四川省巴中市2024年中考数学试卷
一、选择题
1．（2024·巴中）在0，1，﹣1，π中最小的实数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．π
2．（2024·巴中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·巴中）函数自变量的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞﹣2 C．x≥﹣2 D．x≠﹣2
4．（2024·巴中）下列运算正确的是（ ）
A．3a+b＝3ab B．a3 a2＝a5
C．a8÷a2＝a4（a≠0） D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（2024·巴中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．|a|＞|b| D．a﹣b＜0
6．（2024·巴中）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．（2024·巴中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2024·巴中）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·巴中）一组数据﹣10，0，11，17，17，31，若去掉数据11，下列会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
10．（2024·巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
11．（2024·巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·巴中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（ ）
A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．∠BDC＝3∠ABD
C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
二、填空题
13．（2024·巴中） 的立方根是 ．
14．（2024·巴中）从五边形的一个顶点出发可以引 条对角线．
15．（2024·巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 ．
16．（2024·巴中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 ．
17．（2024·巴中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 ．
18．（2024·巴中）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 ．
①；
②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；
④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．
三、解答题
19．（2024·巴中）（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值：，其中．
20．（2024·巴中）（10分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了m名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如图统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．
（1）求m＝ ▲ ，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？
（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
21．（2024·巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
22．（2024·巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
23．（2024·巴中）如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）求证：BD＝ED．
（3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长．
24．（2024·巴中）综合与实践
（1）操作与发现平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHK为矩形．则△EDK≌ ．
（2）探究与证明探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：AE与EB的比值为 ．
②证明：四边形OJKL为平行四边形．
（3）实践与应用任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
25．（2024·巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-1＜0＜1＜ π ，
∴在0，1，﹣1，π中最小的实数是-1.
故答案为：B.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，直接比较可得答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得x+2≥0，
解得x≥-2.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，再求解即可.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a与b不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3×a2=a3+2=a5，故此选项计算正确，符合题意；
C、a8÷a2=a8-2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a-b)2=a2-2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得a＜-1＜2＜b，
∴ab＜0，a+b＞0，|a|＜|b|，a-b＜0，故A、B、C三个选项都是错误的，只有D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，左边的数小于右边的数，可得a＜-1＜2＜b，进而根据绝对值的几何意义可得|a|＜|b|，据此可判断C选项；然后根据有理数的乘法法则可判断A选项，根据有理数的加减法法则可判断B、D选项.
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=40°，∠1与∠4是对顶角，
∴∠4=∠1=40°，
∴∠3=30°+40°=70°，
∵m∥n，
∴∠2=∠3=70°.
故答案为：A.
【分析】由对顶角相等得∠4=∠1=40°，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠3=30°+40°=70°，最后根据两直线平行，内错角相等可求出∠2的度数.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，
∴OC=OA=AC=2，
∵平行四边形ABCD的周长为12，
∴AB+BC=6，
∵点E是BC的中点，
∴OE=AB，EC=BC，
∴OE+EC=(AB+BC)=3，
∴△COE的周长等于OC+OE+CE=5.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OC=OA=AC=2，由平行四边形周长计算公式得AB+BC=6，根据三角形中位线定理得OE=AB，EC=BC，则OE+EC=(AB+BC)=3，最后根据三角形周长计算方法可算出△COE的周长.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为(x+20)km/h，
由题意得.
故答案为：A.
【分析】设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为(x+20)km/h，根据路程除以速度等于时间及慢车所用时间比快车所用时间多0.5h，列出方程即可.
9．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：原数组的平均数为：，
中位数为：，
众数为：17，
极差为：31-（-10）=41；
去掉数据11后，新数组的平均数为：，
中位数为：17，
众数为：17，
极差为：31-（-10）=41；
故发生变化的是中位数.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；极差就是一组数据中的最大数据与最小数据的差，据此分别计算出原数组及新数组的平均数、中位数、众数及极差后，即可判断得出答案.
10．【答案】C
【知识点】“引葭赴岸”模型
【解析】【解答】解：设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，
在Rt△ABC中，∵BC2+AC2=AB2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得x=12，即BC=12.
故答案为：C.
【分析】设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
11．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；已知余弦值求边长；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵图中12个直角三角形相似，
∴∠AOB=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=360°÷12=30°，
在Rt△OAB中，cos∠AOB=cos30°=，
∴，
∴
同理，，，，.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应角相等及周角定义可求出直角三角形中较小锐角为30°，进而根据30°角的余弦函数及特殊锐角三角函数值可依次求出OB、OC、OD、OE、OF、OG的长.
