22.1.2二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质【人教九上数学精彩课堂教案】

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22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
实际情境　如图22-1-6,你知道打篮球投篮时篮球运动的路线是什么吗 你知道姚明投篮为什么那么准吗 用篮球投篮,观察篮球的运动路线,思考分析投篮时篮球的运动路线有何规律,怎样用数学规律来描述
图22-1-6
[教学提示] 通过对抛物线实际问题的导入,激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望,增加对抛物线初步的了解和认识.教师做模拟试验,直观展示投篮路径,更能激发学生对其路径的数学探究的欲望,让学生养成观察思考的好习惯.
归纳探究　(1)在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么 你想直观地了解它的性质吗
(2)请你在图22-1-7中用描点法画出二次函数y=x2的图象.
图22-1-7
观察函数解析式y=x2,选择x的适当值,并计算相应的y值,完成下表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
　　在图22-1-7所示的平面直角坐标系中描点并用光滑曲线连接各点.
[教学提示] 学生已经有画函数图象的经验和水平,掌握了画函数图象的一般步骤.本节通过画二次函数y=x2的图象,引入本节新课,进而类比得出二次项系数不是1的情形及它们的性质.先留给学生动手画图的时间,然后教师要引导学生分析二次函数y=x2的性质,为进一步的学习积累数学活动经验.
教材母题——第32页练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点:
(1)y=3x2;(2)y=-3x2;(3)y=x2;(4)y=-x2.
【模型建立】
根据二次函数的解析式y=ax2中a的取值确定函数图象的开口、顶点、对称轴及函数的增减性、最值等,从而解决相关数学问题.
【变式变形】
1.关于函数y=x2的图象及性质的叙述中,错误的是 (D)
A.对称轴是y轴 B.顶点是原点
C.当x>0时,y随x的增大而增大 D.y有最大值
2.在同一平面直角坐标系中,抛物线y=x2,y=-3x2,y=2x2的共同点是 (B)
A.开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点 B.对称轴是y轴,顶点是原点
C.开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点 D.有最小值为0
3.如图22-1-8所示,在同一平面直角坐标系中,画出了①y=3x2;②y=x2;③y=x2的图象,则从里到外的三条抛物线a,b,c对应的函数依次是　①③②　(填序号).
图22-1-8
4.对于二次函数y=-x2,当x1>x2>0时,y1和y2的大小关系是y1　<　y2(填“>”“<”或“=”).
5.对于二次函数y=m,在其图象对称轴的左侧,y随x的增大而增大,则m=　-　.
　　【评价角度1】 确定抛物线的顶点、开口方向、对称轴、增减性、最值等
方法指引:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,函数有最小值;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,函数有最大值;越大,抛物线的开口越小.如本课素材二[教材母题模型]及[变式变形].
例　已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是 (C)
A.y1>0>y2 B.y2>0>y1
C.y1>y2>0 D.y2>y1>0
【评价角度2】 二次函数y=ax2的图象及其性质与几何综合
方法指引:此类问题一般要综合利用抛物线上的点的坐标特点及对称性,结合几何图形的性质解决.
　　例　如图22-1-9,平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2(x≥0)与y2=(x≥0)的图象于点B,C,过点C作y轴的平行线交函数y1的图象于点D,直线DE∥AC,交函数y2的图象于点E,则=　3-　.
图22-1-9
【评价角度3】 综合考查二次函数y=ax2与一次函数y=ax+b的图象及性质
方法指引:二次函数y=ax2的图象是过原点的抛物线,图象特点及性质由a决定,一次函数y=ax+b的图象是一条直线,图象的特点及性质由a,b共同决定.二次函数的图象与一次函数图象的交点问题可通过解方程(组)解决.
例1　已知a≠0,在同一平面直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是 (C)
图22-1-10
例2　抛物线y=2x2与直线y=3x+b的一个交点坐标是(3,m),则另一个交点坐标是 -,　.
课题 22.1.2　二次函数y=ax2 的图象和性质 授课人
教 学 目 标 　　1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,能根据图象理解其有关性质. 2.通过类比一次函数的探究方式得到研究特殊的二次函数图象及其性质的探究方式,并根据数形结合的思想探究函数之间的联系和区别. 3.经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,体会数形结合的思想与方法. 4.通过画函数图象,认识数形结合的数学方法,体会数学中的特殊与一般的辩证关系,体会数学的内在美.
教学 重点 画出二次函数y=x2的图象,根据函数的图象分析其性质.
