第 13 讲 泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的
应用（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
泰勒展开式及 比较指数幂的大小
2022 年新 I 卷，第 7 题,5 分
相关不等式放缩 比较对数式的大小
泰勒展开式及
2022 年全国甲卷理科，第 12 题,5 分 比较三角函数值大小
相关不等式放缩
泰勒展开式及
2021 年全国乙卷理科，第 12 题,5 分 比较对数式的大小
相关不等式放缩
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为 5 分
【备考策略】1 能理解泰勒公式的本质
2 能运用泰勒公式求解
【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点
就在于使用一个 n次多项式 pn x ，去逼近一个已知的函数 f x ，而且这种逼近有很好的性质： pn x 与
f x 在 x 点具有相同的直到阶 n的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精
髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研
领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构
造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可
知识讲解
1．泰勒公式：
泰勒公式是将一个在 x0 处具有 n阶导数的函数利用关于 (x - x0 )的 n次多项式来逼近函数的方法．
【定理 1】若函数 f (x) 在包含 x0 的某个闭区间[a,b]上具有 n阶导数，且在开区间 (a , b ) 上具有 (n +1) 阶导数，
则对闭区间[a,b]上任意一点 x ，成立下式：
f x f n f x = f x0 + f x x x 0 x x
2 L x 0 - 0 + - 0 + + 0 x - x
n
0 + R x 2! n!
(n)
其中： f (x0 )表示 f (x) 在 x = x0处的 n阶导数，等号后的多项式称为函数 f (x) 在 x0 处的泰勒展开式，剩余
n
的R(n) (x)是泰勒公式的余项，是 (x - x0 ) 的高阶无穷小量．
2．常见函数的泰勒展开式：
x x2 x3 xn xn+1
1 x q x（ ） e =1+ + + +L+ + e ，其中 0 < q <1 1! 2! 3! n! n 1 ! ；+
2 3 n n+1 n+1
（2） ln 1 x x x x+ = - + -L+ -1 n-1 x n xR 1 +
2! 3! n! n
，其中Rn = -1 n +1 ! 1+q x ÷ ；è
x3 x5 x2k -1 2k +1k -1 x
（3） sin x = x - + -L+ -1 + Rn ，其中Rn = -1
k cosq x
3! 5! 2k 1 ! 2k 1 ! ；- +
2 4 2k -2 2k
（4） cos x
x x
=1- + -L+ -1 k -1 x + R R = -1 k x cosq x
2! 4! 2k ，其中 ；- 2 ! n n 2k !
1
（5） =1+ x + x2 +L+ xn + o(xn )；
1- x
(1 x)n 1 n(n -1)（6） + = + nx + x2 + o(x2 ) ；
2!
x3 2
（7） tan x = x + + x5 + ×××+ o x2n ；
3 15
1 x 1 1 x 1 1（8） + = + - x2 + x3 + ××× + o xn ．
2 8 16
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
1
e x 1 + x ex 1+ x + x2， x 0 ， sin x 1 x - x3 x 0 ，
2 6
cos x 1 1- x2 ， ln x x -1， ex-12 x
，
tan x 1 1 x + x3 x 0 ， 1+ x 1+ x， ln 1+ x x ．
3 2
3．常见函数的泰勒展开式的结论：
结论 1 ln(1+ x) x (x -1)．
结论 2 ln x x -1 (x 0) ．
1
结论 3 1- ln x（ x 0）．
x
x ln 1 x< x < ln4 1+ x 结论 1+ x 1- 1+ x ．
1+ x
x ex 1 x 1 x结论 5 1+ x e ； < ； ln 1+ x x x -1 ．1- x 1+ x
结论 6 ex 1+ x (x R) ；
结论 7 e- x 1- x (x R)
1
结论 8 e x x < 1 ．
1- x
1
结论 9 e x x 1 ．
1- x
考点一、泰勒展开式的初步认知
1．（2023·辽宁·二模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒
展开式，下面给出两个泰勒展开式
2 3 4 n
ex =1+ x x x x x+ + + +L+ +L
2! 3! 4! n!
3 5 7 2n-1
sin x x x x x L 1 n+1 x= - + - + + - +L
3! 5! 7! 2n -1 !
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A． eix = cos x + i sin x （i 是虚数单位） B． eix = -i （i 是虚数单位）
x ln 2 2 x2 x4C． 2x 1+ x ln 2 + x 0 D． cos x 1- + x 0,1
2 2 24
【答案】ACD
【分析】对于 A、B，将关于 sin x 的泰勒展开式两边求导得 cos x的泰勒展开式，再验证结论是否正确；
对于 C，由 2x = ex ln 2 x 0 ，再代入关于 ex 的泰勒展开式验证是否成立；
x2 x4 x6 x8 x10 x2n x2n+2
对于 D，由 cos x = 1- + ÷ - + - +L- + +L，证明
è 2! 4! 6! 8! 10! 2n ! 2n + 2 !
x6 x8 x10 x2n x2n+2
- + - +L- + +L< 0
6! 8! 10! 2n ! 2n + 2 ! 即可.
x3 x5 x7 x2n-1
【详解】对于 A、B，由 sin x = x - + - +L+ -1 n+1 +L3! 5! 7! 2n -1 ! ，
2 4 6 2n-2
两边求导得 cos x 1
x x x x
= - + - +L+ -1 n+1 +L
2! 4! 6! 2n ，- 2 !
3
i sin x xi x i x
5i x7i 2n-1
= - + - +L+ -1 n+1 x i +L
3! 5! 7! 2n 1 ! ，-
2 3 4 5 6 7 2n-1 2n-2
cos x + i sin x =1+ xi x x i x x i x x i x i x- - + + - - +L+ -1 n+1 +
-1 n+1 +L
2! 3! 4! 5! 6! 7! 2n -1 ! 2n ，- 2 !
ix xi
2 xi 3 xi
e 1 xi
4 xi n
又 = + + + + +L+ +L，
2! 3! 4! n!
2 3
1 xi x x i x
4 x5i x6 x7i x2n-1i x2n-2
= + - - + + - - +L+ -1 n+1 + -1 n+1 +L
2! 3! 4! 5! 6! 7! 2n 1 ! 2n 2 ! ，- -
= cos x + i sin x，故 A 正确，B 错误；
2 3 4 n 2
对于 C ex 1 x x x x x x，已知 = + + + + +L+ +L，则 ex 1+ x + .
2! 3! 4! n! 2!
x ln 2 2 2
因为 2x = ex ln 2 x 0 ，则 ex ln 2 1 x ln 2 2x 1 x ln 2 x ln 2 + + ，即 + + x 0 成立，故 C 正确；
2! 2
故 C 正确；
x2 4 6 8 10 2n-2
对于 D， cos x
x x x x x
=1- + - + - +L+ -1 n+1 +L
2! 4! 6! 8! 10! 2n 2 ! ,，-
2 4 6 8 10 2n 2n+2
cos x x x x x x x x= 1- + ÷ - + - +L- + +L ，è 2! 4! 6! 8! 10! 2n ! 2n + 2 !
6 8 8 10
当 x 0,1 x x 0 x x，- + < ； - < 0；× × × ；
6! 8! 8! 10!
x2n x2n+2 x2n éx
2 - 2n +1 2n + 2 ù
- + = < 0， x 0,1 ,
2n ! 2n + 2 ! 2n + 2 !
x6 x8 x10 x2n x2n+2 2 4 2 4
所以- + - +L- + +L< 0 x x x x6! 8! 10! 2n ! 2n 2 ! ，所以 cos x <1- + =1- + x 0,1+ 成立，故 D2! 4! 2 24
正确.
故选：ACD.
【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：
应用泰勒公式时要选好 x ，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征
进行适当的放缩，证明不等式成立.
2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将 y = f x 在 x = x0处可以用一个多项式函数近似
f x0 2 f
n x
表示，具体形式为： f x = f x0 + f x0 x - x0 + x - x0 + ×××+
0 x - x n0 + ×××（其中2! n!
f n x 表示 f x 的 n 次导数），以上公式我们称为函数 f x 在 x = x0处的泰勒展开式.
(1)分别求 ex ， sin x ， cos x在 x = 0处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的 x 可以推广至复数域，试证明： e ip + 1 = 0 .（其中 i为虚数单位）；
3 5
(3)若"x 0, 2 ÷
，ea sin x x + 1恒成立，求 a 的范围.（参考数据 ln 0.9 ）
è 2
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3) a 1
【分析】（1）根据函数 f x 在 x = x0处的泰勒展开式的公式即可求解；
（2）把 ex 在 x = 0处的泰勒展开式中的 x 替换为 ix，利用复数的运算法则进行化简整理可得
eix = cos x + i × sin x ，从而即可证明；
3 1 3
（3）根据 sin x
3
在 x = 0处的泰勒展开式，先证"x 0, ÷ , sin x x - x2 6 恒成立，再证
"x 0, ÷ ，
è è 2
x 1- x3 ln(x +1)恒成立，然后分a 1和a < 1两种情况讨论即可求解.
6
【详解】（1）解：因为函数 f x 在 x = x0处的泰勒展开式为
f
x f n x n
f x = f x0 + f x x - x
+ 0
x - x 2 0 0 0 + ×××+ 0 x
- x n0 + ×××（其中 f x 表示 f x 的 n 次导2! n!
数），
所以 ex ， sin x ， cos x在 x = 0处的泰勒展开式分别为：
ex = 1 1 1+ x + x2 +L + xn +L，
2! n!
1 n-1sin x = x - x3 1 x5 L (-1)+ + + x2n-1 +L，
3! 5! (2n -1)!
1 1 (-1)ncos x = 1 - x2 + x4 +L + x2n +L；
2! 4! (2n)!
（2）证明：把 ex 在 x = 0处的泰勒展开式中的 x 替换为 ix，可得
eix = 1+ (ix) 1+ (ix)2 1+ (ix)3 1+ (ix)4 L 1+ + (ix)n +L
2! 3! 4! n!