12．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、连接DE，
∵CE⊥AB，点D是AC的中点，
∴DE是Rt△ACE斜边上的中线，
∴DE=AD=CD=AC，
∵BE=CD，
∴BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，即BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故A选项正确，不符合题意；
B、设∠ABD=x，
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠ABD=x，
∴∠AED=∠EDB+∠ABD=2x，
∵DE=AD，
∴∠A=∠AED=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，即∠BDC=3∠ABD，故选项B正确，不符合题意；
C、∵点E是AB的中点，
∴BE=AB，
∵CE⊥AB，
∴CE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∵BE=AB，ED=AC，BE=ED，
∴AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，故C选项正确，不符合题意；
D、连接AO并延长，交BC于点F，
当点E是AB的中点时，
∵点D为AC的中点，
∴点F是BC的中点，
∵点E为AB的中点时，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC，
∴∠OBC=∠OAC=30°，
∴OA=OB，
在Rt△OBF中，OB=2OF，
∴OA=OB=2OF，
∴AF=OA+OF=3OF，
∴S△OBC=BC×OF，S△ABC=BC×AF=BC×OF，
∴，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得ED=AD=CD=AC，结合已知可推出BE=DE，进而得点D在线段BD的垂直平分线上，由此可对选项A进行判断；
设∠ABD=x，由等边对等角得∠EDB =∠ABD=x，由三角形外角性质得∠AED=∠EDB+∠ABD=2x，再由等边对等角得∠A=∠AED=2x，由三角形外角性质得∠BDC=∠A +∠ABD=3x，由此可对选项B进行判断；
当E为AB中点时，易得CE是线段AB的垂直平分线，由此得AC=BC，然后根据BE=AB， DE=AC，BE=ED得AB=AC， 由此可对选项C进行判断；
连接AO并延长交BC于F，根据E为AB中点，D为AC的中点得点F为BC的中点，再根据△ABC是等边三角形得∠OBC=∠OAC=30°，则OA=OB，进而得OB=2OF，AF=3OF，根据三角形面积计算公式分别表示出△BOC与△ABC的面积，由此可对选项D进行判断.
13．【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ ，
∴27的立方根是3.
故答案为：3.
【分析】根据立方根的概念，由于 ，故27的立方根是3.
14．【答案】2
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从五边形的一个顶点出发可以引 对角线的条数为：5-3=2.
故答案为：2.
【分析】从n边形一个顶点出发，可引对角线的条数为n-2条，据此解题即可.
15．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，
则a+(-2)=2，
解得a=4.
故答案为：4.
【分析】设x1与x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）的两个实数根，则，据此解题即可.
16．【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AB=BC=OC，
又∵OA=OB=OC，
∴OA=OB=OC=AB=BC
∴△ABO与△BCO都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠AOC=60°.
故答案为：60°.
【分析】由菱形的四边相等及同圆的半径相等得OA=OB=OC=AB=BC，则△ABO与△BCO都是等边三角形，由等边三角形的三个内角都是60°及角的和差可推出∠AOC=120°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ADC的度数.
17．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点F作FG⊥BD于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AC=BD，AD=BC=4，CD=AB=3，
又∵AB=3，BC=4，
∴AC=BD=，
∵S△ADC=AD×DC=AC×DE，
∴3×4=5DE，
∴DE=；
∵∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠ECF=90°，
∴∠CDE=∠FCE，
又∠DEC=∠DCF，
∴△CDE∽△FDC，
∴，即，
解得DF=，
在Rt△CDF中，，
∴BF=BC-CF=，
∵S△BDF=BF×CD=BD×FG，
∴，
∴FG=.
故答案为：.
【分析】由矩形的性质得∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AC=BD，AD=BC=4，CD=AB=3，从而由勾股定理算出AC=BD=5，由等面积法得DE的长，由同角的余角相等得∠CDE=∠FCE，根据有两组角对应相等的两个三角形形似得△CDE∽△FDC，由相似三角形对应边成比例可求出DF的长，在Rt△CDF中，由勾股定理可算出CF的长，从而得到BF的长，最后再利用等面积法，结合三角形的面积公式可算出FG的长.
18．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴是直线x=-1，
∴，
∴b=2a，
∴，故①正确；
将b=2a代入a2+b2﹣5b+8，
得a2+4a2-5×2a+8=5a2-10a+8=5(a-1)2+3，
∵，
∴当时，a2+b2﹣5b+8的值最小为5(-1)2+3=，故②错误；
∵b=2a，
∴am2+bm﹣a+b=am2+2am﹣a+2a=am2+2am+a=a(m2+2m+1)=a(m+1)2，
∵a＞0，(m+1)2≥0，
∴a(m+1)2≥0，即am2+bm﹣a+b≥0，故③正确；
∵x1+x2+2＞0，
∴，
∴PQ的中点在对称轴的右侧，
∵ x1＜x2，
∴点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近，
∵抛物线的开口向上，
∴y1＜y2，故④正确，
综上，正确的有①③④.
故答案为：①③④.
【分析】由题意可得二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴是直线x=-1，结合对称轴直线公式可得b=2a，据此可直接判断①；将b=2a代入a2+b2﹣5b+8后配方得5(a-1)2+3，结合a的取值范围及二次函数的增减性可找出此时a2+b2﹣5b+8的最小值，从而可判断②将b=2a代入am2+bm﹣a+b后分解因式得a(m+1)2，结合偶数次幂的非负性即可判断③；由x1+x2+2＞0及中点坐标公式可得PQ的中点在对称轴的右侧，再结合x1＜x2，可得点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近，进而根据抛物线开口向上的时候，抛物线上离对称轴距离越远的点起函数值越大可判断④；综上所述可得到正确结论的序号.
19．【答案】（1）解：原式＝225﹣1
＝1+25﹣1
＝25；
（2）解：解不等式①，得x＞﹣6，
解不等式②，得x≤13，
∴不等式组的解集为﹣6＜x≤13；
（3）原式＝（）
，
当x1时，原式．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时化简二次根式、绝对值及0指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可；
（3）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
20．【答案】（1）解：m＝44÷22%＝200（名），
喜欢乒乓球的人数；200﹣44﹣16﹣88＝52（名），
补全统计图：
（2）解：1200336（名），
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有336名；
（3）解：用A、B、C、D分别代表甲、乙、丙、丁四名同学，画树状图得：
∵一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据条形统计图及扇形统计图提供的信息，用喜欢篮球运动的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的人数m的值；用本次调查的总人数分别进去喜欢篮球运动的人数、喜欢足球运动的人数、喜欢羽毛球运动的人数可求出喜欢乒乓球运动的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中喜欢乒乓球运动的学生人数所占的百分比即可估算出该校喜欢乒乓球运动的学生人数；
（3）用A、B、C、D分别代表甲、乙、丙、丁四名同学，此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，进而根据概率公式计算可得答案.
21．【答案】（1）解：由题意得：BA⊥AE，
∵斜坡BE的坡度，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BEA，
∴∠BEA＝30°，
∵BE＝6m，
∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m），
∴点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，
设EC＝x米，
∵AE＝3米，
∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝CE tan60°x（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF tan45°＝（x+3）米，
∵DF+CF＝CD，
∴x+33x，
解得：x＝6+3，
∴CDx＝（69）米，
∴电线塔CD的高度为（69）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据坡度=斜坡的竖直高度与水平宽度的比可得，在Rt△ABE中，由∠BEA的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出∠BEA=30°，最后根据含30°角直角三角形的性质可求出AB的长；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，易得四边形ABFC是矩形，则AB＝CF＝3m，BF＝AC，设EC＝x米，在Rt△CDE中，由∠DEC的正切函数可表示出CD，在Rt△BDF中，由∠DBF的正切函数可表示出DF，最后根据DF+CF=CD建立方程求出x的值，从而可求出CD的长.
22．【答案】（1）解：把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣3，﹣1）；
（2）解：∵，
∴P是AB的中点，
∴P（﹣1，1），
设直线OB为y=kx，将点B(-3，-1)代入
得-3k=-1
∴
∴OB的解析式为，
当PM取得最小值时，PM⊥OB，
∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，
代入p（﹣1，1）得3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，
联立解析式得，
解得，
∴M（，），
∴PM的最小值为：．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把x＝1代入y＝x+2算出对应的函数值，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数算出k的值，从而得到反比例函数的解析式，进而联立反比例函数与一次函数的解析式组成的方程组，求解可得点B的坐标；
（2）根据同高三角形面积之间的关系就是底之间的关系得P是AB的中点，由中点坐标公式可得P（﹣1，1）；用待定系数法求出直线OB的解析式；根据垂线段最短得当PM取得最小值时，PM⊥OB，由互相垂直的直线比例系数k的乘积为-1可设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，再将点P的坐标代入算出b的值，从而得到直线PM的解析式，进而联立直线PM与OB求解可得点M的坐标，最后根据平面内两点间的距离公式可算出PM的值.
23．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵点D为的中点，O为圆心，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点D为的中点，
∴，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBE+DBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠DCF+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
∵DF∥BC，
∴∠ACB＝∠F，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠F，
∴△ABD∽△DCF，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴BD＝CD，
由（2）知BD＝ED，
∴CD＝BD＝DE＝5，
∵CF＝4，
∴，
∴AB．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，由垂径定理得OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DF，从而 根据切线的判定定理得出结论；
（2）由等弧所对的圆周角相等得∠DBC＝∠BAD，由角平分线的定义得∠ABE＝∠CBE，结合三角形外角性质及角的构成可推出∠DEB＝∠DBE，由等角对等边得BD=ED；
（3）连接CD，由圆内接四边形的对角互补、邻补角及同角的补角相等得∠ABD＝∠DCF，由二直线平行，同位角相等及同弧所对的元周角相等可推出∠ADB＝∠F，由由两组角对应相等的两个三角形系数得△ABD∽△DCF，由相似三角形对应边成比例得，由等弧所对的弦相等及（2）得结论推出CD＝BD＝DE＝5，然后代入比例式可求出AB的长.
