龙海一中2023--2024学年高二下学期高二年数学学科期末考试
一.单选题,共8题,每题5分
1．下列求导运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在正四面体中，是的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，正方体的棱长为2，正方形的中心为，棱的中点分别为，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B．
C．点到直线的距离为 D．异面直线与所成角的余弦值为
5．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的100天日落和夜晚天气，得到列联表如下，并计算得到，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是（ ）
日落云里走 夜晚天气
下雨 未下雨
出现 25天 5天
未出现 25天 45天
A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关
8已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二多选题,共3题,每题6分,部分选对得部分分数,有选错得0分
9．下列关于概率统计的说法中正确的是（ ）
A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
10．设，，均为随机事件，且，，，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
11．“新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ）
A．B与C相互独立 B．
C． D．
三．填空题，共3题，每题5分
12．某工厂生产的件产品中，有件次品，现从中任取件产品，设为取出的件产品中次品的件数，则的均值为 ．
13．某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为 ． .
14．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为 .
（参考数据：若随机变量，则，，）
解答题
15 (本题13分)为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为．
(1)完成下面的列联表：
性别 阅读达标情况 合计
阅读达标 阅读不达标
男生
女生
合计
(2)根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？
(3)从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再
从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：，．
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16(本题15分)
如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
17(本题15分)
为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022．
根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中．
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入．
附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
18(本题17分)
甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.
（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；
（2）求第n次（，）由乙抛掷的概率.
19(本题17分)
某人从A地到B地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口。
(1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为，第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯的次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由。
(2)已知随机变量服从两点分布，且，则,且,（）。若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差。参考答案
一.单选题,共8题,每题5分
1．D 2．A 3．C
4．D【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，，则，，则，故选项A正确；
，所以，
则，
，故选项B正确；
，，
，
点F到直线的距离，故选项C正确；
,则,
则令异面直线与所成角，可得，故选项D错误.
5．B【详解】由题意知，则，所以.
因为，所以次品率不超过的概率约为.
6．D【详解】由于服从正态分布，且，故其均值.
而服从二项分布，故，再由，就有，得.
7．D【详解】由列联表知，100天中有50天下雨，50天未下雨，
所以夜晚下雨的概率为，所以A正确；
又由未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，所以B正确；
因为，所以有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天
气有关，所以C正确；在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以D不正确.
8选A
解析：由已知有，，，令，。易知在上单调递增，又，故，即。
由于，故在单调递减，在单调递增，故当时，的最小值为
二多选题,共3题,每题6分,部分选对得部分分数,有选错得0分
9．AC
【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断.
【详解】对于，故，
令，解得，故，故A正确；
对于，故错误；
对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确；
对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误.
故选：AC.
10．BCD【详解】对于A，因为，
且，，所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，此时，故C正确；
对于D，因为，由条件概率公式可得，
即，
所以，故D正确.
11．BCD
【详解】因为，
所以，所以B与C不相互独立，故A错误；
因为，
所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以D正确．
故选：BCD.
三．填空题，共3题，每题5分
12．0.9
13．/
【详解】记事件：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，
记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，
由题意可得，，，
由全概率的公式可得，
从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为，
则任意选取100件产品，设次品数为,则,即.
14．
【详解】
，
故，
.
故答案为：
解答题
15 (本题13分)
【详解】（1）由题意可知：阅读达标与阅读不达标的人数分别为200，200，
阅读达标的女生与男生的人数比为，
据此可得列联表：
性别 阅读达标情况 合计
阅读达标 阅读不达标
男生 80 120 200
女生 120 80 200
合计 200 200 400
（2）零假设： “阅读达标情况”与“性别”没有关联，
由（1）可得：，
依据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
所以“阅读达标情况”与“性别”有关联.
（3）因为抽取5人中男、女生人数分别为，
由题意可知：X的可能取值为0，1，2，则有：
，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望为.
16(本题15分)
【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，
因为，则，，
由余弦定理可得，
所以，，则，同理可证，
翻折后，则有，，因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，则，因为，、平面，所以，平面，所以平面平面.
（2）因为平面，，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，，
平面的一个法向量为，，，
则，令，可得，
则，整理可得，
因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且.
17(本题15分)
(1)选择模型②，理由见解析
(2),预测该公司2028年的高科技研发投入亿元.
【详解】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.
（2）设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为，
令，则，
即预测该公司2028年的高科技研发投入亿元.
18(本题17分)
【详解】（1）由已知，掷出的点数不大于4的概率为，大于4的概率为，抛掷4次，设甲抛掷次数为，的可能取值为1，2，3，4.
，
，
，
，
分布列：
1 2 3 4
P
则
（2）设第次（，）由乙抛掷的概率为，则第次（，）由乙抛掷这个事件包含第次由乙抛掷，第次仍由乙抛掷和第次由甲抛掷，第次由乙抛掷这两个互斥的事件，
所以，（），
所以，（），又，所以，
所以，当，时，为等比数列，则，所以，，
第n次（，）由乙抛掷的概率.
19(本题17分)
解：
(1)应选择第一条路线。设走第一条路线遇到的红灯次数为，则，
设走第二条路线遇到的红灯次数为，则的值为
,,,故
因为，所以选择第一条路线。
(2)设选择第一条路线时遇到的红灯次数为，则
又
所以