1 1 (-1)n2 4 2n 1 1 (-1)n-1 = 1- x + x +L + x +L + i × x - x
3 + x5÷ +L + x
2n-1 +L÷ = cos x + i × sin x，
è 2! 4! (2n)! è 3! 5! (2n -1)!
所以 eip = cosp + i × sinp = -1，即 e ip + 1 = 0；
3
3 sin x x = 0 "x 0, （ ）解：由 在 处的泰勒展开式，先证 ÷ , sin x
1
x - x3
è 2
，
6
令 f (x) = sin x
1
- x + x3 , f (x) = cos x 1-1 + x2 , f (x) = x - sin x ，
6 2
f (x) = 1 - cos x ，易知 f (x) 0
，所以 f (x)在 0,
3
÷ 上单调递增，
è 2
所以 f (x) f (0)
3
= 0 ，所以 f (x)
0, 在 ÷ 上单调递增，所以 f (x) f (0) = 0，
è 2
3
所以 f (x) 在 0, 上单调递增，所以 f (x) f (0) = 0，
è 2 ÷
1 3 x 0, 3
1
- x(x -1)(x + 2)
再令 g(x) = x - x - ln(x + 1) ， ，易得6 è 2 ÷ g (x) = 2
，
x + 1
所以 g(x)
3
在( 0, 1)
上单调递增，在 1, ÷上单调递减，
è 2
而 g(0) = 0,g
3 15 5
2 ÷
= - ln 0
è 16 2
，
3
所以"x 0, ÷ , g(x) 0 2 恒成立，è
当a 1时，a sin x sin x
1
x - x3 ln(x + 1) ，所以
6 e
a sin x x + 1成立，
当a < 1时，令h(x) = a sin x
3
- ln(x + 1) ， x 0,
÷，易求得h (0) = a -1 < 0 ，
è 2
所以必存在一个区间 (0, m)，使得 h(x) 在 (0, m)上单调递减，
所以 x (0,m) 时， h(x) < h(0) = 0 ，不符合题意.
综上所述，a 1 .
【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据 sin x 在 x = 0处的泰勒展开式，先证
"x 0, 3 ÷ , sin x x
1
- x3 "x 0, 3 1 3恒成立，再证 ÷ ， x - x ln(x +1)恒成立，从而即可求解.
è 2 6 è 2 6
1．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算 ex ， ln x， sin x ， cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程
序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数 f x 在含有 x0 的某个开区间 a,b 内可以多次进行求导数运算，
则当 x a,b ，且 x x0时，有
f x0 0 f ' x0 f '' x f ''' xf x = x - x0 + x - x
0 x x 2 0 0 + - 0 + x - x
3
0 +L．0! 1! 2! 3!
其中 f ' x 是 f x 的导数， f '' x 是 f ' x 的导数， f ''' x 是 f '' x 的导数……．
取 x0 = 0，则 sin x 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ， sin1精确到 0.01 的近似值为 ．
1
【答案】 x5 0.84
120
1 3 1
【分析】根据泰勒展开式，化简得到 f x = sin x = x - x + x5 +L，求得 sin x 的“泰勒展开式”中第三个
6 120
非零项，令 x =1，代入上式，进而求得 sin1的近似值.
x = 0 f 0f x 0 f 'x 0 f '' 0 f ''' 0【详解】取 0 时，可得 = + x + x2 + x3 +L0! 1! 2! 3!
则 f x = sin x = 0 x0 +1 x + 0 x2 + (-1) 1 x3 + 0 1 x4 +1 x5 L
3! 5!
= x 1- x3 1+ x5 +L ，
6 120
1
所以 sin x 的“ 5泰勒展开式”中第三个非零项为 x ，
120
f 1 sin1 1 1 1 101令 x =1，代入上式可得 = = - + +L = +L 0.84 .
6 120 120
1 5
故答案为： x ；0.84 .
120
2．（23-24 高二下·山西长治·期末）对于函数 f x ，规定 f x = é f x ù f
2， x = é f x ù ，…，
f n n-1
x = é f x ù n f x f x ， f x 叫做函数 的 n 阶导数．若函数 在包含 x0 的某个闭区间 a,b 上具有
n 阶导数，且在开区间 a,b 上具有 n +1 阶导数，则对闭区间 a,b 上任意一点 x，
2 n
f x = f x0 + f x x - x + f x0 x - x 2 f xL 0 0 0 0 + + x - x0
n + R x ，该公式称为函数 f x 在2! n! n
x = x0处的 n 阶泰勒展开式，R n x 是此泰勒展开式的 n 阶余项．已知函数 f x = ln x +1 ．
(1)写出函数 f x 在 x =1处的 3 阶泰勒展开式（R n x 用R 3 x 表示即可）；
(2)设函数 f x 在 x = 0处的 3 阶余项为 g x ，求证：对任意的 x -1,1 ， g x 0 ；
1 1 1 1 27
(3) 求证： 1+
÷ 1+
2 ÷ 1+
L 1+
2 2 23 ÷ n ÷
< e22
2 n N
* ．
è è è è
1
【答案】(1) f x = ln 2 + x3 - 6x2 + 21x -16 ;24
(2)证明见详解；
(3)证明见详解.
【分析】（1）根据函数 f (x) 在 x =1处的3阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）根据泰勒公式的定义，计算函数 f (x) 在 x = 0处的3阶泰勒展开式余项
f (4)g(x) R (x) (e)x
4 x4
= (3) = =- ，e 介于 0 与 x 之间的常数，再通过导数判断单调性即可；4! 4(e +1)4
2 3
3 f (x) x = 0 n ln(x 1) x x x 4
3 n
（ ）计算函数 在 处的 阶泰勒展开式为 + = - + - +L+ (-1)n-1 x + R (x) ,并得
2! 3! 4! n! (n)
ln(x +1) < x 1 1 1，令 x = n ，则 ln( n +1) < n ，再利用累加法即可证明.2 2 2
【详解】（1）由题意，函数 f (x) = ln(x +1)，且 f (1) = ln 2，
则 f (x)
1
= , f (1) 1= ，
x +1 2
f (2) (x) -1= , f (2) (1) 1= -
(x +1)2 4 ，
f (3) (x) 2= 3 , f
(3) (1) 1=
(x +1) 4 ，
所以函数 f (x) 在 x =1处的3阶泰勒展开式为：
(2) 2 (3)
f (x) f (1) f (1)(x 1) f (1)(x -1) f (1)(x -1)
3
= + - + + + R(3) (x)2! 3!
2 3
= ln 2 x -1 (x -1) (x -1)+ - + + R(3) (x)2 8 24
= ln 2 1+ (x3 - 6x2 + 21x -16) .
24
（2）由（1）可知， f (0) = 0，f (0) =1，f (2) (0) = -1, f (3) (0) = 2，
f (4) (x) -6= 4 , f
(4) (e ) 6= -
(x ，+1) (e +1)4
所以函数 f (x) 在 x = 0处的3阶泰勒展开式为：
(2) 2 (3) 3
f (x) = f (0) + f (0)x f (0)x f (0)x+ + + R (x)
2! 3! (3)
x2 x3
= x - + + R
2 6 (3)
(x)，
f (4)(e)x4
其中R e 0 x(3)(x) = ， 介于 与 之间的常数，4!
f (4) (e )x4 x4
所以 g(x) = = -
4! 4(e +1)4
，
1
因为 4 为常数项，且 g(-x) = g(x)4(e ，+1)
所以函数 g(x)为偶函数，
3
因为 g x
x
= -
4 ，e +1
当 x -1,0 时， g x 0，所以 g x 在 (-1,0) 单调递增，
当 x 0,1 时， g x < 0，所以 g x 在( 0, 1)单调递减，
所以 g(x) g(0) = 0，
故对任意的 x (-1,1)， g(x) 0 .
（3）由（2）可知，函数 f (x) 在 x = 0处的 n阶泰勒展开式为
x2 x3 43 nln(x +1) = x - + - +L+ (-1)n-1 x + R
2! 3! 4! n! (n)
(x)，
所以 ln(x +1) < x ，
令 x
1
= n ，2
则 ln(
1
+1) 1<
2n 2n
，
所以 ln(
1
1 +1) + ln(
1
2 +1) +L+ ln(
1 1 1 1 1
n +1) < + 2 +L+ n =1- ，2 2 2 2 2 2 2n
1 1 1 1 1 1- 27
即 ( 1 +1)( 2 +1)( 3 +1)L( n +1) < e 2
n < e1 < e22 .
2 2 2 2
【点睛】关键点点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确 n阶泰勒展开式的具体定义；在
证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在 x = 0处的 n阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法
将不等式进行转化.