24．【答案】（1）△EAG
（2）解：①1②证明：如图5，由题意得，E、F、G、H是AB、BC，CD，DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP，将四边形OGCF放在左上方，则AQ＝BF＝CF，AP＝DG＝CG，∠BFO＝∠AQL，∵∠DAB+∠B+∠C+∠D＝360°，∠QAE＝∠B，∠PAH＝∠D，∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ＝360°，∴∠PAQ＝∠C，∵∠BFO+∠CFO＝180°，∴∠AQL+∠AQK＝180°，∴K，Q、L三点共线，同理K，P，J三点共线，由操作得∠1＝∠L，∠3＝∠J，∵∠1+∠2＝180°，∠1=∠3，∴∠2+∠L＝180°，∠1=∠J，∴OJ∥KL，OL∥KJ，∴四边形OJKL为平行四边形；
（3）解：如图，取AB、BC、CD，DA为中点为E、H、G、F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH'M'，将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG'N'，将四边形NGCH放置左上方，使得点C与点A重合，CG与AG'重合，CH与AH'重合，点N的对应点为点N″，则四边形MM'N″N'即为所求矩形．
由题意得∠EMF＝∠EMH＝∠M'＝90°，∠GNH＝∠GNF＝∠N'＝90°，
∴∠N'＝∠M'MH＝90°，H'M'∥N'M，
∴N'G'∥MM'，
由操作得，∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠4＝180°，
∴N″，H'，M'三点共线，同理N'，G'，N″三点共线，
∵∠N'＝∠EMF＝∠M'＝90°，
∴四边形MM'N″N为'矩形，
如图，连接AC，EF，FG，GH，EH，
∵E，H为BA，BC中点，
∴EH∥AC，EHAC，同理FG∥AC，FGAC，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴∠EHM＝∠GFN，
∵∠EMF＝∠GNH＝90°，
∴△EHM≌△GFN（AAS），
∴EM＝GN，MH＝NF，
∴FM＝NH，
由操作得，AH'＝BH，而BH＝CH，
∴AH'＝CH，
同理，AG'＝CG，
∵∠BAD+∠D+∠C+∠B＝360°，∠D＝∠G'AF，∠B＝∠H'AE，∠BAD+∠H'AE+∠G'AF+∠H'AG'＝360°，
∴∠H'AG'＝∠C，
∵四边形MM'N″N'为矩形，
∴N'N″＝MM'，N″M'＝N″M，
∴N'F+FM＝H'M'+H'N″，
∴MF+NF＝MF+MH＝M'H'+N″H'，
∴NH＝N″H'，同理NG＝N″G'，
∴四边形NGCH能放置左上方，
∴按照以上操作可以拼成一个矩形．
【知识点】图形的剪拼；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图2，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠D，
由题意得E为AD中点，
∴EA＝ED，
又∵∠AEG＝∠DEK，
∴△EDK≌△EAG，
故答案为：△EAG；
（2）①解：如图5，由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，
∴AE＝BE，，
故答案为：1；
【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠GAE＝∠D，再结合EA＝ED，∠AEG＝∠DEK，可用ASA判断出△EDK≌△EAG；
（2）①由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，则AE=BE，从而即可解决此题；
②根据操作过程及旋转的性质可证出K，Q、L三点共线，K，P，J三点共线，根据旋转的性质、邻补角定义及对顶角相等可推出∠2+∠L＝180°，∠1=∠J，然后根据平行线的判定定理可得OJ∥KL，OL∥KJ，最后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出结论；
（3）如图，取AB、BC、CD，DA为中点为E、H、G、F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH'M'，将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG'N'，将四边形NGCH放置左上方，使得点C与点A重合，CG与AG'重合，CH与AH'重合，点N的对应点为点N″，则四边形MM'N″N'即为所求矩形．
25．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），D（m，0），
∴DE＝﹣m+3，
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PE＝2ED，
∴﹣m2+3m＝2（﹣m+3），
解得m1＝2，m2＝3（此时B，D重合，不合题意舍去），
∴m＝2，
∴P（2，3）；
（3）解：∵PF∥AC，
∴△ACG∽△PFG，
∴，
∴，，
∴，
作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x+b'，
将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b'，得：0＝﹣（﹣1）+b'，
解得：b'＝﹣1，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝0时，yN＝﹣1，
∴N（0，﹣1），
∴ON＝1，CN＝ON+CO＝4，
∵AN∥BC，PQ∥y，
∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF，
∵∠PFC＝∠FPQ+∠PQF，∠ACF＝∠NCB+∠ACN，
∴∠FPQ＝∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
∴，
设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），
∴PQ＝﹣n2+3n，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴，，
∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠ANC＝45°，
∵∠ANC＝∠PQF，
∴∠OBC＝∠PQF，
∵，AB＝4，
∴，
∴，
∴△CPQ∽△ACB，
∴∠BCP＝∠CAB，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点C（0，3），用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点的坐标与图形性质设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），D（m，0），由两点间的距离公式表示出PD、DE，进而由PE＝PD﹣DE表示出PE，最后根据PE＝2ED建立方程可求出m的值，从而即可求出点P的坐标；
（3）由平行于三角形一边的直线截其他两边延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ACG∽△PFG，由相似三角形对应边成比例及同高三角形的面积之比等于底之比可求出，作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q；由互相平行直线的比例系数相同可设直线AN的解析式为y＝﹣x+b'，再代入点A的坐标可求出b'的值，从而得出直线AN的解析式；再判断出△CAN∽△PFQ，得，设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），根据两点间的距离公式表示出PQ，代入后利用配方法可求出当时，有最大值，此时；根据线段间的关系判断出，由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△CPQ∽△ACB，由相似三角形的对应角相等得∠BCP＝∠CAB，最后根据等角的同名三角函数值相等可得答案.
1 / 1四川省巴中市2024年中考数学试卷
一、选择题
1．（2024·巴中）在0，1，﹣1，π中最小的实数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．π
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-1＜0＜1＜ π ，
∴在0，1，﹣1，π中最小的实数是-1.
故答案为：B.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，直接比较可得答案.
2．（2024·巴中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断得出答案.
3．（2024·巴中）函数自变量的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞﹣2 C．x≥﹣2 D．x≠﹣2
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得x+2≥0，
解得x≥-2.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，再求解即可.
4．（2024·巴中）下列运算正确的是（ ）
A．3a+b＝3ab B．a3 a2＝a5
C．a8÷a2＝a4（a≠0） D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a与b不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3×a2=a3+2=a5，故此选项计算正确，符合题意；
C、a8÷a2=a8-2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a-b)2=a2-2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
5．（2024·巴中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．|a|＞|b| D．a﹣b＜0
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得a＜-1＜2＜b，
∴ab＜0，a+b＞0，|a|＜|b|，a-b＜0，故A、B、C三个选项都是错误的，只有D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，左边的数小于右边的数，可得a＜-1＜2＜b，进而根据绝对值的几何意义可得|a|＜|b|，据此可判断C选项；然后根据有理数的乘法法则可判断A选项，根据有理数的加减法法则可判断B、D选项.
6．（2024·巴中）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=40°，∠1与∠4是对顶角，
∴∠4=∠1=40°，
∴∠3=30°+40°=70°，
∵m∥n，
∴∠2=∠3=70°.
故答案为：A.
【分析】由对顶角相等得∠4=∠1=40°，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠3=30°+40°=70°，最后根据两直线平行，内错角相等可求出∠2的度数.
7．（2024·巴中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，
∴OC=OA=AC=2，
∵平行四边形ABCD的周长为12，
∴AB+BC=6，
∵点E是BC的中点，
∴OE=AB，EC=BC，
∴OE+EC=(AB+BC)=3，
∴△COE的周长等于OC+OE+CE=5.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OC=OA=AC=2，由平行四边形周长计算公式得AB+BC=6，根据三角形中位线定理得OE=AB，EC=BC，则OE+EC=(AB+BC)=3，最后根据三角形周长计算方法可算出△COE的周长.
8．（2024·巴中）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为(x+20)km/h，
由题意得.
故答案为：A.
【分析】设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为(x+20)km/h，根据路程除以速度等于时间及慢车所用时间比快车所用时间多0.5h，列出方程即可.
9．（2024·巴中）一组数据﹣10，0，11，17，17，31，若去掉数据11，下列会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：原数组的平均数为：，
中位数为：，
众数为：17，
极差为：31-（-10）=41；
去掉数据11后，新数组的平均数为：，
中位数为：17，
众数为：17，
极差为：31-（-10）=41；
故发生变化的是中位数.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；极差就是一组数据中的最大数据与最小数据的差，据此分别计算出原数组及新数组的平均数、中位数、众数及极差后，即可判断得出答案.
10．（2024·巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】“引葭赴岸”模型
【解析】【解答】解：设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，
在Rt△ABC中，∵BC2+AC2=AB2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得x=12，即BC=12.
故答案为：C.
【分析】设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
11．（2024·巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；已知余弦值求边长；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵图中12个直角三角形相似，
∴∠AOB=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=360°÷12=30°，
在Rt△OAB中，cos∠AOB=cos30°=，
∴，
∴
同理，，，，.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应角相等及周角定义可求出直角三角形中较小锐角为30°，进而根据30°角的余弦函数及特殊锐角三角函数值可依次求出OB、OC、OD、OE、OF、OG的长.
12．（2024·巴中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（ ）
A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．∠BDC＝3∠ABD
C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、连接DE，
∵CE⊥AB，点D是AC的中点，
∴DE是Rt△ACE斜边上的中线，
∴DE=AD=CD=AC，
∵BE=CD，
∴BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，即BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故A选项正确，不符合题意；
B、设∠ABD=x，
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠ABD=x，
∴∠AED=∠EDB+∠ABD=2x，
∵DE=AD，
∴∠A=∠AED=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，即∠BDC=3∠ABD，故选项B正确，不符合题意；
C、∵点E是AB的中点，
∴BE=AB，
∵CE⊥AB，
∴CE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∵BE=AB，ED=AC，BE=ED，
∴AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，故C选项正确，不符合题意；
D、连接AO并延长，交BC于点F，
当点E是AB的中点时，
∵点D为AC的中点，
∴点F是BC的中点，
∵点E为AB的中点时，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC，
∴∠OBC=∠OAC=30°，
∴OA=OB，
在Rt△OBF中，OB=2OF，
∴OA=OB=2OF，
∴AF=OA+OF=3OF，
∴S△OBC=BC×OF，S△ABC=BC×AF=BC×OF，
∴，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得ED=AD=CD=AC，结合已知可推出BE=DE，进而得点D在线段BD的垂直平分线上，由此可对选项A进行判断；
设∠ABD=x，由等边对等角得∠EDB =∠ABD=x，由三角形外角性质得∠AED=∠EDB+∠ABD=2x，再由等边对等角得∠A=∠AED=2x，由三角形外角性质得∠BDC=∠A +∠ABD=3x，由此可对选项B进行判断；
当E为AB中点时，易得CE是线段AB的垂直平分线，由此得AC=BC，然后根据BE=AB， DE=AC，BE=ED得AB=AC， 由此可对选项C进行判断；
连接AO并延长交BC于F，根据E为AB中点，D为AC的中点得点F为BC的中点，再根据△ABC是等边三角形得∠OBC=∠OAC=30°，则OA=OB，进而得OB=2OF，AF=3OF，根据三角形面积计算公式分别表示出△BOC与△ABC的面积，由此可对选项D进行判断.
二、填空题
13．（2024·巴中） 的立方根是 ．
【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ ，
∴27的立方根是3.
故答案为：3.
【分析】根据立方根的概念，由于 ，故27的立方根是3.
14．（2024·巴中）从五边形的一个顶点出发可以引 条对角线．
【答案】2
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从五边形的一个顶点出发可以引 对角线的条数为：5-3=2.
故答案为：2.
【分析】从n边形一个顶点出发，可引对角线的条数为n-2条，据此解题即可.
15．（2024·巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，
则a+(-2)=2，
解得a=4.
故答案为：4.
【分析】设x1与x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）的两个实数根，则，据此解题即可.
16．（2024·巴中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 ．
【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AB=BC=OC，
又∵OA=OB=OC，
∴OA=OB=OC=AB=BC
∴△ABO与△BCO都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠AOC=60°.
故答案为：60°.
【分析】由菱形的四边相等及同圆的半径相等得OA=OB=OC=AB=BC，则△ABO与△BCO都是等边三角形，由等边三角形的三个内角都是60°及角的和差可推出∠AOC=120°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ADC的度数.
17．（2024·巴中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点F作FG⊥BD于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AC=BD，AD=BC=4，CD=AB=3，
又∵AB=3，BC=4，
∴AC=BD=，
∵S△ADC=AD×DC=AC×DE，
∴3×4=5DE，
∴DE=；
∵∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠ECF=90°，
∴∠CDE=∠FCE，
又∠DEC=∠DCF，
∴△CDE∽△FDC，
∴，即，
解得DF=，
在Rt△CDF中，，
∴BF=BC-CF=，
∵S△BDF=BF×CD=BD×FG，
∴，
∴FG=.
故答案为：.
【分析】由矩形的性质得∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AC=BD，AD=BC=4，CD=AB=3，从而由勾股定理算出AC=BD=5，由等面积法得DE的长，由同角的余角相等得∠CDE=∠FCE，根据有两组角对应相等的两个三角形形似得△CDE∽△FDC，由相似三角形对应边成比例可求出DF的长，在Rt△CDF中，由勾股定理可算出CF的长，从而得到BF的长，最后再利用等面积法，结合三角形的面积公式可算出FG的长.
18．（2024·巴中）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 ．
①；
②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；
④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴是直线x=-1，
∴，
∴b=2a，
∴，故①正确；
将b=2a代入a2+b2﹣5b+8，
得a2+4a2-5×2a+8=5a2-10a+8=5(a-1)2+3，
∵，
∴当时，a2+b2﹣5b+8的值最小为5(-1)2+3=，故②错误；
∵b=2a，
∴am2+bm﹣a+b=am2+2am﹣a+2a=am2+2am+a=a(m2+2m+1)=a(m+1)2，
∵a＞0，(m+1)2≥0，
∴a(m+1)2≥0，即am2+bm﹣a+b≥0，故③正确；
∵x1+x2+2＞0，
∴，
∴PQ的中点在对称轴的右侧，
∵ x1＜x2，
∴点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近，
∵抛物线的开口向上，
∴y1＜y2，故④正确，
综上，正确的有①③④.
故答案为：①③④.
【分析】由题意可得二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴是直线x=-1，结合对称轴直线公式可得b=2a，据此可直接判断①；将b=2a代入a2+b2﹣5b+8后配方得5(a-1)2+3，结合a的取值范围及二次函数的增减性可找出此时a2+b2﹣5b+8的最小值，从而可判断②将b=2a代入am2+bm﹣a+b后分解因式得a(m+1)2，结合偶数次幂的非负性即可判断③；由x1+x2+2＞0及中点坐标公式可得PQ的中点在对称轴的右侧，再结合x1＜x2，可得点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近，进而根据抛物线开口向上的时候，抛物线上离对称轴距离越远的点起函数值越大可判断④；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题
19．（2024·巴中）（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：原式＝225﹣1
＝1+25﹣1
＝25；
（2）解：解不等式①，得x＞﹣6，
解不等式②，得x≤13，
∴不等式组的解集为﹣6＜x≤13；
（3）原式＝（）
，
当x1时，原式．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时化简二次根式、绝对值及0指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可；
（3）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
20．（2024·巴中）（10分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了m名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如图统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．
（1）求m＝ ▲ ，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？
（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1）解：m＝44÷22%＝200（名），
喜欢乒乓球的人数；200﹣44﹣16﹣88＝52（名），
补全统计图：
（2）解：1200336（名），
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有336名；
（3）解：用A、B、C、D分别代表甲、乙、丙、丁四名同学，画树状图得：
∵一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据条形统计图及扇形统计图提供的信息，用喜欢篮球运动的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的人数m的值；用本次调查的总人数分别进去喜欢篮球运动的人数、喜欢足球运动的人数、喜欢羽毛球运动的人数可求出喜欢乒乓球运动的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中喜欢乒乓球运动的学生人数所占的百分比即可估算出该校喜欢乒乓球运动的学生人数；
（3）用A、B、C、D分别代表甲、乙、丙、丁四名同学，此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，进而根据概率公式计算可得答案.
