22.1.1二次函数的图象和性质 二次函数【人教九上数学精彩课堂教案】

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22.1　二次函数的图象和性质
22.1.1　二次函数
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
置疑探究　(1)圆的半径是r(cm)时,面积S(cm2)与半径r(cm)之间的函数关系是什么呢
(2)一个边长为4厘米的正方形,若它的边长增加x厘米,则面积随之增加y平方厘米,你能写出y关于x的函数解析式吗
(3)把一根40厘米长的铁丝分成两段,再分别把每一段弯折成一个正方形.设其中一段铁丝的长为x厘米,两个正方形的面积之和为y平方厘米,你能写出y关于x的函数解析式吗
[教学提示] 本处设计了三个问题,学生容易分析其中的变量以及变量之间的关系,也不难列出函数解析式.通过类比一次函数的概念,归纳解析式的特点,引出二次函数的定义.引导学生进行观察,启发学生归纳出解析式的特点:(1)函数解析式的一边为整式(表明这种函数与一次函数有共同的特征);(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同).
类比探究　形如ax+b=0(a≠0)的方程叫做一元一次方程,令y=ax+b,则y=ax+b(a≠0)为一次函数.
经过上一章的学习,我们知道形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫做一元二次方程.如果我们令y=ax2+bx+c,你会给y=ax2+bx+c(a≠0)命名吗
[教学提示] 从学生已经熟悉的一元一次方程、一次函数出发,类比这种命名特点,归纳出二次函数的概念.引导学生尤其注意“一次”和“二次”,从而类比归纳.
教材母题——第29页练习第2题
如图22-1-1,矩形绿地的长、宽各增加x m,写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式.
图22-1-1
【模型建立】
根据面积关系建立二次函数的关系式y=ax2+bx+c.
【变式变形】
1.已知一块矩形草地的长为8 m,宽为6 m,若将长和宽都增加x m,设增加的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)若要使草地的面积增加32 m2,则长和宽都需增加多少米
[答案:(1)y=x2+14x　(2)2 m]
2.为了改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一条矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边被总长为40 m的栅栏围住(如图22-1-2所示).若设绿化带BC边的长为x m,绿化带的面积为y m2,求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.答案:y=-x2+20x(0图22-1-2
3.如图22-1-3,一块草地是长为80 m,宽为60 m的矩形,欲在中间修筑两条互相垂直且宽均为x m的小路,这时草地的面积为y m2,求y与x之间的函数解析式,不需要写出自变量x的取值范围.[答案:y=x2-140x+4800]
图22-1-3
4.如图22-1-4,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,求y与x之间的函数解析式.答案:y=x2
图22-1-4
　　【评价角度1】 二次函数的概念及识别
方法指引:考查形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数是二次函数.解决这类题目时注意二次函数与一次函数的区别.
例　下列函数是二次函数的是 (C)
A.y=2x+1 B.y=-2x+1
C.y=x2+1 D.y=x-2
【评价角度2】 利用二次函数的概念求待定字母的值或取值范围
方法指引:形如y=ax2+bx+c(a≠0)的式子是二次函数,需满足两个条件:自变量x的最高次数是2;二次项系数a≠0.利用这两个条件可以求待定字母的值或取值范围.
例1　若关于x的函数y=(2-a)x2-x是二次函数,则a的取值范围是　a≠2　.
例2　若y=(m-1)-2mx+1是关于x的二次函数,则m=　-1　.
例3　已知关于x的函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,求m的取值范围.
[答案:(1)m=0　(2)m≠0且m≠1]
　　【评价角度3】 根据实际问题列二次函数解析式
方法指引:矩形的面积问题,两次增长的增长率问题,比赛场次与球队数的关系问题都是与二次函数相关的实际问题,根据这些实际问题列出函数解析式是常见的考题.如教材P28问题1,问题2,P29练习T1,T2,P41习题22.1 T1,T2等.
课题 22.1.1　二次函数 授课人
教 学 目 标 　　1.通过对多个实际问题的分析,让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义;通过观察和分析,让学生归纳二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数. 2.学生能对具体情境中的数学信息做出合理的解释,能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系. 3.通过具体实例,让学生经历概念的形成过程,使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律,体验数学来源于生活,又服务于生活的辩证观点. 4.通过观察、操作、交流、归纳等数学活动,加深对二次函数概念的理解,发展学生的数学思维,增强学生学好数学的愿望与信心.
教学 重点 对二次函数的理解.
