正弦公式化简,即可得答案;
(2)(i)在△ABD 和△BCD中,分别应用正余弦定理,得出线段之间的等量关系,结合角平分线以及分式
的性质,即可证明结论;(ii)利用(i)的结论以及基本不等式即可求得答案.
【详解】(1)因为VABC 中,4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B,
故 4sin2 A = sin B sin C cos A + sin C sin Acos B = sinC(sinBcosA + sinAcosB)
= sinCsin A + B = sin2 C ,
因为 A,C (0,π),\sinA,sinC > 0
sinA 1
,故 = ;
sin C 2
AD AB
(2)(i)证明:△ABD 中,由正弦定理得 = ①,
si n ABD si n ADB
又 AB2 = AD2 + BD2 - 2AD × BD ×cos ADB ②,
同理在△BCD CD BC中, = ③sin CBD sin CDB ,
BC 2 = CD2 + BD2 - 2CD × BD ×cos CDB ④,
BD 是 ABC 的角平分线,则 ABD = CBD ,
则 sin ABD = sin CBD ,
又 ADB + CDB = π ,故 sin ADB = sin CDB,cos ADB + cos CDB = 0,
AD AB AD AB , CD BC故①÷③得 = ⑤,即 = \ = ,
CD BC AC AB + BC AC AB + BC
由CD ② +AD ④得,CD × AB2 + AD × BC 2 = CD × AD AD + CD + CD + AD × BD2
= CD × AD × AC + AC × BD2 ,
BD2 CD × AB
2 + AD × BC2
则 = - CD × AD
AC
BC × AB2 + AB × BC 2
= - CD × AD = BA × BC - DA × DC ,
AB + BC
即BD2 = BA·BC - DA·DC ;
sin A 1
(ii)因为 = ,故 c = 2a ,
sin C 2
AD AB 2 1
则由⑤得 = = 2,则 AD = AC,DC = AC ,
CD BC 3 3
2
由 a =1以及(i)知BD2 = 2 - AC2 ,
9
BD2 2+ AC2 = 2 BD2 2即 ,则9 + AC
2 2 2 BD × AC ,
9 3
2 2 2 2 2 2
当且仅当BD = AC ,结合BD + AC = 2,即
9 9 BD =1,AC
3 2
= 时等号成立,
2
故BD × AC 3 2 ,即BD × AC 3 2的最大值为 .
2 2
【点睛】难点点睛:本题解答的难点在于BD2 = BA·BC - DA·DC 的证明,证明时要利用正余弦定理得到涉及
到的线段之间的等量关系,然后利用分式的性质进行变形,过程比较复杂,计算量较大,因此要十分注意.
考点八、图形类综合
1.(23-24 高三上·河南·阶段练习)已知平面四边形 ABDC 中,对角线 CB 为钝角 ACD的平分线,CB 与
1
AD 相交于点 O, AC = 5, AD = 7, cos ACD = - .
5
(1)求 CO 的长;
(2)若BC = BD ,求△ABD 的面积.
(1) 8 10【答案】
9
(2) 6
2
【分析】(1 15)由余弦定理得CD = 4,根据同角关系以及二倍角公式可得 sin ACO = ,进而根据面积公
5
式即可求解,
2 6
(2)根据正弦定理得 sin ADC = ,进而由余弦定理得BD = BC = 10 ,利用和差角公式可得
7
sin ADB,即可由面积公式求解.
2
1 VACD cos ACD 25 + CD - 49 1【详解】( )在 中,由余弦定理得 = = - ,
2 5 CD 5
解得CD = 4或CD = -6(舍去).
因为 cos ACD
1
= - ,所以
5 sin ACD
2 6
= .
5
所以 cos 15 ACD =1- 2sin2 ACO ,解得 sin ACO = (负值舍去),
5
所以 sin DCO 15= sin ACO = .
5
因为 S△ACD = S△ACO + S△DCO ,
1
所以 CA ×CD sin ACD
1
= CA ×CO sin ACO 1+ CD ×CO sin DCO .
2 2 2
1 5 4 2 6 1所以 = 5 CO 15 1 + 4 CO 15 .
2 5 2 5 2 5
8 10
所以CO = .
9
AC AD 5 7
= =
(2)在VACD中,由正弦定理可得 sin ADC sin ACD sin ADC 2 6 ,
5
5
则 sin ADC 2 6= ,由于 ADC 为锐角,所以 cos ADC = .
7 7
因为BD = BC ,所以 BDC = BCD ,
所以 sin BDC = sin BCD 10= 15 ,所以 cos BDC = ,
5 5
2 2
cos BDC 10 CD + BD - BC
2 16 2
由余弦定理可得 = = = = ,解得BD = BC = 10 .
5 2CD × BD 8BD BD
因为 cos ADC
5
= ,
7
所以 sin ADB = sin BDC - ADC = sin BDC cos ADC - cos BDC sin ADC
15 5 10 2 15
= - 6 = ,
5 7 5 7 35
1 1 15 6
所以 S△ABD = DA × DB sin ADB = 7 10 = .2 2 35 2
2.(21-22 高三上·广东珠海·期末)在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
a = b 3sinC + cosC .
(1)求 B;
π
(2)已知BC = 2 3 ,D 为边 AB 上的一点,若BD =1, ACD = ,求 AC 的长.2
π
【答案】(1) B = .
6
(2) AC 21= .
2
【分析】(1)根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解,
2 21( )根据余弦定理求解CD = 7 ,即可由正弦定理求解 cos A = ,进而由锐角三角函数即可求解.
7
【详解】(1)∵ a = b 3sinC + cosC ,根据正弦定理得, sin A = sin B 3sin C + cosC ,
即 sin BcosC + cos Bsin C = 3sin Bsin C + sin BcosC ,
所以 cos Bsin C = 3sin Bsin C ,因为 sin C > 0,
所以 cos B = 3 sin B 3,所以 tan B = ,
3
因为B 0, π π,所以 B = 6 .
(2)因为BC = 2 3 ,BD =1, B
π
=
6 ,根据余弦定理得
CD2 = BC 2 + BD2 - 2BC × BD ×cos B 3=1+12 - 2 1 2 3 = 7,∴ CD = 7 .
2
π π
∵ BDC = + A,∴ sin BDC = sin + A÷ = cos A.2 è 2
2 3 7
在V
BC CD
BDC =中,由正弦定理知, = ,∴
sin BDC sin B cos A 1

2
∴ cos A 21= , A 0,
π
2 ÷
,所以 sin A 2 7=
7 è 7
∴ tan A sin A 2 3 CD 21= = = ,∴ AC = .
cos A 3 AC 2
3.(23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习)如图,在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b , c,且
bsin A + a = 3a cos B .
(1)求 B ;

(2)已知BC = 2 3 ,D为边 AB 上的一点,若BD =1, ACD = ,求 AC 的长.3
π
【答案】(1)
6
(2) 2 7
【分析】(1)根据题意,由正弦定理和三角恒等变换的公式,化简得 3 cos B - sin B =1,再结合三角函数
的性质,即可求解;
(2)在△DBC 中 2 7,利用余弦定理,求得CD = 7 ,得到 cos BDC = - ,进而求得 sin 21 ADC = ,
7 7
进而求得 sin A 21= ,再在△ADC 中,利用正弦定理,即可求解.
14
【详解】(1)解:因为bsin A + a = 3a cos B ,
由正弦定理得 sin B sin A + sin A = 3 sin Acos B ,
因为 A 0, π ,可得 sin A > 0,所以 sin B +1 = 3 cos B,
π 1
即 3 cos B - sin B =1,所以 cos(B + ) = ,6 2
π B π 7π B π π又因为0 < B π π< ,可得 < + < ,所以 + = ,可得 B = .
6 6 6 6 3 6
(2)解:在△DBC 中 ,由余弦定理得CD2 = BC 2 + BD2 - 2BC × BD cos DBC
=12 +1- 2 2 3 3 1 = 7 ,所以CD = 7 ,
2
1+ 7 -12 2 7
因为BC = 2 3 且BD =1,所以 cos BDC = = - ,
2 1 7 7
所以 cos ADC = cos(π - BDC) = -cos BDC 2 7= ,
7
ADC 0, π sin ADC 21又因为 ,所以 = ,
7
所以 sin A = sin ADC + ACD = sin ADC cos ACD + cos ADC sin ACD
21 1 2 7 3 21= - ÷ + = ,7 è 2 7 2 14
CD AC 7 AC=
在△ADC 中,由正弦定理得 = , 即
sin A sin ADC 21 21
,解得 AC = 2 7 .
14 7
4.如图,在VABC 中, ABC = 90°, AB = 3 ,BC =1, P为VABC 内一点, BPC = 90°.
(1) PC 3若 = ,求PA;
2
(2)若 APB =120°,求VABP的面积S .
7
【答案】(1)
2
(2) 3 3
14
3
【分析】(1)Rt△BPC 中利用三角函数的定义,求出 sin PBC = ,可得 PBC = 60°,从而
2
BP BC cos60 1= ° =
2 ,
再在△APB 中算出 PBA = 30°,利用余弦定理,即可得出答案;
(2)设 PBA = a ,在△APB 中根据正弦定理建立关于a 的等式,解出 2sina = 3 cosa ,
tana 3 sina 3 21 2 7利用同角三角函数的关系可得 = , = = , cosa = , PB 21= ,
2 7 7 7 7
利用余弦定理,即可得出答案.