21．（2024·巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）解：由题意得：BA⊥AE，
∵斜坡BE的坡度，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BEA，
∴∠BEA＝30°，
∵BE＝6m，
∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m），
∴点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，
设EC＝x米，
∵AE＝3米，
∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝CE tan60°x（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF tan45°＝（x+3）米，
∵DF+CF＝CD，
∴x+33x，
解得：x＝6+3，
∴CDx＝（69）米，
∴电线塔CD的高度为（69）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据坡度=斜坡的竖直高度与水平宽度的比可得，在Rt△ABE中，由∠BEA的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出∠BEA=30°，最后根据含30°角直角三角形的性质可求出AB的长；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，易得四边形ABFC是矩形，则AB＝CF＝3m，BF＝AC，设EC＝x米，在Rt△CDE中，由∠DEC的正切函数可表示出CD，在Rt△BDF中，由∠DBF的正切函数可表示出DF，最后根据DF+CF=CD建立方程求出x的值，从而可求出CD的长.
22．（2024·巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
【答案】（1）解：把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣3，﹣1）；
（2）解：∵，
∴P是AB的中点，
∴P（﹣1，1），
设直线OB为y=kx，将点B(-3，-1)代入
得-3k=-1
∴
∴OB的解析式为，
当PM取得最小值时，PM⊥OB，
∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，
代入p（﹣1，1）得3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，
联立解析式得，
解得，
∴M（，），
∴PM的最小值为：．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把x＝1代入y＝x+2算出对应的函数值，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数算出k的值，从而得到反比例函数的解析式，进而联立反比例函数与一次函数的解析式组成的方程组，求解可得点B的坐标；
（2）根据同高三角形面积之间的关系就是底之间的关系得P是AB的中点，由中点坐标公式可得P（﹣1，1）；用待定系数法求出直线OB的解析式；根据垂线段最短得当PM取得最小值时，PM⊥OB，由互相垂直的直线比例系数k的乘积为-1可设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，再将点P的坐标代入算出b的值，从而得到直线PM的解析式，进而联立直线PM与OB求解可得点M的坐标，最后根据平面内两点间的距离公式可算出PM的值.
23．（2024·巴中）如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）求证：BD＝ED．
（3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵点D为的中点，O为圆心，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点D为的中点，
∴，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBE+DBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠DCF+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
∵DF∥BC，
∴∠ACB＝∠F，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠F，
∴△ABD∽△DCF，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴BD＝CD，
由（2）知BD＝ED，
∴CD＝BD＝DE＝5，
∵CF＝4，
∴，
∴AB．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，由垂径定理得OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DF，从而 根据切线的判定定理得出结论；
（2）由等弧所对的圆周角相等得∠DBC＝∠BAD，由角平分线的定义得∠ABE＝∠CBE，结合三角形外角性质及角的构成可推出∠DEB＝∠DBE，由等角对等边得BD=ED；
（3）连接CD，由圆内接四边形的对角互补、邻补角及同角的补角相等得∠ABD＝∠DCF，由二直线平行，同位角相等及同弧所对的元周角相等可推出∠ADB＝∠F，由由两组角对应相等的两个三角形系数得△ABD∽△DCF，由相似三角形对应边成比例得，由等弧所对的弦相等及（2）得结论推出CD＝BD＝DE＝5，然后代入比例式可求出AB的长.