考点二、泰勒展开式的综合应用
1．（2022 年新Ⅰ卷高考真题第 7 题）
0.1 b 1设 a = 0.1e ， = ， c = - ln 0.9则（ ）9
A． a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D． a < c < b
泰勒公式法：
2
e0.1 1+ 0.1 0.1+ =1.105 0.1e0.1 1因为 ，所以 0.1105 < = 0.11111 = b ，所以 a < b
2 9
因为
(1)2 (1)3
c 10= - ln 0.9 = ln = ln(1 1) 1 9 9 1 1 1 1+ - + = - + - 0.006 = 0.105 < a 所以 c < a
9 9 9 2 3 9 162 2187 9
综上所述： c < a < b
故选：C
其他方法
放缩法
x 1 ex 1因为 + < < (x <1) ，
1- x
所以1.1 < e0.1 1< 0.11 < a = 0.1e0.1 1 1< 0.1 = = b，即 a < b
1- 0.1 1- 0.1 9
ln x 1 (x 1因为 < - )(x 1) ，
2 x
所以 c 10 1 10 9 19= - ln 0.9 = ln < ( - ) = < 0.11 < a ，即 c < a
9 2 9 10 180
综上所述： c < a < b ，故选：C
构造函数法
假设 a < b 0.1 1 0.1成立，即0.1e < 0.9e <1 ln 0.9 + 0.1 < 0
9
令 x = 0.9 ，则等价证明： ln x + (1- x) < 0，即证： ln x < x -1（原式得证，略）
a < c 0.1e0.1假设 成立，即 < - ln 0.9 0.1e0.1 + ln 0.9 < 0
令 x = 0.1 x，则等价证明： xe + ln(1- x) < 0 ， x (0,1)
1 x2x -1 ex +1设 g(x) = x e + ln(1- x)(0 < x <1) ，则 g (x) = x+1 ex + = ,
x -1 x -1
令 h(x) = ex (x2 -1)+1， h (x) = ex (x2 + 2x -1) ，
当0 < x < 2 -1时， h (x) < 0，函数 h(x) = ex (x2 -1)+1单调递减，
当 2 -1< x <1时， h (x) 0，函数 h(x) = ex (x2 -1)+1单调递增，
又 h(0) = 0，
所以当0 < x < 2 -1时， h(x) < 0，
所以当0 < x < 2 -1时， g (x) 0，函数 g(x) = x ex + ln(1- x)单调递增，
所以函数 g(x) = x ex + ln(1- x)在 x (0, 2 -1) 单调递增，
所以 g(0.1) g(0)，即：0.1e0.1 + ln 0.9 0，所以假设 a < c不成立，即 a c ，
综上所述： c < a < b ，故选：C
31
2．（2022·全国·统考高考真题）已知 a = ,b = cos
1 ,c 4sin 1= ，则（ ）
32 4 4
A． c b a B．b a c C． a b c D． a c b
【答案】A
c 1
【分析】由 = 4tan 结合三角函数的性质可得c b ; f x = cosx 1+ x2构造函数 -1, x 0, + ,利用导数可
b 4 2
得b a ,即可得解.
【详解】
[方法一]：泰勒展开
2 2 4
设 x = 0.25，则 a 31 1 0.25= = - ，b = cos 1 1 0.25 0.25- + ，
32 2 4 2 4!
sin 1 2 4
c = 4sin 1 4 0.25 0.25= 1 1- + ，计算得 c b a，故选 A.4 3! 5!
4
[方法二]：构造函数
x π 0, 因为当 ÷ , x < tan x
è 2
c
故 = 4 tan
1
1 c，故 1，所以c b ；
b 4 b
f (x) cos x 1设 = + x2 -1, x (0,+ )，
2
f (x) = -sin x + x 0，所以 f (x) 在 (0, + )单调递增，
f 1 故 ÷ f (0)=0
1 31
，所以 cos - 0，
è 4 4 32
所以b a，所以 c b a，故选 A
[方法三]：不等式放缩
π
因为当 x
0, ÷ ,sin x < x，
è 2
1 1 2
取 x = 得： cos =1- 2sin2 1 1- 2 1 31 ÷ = ，故b a8 4 8 è 8 32
1 4
4sin 1 + cos 1 = 17 sin 1 +
，其中
0, p ，且 sin = , cos =
4 4 è 4 ÷ ÷ è 2 17 17
当 4sin
1
+ cos 1 = 17 1 p p 1时， + = ，及 = -
4 4 4 2 2 4
sin 1 cos 4 cos 1 1此时 = = ， = sin =4 17 4 17
故 cos
1 1 4 1 1
= < = sin < 4sin
4 ，故b < c17 17 4 4
所以b a，所以 c b a，故选 A
[方法四]：构造函数
c 4 tan 1= x 因为 ，因为当 0,
π
÷ ,sin x < x < tan x，所以 tan
1 1
c,即 1，所以c b ；设
b 4 è 2 4 4 b
1
f (x) 1= cos x + x2 -1, x (0,+ )， f (x) = -sin x + x 0
，所以 f (x) 在 (0, + )单调递增，则 f ÷ f (0)=0 ,所2 è 4
1 31
以 cos - 0，所以b a ,所以 c b a，
4 32
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
c
因为 = 4 tan
1
，因为当 x 0,
π
÷ ,sin x < x < tan x，所以 tan
1 1
c,即 1，所以c bb ；因为当b 4 è 2 4 4
2
x 0,
π
÷ ,sin x < x
1 1
，取 x = 得
2 cos =1- 2sin
2 1 1- 2 1 31 ÷ = ，故b a，所以 c b a．è 8 4 8 è 8 32
故选：A．
【整体点评】方法 4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
π
方法 5：利用二倍角公式以及不等式 x 0, ÷ ,sin x < x < tan x放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
è 2
3．（2021·全国·统考高考真题）设 a = 2ln1.01，b = ln1.02， c = 1.04 -1．则（ ）
A． a < b < c B．b
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 a,b 的大小作出判定，对于 a 与 c，b 与 c 的大小关系，
将 0.01 换成 x,分别构造函数 f x = 2ln 1+ x - 1+ 4x +1, g x = ln 1+ 2x - 1+ 4x +1，利用导数分析其在 0
的右侧包括 0.01 的较小范围内的单调性，结合 f(0)=0,g(0)=0 即可得出 a 与 c，b 与 c 的大小关系.
【详解】
[方法一]：
由泰勒公式, 可知
ln 1 x 1 1+ x - x2 + x3 ,
2 3
1
1 x 1 1 1+ 2 -1 x - x2 + x3.
2 8 16
将 x = 0.01, x = 0.02, x = 0.04 , 分别相应代入估 算, 得 a 0.01990,b 0.019802,c 0.019804 .
由此可知 b < c < a .
[方法二]：
a = 2ln1.01 2 = ln 1+ 0.01 2= ln1.01 = ln 1+ 2 0.01+ 0.012 ln1.02 = b ，
所以b < a ；
下面比较 c与 a,b的大小关系.
2 1+ 4x -1- x
记 f x = 2ln 1+ x - 1+ 4x +1，则 f 0 = 0 2 2 ， f x = - = ，
1+ x 1+ 4x 1+ x 1+ 4x
由于1+ 4x - 1+ x 2 = 2x - x2 = x 2 - x
所以当 0 0，
所以 f x 在 0,2 上单调递增，
所以 f 0.01 f 0 = 0，即 2ln1.01 1.04 -1，即 a c ；
2 1+ 4x -1- 2x
令 g x = ln 1+ 2x - 1+ 4x +1，则 g 0 = 0 2 2 ， g x = - = ，
1+ 2x 1+ 4x 1+ x 1+ 4x
1+ 4x - 1+ 2x 2由于 = -4x2 ，在 x>0 时，1+ 4x - 1+ 2x 2 < 0，
所以 g x < 0，即函数 g x 在[0，+∞)上单调递减，所以 g 0.01 < g 0 = 0，即 ln1.02 < 1.04 -1，即 b综上，b故选：B.
[方法三]：
2
令 f x ln x +1 = ÷ - x -1(x 1)
è 2
x -1 2f x = - 2 < 0，即函数 f (x) 在（1，+∞)上单调递减x +1
f 1+ 0.04 < f 1 = 0,\b < c
x2 + 3 令 g x = 2ln ÷ - x +1(1< x < 3)
è 4
x -1g x 3- x = 0 ，即函数 g(x)在（1，3)上单调递增
x2 + 3
g 1+ 0.04 g 1 = 0,\a c
综上，b故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
1 2
1．（2023· 4重庆沙坪坝·模拟预测）已知 a = e3 ，b = e e ，则（ ）3
A． a < 2 < b B． 2 < a < b C． a < b < 2 D．b < a < 2
【答案】A
ln x
【分析】根据给定的信息构造函数 f (x) = (1- x)ex 确定 a与 2 的大小关系，构造函数 g(x) = 确定b 与 2 的
x
大小即得.
1
a 4 e3 a 2
1
e3 (1 1
1
【详解】由 = ，得 = = - )e3 ，令函数 f (x) = (1- x)ex ,0 < x <1，求导得 f (x) = -xex < 0，
3 2 3 3
则函数 f (x)
a
在( 0, 1)上单调递减， = f (
1) < f (0) =1，因此 a < 2，
2 3
2
由b = e e ，得 ln b
2 ln b 1 ln e ln x
= ，有 = = ，令函数 g(x) = ,1< x e，
e 2 e e x
求导得 g (x)
1- ln x
= 2 0 ，当且仅当 x=e时取等号，即函数 g(x)在 (1,e]单调递增，x
ln b ln e ln 2
= ，即 ln b ln 2 ，因此b 2 ，
2 e 2
所以 a < 2 < b .
故选：A
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
ln 3 ln 5
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 a = ln 2，b = ， c = ，则（ ）
2 5
A． c < b < a B． a < c < b
C． c < a < b D． a < b < c
【答案】B
f x ln x x 0 ln 4 ln 5 ln 6 ln 3 ln 6【分析】构造函数 = ，利用单调性可得 < < ，作差法比较 ，可得结
x 4 5 6 2 6
果.
ln 4
【详解】由 a = ln 2 = ，
4
f x ln x
1
构造函数 = x 0 ，则
x f x x 1
ln x 2 - ln x
= - = ，
x 2 ֏ 2x x
当 0 < x < e2 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 0,e2 上单调递增，
而0 < 4 < 5 < 6 < e2，所以 f (4) f (5)
ln 4 ln 5 ln 6
< ，即 < < ，也就是 a < c；
4 5 6
ln 3 ln 6
下面再比较 与 ，
2 6
b c ln 3 ln 6 3 ln 3- ln 6 ln 3
3 - ln 6
- = - = = ，
2 6 6 6
5
因为 33 3 33 = 3 243 , 6 = 216 ，
ln 3 ln 6
所以3 3 6 ，则 ，2 6
所以 a < c < b .
故选：B
【点睛】思路点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小.