教学 难点 用描点法准确画出二次函数的图象.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.回忆二次函数的定义. 教师提出问题,学生进行回答. 定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. 2.我们该如何研究一个函数呢 从哪些方面入手呢 探究结论:学习一次函数时,先研究正比例函数,同样在学习二次函数时,也是从最简单的二次函数入手,先研究b,c都等于0的情况,即研究最简单的二次函数y=ax2的图象和性质. 　　让学生回忆学习函数的过程和方法,引导学生在学习过程中发现研究问题的一般规律.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:如何画出二次函数y=x2的图象呢 师生活动:师生共同讨论,得到画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线. 1.列表: 问题:自变量该如何取值呢 学生交流、讨论,得到结论. 二次函数y=x2中自变量的取值范围是全体实数,而且当自变量互为相反数时,对应的函数值相等,因此,以原点为中心在原点的左右两侧均匀地选取便于计算的x值即可. x…-3-2-10123…y=x2…9410149…
　　2.描点:请同学们把表格中的点在坐标纸上描出来. 3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,在连线过程中,观察图象的形状. 　　画二次函数y=ax2的图象是本节课的重点与难点,因此,需要逐步引导,而列表是三个步骤中最为关键的环节,要分析透彻,鼓励学生发表自己的看法.
活动 二: 探究 与 应用 　　1.二次函数y=x2的图象总结 师生活动:学生在坐标纸上画出图象,教师巡视,及时发现问题,并予以纠正、指导. 教师利用展台展示学生的优秀作品,并引导学生大胆说出图象的特征. 二次函数y=x2的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线,这条曲线叫做抛物线.抛物线开口方向向上或向下,是轴对称图形,它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 2.观察类比,探究异同 在同一个平面直角坐标系中画出二次函数y=x2和y=2x2的图象,并观察图象有哪些特征. 师生活动:请同学们在同一平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象,完成后观察并分组讨论图象之间的异同点,总结出当a>0时,二次函数y=ax2的图象特征. 探究二次函数y=-x2,y=-x2和y=-2x2的图象,并思考这些抛物线有什么共同点和不同点. 师生活动:教师利用几何画板进行画图演示,学生观察三个函数图象,并比较异同,独自总结规律.教师进行个别提问,学生独立作答,师生共同确定规律. 3.总结归纳,形成规律 总结二次函数y=ax2(a≠0)的图象的特征. 学生独立归纳二次函数y=ax2的图象特征,并填表: 二次函数图象的形状开口方向对称轴顶点坐标y=ax2a>0a<0
　　归纳:一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大. 练习:在平面直角坐标系中画出二次函数y=0.2x2的图象,并填空. 二次函数y=0.2x2的图象是一条开口向　上　的抛物线,对称轴是　y轴　,顶点坐标是　(0,0)　,当x=　0　时,y有最　小　值,为　0　. 　　1.在同一平面直角坐标系中画函数图象,使得对比更加强烈,小组讨论的学习方式可以使个人想法得到纠正和补充. 2.利用几何画板进行动态演示,所画抛物线准确,对比明显,结论易得,使学生感受深刻. 3.在分析总结过程中,把所得结论填进表格,对学生思路起到了引导作用,更直观易懂. 4.设置同步练习,可以巩固新知,促进理解.
【应用举例】 例1　下列说法错误的是 (C) A.在二次函数y=2x2中,当x>0时,y随x的增大而增大 B.在二次函数y=-6x2中,当x=0时,y有最大值0 C.a越大,抛物线y=ax2(a≠0)的开口越小;a越小,抛物线y=ax2(a≠0)的开口越大 D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 　　例2　已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)均在抛物线y=-4x2上,下列结论正确的是 (D) A.y1活动 二: 探究 与 应用
【拓展提升】 例3　已知a≠0,b<0,则一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的图象可以是图22-1-11中的 (C) 图22-1-11 　　例4　若抛物线y=ax2与直线y=-x交于点(1,m),求m的值及抛物线的函数解析式.[答案:m=-1,y=-x2] 给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 　　例3、例4是一次函数与二次函数相结合的数形结合问题,让学生体会参数对图象的作用.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.函数y=-x2的图象是一条　抛物线　,开口向　下　,对称轴是　y轴　,顶点坐标是　(0,0)　. 2.已知抛物线y=ax2(a≠0)和直线y=kx(k≠0)的交点是P(-1,2),则a=　2　,k=　-2　. 3.已知函数y=m的图象是不经过第一、二象限的抛物线,则m=　-1　. 4.已知二次函数y=-x2,当x1活动 三: 课堂 总结 反思 　　1.课堂总结: 请同学们回顾本课的学习内容,思考以下问题: (1)二次函数y=ax2的图象是什么样子的 (2)二次函数y=ax2中的a对函数图象有什么影响 教师提示:明确二次函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴,能够分析函数的增减性. 2.布置作业: (1)教材第41页习题22.1第3,4题. (2)补充题:已知直线y=kx与抛物线y=ax2都经过点(-1,6). ①求直线及抛物线的函数解析式; ②判断点(k,a)是否在抛物线上; ③若点(m,a)在抛物线上,求m的值. 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境环节中,教师应给予充分的时间让学生交流、讨论、作图,学生通过自己作图得到函数图象;在探究新知环节中,在学生总结自己的想法和结论后,教师及时做好总结和归纳,学生接受较快,效果明显. ②[讲授效果反思] 教师引导学生在分析二次函数的图象时从以下几点进行考虑: (1)开口方向;(2)对称轴;(3)顶点坐标;(4)函数增减性. ③[师生互动反思] 在教学过程中,学生充分发挥主动性,每个学生都能积极主动参与,成为课堂的主人. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
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