24．（2024·巴中）综合与实践
（1）操作与发现平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHK为矩形．则△EDK≌ ．
（2）探究与证明探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：AE与EB的比值为 ．
②证明：四边形OJKL为平行四边形．
（3）实践与应用任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
【答案】（1）△EAG
（2）解：①1②证明：如图5，由题意得，E、F、G、H是AB、BC，CD，DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP，将四边形OGCF放在左上方，则AQ＝BF＝CF，AP＝DG＝CG，∠BFO＝∠AQL，∵∠DAB+∠B+∠C+∠D＝360°，∠QAE＝∠B，∠PAH＝∠D，∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ＝360°，∴∠PAQ＝∠C，∵∠BFO+∠CFO＝180°，∴∠AQL+∠AQK＝180°，∴K，Q、L三点共线，同理K，P，J三点共线，由操作得∠1＝∠L，∠3＝∠J，∵∠1+∠2＝180°，∠1=∠3，∴∠2+∠L＝180°，∠1=∠J，∴OJ∥KL，OL∥KJ，∴四边形OJKL为平行四边形；
（3）解：如图，取AB、BC、CD，DA为中点为E、H、G、F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH'M'，将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG'N'，将四边形NGCH放置左上方，使得点C与点A重合，CG与AG'重合，CH与AH'重合，点N的对应点为点N″，则四边形MM'N″N'即为所求矩形．
由题意得∠EMF＝∠EMH＝∠M'＝90°，∠GNH＝∠GNF＝∠N'＝90°，
∴∠N'＝∠M'MH＝90°，H'M'∥N'M，
∴N'G'∥MM'，
由操作得，∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠4＝180°，
∴N″，H'，M'三点共线，同理N'，G'，N″三点共线，
∵∠N'＝∠EMF＝∠M'＝90°，
∴四边形MM'N″N为'矩形，
如图，连接AC，EF，FG，GH，EH，
∵E，H为BA，BC中点，
∴EH∥AC，EHAC，同理FG∥AC，FGAC，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴∠EHM＝∠GFN，
∵∠EMF＝∠GNH＝90°，
∴△EHM≌△GFN（AAS），
∴EM＝GN，MH＝NF，
∴FM＝NH，
由操作得，AH'＝BH，而BH＝CH，
∴AH'＝CH，
同理，AG'＝CG，
∵∠BAD+∠D+∠C+∠B＝360°，∠D＝∠G'AF，∠B＝∠H'AE，∠BAD+∠H'AE+∠G'AF+∠H'AG'＝360°，
∴∠H'AG'＝∠C，
∵四边形MM'N″N'为矩形，
∴N'N″＝MM'，N″M'＝N″M，
∴N'F+FM＝H'M'+H'N″，
∴MF+NF＝MF+MH＝M'H'+N″H'，
∴NH＝N″H'，同理NG＝N″G'，
∴四边形NGCH能放置左上方，
∴按照以上操作可以拼成一个矩形．
【知识点】图形的剪拼；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图2，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠D，
由题意得E为AD中点，
∴EA＝ED，
又∵∠AEG＝∠DEK，
∴△EDK≌△EAG，
故答案为：△EAG；
（2）①解：如图5，由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，
∴AE＝BE，，
故答案为：1；
【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠GAE＝∠D，再结合EA＝ED，∠AEG＝∠DEK，可用ASA判断出△EDK≌△EAG；
（2）①由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，则AE=BE，从而即可解决此题；
②根据操作过程及旋转的性质可证出K，Q、L三点共线，K，P，J三点共线，根据旋转的性质、邻补角定义及对顶角相等可推出∠2+∠L＝180°，∠1=∠J，然后根据平行线的判定定理可得OJ∥KL，OL∥KJ，最后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出结论；
（3）如图，取AB、BC、CD，DA为中点为E、H、G、F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH'M'，将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG'N'，将四边形NGCH放置左上方，使得点C与点A重合，CG与AG'重合，CH与AH'重合，点N的对应点为点N″，则四边形MM'N″N'即为所求矩形．
25．（2024·巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），D（m，0），
∴DE＝﹣m+3，
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PE＝2ED，
∴﹣m2+3m＝2（﹣m+3），
解得m1＝2，m2＝3（此时B，D重合，不合题意舍去），
∴m＝2，
∴P（2，3）；
（3）解：∵PF∥AC，
∴△ACG∽△PFG，
∴，
∴，，
∴，
作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x+b'，
将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b'，得：0＝﹣（﹣1）+b'，
解得：b'＝﹣1，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝0时，yN＝﹣1，
∴N（0，﹣1），
∴ON＝1，CN＝ON+CO＝4，
∵AN∥BC，PQ∥y，
∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF，
∵∠PFC＝∠FPQ+∠PQF，∠ACF＝∠NCB+∠ACN，
∴∠FPQ＝∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
∴，
设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），
∴PQ＝﹣n2+3n，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴，，
∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠ANC＝45°，
∵∠ANC＝∠PQF，
∴∠OBC＝∠PQF，
∵，AB＝4，
∴，
∴，
∴△CPQ∽△ACB，
∴∠BCP＝∠CAB，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点C（0，3），用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点的坐标与图形性质设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），D（m，0），由两点间的距离公式表示出PD、DE，进而由PE＝PD﹣DE表示出PE，最后根据PE＝2ED建立方程可求出m的值，从而即可求出点P的坐标；
（3）由平行于三角形一边的直线截其他两边延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ACG∽△PFG，由相似三角形对应边成比例及同高三角形的面积之比等于底之比可求出，作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q；由互相平行直线的比例系数相同可设直线AN的解析式为y＝﹣x+b'，再代入点A的坐标可求出b'的值，从而得出直线AN的解析式；再判断出△CAN∽△PFQ，得，设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），根据两点间的距离公式表示出PQ，代入后利用配方法可求出当时，有最大值，此时；根据线段间的关系判断出，由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△CPQ∽△ACB，由相似三角形的对应角相等得∠BCP＝∠CAB，最后根据等角的同名三角函数值相等可得答案.
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