3．（2024·
3
全国·模拟预测）若 loga = 4 2 2 ，b = log14 7， c = log12 6 ，则（ ）
A． a b c B．b c a
C． c b a D． a c b
【答案】A
【分析】
利用指对数运算法则得到 a
3
= ，b =1- log14 2 1
ln 2 ln 2
= - ， c =1- ，从而利用对数函数的性质分析判断
4 ln14 ln12
得b < a ，b c，从而得解.
2
3 3 2log2 2log
3 log
2 2 ÷÷2 3 3【详解】 a = 4 2 = 2 2 = 2 è = ÷÷ = ，
è 2 4
b = log14 7 1 log
ln 2 ln 2
= - 14 2 =1- ， c = log12 6 =1- log 2 =1- ，ln14 12 ln12
4
因为 4log14 2 = log14 2 = log14 16 1，则 log
1
14 2 ，4
1 log 2 1 1 3所以 - 14 < - = ，即b < a ；4 4
ln 2 ln 2
而 ln 2 0 ， ln14 ln12 0，所以 < ，
ln14 ln12
1 ln 2 1 ln 2所以 - - ，即b c；
ln14 ln12
综上： a b c .
故选：A.
3 ln 2 ln 2
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用b =1- log14 2与 比较大小，利用b =1- 与 c =1- 比较4 ln14 ln12
大小，从而得解.
3 4 1 4 3
4．（2023 高三·全国·专题练习）已知 a = + ln ，b = - ， c = + ln ，则（ ）
4 5 5 5 4
A． c a b B． a b c C． a c b D． c b a
【答案】C
【分析】构造函数 f (x) = ln x - x ， x (0,1) ，利用对数函数的单调性结合中间值法可得出 a、b 、 c的大小关
系.
【详解】设函数 f (x) = ln x - x x (0,1) f (x)
1
， ，则 = -1，当 x (0,1) 时， f (x) 0 ， f (x) 为增函数，
x
f 4 f 3 ln 4 4 ln 3 3 4 3 3 4所以 ÷ ÷，即 - - ，即 ln + ln + ，所以 a c ，
è 5 è 4 5 5 4 4 5 4 4 5
3 1 4
因为3e 4，所以 ，所以 c = + ln
3 4 1 4 1
+ ln = -1 = - = b，因此 a c b .
4 e 5 4 5 e 5 5
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是构造函数 f (x) = ln x - x ， x (0,1) ，利用导数说明函数的单调性，从而比
较大小.
1 3
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）设 a = sin0.2,b = 0.16,c = ln ，则（
2 2 ）
A． a c b B．b a c
C． c b a D． c a b
【答案】D
【分析】构造 f x = sinx - x - x2 , x 0,0.2 ，二次求导，得到单调性，得到 sin0.2 - 0.16 0，再变形得到
c 1= ln 1+ 0.2 ，故构造 h x 1= é ln 1+ x - ln 1- x -sinx, x 0,0.2 ù ，求导得到其单调性，比较出 c a ，得2 1- 0.2 2
到答案.
2
【详解】设 f x = sinx - x - x , x 0,0.2 , f x = cosx -1+ 2x ，
设 g x = f x , g x = -sinx + 2 0，所以 g x g 0 = 0 ，
所以函数 f x 在 0,0.2 上单调递增，
所以 f 0.2 = sin0.2 - 0.2 - 0.22 = sin0.2 - 0.16 f 0 = 0，即 a b .
c 1 ln 3 1 ln 1.2 1 1+ 0.2根据已知得 = = = ln ，
2 2 2 0.8 2 1- 0.2
可设 h x 1= é ln 1+ x - ln 1- x -sinx, x 0,0.2ù2 ，
h x 1 1 1则 = +
÷ - cosx
1
= 2 - cosx 0，2 è1+ x 1- x 1- x
所以函数 h x 在 0,0.2 上单调递增，
所以 h 0.2 h 0 = 0，即 c a .
综上， c a b .
故选：D.
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出
函数的单调性，从而比较出代数式的大小.
1 2
-
1．（2024· · 2辽宁 一模）设 a = ，b = 2 - e3，c =1- e 3 则（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
【答案】B
2 1
【分析】利用导数证明不等式 ex x +1，可得b < a,c < a ；根据不等式的性质可证得 -1+ e 3 e3 ，则 c < b ，即
可求解.
【详解】对于函数 f (x) = ex - x -1， f (x) = ex -1，
令 f (x) < 0 x < 0, f (x) 0 x 0，
所以函数 f (x) 在 (- ,0)上单调递减，在 (0, + )上单调递增，
所以 f (x)min = f (0) = 0，则 f (x) 0，即 ex x +1 .
1 2
-
所以 b = 2 - e3 2
1 2
- ( +1) = ， c = 1- e 3 1
2 2
- (- +1) = .
3 3 3 3
1 2 2 1 1 2 12 1 -
e2 8 e3 < 1+ e 3 = 1+ 2 = e3由 < ，得 e3 < 83 = 2，所以 1 ，则 2 2 1 ，
e3 e3 e3 e3
2 1
所以 -1- e 3 < 2 - e3 ，即 c < b .
所以 c < b < a .
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
2．（2024·辽宁·二模）若 a =1.01+ sin0.01,b =1+ ln1.01,c = e0.01，则（ ）
A．b c a B． a c b
C． c b a D． c a b
【答案】B
【分析】通过构造函数 f (x) =1+ x + sin x - ex ，利用导数与函数单调性间的关系，得到 f (x) =1+ x + sin x - ex
在区间 (0,
1)上单调递增，从而得出 c < a，构造函数G(x) = ex - ln(x +1) -1，利用导数与函数单调性间的关
2
系，得到G(x) = ex - ln(x +1) -1在区间 0,1 上单调递增，从而得出b < c ，即可得出结果.
【详解】令 f (x) =1+ x + sin x - ex ，则 f (x) =1+ cos x - ex ，
1
令 h(x) =1+ cos x - ex，则 h (x) = -sinx - ex < 0在区间 (0, )上恒成立，
2
1 1 1 1 1 1
即 f (x) π在区间 (0, )上单调递减，又 f ( ) =1+ cos - e2 1+ cos - e2 32 =1+ - e
2 ，
2 2 6 2
3 1
而 (1+ )2 1 3 1= + + 3 e，所以 f ( ) =1 3+ - e2 0，
2 4 2 2
1
即 f (x) =1+ x + sin x - ex 在区间 (0, )上单调递增，所以 f (0) < f (0.01)，
2
得到0 <1.01+ sin 0.01- e0.01，即 e0.01 <1.01+ sin 0.01，所以 c < a，
1
令G(x) = ex - ln(x +1) -1，则G (x) = ex - ，当 x (0,1) 时，G (x) 0，
x +1
即G(x) = ex - ln(x +1) -1在区间 0,1 上单调递增，
所以G(0) < G(0.01) ，得到0 < e0.01 - ln1.01-1，即1+ ln1.01 < e0.01，所以b < c ，
综上所述，b故选：B.
【点睛】关键点点晴：通过构造函数 f (x) =1+ x + sin x - ex 和G(x) = ex - ln(x +1) -1，将问题转化成比较函数
值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.
1012 2023 20253．（2024· · a 1013山西 二模）设 = ÷ ，b = ÷ ，则下列关系正确的是（ ）
è 1011 è1012
A． e2 < a < b B． e2 < b < a C． a < b < e2 D．b < a < e2
【答案】B
ln a 2023ln1012 (2 1011 1)ln(1 1 ) lnb 2025ln 1013【分析】由题意可得 = = + + 、 = = (2 1012 +1)ln(1
1
+ )
1011 1011 1012 1012 ，构造函数
1 h(x) ln(x 1) 2xf (x) = (2x +1)ln(1+ ) = (2x +1)[ln(x +1) - ln x](x 1)、 = + - (x 0)x ，利用导数讨论两个函数的单调性x + 2
可得 a b、b e2 ，即可求解.
【详解】 ln a = 2023ln
1012
= (2 1011+1)ln(1 1+ )
1011 1011 ，
lnb = 2025ln 1013 = (2 1012 +1)ln(1 1+ )
1012 1012 ，
设函数 f (x) = (2x +1)ln(1
1
+ ) = (2x +1)[ln(x +1) - ln x](x 1)
x ，
f (x) = 2ln(x +1) - 2ln x + (2x +1)( 1 1- ) = 2ln(1 1+ ) 1 2 1- × ( + )
则 x +1 x x 1 x x21+ ，
x
2
g(x) 2ln(1 x) x + 2x
x2
设 = + - (0 < x <1)，则 g (x) = - < 0
1+ x (1+ x)2
，
所以 g(x)在( 0, 1)上单调递减，且 g(x) < g(0) = 0，即 f (x) < 0 ，
所以 f (x) 在 (1, + )上单调递减，
则 f (1011) f (1012)，即 ln a ln b，所以 a b .
1 4 x2
设 h(x) = ln(x
2x
+1) - (x 0) ，则 h x = - 2 = 2 0，x + 2 x +1 x + 2 x +1 x + 2
所以 h(x) 在 (0, + ) 1上单调递增，且 h( ) h(0) = 0x ，
2
1 1 2 (2x 1)ln(1
1
+ + ) - 2
ln(1 ) x ln(1 ) x f (x) - 2即 + - = + - = = 0x 1 ，+ 2 x 2x +1 2x +1 2x +1
x
得 f (x) 2，所以 f (1012) 2 ，即 lnb 2 ，解得b e2 .
综上， e2 < b < a .
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导
数判断单调性，进而比较大小.
4 2024· · a 1 1 1 ,b ln 103
2.01 2.01
．（ 全国 模拟预测）已知 = + + = ,c 1 2= + ，则（ ）
100 101 102 100 è10 ÷ è15 ÷
A． a < b < c B． c < b < a C．b【答案】B
【分析】构造函数利用导数证明得当 x 0时，有 x ln x +1 ，从而可证得
1 1 1
+ + ln103 ln100 ln 103 1 103 100 3 1- = ，同理当 x 1时，有 lnx 1- ，从而b = ln 1- = ，
100 101 102 100 x 100 103 103 36
1 2.01 2 2.01 2 1 2
2 1
另一方面注意到 c = ÷ +
<
10 15 ÷ 10 ÷
+ ÷ = ，由此即可得解.