3
【详解】(1)Q在Rt△BPC 中,PC = , BC =1,
2
sin PC 3
1
\ PBC = = ,可得 PBC = 60°, BP = BC cos60° = 2 .BC 2
Q PBA = 90° - PBC = 30°,
\在△APB 中,由余弦定理得 PA2 = PB2 + AB2 - 2PB × AB × cos PBA,
PA2 1 1 3 7即 = + 3 - 2 3 = ,
4 2 2 4
PA 7\ = ;
2
(2)设 PBA = a ,可得 PBC = 90° -a , PAB = 180° - PBA - APB = 60° -a ,
在Rt△BPC 中, PB = BC cos PBC = cos(90° -a ) = sina ,
AB PB 3 sina=
VABP中,由正弦定理得 =sin120° sin(60° -a ) ,即 3 sin(60° -a ) ,
2
\sina = 2sin(60° -a ) = 2( 3 cosa 1- sina ),化简得 2sina = 3 cosa ,
2 2
\ tana sina 3= = ,因此 sina 21 2 7 21= , cosa = , PB = sina = ,
cosa 2 7 7 7
所以VABP S 1 3 21 21 3 3的面积 = = .
2 7 7 14
5.(2023·河南信阳·模拟预测)在VABC 中, BAC = 60°,VABC 的面积为10 3 ,D为BC 的中点,
DE ^ AC 于点E, DF ^ AB于点F .
(1)求VDEF 的面积;
(2) AD 129若 = ,求 sin ABC + sin ACB 的值.
2
(1) 15 3【答案】
8
(2) sin ABC + sin ACB 13 3=
14
1 3
【分析】(1)由题意,可得 FDE = 120°,\S oVDEF = DE × DF ×sin120 = DE × DF ,作 BM ^ AC 于点 M ,2 4
CN ^ AB于点 N ,可得DE 1 BM 3= = AB 1 3,DF = CN = AC ,代入上式得解;
2 4 2 4
(2)延长 AD 到点Q,使 AD = DQ,连接CQ,在VAQC 中,利用余弦定理可得BC ,在VABC 中由正弦定
理可求得结果.
【详解】(1)在四边形 AFDE 中, BAC = 60°, DFA = DEA = 90o,
故 FDE = 120°,
1
故 SVDEF = DE × DF ×sin120
o 3= DE × DF ,
2 4
作BM ^ AC 于点M ,CN ^ AB于点 N ,
又D为BC 的中点,
DE 1 BM 1则 = = AB sin 60o 3= AB ,
2 2 4
DF 1 1= CN = AC sin 60o 3= AC ,
2 2 4
故 S 3 3 3 3 3 15 3VDEF = AB AC = SVABC = 10 3 = .4 4 4 16 16 8
(2)设VABC 的三条边BC , AC , AB 分别为 a,b , c,
S 1由 VABC = bc sin BAC =10 3,知bc = 40,2
延长 AD 到点Q,使 AD = DQ,连接CQ,
则 AQ = 129 , ABC = BCQ ,
则在VAQC 中, ACQ =120o ,CQ = AB = c ,
故由b2 + c2 + bc =129与bc = 40可得,b2 + c2 - bc = 49 = a2 ,则 a = 7,
b2 + c2 + 2bc =169 ,则b + c =13,
b + c a 14
由正弦定理得 = =sin , ABC + sin ACB sin BAC 3
13 3
则 sin ABC + sin ACB = .
14
考点九、参数类问题
1.(2024·全国·模拟预测)在锐角三角形 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c,且
asinC = c 2sinB - cosAtanC .
(1)求C ;
uuur uuur
AB lBD l 0 BCD π(2)若 = > ,且 = ,求实数l 的取值范围.
4
π
【答案】(1) C =
3
(2) 0, 3
【分析】(1)根据正弦定理边角化,结合三角恒等变换即可求解,
(2)根据正弦定理求解CD , 3即可利用三角恒等变换,结合三角函数的性质求解 < tanA < 3 + 2,即可结
3
合特殊角的三角函数值以及不等式的性质求解.
sinC
【详解】(1)由题意及正弦定理得 sinAsinC = sinC × 2sinB - cosA × ,
è cosC ÷
Q0 C π< < , sinC > 0,\sinAcosC = 2sinBcosC - cosAsinC ,
2
\sin A + C = sinB = 2sinBcosC .
Q0 B π< < ,sinB > 0,\cosC 1= ,
2 2
又0 < C
π
< , π\C = .
2 3
7π AD CD , AD ×sinA= \CD =
(2)在VACD中, ACD = ACB + BCD = ,由正弦定理得 7π
12 sin sinA sin
7π .
