七年级数学上册4.5 角的比较与补（余）角 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）（含答案）

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4.5 角的比较与补（余）角 导学案
（一）学习目标：
1.通过自主探究，合作交流，理解角的大小，角的和、差倍分的意义；经历类比角的大小比较、和差学习，体会类比的思想；通过学习，能用图形语言、文字语言、符号语言进行综合描述.
2.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质；初步接触和体会演绎推理的方法和表述，能用简单的代数思想- -方程思想来处理图形的数量关系；通过探索互余、互补角的性质，培养积极的情感态度，促进良好的数学观的养成。
（二）学习重难点：
重点:理解角的大小,和差倍分意义，体会学习过程中的类比思想；互余、互补角的概念和性质。
难点:图形语言、文字语言、符号语言的相互转换；互余、互补角的正确判断及用代数方法计算角的度数。
阅读课本，识记知识：
1.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
（4）用量角器量角或画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
2.角的比较：
（1）度量比较法：先用量角器量出角的度数，然后比较他们的大小；
（2）叠合比较法：把其中一个角移到另一个角上作比较；
3.角的和与差
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
4.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的平分线。
5.角的度量与计算
把一个周角（即它的旋转量）分为360等份，每一等份叫做1度，记做1°．
把1°的角分成60等份，每一份叫做1分，记作1′；再把1′的角分成60等份，每一等份叫做1秒，记做1″，即
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，
1′＝60″＝°，1″＝′．
①度、分、秒是角的基本度量单位，它们之间的换算是60进制，这与时间的时、分、秒之间的换算是一样的．
②在进行有关度分秒的加减乘除运算时，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
③平角的一半（即90°的角）叫做直角．大于0°而小于90°的角叫做锐角．大于直角但小于平角（即大于90°但小于180°）的角叫做钝角．
6.余角与补角
（1）余角：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角；
（2）补角：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角；
（3）互余的性质：同角或等角的余角相等；
（4）互补的性质：同角或等角的补角相等；
（5）一个锐角的余角可表示为（）；一个角的补角可以表示为（），显然，一个锐角的补角比它的余角大90°。
7.方位角：在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
8.钟表上有关角
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【例1】用度、分、秒表示20.21°为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可．
【详解】因为，
所以20.21°=
故选：C
【点睛】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60．
【例2】 在中，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据互余的两个角之和为进行计算即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个角的余角，准确进行计算是解题的关键．
选择题
1.若，，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
2．在的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，若与的和为，则的度数为（ ）
A．55° B．65° C．70° D．75°
4.如图，点为直线上一点，平分，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（ ）
A．36° B．72°
C．108° D．120°
6.已知一个角是，则这个角的余角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知一个角的度数是，则这个角的余角的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．一个角的补角是，则这个角的度数是（　　）
A． B． C． D．以上均不对
9.下列说法错误的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．同角的补角相等
C．等角的余角相等 D．一个角的补角是钝角
10．如图所示，点在点的北偏东方向上，，那么点在点的方向是( )

A．南偏东； B．南偏东； C．南偏东； D．南偏东
填空题
11．把可表示为 ．
12．如图所示，将一个矩形沿图中的虚线折叠，请用量角器测量一下其中的α，β，得α β．
13．如图，将一副直角三角板如图放置，若，则的度数为 ．
14．已知，则它的补角为 ．
15．如图，、、三点在一条直线上，如果，，那么的值等于 ．

三、解答题
16．（1）如图1，已知O为上一点，与互补，分别为与的平分线，若，试求与度数．
（2）已知如图2，，是的平分线，是的平分线，且，求的度数．
17.如图，点是直线上一点，，平分．
(1)的余角是________；
(2)若，求的度数．
18.如图，点在线段上，点在线段上，画直线，画射线平分，射线与交于点F．