è è è è15 36
1 x
【详解】设 f x = x - ln x +1 (x 0)，则 f x =1- = 0，
x +1 x +1
所以 f x 在 0, + 单调递增，所以 f x f 0 = 0，即当 x 0时，有 x ln x +1 ，
1
所以 ln
101
= ln101- ln100 1．同理可得 ln102 - ln101,
1
ln103 - ln102，
100 100 101 102
1 1 1
所以 + + ln103 - ln100 = ln
103
，即 a b．
100 101 102 100
设 g x = lnx 1+ -1(x 1) g x 1 1 x -1，则 = - 2 = 2 0，x x x x
所以 g x 在 1, + 1单调递增，所以 g x g 1 = 0，即当 x 1时，有 lnx 1- ，
x
b ln 103 1 100 3 1所以 = - = ．
100 103 103 36
2.01 2.01
c 1 2 1
2
2
2
1
又因为 = + < + = ，所以b c．
è10 ÷ è15 ÷ è10 ÷ ÷ è15 36
综上可知， c < b < a ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：在比较b,c的大小关系时，关键是找到适当的中间值，然后通过适当的放缩比较大小
即可顺利得解.
3 3 3
5．（23-24 高三上·陕西西安·阶段练习）若 a = ln 4，b = ， c = sin + tan ，则 a，b，c 的大小关系为
2 4 4
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c【答案】A
π
【分析】由对数函数的性质可得b a，构造函数 h(x) = sin x + tan x - 2x, (x
0, ÷) ，利用导数可得c b ，则
è 4
答案可求.
3
2
3 33
【详解】因为 4 2 < e2 ÷ ，所以 4 < e2 ，所以 a = ln 4 < b = = ln e2 ，
è 2
令 h x = sin x + tan x - 2x, x π 0, 4 ÷÷，所以，则è è
3 2
h (x) cos x 1 2 cos x - 2cos x +1
cos3 x - cos2 x - cos2 x -1
= + 2 - = =cos x cos2 x cos2 x
cos2 x cos x -1 - cos x +1 cos x -1 cos x -1 cos2 x - cos x -1
= = ，
cos2 x cos2 x
2
2 cos x - cos x -1 = cos x 1- 5 1+ 2 ÷ - - ,-1÷，
è 2 4 ÷è 2
cos x -1 cos2 x - cos x -1
所以 h x = 0，
cos2 x
即 h x = sin x + tan x - 2x, x 0, π ÷÷恒为递增函数，
è è 4
h(3则 ) h(0) = 0，即 sin
3
+ tan 3 3- 0，所以c b ，
4 4 4 2
综上： a < b < c，
故选：A.
4 1
6．（2023·全国·模拟预测）已知 a = ln ，8b = 3， c = sin ，则（
3 3 ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D．b < c < a
【答案】B
【分析】对 b 放缩可得b
1
，构造 f (x) = x - sin x
1 1
，利用导数讨论单调性可得 c = sin < < b ，再构造
3 3 3
g(x) = sin x - ln(x +1) x é， ê0,
1ù
ú，利用二次导数研究其单调性可比较 a，c，然后可得答案. 3
1 1
【详解】因为8b = 3，所以b = log8 3 = log3 2
3 ．
3
构造函数 f (x) = x - sin x ，则 f (x) =1- cos x 0恒成立，
所以 f (x) 在 (0, + )上单调递增，
1 1 1
所以 f ÷ f (0) = 0，即 c = sin < < b ，即 c < b ．
è 3 3 3
构造函数 g(x) sin x ln(x 1) x é0,
1
= - + ，
ù
ê ú，则 g (x) = cos x
1
- ，
3 x +1
h(x) cos x 1
1
令 = - ，则 h (x) = -sin x +
x +1 (x 1)2
，
+
令m(x)
1 2
= -sin x + 2 ，则m (x) = -cos x - < 0(x +1) (x ，+1)3
1 m(x) = h (x) sin
1 1 9
- + = - sin 1 0
所以m(x)
在 0,
2
3 ÷
上单调递减， 3 1 16 3 ，
è +13 ÷è
1 0, 1所以 g (x) = cos x -
在 ÷ 上单调递增，所以 g (x) g (0) = 0 ，x +1 è 3
所以 g(x)
1
在 0, ÷ 上单调递增，
è 3
g 1 g(0) 1= 0 c = sin ln 1所以 +1
= ln 4 = a c a
3 ÷ ，即 3 3 ÷ 3 ，即 ．è è
综上， a < c < b．
故选：B．
【点睛】本题难点在于函数得构造，构造函数时经常需要利用同构函数、放缩法，构造差函数等，然后利
用导数研究单调性，由单调性比较即可.
2022 1
7．（2024·全国·模拟预测）已知 -a = e 2023 ，b = ln2024 - ln2023， c = sin ，则（ ）2023
A． c【答案】D
【分析】构造函数 f x = ex - x -1及函数 g x = x - sin x ，结合函数的单调性可比较 a与 c，构造函数
h x = sin x - ln x +1 ，结合函数的单调性可比较b 与 c，即可得解.
f x = ex【详解】令 - x -1， x < 0 ，
x
则 f x = e -1 < 0在 - ,0 上恒成立，故 f x 在 - ,0 上单调递减，
2022
-故 f x f 0 =1- 0 -1 = 0 f 2022 ，故 - = e 2023
2022- - -1 0，
è 2023 ÷ ÷ è 2023
2022
- 1
即 e 2023 2022 1 1- = ，即 a ，、
2023 2023 2023
令 g x = x - sin x ，则 g x =1- cos x 0，故 g x 在定义域内单调递增，
g 1 1 1故 2023 ÷
= - sin g 0 = 0 - 0 = 0，即 a c ；
è 2023 2023
令 h x = sin x - ln x +1 ，0 < x <1，
h x cos x 1 1 2sin2 x 1 x
2 1
则 = - = - - 1- 2 -
x +1 2 1+ x 2 ֏ 1+ x
1 1 1
x 2 + x 1- x
= - x2 - = 0 在 0,1 2 1+ x 2 1 x 上恒成立，+
故 h x 在 0,1 上单调递增，
又 h 0 = sin 0 1- ln1 = 0 ，故 h h 0 = 0，
è 2023 ÷
sin 1故 ln
2024
，即c b ，2023 è 2023 ÷
故有 a c b .
故选：D.
x
【点睛】关键点睛：本题关键在于构造对应的函数帮助比较大小，对 a与 c，可通过构造 f x = e - x -1，
1
从而比较 a与 的大小关系，构造 g x = x - sin x ，从而比较 c 1与 的大小关系，可得 a与 c的大小关
2023 2023
系，通过构造 h x = sin x - ln x +1 可比较b 与 c的大小关系.
π 9π
8．（2024·全国·模拟预测）已知 6a = e10 ，b =1+ sin ， c = 1.1 ，则 a，b ， c的大小关系为（10 ）
A． a b c B． a c b C． c a b D． c b a
【答案】C
【分析】先利用常见不等式放缩得到 a，b 的大小关系，再利用幂函数的单调性比较 a， c的大小关系即可
得到答案.
f x = ex【详解】令 - x -1 x 0 ，则 f x = ex -1 0恒成立，
所以 f x 在 0, + 单调递增，
所以当 x 0时， f x f 0 = 0 ex，即 x +1 x 0 ；
令 g x = x - sin x x 0 ，则 g x =1- cos x 0恒成立，
所以 g x 在 0, + 单调递增，
所以当 x 0时， g x g 0 = 0，即 sin x < x(x 0)；
b 1 sin 9π 1 sin π由诱导公式得 = + = + ，
10 10
b 1 sin π 1 π
π
所以 = + < + < e10 ，因此 a b；
10 10
π 4 0.4
因为 a = e10 < e10 = e0.4， c =1.1
6 = 1.115 ，
故只需比较 e与1.115 的大小，
1.115 = (1+ 0.1)15 1+ C1 (0.1)1 + C2 (0.1)2由二项式定理得， 15 15 3 e，
所以 c a ．
综上， c a b .
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：
（1）中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；
（2）构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进
而比较大小；
（3）放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.
7 8
9．（2024· e湖南邵阳·一模）设 a = ,b e= ,c e= ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
8 7 56
A． a < c < b B． a < b < c
C．b < a < c D． c【答案】D
ex x
【分析】构造函数 f x = , 然后根据函数的单调性判断 a，b 的大小，构造函数 g x = e - e x,判断 a，c的
x
大小，从而判断出大小；
1
1 17 e7
a e
= 8 = 7
【详解】 b 1 1 1 ，e8 e8
7 1
8
ex ex
设 f x x -1= ,0 x < <1, f x = ,，
x x2
\ f x < 0
\ f x 在 0,1 上单调递减.
1 1
又 , f
1\ ÷ < f
1
÷ ,7 8 è 7 è 8
\a < b；
1
又 a - c
1 e
=
8
e7 - ，
è 7
÷
设 g x = ex - e x, g x = ex - e,
x <1时， g x < 0,
\ g x 在 - ,1 单调递减.
1
\ g ÷ g 1 = 0,
è 7
\a c；
综上， c故选：D.
1 1 1
10．（23-24 高三上·安徽·期末）已知 log6 a = ， log4 4
b = ， c = 1+ e e ，则（ ）3
A． a < b < c B．bC．b < a < c D． a < c < b
【答案】A
1 1 1
【分析】由条件得到 a = 64 ， b = 43 ，从而得到 a
12 = 216， b12 = 256，即可得出 b a，构造函数 y = (1+ x) x (x 1)，
利用函数的单调性，即可判断出c b ，从而得出结果.