12 12
BD ×sin A π+
BD CD CD 3 ÷
在△BCD è 中,由正弦定理得
sin π
= = ,\CD = .
sin CBD πsin A π+ sin
4 ֏ 3 4
BD ×sin π
AD ×sinA
A + ÷
\ = è 3
sin 7π

sin π
12 4
sin 7π sin
A π +

AD 3 ÷\ = 12 × è ,
BD sin π sinA
4
sin A π+ 3 ÷ sinAcos
π
+ cosAsin π
由于 è 3 3 1 3 .= = +
sinA sinA 2 2tanA
QVABC 为锐角三角形,
Q0 π< A < ,0 π π< π- - A < , π A π π π 5π\ < < , 进而 < A + < ,
2 3 2 6 2 2 3 6
π 3π π 5π
且 CBD = A + < ,解得 < A < .
3 4 6 12

又 tan = tan π π 3 + ÷ = 3 + 2,\ < tanA < 3 + 2,12 è 6 4 3
1 3
\ + 3 -1,2 .2 2tanA
sin 7π sin
π π+
12 è 4 3
÷
3 +1 AD又 π = π = ,\ 1, 3 +1 ,sin sin 2 BD
4 4
l AB AD - BD AD\ = = = -1 0, 3 .
BD BD BD
2.(2023·全国·模拟预测)已知在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
bcos 3π + A ÷ + sin π + B
6
= 0 .
è 2 1- cos2C
(1)求 csinA的值;
(2)若 2 bsinC - atanC = ctanC ,且 S△ABC l ,求实数l 的取值范围.
【答案】(1) 3
(2) - ,3 3ù
【分析】(1)先化简题给条件,再利用正弦定理即可求得 csinA的值;

(2)先化简题给条件求得B = ,代入题干条件进而求得 ac 12,从而得到 SVABC 的最小值,再结合条件3
求出实数l 的取值范围.
【详解】(1)依题意,bsinA - sinB 3
sin2
= 0 ,
C
因为 sinC > 0,所以bsinAsinC - 3sinB = 0 .
由正弦定理,得bsinA = asinB ,
故上式可化为 asinBsinC - 3sinB = 0 .
因为 sinB 0,所以 asinC = 3 ,
由正弦定理,得 csinA = asinC = 3 .
(2)因为 2 bsinC - atanC = ctanC ,
sinC sinC
由正弦定理, 2 sinBsinC - sinA × ÷ = sinC × ,
è cosC cosC
因为 sinC 0,故 2cosC ×sinB = 2sinA + sinC = 2sin B + C + sinC ,
则 2cosC ×sinB = 2sinBcosC + 2cosBsinC + sinC ,
故 2cosBsinC + sinC = 0,
因为 sinC 0,故 cosB
1
= - ,又B 0, π B 2π,故 = ,
2 3
代入bsinAsinC - 3sinB = 0中,得bsinAsinC = 2sin2B,即 ac = 2b .
由余弦定理,b2 = a2 + c2 - 2accosB 3ac = 6b ,故b 6,
则 ac 12,当且仅当 a = c = 2 3 时等号成立,
1
故 S△ABC = acsinB 3 3 ,又 S2 VABC
l ,
所以实数l 的取值范围为 - ,3 3ù .
3.(2023·湖北咸宁·模拟预测)在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足6cosC + c = 2b, a = 3 .
(1)证明:VABC 外接圆的半径为 3;
(2)若 2SVABC t a2 + 2b2 +11c2 恒成立,求实数 t 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
é 3
(2) ê ,+
22 ÷
÷

【分析】(1)由正弦定理结合角的范围求出角,再应用正弦定理求出外接圆半径即可;
2S 2S
(2)把已知恒成立,参数分离转化为 t VABC VABC
a2 + 2b2 +11c2
恒成立,再求出 2 2 2 的最大值可得范围.a + 2b +11c
【详解】(1)由6cosC + c = 2b, a = 3,得 2acosC + c = 2b ,
由正弦定理得:
2sinAcosC + sinC = 2sinB = 2sin A + C = 2sinAcosC + 2cosAsinC ,
化简得 2cosAsinC = sinC .
因为 sinC 0,所以 cosA
1
= .
2
又A 0, π A π,所以 = 3 ,
a 3
= = 3
所以VABC 外接圆的半径为 2sinA .
2 3
2
(2)要使 2SVABC t a2 + 2b2 +11c2 恒成立,
即 t
2S
VABC2 2 2 恒成立,a + 2b +11c
2S
即求 VABC2 2 2 的最大值.a + 2b +11c
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccosA = b2 + c2 - bc,
2 12S bcsinA所以 VABC 2 3 bc
a2 + 2b2 +11c2
= = ×
b2 + c2 - bc + 2b2 +11c2 2 3b2 +12c2 - bc
因为bc 0,
3 bc 3 1 3 1 3
× = × × =
所以 2 3b2 +12c2 - bc 2 3b 12c+ -1 2 2 3b 12c
22 ,
c b × -1c b
当且仅当b2 = 4c2,即b = 2 3,c = 3 时,等号成立,
é 3
所以实数 t 的取值范围为 ê ,+ ÷÷ .
