22.1.3.1二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时【人教九上数学精彩课堂教案】

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22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
图22-1-12
实际情境　许多桥梁都采用抛物线形设计,小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后,绘制成如图22-1-12②所示的示意图,图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,x轴表示桥面,y轴经过中间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于y轴对称.经过测算,中间抛物线的函数解析式为y=-x2+10.
你能计算出中间抛物线的最高点离桥面的高度吗
[教学提示] 通过对抛物线实际问题的导入,激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望,增加对抛物线y=ax2+k(a≠0)初步的了解和认识.提出“二次函数y=-x2+10的图象怎么画出来 ”的问题,引导学生观察并分析二次函数的图象.
复习探究　(1)二次函数y=2x2的图象是　抛物线　,它的开口向　上　,顶点坐标是　(0,0)　,对称轴是　y轴　,在对称轴的左侧,y随x的增大而　减小　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大　,二次函数y=2x2在x=　0　时,取得最　小　值,其最　小　值是　0　.
(2)二次函数y=2x2+1与二次函数y=2x2的解析式有什么相同点和不同点 它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同
[教学提示] 通过问题(1)的设置,对二次函数y=2x2的图象与性质进行回顾,加强新旧知识之间的联系.通过问题(2)的设置,类比旧知识二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质的学习方法、数学思想来学习新知识二次函数y=ax2+k的图象和性质.
教材母题——第33页练习
在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:y=x2,y=x2+2,y=x2-2.观察三条抛物线的位置关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线y=x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗 它与抛物线y=x2有什么关系
【模型建立】
(1)抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、函数的增减性与抛物线y=ax2相同,顶点不同.
(2)抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2平移得到,即当k>0时,抛物线y=ax2向上平移k个单位长度得到抛物线y=ax2+k;当k<0时,抛物线y=ax2向下平移个单位长度得到抛物线y=ax2+k.
【变形变式】
1.下列关于二次函数y=2x2+2,y=-x2-1,y=x2的图象及性质的说法,正确的是 (A)
A.都关于y轴成轴对称 B.顶点都在原点
C.都开口向上 D.当x<0时,y都随x的增大而减小
2.将抛物线y=-x2-3平移后得到抛物线y=-x2,平移的方法可以是 (B)
A.向下平移3个单位长度 B.向上平移3个单位长度
C.向下平移2个单位长度 D.向上平移2个单位长度
3.二次函数y=-x2-2的图象的开口　向下　,对称轴为　y轴　,顶点坐标是　(0,-2)　;当x=　0　时,y有最　大　值是　-2　.
4.将抛物线y=x2-2向上平移m个单位长度后,得到新的抛物线y=x2+4,则m=　6　.
　　【评价角度1】 抛物线y=ax2+k(a≠0)的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性、最值
方法指引:抛物线y=ax2+k的对称轴是y轴,顶点是(0,k).当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,函数有最小值,且在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,函数有最大值,且在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小.
例1　抛物线y=2x2+1的顶点坐标是 (A)
A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0)
例2　抛物线y=-x2+1的对称轴是 (C)
A.直线x= B.直线x=- C.直线x=0 D.直线x=2
例3　已知A(-1,y1),B(,y2),C(2,y3)三点都在二次函数y=ax2-1(a>0)的图象上,那么y1,y2,y3之间的大小关系是　y1【评价角度2】 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象的平移规律
方法指引:注意抛物线y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)之间的平移属于上下平移,并且当k>0时,将抛物线y=ax2向上平移k个单位长度后,得到抛物线y=ax2+k;当k<0时,将抛物线y=ax2向下平移|k|个单位长度后,得到抛物线y=ax2+k.
例　将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度后,得到的图象所对应的函数解析式是　y=x2+2　.
【评价角度3】 二次函数y=ax2+k(a≠0)的实际应用
方法指引:解决抛物线形问题,一般是先建立平面直角坐标系,把已知条件转化为点的坐标,从而求出二次函数的解析式,利用解析式计算有关问题.
　　例　图22-1-13是一个横断面为抛物线形状的拱桥的示意图,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,则水面下降1米时,水面的宽度为　2　米.
图22-1-13
课题 第1课时　二次函数y=ax2+k 的图象和性质 授课人
教 学 目 标 　　1.会作二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象,并能比较它们的异同. 2.理解a,k对二次函数图象的影响,能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3.了解二次函数y=ax2的图象上下平移的规律. 4.利用二次函数y=ax2的图象研究二次函数y=ax2+k的图象,体会类比的思想和平移的规律. 5.经历探索二次函数y=ax2+k图象的画法和性质的过程,增强对二次函数图象的理解,体会数形结合的思想和方法. 6.进一步获得将表格、解析式、图象三者联系起来的经验,体会知识的转化、图象的移动,感受到数学数形之间转化的魅力.
教学 重点 作二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象,比较它们之间的异同,了解它们的性质.