【详解】由 log6 a
1 1 1 1
= ，得到
4 a = 64
，又 log4 b = ，所以3 b = 43
，
1 1
所以 a12 = (64 )12 = 216，b12 = (43 )12 = 256，又 256 216，
所以b12 a12，又 a 0,b 0，得到b a，
1 1 1 1 1
令 y = (1+ x) x (x 1)，则 ln y = ln(1+ x)，所以 y = - 2 ln(1+ x) +x y x x(1 x)
，
+
1
得到 y [ 1 ln(1 x) 1
1 x
= - 2 + + ](1+ x) x
(1+ x)
= [x - (1+ x) ln(1+ x)]，
x x(1+ x) x2 (1+ x)
令 h(x) = x - (1+ x) ln(1+ x) ，则 h (x) =1- ln(1+ x) -1 = - ln(1+ x) < 0 在区间 (1, + )上恒成立，
所以 h(x) = x - (1+ x) ln(1+ x) 在区间 (1, + )上单调递减，
1
又 h(1) =1- (1+1) ln(1+1) =1- 2ln 2 =1- ln 4 < 0 ，当 x (1,+ )时， (1+ x)
x
0，
x2 (1+ x)
1
得到 y (1+ x)
x
= [x - (1+ x) ln(1+ x)] < 0 在区间 (1, + )上恒成立，
x2 (1+ x)
1
所以 y = (1+ x) x 在区间 (1, + )上单调递减，
1 1
又e < 3，所以 c = 1+ e e (1+ 3)3 = b，得到 c b a，
故选：A.
1
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断b,c的大小，通过构造函数 y = (1+ x) x (x 1)，利用导数与函数
1
的单调性间的关系，得函数 y = (1+ x) x (x 1)的单调性，即可求出结果.
ln 3 ln 5
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 a = ln 2，b = ， c = ，则（
2 5 ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c < a < b D． a < b < c
【答案】B
【分析】构造函数 f x ln x x 0 ln 4 ln 5 ln 6 ln 3 ln 6= ，利用单调性可得 < < ，作差法比较 ，可得结
x 4 5 6 2 6
果.
ln 4
【详解】由 a = ln 2 = ，
4
ln x 1
构造函数 f x = x 0 ，则 f x x 1 ln x 2 - ln xx = - ，x 2 ÷ =è 2x x
2
当 0 < x < e2 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 0,e 上单调递增，
ln 4 ln 5 ln 6
而0 < 4 < 5 < 6 < e2，所以 f (4) < f (5) ，即 < < ，也就是 a < c；4 5 6
ln 3 ln 6
下面再比较 与 ，
2 6
ln 3 ln 6 3 ln 3- ln 6 ln 3 3b - ln 6- c = - = = ，
2 6 6 6
5
因为 33 3 33 = 3 243 , 6 = 216 ，
ln 3 ln 6
所以3 3 6 ，则 ，2 6
所以 a < c < b .
故选：B
【点睛】思路点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小.
1
12．（2024·湖南长沙·一模）已知实数 a,b分别满足 ea =1.02， ln b +1 = 0.02，且 c = ，则（ ）51
A． a < b < c B．b < a < c
C．b【答案】D
2 x -1
【分析】由题意可得 a = ln1.02，b = e0.02 -1，构造函数 f x = ln x - ，结合导数研究函数单调性后
x +1
a c g x = ex可得 ，构造函数 - ln 1+ x -1，结合导数研究函数单调性后可得b a，即可得出 c【详解】由 ea
2 x -1
=1.02，则 a = ln1.02，令 f x = ln x - ， x 1，
x +1
f x 1 2 x +1 - 2 x -1 x -1
2
则 = - = ，
x x +1 2 x x +1 2
则当 x 1时， f x 0，故 f x 在 0, + 上单调递增，
2 1.02 -1f 1.02 ln1.02 ln1.02 2故 = - = - f 1 = 0，
1.02 +1 101
即 a = ln1.02
2 2 1
= = c，即 a c ，
101 102 51
由 ln b +1 = 0.02，则b = e0.02 -1，
令 g x = ex - ln 1+ x -1 1， x 0，则 g x = ex - ，
x +1
1 h x ex 1令 h x = ex - ，则当 x 0时， = + 0
x +1 x +1 2 恒成立，
故 g x 在 0, + 上单调递增，又 g 0 1= e0 - = 0 ，故 g x 0恒成立，
1
故 g x 在 0, + 上单调递增，故 g 0.02 = e0.02 - ln 1+ 0.02 -1 g 0 = 0 ，
即 e0.02 -1 ln1.02 ，即b a，故 c故选：D.
2 x -1 x
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数 f x = ln x - 、 g x = e - ln 1+ x -1，从而借助导数
x +1
求出函数单调性以比较 a、b 、 c的大小.
3 4 1
13．（2023 高三·全国·专题练习）已知 a = + ln ，b = - ， c
4
= + ln 3 ，则（ ）
4 5 5 5 4
A． c a b B． a b c C． a c b D． c b a
【答案】C
【分析】构造函数 f (x) = ln x - x ， x (0,1) ，利用对数函数的单调性结合中间值法可得出 a、b 、 c的大小关
系.
【详解】设函数 f (x) = ln x - x ， x (0,1) ，则 f (x)
1
= -1，当 x (0,1) 时， f (x) 0 ， f (x) 为增函数，
x
f 4 3 f ln 4 4 3 3 4 3 3 4所以 ÷ ÷，即 - ln - ，即 ln + ln + ，所以 a c ，
è 5 è 4 5 5 4 4 5 4 4 5
3 1 4 3 4 1 4 1
因为3e 4，所以 ，所以 c = + ln + ln = -1 = - = b，因此 a c b .
4 e 5 4 5 e 5 5
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是构造函数 f (x) = ln x - x ， x (0,1) ，利用导数说明函数的单调性，从而比
较大小.
1
14．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）设 a = ln1.01，b = ， c = tan 0.01，则（
101 ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b【答案】D
【分析】通过构造函数 f (x) = tan x - x(0 x
π 1
< < )， g(x) = x - ln(1+ x)(x 0)，h(x) = ln x + -1(x 1) ，利用
2 x
导数与函数的单调性间的关系，分别求出函数的单调区间，利用单调性即可比较出函数值的大小，从而求
出结果.
f (x) tan x x(0 x π 1 1- cos
2x π
【详解】令 = - < < )，则 f (x) = -1 = = tan2x 0 在区间 0, ÷上恒成立，2 cos2x cos2x è 2
即 f (x) = tan x - x
π
在区间 0, 2 ÷上单调递增，所以
f (x) f (0) = 0，即 tan x x，
è
所以 c = tan 0.01 0.01
1 1
= = b ，
100 101
令 g(x) = x - ln(1+ x)(x 0)，则 g (x) =1
1 x
- = 0 在区间 0, + 上恒成立，
1+ x 1+ x
即 g(x) = x - ln(1+ x) 在区间 0, + 上单调递增，所以 g(x) g(0) = 0，即 x ln(x +1)(x 0)，
所以0.01 ln(0.01+1) = ln1.01 = a ，所以 c a ，
h(x) ln x 1 1(x 1) h (x) 1 1 x -1令 = + - ，则 = - 2 = 0在区间 1, + 上恒成立，x x x x2
即 h(x) = ln x
1
+ -1在在区间 1, + 上单调递增，所以 h(x) h(1) = 0，即 ln x 1 1-
x x
，
所以 a = ln1.01 1
1 1
- = = b，
1.01 101
综上， c a b，
故选：D.
π
【点睛】关键点点晴：通过构造函数 f (x) = tan x - x(0 < x < )， g(x) = x - ln(1+ x)(x 0)，
2
h(x) 1= ln x + -1(x 1) ，将比较大小转化成函数值的大小，再对函数进行求导，利用导数与函数单调性间
x
的关系，求出函数的单调区间，利用单调性即可解决问题.
5
15．（2024· 0.1 0.2甘肃陇南·一模）若 a = ,b = 7 ,c = e ，则（ ）
4
A． c b a B． a b c C． c a b D． a c b
【答案】D
【分析】利用 e 2.7，结合幂函数的单调性判断得c b ，再构造函数 g x = ex - x -1 1，推得 ex 0 < x <1 ，
1- x
从而推得 a c ，由此得解.
2 2 0.2 2 0.1【详解】因为 e 2.7 7，所以 c = e = e 70.1 = b；
令 g x = ex - x -1 x，则 g x = e -1，
当 x 0时， g x 0，则 g x 在 0, + 上单调递增，
当 x < 0 时， g x < 0，则 g x 在 - ,0 上单调递减，
所以 g x g 0 = 0 ，故 ex x +1，
1
则 e- x -x +1，即 x 1- x，当且仅当 x = 0时，等号成立，e
1
当0 < -x +1 <1，即0 < x <1，有 ex ，
1- x
c = e0.2 1 5从而有 < = = a ；
1- 0.2 4
综上， a c b .
故选：D.
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1） ln x x -1；（2） ex x +1 .
1 6
16．（23-24 高三下·全国·阶段练习）已知 a = ,b = ln ,c = log6 7 -1 ln5，则（5 5 ）
A． a b c B．b c a
C． a c b D． c a b
【答案】A
【分析】构造函数 f x = ln x +1 - x(x 0)，由导数分析函数 f x 在 0, + 上单调递减，所以得到
x ln x 1 1+1 ，得到 ln 1+ ÷ = ln
6
，作差比较 log5 6 - log6 7的大小，利用基本不等式比较大小即可.5 è 5 5
【详解】设 f x = ln x +1 - x(x 0)，则 f x 1 -x= -1 = < 0, f x 在 0, + 上单调递减，
x +1 x +1
1 1 6 6
所以 f x < f 0 = 0，所以 x ln x +1 ， ln 1+ ÷ = ln ， ln = log5 6 -1 ln5，5 è 5 5 5
2 2 2
2 (lg6)
2 lg5 + lg7- 1 ÷ lg36
-
1
÷ lg35
÷ ，
log 6 lg6 lg7 (lg6) - lg5lg7- log 7 = - = è 2 = è 2 è 2 5 6 0lg5 lg6 lg5lg6 lg5lg6 lg5lg6
所以 a b c，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数 f x = ln x +1 - x(x 0)，由导数分析函数 f x 在 0, + 上单
调递减，所以得到 x ln x +1 ，利用基本不等式比较大小即可.