教学 难点 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.我们学习过哪些函数呢 试着举例说明一下. 2.下列函数是什么函数 有不认识的吗 能说说你所认识的函数的图象和性质吗 (1)y=2x+1;(2)y=-4x;(3)y=3x2+1. 3.学习函数应从哪几个方面进行探究呢 师生活动:教师提出以上问题,引导学生回答,师生共同回顾、交流,适时做好总结. 问题解析:1.学习过的函数有一次函数,正比例函数是其特殊形式. 2.(2)是正比例函数;(1)(2)是一次函数. 3.学习函数一般是从函数的定义、函数的一般形式、函数的图象及其性质、函数的实际应用等方面进行学习. 　　由回顾旧知识入手,通过回顾已经学习过的函数的相关知识对要学习的新知识有明确的方向,通过类比进行延伸,符合学生的认知规律.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:如图22-1-5,正方体的六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x之间的函数解析式是什么 它是一次函数吗 有什么特点 图22-1-5 学生思考后回答,教师点拨:这是我们今天需要学习和研究的“二次函数”数学模型. 　　以学生熟悉、感兴趣的问题作为课题引入,激发学生学习新知识的兴趣,同时为引入新课奠定基础.
活动 二: 探究 与 应用 　　1.探究新知 (1)n个球队参加比赛,每两个队之间都要进行一场比赛,场数m与球队数n之间有什么关系 每个队要与几个队各比赛一场 (2)某产品今年的年产量是20 t,计划今后两年增加产量,如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将由计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示 教师提问: (1)以上问题中有哪些变量 其中哪些是自变量 列出问题中的函数解析式; (2)观察上面的函数解析式,分析解析式有什么特点. 让学生独立思考完成解答,教师适当地引导与点拨,共同得到问题的结论. 教师板书: 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. 2.解析新知 教师指导学生观察二次函数的定义,交流、讨论二次函数的特征,并进行总结: ①等式左边是函数y,右边是关于自变量的整式; ②a,b,c都是常数,a≠0; ③等式右边自变量的最高次数为2,一次项和常数项可以为0,但是必须保留二次项; ④自变量x的取值范围是任意实数. 教师做好归纳: 二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c是常数项. 　　由现实中的实际问题入手,给学生创设熟悉的问题情境,通过问题的解决为得出二次函数的定义做好铺垫,并让学生感受到身边的数学,激发学生学习数学的好奇心和求知欲,学生通过分析、交流探究二次函数的概念,加深对概念的理解,为解决问题打下基础.
【应用举例】 例1　下列函数中,属于二次函数的是 (C) A.y=2x-3 　　　 B.y=(x+1)2-x2 C.y=2x2-7x D.y=-x 例2　关于函数y=(500-10x)(40+x),下列说法不正确的是 (C) A.y是x的二次函数 B.二次项系数是-10 C.一次项是100 D.常数项是20000 例3　若y=是二次函数,则m的值为　7　. 师生活动:学生自主进行解答问题后,分组展开讨论,待学生充分交流后,教师组织学生展示自己的答案,共同得到正确的结论,并获得解题的经验. 　　应用举例有利于学生对二次函数概念的理解,能起到及时巩固的作用.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例4　李师傅要在一张长、宽分别为50 cm和30 cm的矩形铁皮的四个角上,各剪去一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为x cm,长方体箱子的底面积为y cm2. 求:(1)y与x之间的函数解析式; (2)自变量x的取值范围; (3)当x=5 cm时,长方体箱子的底面积. 教师重点关注:学生对已解问题与未解问题的对比分析能力;给予学生一定的时间去思考、充分讨论,争取让学生自己得到解答方法,并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 　　例4中的三个问题层层递进,在复习旧知识的同时获得解决新问题的经验,进一步内化新知、突破难点.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列函数中是二次函数的是 (B) A.y=x+　　　　　　　　B.y=3(x-1)2 C.y=(x+1)2-x2 D.y=3x-1 2.若函数y=x2+2x+a2-1是关于x的二次函数,则 (C) A.a=1　　　B.a=±1　　　C.a≠1　　　D.a≠-1 3.已知关于x的函数y=是二次函数,求m的值. 4.已知二次函数y=2x2+x-3. (1)当x=1时,求它所对应的函数值y; (2)当y=0时,求它所对应的自变量x的值. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　从简单的应用开始,及时巩固新知,让学生获得对二次函数深层次的理解,从多个角度进行检测,达到学有所成的目的.
　　1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 请同学们说一说. 教师进行总结:二次函数的定义及各部分名称;根据实际问题列二次函数解析式及求函数值. 2.布置作业: (1)教材第29页练习第1,2题. (2)教材第41页习题22.1第1,2题. 　　学生归纳本节课学习的主要内容,让学生自觉对所学知识进行梳理,形成体系,养成良好的学习习惯.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在复习回顾环节中,教师引导学生复习一次函数和一元二次方程的知识,为学习二次函数做好铺垫;在探究新知过程中,通过类比学习使知识简单化,思路清晰化,学习效果较好;在课堂训练环节中,选用例题典型且有思维深度,学生能够运用所学新知进行解答,能够圆满完成教学任务. ②[讲授效果反思] 对于二次函数的认识,强调几点:(1)一般形式中各项的名称;(2)二次项系数不能为0;(3)二次函数解析式的多种形式. ③[师生互动反思] 从课堂氛围和课堂效果分析,学生能够积极投入新知学习中,能够集中精力完成学习任务. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
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