22
4.(2024·江苏苏州·三模)在VABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且a b,c = 1.
uur uuur uuur
(1)若 | CA + CB |=| AB |,2sin A = sinC ,求VABC 的面积;
cos B cos A a - b(2)若 - = ,求使得m > a + b恒成立时,实数m 的最小值.
2
(1) 3【答案】
8
(2) 2 3
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】(1)根据题意,由条件可得 | CA + CB |=| CB - CA |,从而可得CA ^ CB,再由三角形的面积公式代
入计算,即可求解;
(2)根据题意,由余弦定理代入计算,即可得到 a2 + ab + b2 =1,再由基本不等式代入计算,即可得到
a b 2 3+ < ,从而得到结果.
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】(1)因为 | CA + CB |=| AB |,即 | CA + CB |=| CB - CA |,所以 | CA + CB |2 =| CB - CA |2,
uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur
即CA + 2CA ×CB + CB = CA - 2CA ×CB + CB ,则CA ×CB = 0 ,所以CA ^ CB,
所以 C
π 1
= ,且 2sin A = sin C ,由正弦定理可得 2a = c =1,则 a = ,
2 2
2
b 1 1 3 1 1 3 3所以 = - ÷ 第12讲 新高考新结构命题下的
解三角形解答题综合训练
(10 类核心考点精讲精练)
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下,高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革,更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计,以“三维”减量增质为核心理念,力求在减少题目数量的同时,提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面:
(1)三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养,确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
(2)三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查,鼓励学生不拘泥于传统模式,展现个人的独
特见解和创造力。
(3)三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查,通过精心设计的题目,引导学生深入思
考和探索,培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的 5 个解答题,每个题目的考查焦点皆充满变数,无法提前预知。解三角形版
块作为一个重要的考查领域,其身影可能悄然出现在第 15 题中,作为一道 13 分的题目,难度相对较为适
中,易于学生入手。然而,同样不能忽视的是,解三角形版块也可能被置于第 16、17 题这样的中等大题中,
此时的分值将提升至 15 分,挑战学生的解题能力和思维深度,难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势,教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能
涉及的知识点及其命题方式,更要能够灵活应对,根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新
结构试卷的特点,结合具体的导数解答题实例,旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南,
以期在新高考中取得更好的成绩。
考点一、面积及最值
1.(2024·河南焦作·模拟预测)记VABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,已知点F 为线段 AC 上
2
的一点,且 AF = 2CF ,BF = 2, a sin A + c sin C - bsin B = a sin C .
3
(1)求 cos ABC 的值;
(2)求VABC 面积的最大值.
2.(2024·贵州铜仁·模拟预测)在VABC 中,已知 tan A + tan B +1 = tan A × tan B, AB = 2 2 , AC = 2 3.
(1)求角 B ;
uuur uuur uuur r
(2)若VABC 为锐角三角形,且GA + GB + GC = 0,求△GAB 的面积.
3.(2024·全国·模拟预测)在VABC 中, AB = 2BC .
3
(1)若 cos B = ,求 tan A;
5
(2)若 AC = 2,求VABC 面积的最大值.
4.(2024·全国·模拟预测)在VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
cos2B - cos2 BAC = 2sinC sinC - sinB .
(1)求 BAC .
(2)若点D为边BC 的中点,且 AD = 2,求VABC 面积的最大值.
5.(2024·全国·模拟预测)在VABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a =1 .
C B π(1)若 - = ,
12 c = 2bsinC
,求 b;
(2)若 a + b sinA - sinB = c - b sinC ,求VABC 的面积 S 的最大值.
考点二、周长及最值
V C a b c 2 tan A a sin B1.(23-24 高三·河北沧州·模拟) ABC 的内角A , B , 的对边分别为 , , , = .
1+ tan2 A b
(1)求角A 的大小;
(2) 2 3若b + c = 3a ,VABC 的面积为 ,求VABC 的周长.
3
2.(2024·河南新乡·二模)已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,
cosC cos A
= .
c 4b - a
(1)求 sin C 的值;
(2)若VABC 15 2 6的面积为 ,且 a + b = c,求VABC 的周长.
2 3
3.(2024·陕西·模拟预测)VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,
c - b sinA
= .
a - b sinC + sinB
(1)求C ;
(2)若 a + b = 6,求VABC 的周长最小值.
4.(2024·全国·模拟预测)已知函数 f x = 4sin x π +

÷cosx -1.
è 6
(1)求 f x 的最小正周期与图象的对称中心;
(2)在VABC 中, f A =1, BC = 4,求VABC 周长的取值范围.