π π π
17．（2024·辽宁沈阳·一模）已知 -m = 2e 4 ,n = e 3 , p = 3e 6 ，则（ ）
A． n m p B．m p n
C． p n m D．m n p
【答案】D
x
【分析】观察选项，构造函数 f x = e cosx，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.
f x = excosx f x = ex cosx - sinx = 2ex π【详解】令 ，则 cos x +
，
è 4 ÷
π
当 x - ,
π f x 0 x π 5π时， > ；当
2 4 ÷ , ÷时， f x < 0è è 4 4 ；
f x π- , π π , 5π 所以 在 上单调递增；在 上单调递减，
è 2 4 ÷ è 4 4 ÷
f π f π π π 所以 ÷ ÷且 f ÷ f - ÷ ，
è 4 è 3 è 4 è 6
2 π 1 π 2 π 3 π- π π π π
所以 e 4 e 3 且 e 4 e 6 ，即 -4 3 且 4 6 ，
2 2 2 2 2e e 2e 3e
所以m n,m p ，
π π
又 -n = e 3 e, p = 3e 6 < 3e0 = 3 < e，所以n p，
综上所述，m n p ，
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
18．（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（ ）
① sin
1 3
sin 1 4② < sin 1 6 tan 1③ 1 ④ tan π - 3 sin 3
10 10π 3 3 4 6
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题以判断不等式是否成立为切入点设题，根据不等式的结构特征转化不等式，构造函数，借助
导数判断函数的单调性判断大小，从而判断出不等式的正误.
1 π
1 3 sin sin10 6 sin x π
【详解】对于①： sin 1 π ，构造函数 f x = 0 < x < ÷，10 10π x è 2
10 6
f x x cos x - sin x x - tan x cos x则 = = ，令 g x = x - tan x 0
π
< x <
2 ，x x2 è 2 ÷
则 g x 1 1 π= - 2 < 0恒成立，所以 g x 在 0, ÷上单调递减，所以 g x2 < 0，cos x è
故当 0
π
< x < 时， x < tan x2 ，所以
f x < 0，
f x 0, π 1 π 所以 在 ÷上单调递减，所以 f f ，故①正确；
è 2 10 ÷ 6 ÷è è
1
1 4 1 1 sin sin
1
对于②： sin < sin 3sin < 4sin
1
3 < 4 ，
3 3 4 3 4 1 1
3 4
f 1 f 1 由①知 3 ÷
< ，故②正确；
è è 4 ÷
π
对于③：6 tan
1
1 tan 1 1 x < tan x ，由①知 0 < x <
6 6 6 2 ÷
，故③正确；
è
π
对于④：令 t = π - 3，则0 < t < ， tan π - 3 sin 3 tan π - 3 sin π - 3 tan t sin t ，
2
π sin t
注意到当0 < t < ， tan t = sin t ，故④正确.
2 cos t
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查了函数值的大小比较，解答时要注意根据函数值的特征，构造适当的函数，
利用导数判断单调性，进而比较大小.
19．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）已知函数 f (x) = ln(1+ x) - x .
(1)求 f (x) 的单调区间；
(2)试证明1
1 1 1 1
+ + + +L+ ln(n +1)， * .
2 3 4 n n N
【答案】(1)单调增区间为 -1,0 ；单调减区间为 0, +
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数判断单调性，进而得到单调区间；
1 1 1
（2）根据（1）的结论，得到 ln(x +1) < x ，进而得到 ln
+1
÷ < ，将 ln
+1
÷裂成 ln(x +1) - ln x 即可得证.
è x x è x
【详解】（1） f (x) 的定义域为 (-1, + )， f (x) 1= -1 -x=x +1 x ，+1
令 f (x) = 0，得 x = 0，
当 f (x) 0 时，得-1 < x < 0，所以 f (x) 在 -1,0 上单调递增；
当 f (x) < 0 时，得 x 0，所以 f (x) 在 0, + 上单调递减；
\ f (x) 的单调增区间为 -1,0 ；单调减区间为 0, + ；
（2）证明：由（1）知， f (x) 在 0, + 单调递减，且 f (0) = ln1- 0 = 0 ，
\ x 0时， f (x) = ln(1+ x) - x < f (0) = 0，即 ln(x +1) < x ，
1 1 1
当 x
0时，用 替换 x ，得 ln +1 < ，
x ֏ x x
即 ln
1 +1 ÷ = ln
x +1
= ln x +1 - ln x 1< ，
è x x x
1
即 ln(n +1) - ln n ， n N*，n
\1 1 1 1 1+ + + +L+ ln 2 - ln1 + ln 3 - ln 2 + ln 4 - ln 3 +L+ ln(n +1) - ln n
2 3 4 n
整理得1
1 1 1 1
+ + + +L + ln(n +1) - ln1 = ln(n +1)，
2 3 4 n
\1 1 1 1 1+ + + +L+ ln(n +1)， n N* .2 3 4 n
20．（21-22 高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数 f (x) = ln(x -1) - k(x -1) +1 .
(1)求函数 f (x) 的单调区间；
ln2 ln3 ln4 lnn n n -1(2) 证明： + + + ×××+ < (n N*, n 1) .
3 4 5 n +1 4
1
【答案】(1)当 k 0时， f x 的单调递增区间为 1, + ；当 k 0时， f x 的单调递增区间为 1, +1÷，单
è k
1
调递减区间为 +1, + ；
è k ÷
(2)证明见解析.
【分析】（1）由函数 f (x) 的定义域为 (1, + )， f (x)
1
= - k ，分类讨论即能求出函数 f (x) 的单调区间．
x -1
（2）由题知，当 k =1时，有 f (x) 0在 (1, + )恒成立，且 f (x) 在 (2,+ ) 上是减函数，进而可得 ln(x -1) < x -1-1
x [2 + ) lnn n -1在 ， 上恒成立，可得 < ，由此能够证明．
n +1 2
【详解】（1）因为 f x = ln x -1 - k x -1 +1（ k R ），
所以 f x 的定义域为 1, + ， f x 1= - k .
x -1
若 k 0，则 f x > 0， f x 在 1, + 上为增函数；
k +1
-k x -
若 k 0，则 ÷f x 1 k è k ，= - =
x -1 x -1
当1< x
1 1
< +1时， f x > 0，当 x +1时， f x < 0 .k k
综上，当 k 0时， f x 的单调递增区间为 1, + ；
1
k 0 f x 1, +1 1 当 时， 的单调递增区间为 ÷，单调递减区间为 +1,+ k ÷ .è è k
（2）当 k =1时，由上可知 f x 的单调递增区间为 1,2 ，单调递减区间为 2, + ，有 f (x) f (2) = 0在 1, +
恒成立，
且 f (x) 在 (2,+ ) 上是减函数，
即 ln(x -1) < x -1-1在 x (2,+ ) 上恒成立，
令 x -1 = n2，则 lnn2 < n2 -1，
即 2lnn < (n -1)(n +1) ，
\ lnn n -1< (n N* n 1)
n +1 2 且 ，
\ ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n -1 n
2 - n
+ + + ×××+ < + + + ×××+ = ，
3 4 5 n +1 2 2 2 2 4
ln 2 ln 3 ln 4 ln n n2 - n
即： + + + ×××+ < （ n 2， n N*）成立．
3 4 5 n +1 4第 13 讲 泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的
应用（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
泰勒展开式及 比较指数幂的大小
2022 年新 I 卷，第 7 题,5 分
相关不等式放缩 比较对数式的大小
泰勒展开式及
2022 年全国甲卷理科，第 12 题,5 分 比较三角函数值大小
相关不等式放缩
泰勒展开式及
2021 年全国乙卷理科，第 12 题,5 分 比较对数式的大小
相关不等式放缩
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为 5 分
【备考策略】1 能理解泰勒公式的本质
2 能运用泰勒公式求解
【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点
就在于使用一个 n次多项式 pn x ，去逼近一个已知的函数 f x ，而且这种逼近有很好的性质： pn x 与
f x 在 x 点具有相同的直到阶 n的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精
髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研
领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构
造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可
知识讲解
1．泰勒公式：
泰勒公式是将一个在 x0 处具有 n阶导数的函数利用关于 (x - x0 )的 n次多项式来逼近函数的方法．
【定理 1】若函数 f (x) 在包含 x0 的某个闭区间[a,b]上具有 n阶导数，且在开区间 (a , b ) 上具有 (n +1) 阶导数，
则对闭区间[a,b]上任意一点 x ，成立下式：
f x f n f x = f x0 + f x x x 0 x x
2 L x 0 - 0 + - 0 + + 0 x - x
n
0 + R x 2! n!
(n)
其中： f (x0 )表示 f (x) 在 x = x0处的 n阶导数，等号后的多项式称为函数 f (x) 在 x0 处的泰勒展开式，剩余
n
的R(n) (x)是泰勒公式的余项，是 (x - x0 ) 的高阶无穷小量．
2．常见函数的泰勒展开式：
x x2 x3 xn xn+1
1 x q x（ ） e =1+ + + +L+ + e ，其中 0 < q <1 1! 2! 3! n! n 1 ! ；+
2 3 n n+1 n+1
（2） ln 1 x x x x+ = - + -L+ -1 n-1 x n xR 1 +
2! 3! n! n
，其中Rn = -1 n +1 ! 1+q x ÷ ；è
x3 x5 x2k -1 2k +1k -1 x
（3） sin x = x - + -L+ -1 + Rn ，其中Rn = -1
k cosq x
3! 5! 2k 1 ! 2k 1 ! ；- +
2 4 2k -2 2k
（4） cos x
x x
=1- + -L+ -1 k -1 x + R R = -1 k x cosq x
2! 4! 2k ，其中 ；- 2 ! n n 2k !