(1)依题意补全图形；
(2)当时，的度数是多少？说明理由．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.C
【分析】直接根据度、分、秒的关系进行化简角度即可．
【详解】解：∵，∴
∵
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查度、分、秒，熟练掌握度、分、秒之间的转换关系是解题的关键．
2．D
【分析】利用角的大小进行比较，即可完成解答.
【详解】解：因为射线OC在∠A0B的内部，那么∠AOC在∠A0B的内部，且有一公共边；则一定存在∠AOB>∠AOC.
故选D
【点睛】本题考查角的大小比较，关键是找到正确的比较方法.
3．C
【分析】根据两个锐角角和角的顶点叠放在一起，可知，，与的和为，可算出的度数，根据，即可求解．
【详解】解：∵， ，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查角的和差倍分，理清图形中角与角的数量关系是解题的关键．
4.D
【分析】先根据角平分线的定义得到，，再利用平角的定义和角之间的关系求出，则．
【详解】解：∵平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，求出是解题的关键．
5．B
【分析】设∠DOE=x，根据题意得到∠BOE=2x，∠AOC=∠COD=72°﹣x，再根据平角为180度，得到2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，即可得到∠BOE的度数．
【详解】解：如图，设∠DOE=x，
∵∠DOE=∠BOD，
∴∠BOE=2x，
又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE=72°，
∴∠AOC=∠COD=72°﹣x；
∴2×（72°﹣x）+3x=180°，
解得x=36°，
∴∠BOE=2x=2×36°=72°．
故选B．
6．C
【分析】根据余角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵一个角的度数是，
∴这个角的余角的度数是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一个角的余角，熟知余角的定义是解题的关键：如果两个角的度数之和为，那么这两个角互为余角．
7．D
【分析】根据余角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵一个角的度数是，
∴这个角的余角的度数是，
故选D．
【点睛】本题主要考查了求一个角的余角，熟知余角的定义是解题的关键：如果两个角的度数之和为，那么这两个角互为余角．
8．A
【分析】由互补的含义可得答案．
【详解】解：一个角的补角是110°，则这个角的度数是，
故选A
【点睛】本题考查的是互补的含义，熟记两个角之和为，则这两个角互补是解本题的关键．
9．D
【分析】根据线段的性质，和为的两个角互为补角，和为的两个角互为余角，对选项分别进行判断即可．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，说法正确，不符合题意；
B、同角的补角相等，说法正确，不符合题意；
C、等角的余角相等，说法正确，不符合题意；
D、一个角的补角可能是钝角、锐角、直角，说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的性质，补角和余角的相关定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
10．B
【分析】利用余角的性质求出的度数即可．
【详解】∵点在点的北偏东方向上，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴那么点在点的方向是南偏东，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点的方向角和余角的性质，熟知方向角的确定方法是解题的关键．
11./度
【分析】根据度、分、秒的换算关系进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是熟练掌握度、分、秒的换算关系．
12．=
【分析】根据量角器的使用方法即可求解．
【详解】解：根据量角器的使用方法求得：α=β．
故答案为：=．
【点睛】此题主要考查量角器的使用方法，正确掌握使用方法是解题关键．
13．/159度
【分析】根据题意可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了余角的应用，解此题的关键是求出的度数．
14．
【分析】由补角的定义即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴的补角．
故答案为：．
【点睛】本题考查了补角的定义，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
15．45
【分析】根据平角的定义及补角的定义求解即可．
【详解】∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了平角的定义和补角的定义，即和为180度的两个角互为补角，熟练掌握平角的定义，列出一元一次方程是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据角平分线的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示

（2）∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了简单作图以及角平分线的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
17.(1)
(2)
【分析】（1）根据余角的定义即可作答；
（2）先根据邻补角的定义求出，再根据余角的定义求出，再根据角平分线的定义即可作答．
【详解】（1）∵，
∴，
∴的余角是；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
即的度数为．
【点睛】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，余角的定义以及邻补角的定义是解题的关键．
18.（1），；（2）
【分析】（1）由角平分线定义和补角定义得出方程，解方程即可得出结果；
（2）设设，．则．由角平分线定义和已知条件求出，即可得出所求角的度数．
【详解】解：（1）设，
∵与互补，
则．
由题意，得．
解得：，
∴，．
（2）解：设，．
则．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵是的平分线，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了补角的定义、角平分线的定义及角的运算．熟练掌握补角定义和角平分线定义，根据题意得出方程是解决问题的关键．
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