5.(2024·陕西汉中·二模)在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,请从下列条件中选择一个条
件作答:(注:如果选择条件①和条件②分别作答,按第一个解答计分.)
uuur uuur π
①记VABC 的面积为 S,且 3 AB × AC = 2S ;②已知 a sin B = b cos(A - ).6
(1)求角 A 的大小;
(2)若VABC 为锐角三角形,且 a = 6 ,求VABC 周长的取值范围.
考点三、边长、线段及最值
1.(2024·陕西西安·模拟预测)在平面四边形 ABCD中, CBD = 30°, BAD = 60°,BC = 4,BD = 2 3 .
(1)若 AD = AB ,求VACD的面积.
(2)求 AC 的最大值.
2.(2024·全国·模拟预测)在锐角VABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
a cos B = b 1+ cos A .
(1)证明: A = 2B;
c
(2)求 的取值范围.
a
3.(2024·江苏扬州·模拟预测)记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a + b + c a + b - c = 3,且
VABC 3 3的面积为 .
4
(1)求角C ;
uuur uuur
(2)若 AD = 2DB ,求 CD 的最小值.
1- sin A sin B
4.(2024·江西鹰潭·二模)VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b , c,满足 = .
cos A cos B
π
(1)求证: A + 2B = ;
2
2 2
(2) a + b求 2 的最小值.c
5.(2024·全国·一模)已知VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 AD 是 BC 边上的
高. (sin A - sin B)(a + b) = (c - 2b)sin C .
(1)求角 A;
(2)若 sin(B - C) 2= , a = 5,求 AD.
10
6.(2024·陕西西安·模拟预测)在VABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
sin A = sin C cos B 3- sin B sin C ,
3
(1)求角C 的大小;
(2)若C 的角平分线交 AB 于点D,且CD = 2,求a + 2b的最小值,
考点四、三角函数值及最值
1.(2024·上海·三模)已知在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,b =1,且满足
2acosB = cosC + ccosB.
(1) a 4 13若 = ,求VABC 的面积S ;
13
(2)求a + 2c的最大值,并求其取得最大值时 cosC 的值.
2.(2024·全国·模拟预测)设VABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,若
2sin2C = cosC ×cos A - B +1.
2 2
(1) a + b求 的值;
c2
(2)若VABC 为锐角三角形,求 cosC 的取值范围.
3.(2024·广东广州·模拟预测)记VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
π
bsin B + c sin C - a sin A = 2bsin B sin C 且C .
2
π
(1)求证:B = A + ;
2
(2)求 cos A + sin B + sin C 的取值范围.
4.(23-24 高三上·重庆·阶段练习)在VABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足b = a - 2bcosC
(1)求证:C = 2B;
(2)若VABC 为锐角三角形,求2sinC + cosB - sinB的最大值.
5.(23-24 高三上·重庆·阶段练习)在VABC 中,内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c,已知
2acsinA + a2 + c2 - b2 = 0.
π
(1)若 A = , a = 2,求VABC 的面积;
6
2 2
(2) 4sin C + 3sin A + 2求 2 的最小值,并求出此时 B 的大小.sin B
考点五、内切圆、外接圆半径问题
1.(22-23 高一下·浙江·阶段练习)在VABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,在以下条件中选择一个条件:
① a + c = 2bsin C
π
+ ÷ ;② b + c sinB - sinC = a - c sinA;③ 2a - c cosB = bcosC .求解以下问题.(选
è 6
择多个条件的,以所选的第一个计分)
(1)求角 B ;
uuur uuur
(2)若 a + c = 4 3 ,且BA × BC = 6 ,求VABC 的内切圆半径.
2.(2024·全国·模拟预测)已知VABC 中,角A , B ,C 的对边分别是 a,b , c,
3b - c sin A = 3a cosC .
(1)求角A 的大小;
(2)若 a = 7,VABC 外接圆的半径为 R ,内切圆半径为 r
R
,求 的最小值.
r
uuur uuur
2.3.(2022·湖北·三模)在VABC中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b , c,已知 3 AB × AC = 2S△ABC ,
b + c = 8.
(1)求角A 的大小;
(2)求VABC外接圆半径的最小值.
4.4.(2024·吉林·二模)已知 VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,VABC 的外接圆半径为 3,且
sin2 B + sin2 C - sin B sinC = sin2 A .
(1)求 a ;
(2)求VABC 的内切圆半径 r 的取值范围
5.(2023·广西南宁·一模)在VABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a = 2,且
sin A + sin B b - c
= .
sin C b - a
(1)求VABC 的外接圆半径 R;
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围.
6.(2023·山东·一模)如图,平面四边形 ABCD中, AD = 5,CD = 3, ADC =120°.VABC 的内角 A, B,C
的对边分别为 a,b,c
a + b sinA - sinC
,且满足 = .
c sinA - sinB
(1)判断四边形 ABCD是否有外接圆?若有,求其半径 R ;若无,说明理由;
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围.
考点六、中线、角平分线、高线问题
1.(2024·四川成都·三模)在VABC 中,BC = 5, AC
1
= 6,cosB = .
8
(1)求 AB 的长;
(2)求 AC 边上的高.
2.(23-24 高三上·河北保定·阶段练习)记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为S ,且
S abc= .
4
(1)求VABC 的外接圆的半径;

(2)若b + c = 2 ,且 A = 3 ,求BC 边上的高.
ccosA c
3.(23-24 高三上·黑龙江·期中)在VABC 中,角A , B ,C 所对的边分别为 a,b , c, - = 0 .
acosC 2b - c
(1)求角A ;
(2)若 a = 2,求BC 边上高的最大值.
4.(2023·广东广州·模拟预测)在锐角VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
2c2 = a2 + c2 - b2 tanA + tanB .
(1)求角A 的大小;
(2)若边 a = 2 ,边BC 的中点为D,求中线 AD 长的取值范围.
a + 2b
5.(2023·浙江·模拟预测)在VABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且bcosC + csin B = a, = 6 2 ,
sin A + 2sin B
(1)求b ;
(2)求 AC 边上中线长的取值范围.
6.(2023·安徽马鞍山·模拟预测)在① a - b sin A + C = a - c sinA + sinC ;② 2atanB = b tanB + tanC ;
③ sin
π
- C ÷cos
C π 1 + ÷ = ,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题.在VABC 中,内
è 6 è 3 4
角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,且满足________.
(1)求C ;
(2)若VABC 的面积为5 3 ,D为 AC 的中点,求BD的最小值.
7.(23-24 高一下·辽宁·期中)在VABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 sinC + 3cosC = a,
b = 3 .
(1)若 a + c = 2,求边 AC 上的角平分线BD长;
(2)若VABC 为锐角三角形,求边 AC 上的中线 BE 的取值范围.
8.(23-24 高一下·四川成都·期中)已知VABC 的内角A , B ,C 的对边为 a,b , c,且
3(sin A - sin B) 3c - 2b
= ,
sin C a + b
(1)求 sin A ;
16
(2)若VABC 的面积为 2 ;
3
①已知E 为BC 的中点,且b + c = 8,求VABC 底边BC 上中线 AE 的长:
②求内角A 的角平分线 AD 长的最大值.
考点七、三角形中的证明问题
1.(2024·内蒙古包头·一模)如图,在VABC 中, ABC = 90°,D 是斜边 AC 上的一点, AB = 3AD,
BC = 6 .
(1)若 DBC = 60°,求 ADB 和DA;
(2)若BD = 2 ,证明:CD = 2DA .
2.(2022·广东·二模)如图,已知△ABC 内有一点 P,满足 PAB = PBC = PCA = a .
(1)证明:PB sin ABC = AB sina .
(2)若 ABC = 90o , AB = BC =1,求 PC.
c - b sinA + sinB
3.(22-23 高一下·北京·期中)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = .
a sinC + sinB
(1)求角 C 的大小;
(2)CD 为△ACB 的内角平分线,且 CD 与直线 AB 交于点 D.
AD AC
(i)求证: = ;
BD BC
(ii)若 a = 2, c = 19 ,求 CD 的长.
4.(2024·全国·模拟预测)在VABC 中,点 D,E 都是边 BC 上且与 B,C 不重合的点,且点 D 在 B,E 之间,
AE × AC × BD = AD × AB ×CE .
(1)求证: sin∠BAD = sin∠CAE .
2 2
(2) AD AE 2若 AB ^ AC ,求证: 2 + 2 = .BD CE 1- sin DAE
5.(2022·湖北·模拟预测)已知VABC 的外心为O,M , N 为线段 AB, AC 上的两点,且O恰为MN 中点.
(1)证明: | AM | × | MB |=| AN | × | NC |
S
(2)若 | AO |= 3 |OM |= 1 VAMN, ,求 S 的最大值.VABC
6.(22-23 高一下·山东枣庄·期中)VABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知
4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .
sinA
(1)求 的值;
sin C
(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.
(i)证明:BD2 = BA·BC - DA·DC ;
(ii)若 a =1,求BD × AC 的最大值.
考点八、图形类综合
1.(23-24 高三上·河南·阶段练习)已知平面四边形 ABDC 中,对角线 CB 为钝角 ACD的平分线,CB 与
AD 相交于点 O, AC = 5, AD = 7, cos ACD
1
= - .
5
(1)求 CO 的长;
(2)若BC = BD ,求△ABD 的面积.
2.(21-22 高三上·广东珠海·期末)在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
a = b 3sinC + cosC .
(1)求 B;
π
(2)已知BC = 2 3 ,D 为边 AB 上的一点,若BD =1, ACD = ,求 AC 的长.2
3.(23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习)如图,在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b , c,且
bsin A + a = 3a cos B .
(1)求 B ;

(2)已知BC = 2 3 ,D为边 AB 上的一点,若BD =1, ACD = ,求 AC 的长.3
4.如图,在VABC 中, ABC = 90°, AB = 3 ,BC =1, P为VABC 内一点, BPC = 90°.
(1)若PC 3= ,求PA;
2
(2)若 APB =120°,求VABP的面积S .
5.(2023·河南信阳·模拟预测)在VABC 中, BAC = 60°,VABC 的面积为10 3 ,D为BC 的中点,
DE ^ AC 于点E, DF ^ AB于点F .
(1)求VDEF 的面积;
(2) AD 129若 = ,求 sin ABC + sin ACB 的值.
2
考点九、参数类问题
1.(2024·全国·模拟预测)在锐角三角形 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c,且
asinC = c 2sinB - cosAtanC .
(1)求C ;
uuur uuur
(2)若 AB = lBD l > 0 ,且 BCD π= ,求实数l 的取值范围.
4
2.(2023·全国·模拟预测)已知在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
bcos 3π + A ÷ + sin π + B
6
= 0 .
è 2 1- cos2C
(1)求 csinA的值;
(2)若 2 bsinC - atanC = ctanC ,且 S△ABC l ,求实数l 的取值范围.
3.(2023·湖北咸宁·模拟预测)在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足6cosC + c = 2b, a = 3 .
(1)证明:VABC 外接圆的半径为 3;
(2) 2S t a2 + 2b2若 VABC +11c2 恒成立,求实数 t 的取值范围.
4.(2024·江苏苏州·三模)在VABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且a b,c = 1.
uur uuur uuur
(1)若 | CA + CB |=| AB |,2sin A = sinC ,求VABC 的面积;
a - b
(2)若cos B - cos A = ,求使得m > a + b恒成立时,实数m 的最小值.
2
考点十、解三角形与其他知识点杂糅问题
r r
1.(2022·陕西宝鸡·模拟预测)已知 a = cosx, cosx ,b = 3sinx, -cosx r, f x r= a ×b ,
(1)求 f x 的单调递增区间;
1
(2)设VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f A = ,且 a = 3,求b2 + c2 的取值范围.2
2.(2022·山东淄博·模拟预测)记VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足
tan A - sin C tan B - sin C = sin2 C .
(1)求证: c2 = ab;
uuur uuur
(2)若 a + b = 3,求CA ×CB 的最小值.
3.(2022·江苏南通·模拟预测)已知圆的内接四边形 ABCD 中, AB = AD = 2 2 ,BC=2,CD = 2 3 .
(1)求四边形 ABCD 的面积;
uuur uuur uuur
(2)设边 AB,CD 的中点分别为 E,F,求FE × (AB + CD)的值.
1
4.(2022·浙江杭州·模拟预测)VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a = ccosB + b ,
2
DB 4, AB 5 uuur uuur(1)若D为BC 边上一点, = = ,且 AB × BD = -12 ,求 AC ;
uuuur uuur uuur
CA 3,CB 4, M uuur uuur(2)若 = = 为平面上一点, 2CM = tCA + 1- t CB ,其中 t R ,求MA × MB 的最小值.
5.(22-23 高三上·四川内江·阶段练习)已知函数 f x = cos x sin x - 3 cos x x R .
(1)求 f x 的最小正周期和单调增区间;
(2)在VABC B 3中,角A B C 、 、 的对边分别为 a、b 、 c.若 f ÷ = - ,b = 6,求VABC 的面积的最大
è 2 2
值.
6.(22-23 高三上·重庆南岸·阶段练习)在VABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,
sin A - sin C sin B + sin C
= .
sin B sin C + sin A
(1)求角 A 的大小;
(2)求 f C = 2sin 2C + 2 sin C π+ ÷ +1的取值范围.
è 4
ac
7.(2023·浙江金华·模拟预测)在VABC 中,角 A,B,C 所对应的边为 a,b,c.已知VABC 的面积 S = ,
4
R = 2 4 cos2 A - cos2其外接圆半径 ,且 B = (b - 3a)sin B .
(1)求 sin A ;
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(2)若 A 为钝角,P 为VABC 外接圆上的一点,求PA × PB + PB × PC + PC × PA的取值范围.
b + c a + c
8.(2024·广东·二模)已知正项数列 an , b n nn ,满足an+1 = ,bn+1 = (其中 c > 0).2 2
(1)若 a1 b1,且a1 + b1 2c,证明:数列 an - bn 和 an + bn - 2c 均为等比数列;
(2)若 a1 > b1,a1 + b1 = 2c ,以 an ,bn ,c 为三角形三边长构造序列VAnBnCn (其中 AnBn = c, BnCn = an , AnCn = bn ),
记VAnB
π 2
nCn 外接圆的面积为 Sn ,证明: Sn > c ;3
(3)在(2)的条件下证明:数列 Sn 是递减数列.
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