1
（5） =1+ x + x2 +L+ xn + o(xn )；
1- x
(1 x)n 1 n(n -1)（6） + = + nx + x2 + o(x2 ) ；
2!
x3 2
（7） tan x = x + + x5 + ×××+ o x2n ；
3 15
1 x 1 1 x 1 1（8） + = + - x2 + x3 + ××× + o xn ．
2 8 16
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
1
e x 1 + x ex 1+ x + x2， x 0 ， sin x 1 x - x3 x 0 ，
2 6
cos x 1 1- x2 ， ln x x -1， ex-12 x
，
tan x x 1 1 + x3 x 0 ， 1+ x 1+ x， ln 1+ x x ．
3 2
3．常见函数的泰勒展开式的结论：
结论 1 ln(1+ x) x (x -1)．
结论 2 ln x x -1 (x 0) ．
1
结论 3 1- ln x（ x 0）．
x
x
< ln 1 x < ln 1+ x4 结论 1+ x 1 x- 1+ x ．
1+ x
1 x
结论 5 1+ x ex ； ex x <1 ； ln 1+ x x x -1 ．1- x 1+ x
结论 6 ex 1+ x (x R) ；
结论 7 e- x 1- x (x R)
1
结论 8 e x x < 1 ．
1- x
1
结论 9 e x x 1 ．
1- x
考点一、泰勒展开式的初步认知
1．（2023·辽宁·二模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒
展开式，下面给出两个泰勒展开式
x2ex 1 x x
3 x4 n
= + + + + +L x+ +L
2! 3! 4! n!
x3 5 7 2n-1sin x x x x x= - + - +L+ -1 n+1 +L
3! 5! 7! 2n -1 !
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A． eix = cos x + i sin x （i 是虚数单位） B． eix = -i （i 是虚数单位）
C x x ln 2
2 x2 x4
． 2 1+ x ln 2 + x 0 D． cos x 1- + x 0,1
2 2 24
2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将 y = f x 在 x = x0处可以用一个多项式函数近似
f x f n
表示，具体形式为： f x = f x + f x x - x 0 2 x0 n0 0 0 + x - x + ×××+ x - x + ×××（其中2! 0 n! 0
f n x 表示 f x 的 n 次导数），以上公式我们称为函数 f x 在 x = x0处的泰勒展开式.
(1)分别求 ex ， sin x ， cos x在 x = 0处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的 x 可以推广至复数域，试证明： e ip + 1 = 0 .（其中 i为虚数单位）；
(3)若"x
0, 3 5 ÷ ，ea sin x x + 1恒成立，求 a 的范围.（参考数据 ln 0.9 ）
è 2 2
1．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算 ex ， ln x， sin x ， cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程
序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数 f x 在含有 x0 的某个开区间 a,b 内可以多次进行求导数运算，
x a,b x x f f xx 0 f ' x f '' x f '''x x则当 ，且 时，有 = - x 0 + 0 x - x + 0 x - x 2 + 0 x - x 30 0 0 0 0 +L．0! 1! 2! 3!
其中 f ' x 是 f x 的导数， f '' x 是 f ' x 的导数， f ''' x 是 f '' x 的导数……．
取 x0 = 0，则 sin x 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ， sin1精确到 0.01 的近似值为 ．
2．（23-24 高二下·山西长治·期末）对于函数 f x ，规定 f x = é f x ù ， f 2 x = é f x ù ，…，
f n x = é f n-1
ù n
x ， f x 叫做函数 f x 的 n 阶导数．若函数 f x 在包含 x0 的某个闭区间 a,b 上具有
n 阶导数，且在开区间 a,b 上具有 n +1 阶导数，则对闭区间 a,b 上任意一点 x，
2 n
f x = f x0 + f x0 x - x f x0 2 f x0 0 + x - x0 +L+ x - x0
n + R x ，该公式称为函数 f x 在2! n! n
x = x0处的 n 阶泰勒展开式，R n x 是此泰勒展开式的 n 阶余项．已知函数 f x = ln x +1 ．
(1)写出函数 f x 在 x =1处的 3 阶泰勒展开式（R n x 用R 3 x 表示即可）；
(2)设函数 f x 在 x = 0处的 3 阶余项为 g x ，求证：对任意的 x -1,1 ， g x 0 ；
1 1 1 1 27
(3) 1+ 1+ 1+ 22 *求证： 2 ÷ 22 ÷ è è è 23 ÷
L 1+
è 2n ÷
< e n N ．
考点二、泰勒展开式的综合应用
1．（2022 年新Ⅰ卷高考真题第 7 题）
1
设 a = 0.1e0.1，b = ， c = - ln 0.9则（ ）9
A． a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D． a < c < b
31 1 1
2．（2022·全国·统考高考真题）已知 a = ,b = cos ,c = 4sin ，则（ ）
32 4 4
A． c b a B．b a c C． a b c D． a c b
3．（2021·全国·统考高考真题）设 a = 2ln1.01，b = ln1.02， c = 1.04 -1．则（ ）
A． a < b < c B．b1 2
1．（2023·重庆沙坪坝· 4模拟预测）已知 a = e3 ，b = e e ，则（ ）3
A． a < 2 < b B． 2 < a < b C． a < b < 2 D．b < a < 2
ln 3 ln 5
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 a = ln 2，b = ， c = ，则（
2 5 ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c < a < b D． a < b < c
3．（2024·全国·模拟预测）若 log
3
a = 4 2 2 ，b = log14 7， c = log12 6 ，则（ ）
A． a b c B．b c a
C． c b a D． a c b
a 3 ln 4 b 1 4 34．（2023 高三·全国·专题练习）已知 = + ， = - ， c = + ln ，则（ ）
4 5 5 5 4
A． c a b B． a b c C． a c b D． c b a
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）设 a = sin0.2,b = 0.16,c
1 3
= ln ，则（ ）2 2
A． a c b B．b a c
C． c b a D． c a b
2 1 2-1．（2024·辽宁·一模）设 a = ，b = 2 - e3，c =1- e 3 则（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
2．（2024·辽宁·二模）若 a =1.01+ sin0.01,b =1+ ln1.01,c = e0.01，则（ ）
A．b c a B． a c b
C． c b a D． c a b
1012 2023 20253．（2024· · a 1013山西 二模）设 = b = ÷ ， ÷ ，则下列关系正确的是（ ）
è 1011 è1012
A． e2 < a < b B． e2 < b < a C． a < b < e2 D．b < a < e2
4 2024· · a 1 1 1 ,b ln 103
2.01 2.01
．（ 全国 模拟预测）已知 = + + = ,c 1 2= + ，则（ ）
100 101 102 100 è10 ÷ ÷ è15
A． a < b < c B． c < b < a C．b3 3 3
5．（23-24 高三上·陕西西安·阶段练习）若 a = ln 4，b = ， c = sin + tan ，则 a，b，c 的大小关系为
2 4 4
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c6．（2023·全国·模拟预测）已知 a = ln
4 1
，8b = 3， c = sin ，则（
3 3 ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D．b < c < a
2022 1
7．（2024·全国·模拟预测）已知 -a = e 2023 ，b = ln2024 - ln2023， c = sin ，则（ ）2023
A． cπ
8．（2024·全国·模拟预测）已知 a = e10 ，b =1 sin
9π
+ ， c = 1.16 ，则 a，b ， c的大小关系为（10 ）
A． a b c B． a c b C． c a b D． c b a
7
9 2024· · a e
8
,b e ,c e．（ 湖南邵阳 一模）设 = = = ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
8 7 56
A． a < c < b B． a < b < c
C．b < a < c D． c1
10．（23-24 高三上·安徽·期末）已知 log a
1 log b 16 = ， 4 = ， c = 1+ e e ，则（ ）4 3
A． a < b < c B．bC．b < a < c D． a < c < b
ln 3 ln 5
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 a = ln 2，b = ， c = ，则（
2 5 ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c < a < b D． a < b < c
1
12．（2024·湖南长沙·一模）已知实数 a,b分别满足 ea =1.02， ln b +1 = 0.02，且 c = ，则（ ）51
A． a < b < c B．b < a < c
C．ba 3 ln 4 1 4 313．（2023 高三·全国·专题练习）已知 = + ，b = - ， c = + ln ，则（ ）
4 5 5 5 4
A． c a b B． a b c C． a c b D． c b a
1
14．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）设 a = ln1.01，b = ， c = tan 0.01，则（
101 ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b5
15．（2024·甘肃陇南· 0.1 0.2一模）若 a = ,b = 7 ,c = e ，则（ ）
4
A． c b a B． a b c C． c a b D． a c b
1 6
16．（23-24 高三下·全国·阶段练习）已知 a = ,b = ln ,c = log 7 -1 ln5，则（ ）
5 5 6
A． a b c B．b c a
C． a c b D． c a b
π π π
17．（2024·辽宁沈阳·一模）已知 -m = 2e 4 ,n = e 3 , p = 3e 6 ，则（ ）
A． n m p B．m p n
C． p n m D．m n p
1．2．3．4．18．（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（ ）
sin 1 3① sin 1 4 1 1② < sin ③ 6 tan 1 ④ tan π - 3 sin 3
10 10π 3 3 4 6
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）已知函数 f (x) = ln(1+ x) - x .
(1)求 f (x) 的单调区间；
1 1 1 1 1(2)试证明 + + + +L+ ln(n +1)，
2 3 4 n n N
* .
20．（21-22 高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数 f (x) = ln(x -1) - k(x -1) +1 .
(1)求函数 f (x) 的单调区间；
(2) ln2 ln3 ln4 lnn
n n -1
证明： + + + ×××+ < (n N*, n 1) .
3 4 5 n +1 4