21.2.4解一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
人教版九（上）数学精简课堂课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
随堂演练
获取新知
情景导入
例题讲解
知识回顾
课堂小结
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
情景导入
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
获取新知
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
思考1:
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
思考2:
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
你能证明这个结论吗？
验证结论：
一元二次方程的根与系数的关系：
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
归纳小结
例题讲解
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0 ；(2) 3x2＋7x－9＝0；(3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
例2 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，
求它的另一个根及m的值.
由于x1·x2 = 1×5 =
得m = 15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以 x1 + x2 = 1+x2 = 6 ，
解得x2 = 5.
解：根据根与系数的关系可知：
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
常见的变形公式:
归纳总结
随堂演练
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____.
-3
2x1x2
2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
(1) x1+x2 = _____ , x1x2 = _______，
(2) x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = ______,
(3) (x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _______.
4
1
14
12
x1+x2
3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：(1)这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
（2）这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得k=-7.
（2）因为k=-7,所以
则
课堂小结
根与系数的关系
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
注意
式子成立的前提条件是b2-4ac≥0.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin