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4.5 角的比较与补(余)角 导学案
(一)学习目标:
1.通过自主探究,合作交流,理解角的大小,角的和、差倍分的意义;经历类比角的大小比较、和差学习,体会类比的思想;通过学习,能用图形语言、文字语言、符号语言进行综合描述.
2.了解余角、补角的概念,掌握余角和补角的性质;初步接触和体会演绎推理的方法和表述,能用简单的代数思想- -方程思想来处理图形的数量关系;通过探索互余、互补角的性质,培养积极的情感态度,促进良好的数学观的养成。
(二)学习重难点:
重点:理解角的大小,和差倍分意义,体会学习过程中的类比思想;互余、互补角的概念和性质。
难点:图形语言、文字语言、符号语言的相互转换;互余、互补角的正确判断及用代数方法计算角的度数。
阅读课本,识记知识:
1.角的画法
(1)用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角.
(2)用量角器可以画出任意给定度数的角.
(3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角.
(4)用量角器量角或画角的一般步骤:①对中(角的顶点与量角器的中心对齐);②重合(一边与刻度尺上的零度线重合);③读数(读出另一边所在线的度数).
2.角的比较:
(1)度量比较法:先用量角器量出角的度数,然后比较他们的大小;
(2)叠合比较法:把其中一个角移到另一个角上作比较;
3.角的和与差
如图所示,∠AOB是∠1与∠2的和,记作:∠AOB=∠1+∠2;∠1是∠AOB与∠2的差,记作:∠1=∠AOB-∠2.
利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外,根据角的和、差关系,还可以画出15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°的角.
4.角平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫作这个角的平分线。
5.角的度量与计算
把一个周角(即它的旋转量)分为360等份,每一等份叫做1度,记做1°.
把1°的角分成60等份,每一份叫做1分,记作1′;再把1′的角分成60等份,每一等份叫做1秒,记做1″,即
1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,
1′=60″=°,1″=′.
①度、分、秒是角的基本度量单位,它们之间的换算是60进制,这与时间的时、分、秒之间的换算是一样的.
②在进行有关度分秒的加减乘除运算时,不够减,不够除的要借位,从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算,在相乘或相加时,当低位得数大于60时要向高一位进位.
③平角的一半(即90°的角)叫做直角.大于0°而小于90°的角叫做锐角.大于直角但小于平角(即大于90°但小于180°)的角叫做钝角.
6.余角与补角
(1)余角:如果两个角的和为90°,那么这两个角互为余角,其中一个角是另一个角的余角;
(2)补角:如果两个角的和为180°,那么这两个角互为补角,其中一个角是另一个角的补角;
(3)互余的性质:同角或等角的余角相等;
(4)互补的性质:同角或等角的补角相等;
(5)一个锐角的余角可表示为();一个角的补角可以表示为(),显然,一个锐角的补角比它的余角大90°。
7.方位角:在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角.例如,图中射线OA的方向是北偏东60°;射线OB的方向是南偏西30°.这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角,就叫做方位角.
正东,正西,正南,正北4个方向不需要用角度来表示.
方位角必须以正北和正南方向作为“基准”,“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” .
在同一问题中观察点可能不止一个,在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”,确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向.
8.钟表上有关角
钟表中共有12个大格,把周角12等分、每个大格对应30°的角,分针1分钟转6°,时针每小时转30°,时针1分钟转0.5°,利用这些关系,可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.
【例1】用度、分、秒表示20.21°为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可.
【详解】因为,
所以20.21°=
故选:C
【点睛】本题考查了度、分、秒间的换算,注意相邻两个单位间的进率是60.
【例2】 在中,,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据互余的两个角之和为进行计算即可得到答案.
【详解】解:在中,,,
,
故选:C.
【点睛】本题考查了求一个角的余角,准确进行计算是解题的关键.
选择题
1.若,,.则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.以上结论都不对
2.在的内部任取一点C,作射线OC,则一定有( )
A. B.
C. D.
3.如图,将一副三角尺的两个锐角(角和角)的顶点叠放在一起,若与的和为,则的度数为( )
A.55° B.65° C.70° D.75°
4.如图,点为直线上一点,平分,,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图,AB是一条直线,OC是∠AOD的平分线,OE在∠BOD内,∠DOE=∠BOD,∠COE=72°,则∠EOB=( )
A.36° B.72°
C.108° D.120°
6.已知一个角是,则这个角的余角的度数是( )
A. B. C. D.
7.已知一个角的度数是,则这个角的余角的度数是( )
A. B. C. D.
8.一个角的补角是,则这个角的度数是( )
A. B. C. D.以上均不对
9.下列说法错误的是( )
A.两点之间,线段最短 B.同角的补角相等
C.等角的余角相等 D.一个角的补角是钝角
10.如图所示,点在点的北偏东方向上,,那么点在点的方向是( )
A.南偏东; B.南偏东; C.南偏东; D.南偏东
填空题
11.把可表示为 .
12.如图所示,将一个矩形沿图中的虚线折叠,请用量角器测量一下其中的α,β,得α β.
13.如图,将一副直角三角板如图放置,若,则的度数为 .
14.已知,则它的补角为 .
15.如图,、、三点在一条直线上,如果,,那么的值等于 .
三、解答题
16.(1)如图1,已知O为上一点,与互补,分别为与的平分线,若,试求与度数.
(2)已知如图2,,是的平分线,是的平分线,且,求的度数.
17.如图,点是直线上一点,,平分.
(1)的余角是________;
(2)若,求的度数.
18.如图,点在线段上,点在线段上,画直线,画射线平分,射线与交于点F.
(1)依题意补全图形;
(2)当时,的度数是多少?说明理由.
(一)课后反思:
本节课我学会了:
本节课存在的问题:
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.C
【分析】直接根据度、分、秒的关系进行化简角度即可.
【详解】解:∵,∴
∵
∴,
故选C.
【点睛】本题主要考查度、分、秒,熟练掌握度、分、秒之间的转换关系是解题的关键.
2.D
【分析】利用角的大小进行比较,即可完成解答.
【详解】解:因为射线OC在∠A0B的内部,那么∠AOC在∠A0B的内部,且有一公共边;则一定存在∠AOB>∠AOC.
故选D
【点睛】本题考查角的大小比较,关键是找到正确的比较方法.
3.C
【分析】根据两个锐角角和角的顶点叠放在一起,可知,,与的和为,可算出的度数,根据,即可求解.
【详解】解:∵, ,,
∴,即,
∴,
∴,
∵,
∴,
故选:.
【点睛】本题主要考查角的和差倍分,理清图形中角与角的数量关系是解题的关键.
4.D
【分析】先根据角平分线的定义得到,,再利用平角的定义和角之间的关系求出,则.
【详解】解:∵平分,,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选D.
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算,角平分线的定义,求出是解题的关键.
5.B
【分析】设∠DOE=x,根据题意得到∠BOE=2x,∠AOC=∠COD=72°﹣x,再根据平角为180度,得到2×(72°﹣x)+3x=180°,解得x=36°,即可得到∠BOE的度数.
【详解】解:如图,设∠DOE=x,
∵∠DOE=∠BOD,
∴∠BOE=2x,
又∵OC是∠AOD的平分线,∠COE=72°,
∴∠AOC=∠COD=72°﹣x;
∴2×(72°﹣x)+3x=180°,
解得x=36°,
∴∠BOE=2x=2×36°=72°.
故选B.
6.C
【分析】根据余角的定义进行求解即可.
【详解】解:∵一个角的度数是,
∴这个角的余角的度数是,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了求一个角的余角,熟知余角的定义是解题的关键:如果两个角的度数之和为,那么这两个角互为余角.
7.D
【分析】根据余角的定义进行求解即可.
【详解】解:∵一个角的度数是,
∴这个角的余角的度数是,
故选D.
【点睛】本题主要考查了求一个角的余角,熟知余角的定义是解题的关键:如果两个角的度数之和为,那么这两个角互为余角.
8.A
【分析】由互补的含义可得答案.
【详解】解:一个角的补角是110°,则这个角的度数是,
故选A
【点睛】本题考查的是互补的含义,熟记两个角之和为,则这两个角互补是解本题的关键.
9.D
【分析】根据线段的性质,和为的两个角互为补角,和为的两个角互为余角,对选项分别进行判断即可.
【详解】解:A、两点之间,线段最短,说法正确,不符合题意;
B、同角的补角相等,说法正确,不符合题意;
C、等角的余角相等,说法正确,不符合题意;
D、一个角的补角可能是钝角、锐角、直角,说法错误,符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查了线段的性质,补角和余角的相关定义,熟练掌握相关定义是解本题的关键.
10.B
【分析】利用余角的性质求出的度数即可.
【详解】∵点在点的北偏东方向上,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴那么点在点的方向是南偏东,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了点的方向角和余角的性质,熟知方向角的确定方法是解题的关键.
11./度
【分析】根据度、分、秒的换算关系进行计算即可.
【详解】解:∵,
∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算,解题的关键是熟练掌握度、分、秒的换算关系.
12.=
【分析】根据量角器的使用方法即可求解.
【详解】解:根据量角器的使用方法求得:α=β.
故答案为:=.
【点睛】此题主要考查量角器的使用方法,正确掌握使用方法是解题关键.
13./159度
【分析】根据题意可得,从而得到,即可求解.
【详解】解:根据题意得:,
∵,
∴,
∴.
故答案为:
【点睛】本题考查了余角的应用,解此题的关键是求出的度数.
14.
【分析】由补角的定义即可得出答案.
【详解】解:∵,
∴的补角.
故答案为:.
【点睛】本题考查了补角的定义,熟练掌握补角的定义是解题的关键.
15.45
【分析】根据平角的定义及补角的定义求解即可.
【详解】∵,,,
∴,
解得:,
故答案为:45.
【点睛】本题考查了平角的定义和补角的定义,即和为180度的两个角互为补角,熟练掌握平角的定义,列出一元一次方程是解题的关键.
16.(1)见解析
(2),见解析
【分析】(1)根据题意补全图形即可;
(2)根据角平分线的定义即可得出答案.
【详解】(1)解:如图所示
(2)∵平分,
∴,
∵,
∴.
【点睛】本题考查了简单作图以及角平分线的定义,熟练掌握相关定义是解本题的关键.
17.(1)
(2)
【分析】(1)根据余角的定义即可作答;
(2)先根据邻补角的定义求出,再根据余角的定义求出,再根据角平分线的定义即可作答.
【详解】(1)∵,
∴,
∴的余角是;
(2)∵,
∴,
∵,
∴,
∵平分,
∴,
即的度数为.
【点睛】本题主要考查了角的度数的计算,正确理解角平分线的定义,余角的定义以及邻补角的定义是解题的关键.
18.(1),;(2)
【分析】(1)由角平分线定义和补角定义得出方程,解方程即可得出结果;
(2)设设,.则.由角平分线定义和已知条件求出,即可得出所求角的度数.
【详解】解:(1)设,
∵与互补,
则.
由题意,得.
解得:,
∴,.
(2)解:设,.
则.
∵是的平分线,
∴,
∴,
∵,
∴,
解得:,
∵是的平分线,
∴,
∴.
【点睛】此题考查了补角的定义、角平分线的定义及角的运算.熟练掌握补角定义和角平分线定义,根据题意得出方程是解决问题的关键.
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