教学 难点 对二次函数y=ax2+k的图象与性质的理解,掌握抛物线上下平移的规律.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.填空: 二次函数y=2x2的图象是　抛物线　,它的开口方向　向上　,顶点坐标是　(0,0)　,对称轴是　y轴　,在对称轴的左侧,y随x的增大而　减小　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大　,当x=　0　时,函数有最　小　值是　0　.二次函数y=-2x2 呢 2.二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同 学生自主解答问题1,教师根据学生的回答做好总结,同时提出问题2,从而引入新课. 　　通过复习二次函数y=ax2的图象及其性质,进一步巩固旧知,同时又为学习新知打好基础,做好铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象. 师生活动: 先让学生回顾画二次函数图象的步骤:列表、描点、连线,再画出二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象. 1.列表:教师给出表格,学生填表. x…-1.5-1-0.500.511.5…y=2x2+1…5.5 3 1.511.5 3 5.5…y=2x2-1…3.5 1 -0.5-1-0.5 1 3.5…
　　2.描点:用表格中的各组对应值作为点的坐标,进行描点. 3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象. 　　利用画函数图象的步骤依次画出各个二次函数的图象,主要培养学生的画图能力、对比能力和严谨的学习态度.
活动 二: 探究 与 应用 　　一、探究新知 1.展示问题:观察二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象,探究二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间的关系. (1)先让学生观察函数的图象,研究自变量相同的两个二次函数图象上点的位置有何关系; (2)二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象之间有什么关系 学生自主归纳:二次函数y=2x2+1的图象可以看成是将二次函数y=2x2-1的图象向上平移2个单位长度得到的. 2.展示问题:(1)抛物线y=2x2+1和y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么 (2)抛物线y=2x2+1和y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系 教师指导学生观察函数图象,学生自主进行回答,达成共识: (1)开口方向都向上,对称轴都是y轴,顶点坐标分别是(0,1),(0,-1). (2)把抛物线y=2x2向上平移1个单位长度得到抛物线y=2x2+1,向下平移1个单位长度得到抛物线y=2x2-1. 二、归纳总结 3.展示问题:抛物线y=ax2+k和y=ax2有什么关系 师生活动:学生分组交流、讨论,做好总结归纳,教师指导各个小组发表见解,最后师生共同总结: (1)开口方向相同,对称轴都是y轴,顶点不同,顶点坐标分别是(0,k),(0,0). (2)当k>0时,抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2向上平移k个单位长度得到的;当k<0时,抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2向下平移|k|个单位长度得到的. 　　1.在探究过程中,引导学生认真观察思考,积极回答,让学生充分感受到解决问题带来的喜悦. 2.通过观察、对比得到二次函数y=ax2+k与y=ax2的性质和图象之间的关系,易于培养学生的分析能力和总结能力.
【应用举例】 例1　抛物线y=ax2+k与y=-5x2的形状、开口方向相同,且顶点坐标是(0,3),则其函数解析式为　y=-5x2+3　,它是由抛物线y=-5x2向　上　平移　3　个单位长度得到的. 例2　下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 (B) A.y=-2x B.y=x2-1 C.y=-x+1 D.y=-7x2 学生自主解答问题后,分组展开讨论,待学生充分交流后,教师组织学生展示自己的答案,共同得到正确的结论. 　　学生在掌握基础知识和基本技能的基础上,怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究和体验解决问题的过程,提高了思维能力.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+1和二次函数y=x2+a的图象可能是 (C) 图22-1-14 例4　若抛物线y=ax2+k与y=-2x2+5关于x轴对称,求a,k的值. 给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 　　对二次函数与一次函数图象的综合、二次函数对称性的提升练习,加强学生对函数解析式中的字母系数与图象关系的认识.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.二次函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是(C) A.开口方向　　B.对称轴　　C.顶点坐标　　D.形状 2.抛物线y=-3x2+2的开口方向　向下　,对称轴是　y轴　,顶点坐标是　(0,2)　,函数有最　大　值为　2　. 3.抛物线y=4x2-3是由抛物线y=4x2向　下　平移　3　个单位长度得到的. 4.已知A(-1,y1),B(,y2),C(2,y3)三点都在二次函数y=ax2-1(a>0)的图象上,那么y1,y2,y3之间的大小关系是　y1　　1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 说一说! 教师总结:二次函数的图象及性质,抛物线的平移规律. 2.布置作业: 教材第33页练习. 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知环节中,学生动手操作,大胆质疑,教师能够适时评价,对学生思维起到极好的助推作用,多媒体的辅助为二次函数图象之间的平移变化规律增添了色彩,方便学生理解并掌握知识. ②[讲授效果反思] 教师强调难点:抛物线平移的规律——上加下减(在k的位置上). ③[师生互动反思] 课堂教学过程中,学生能够积极表现,教师做好点拨,适时评价. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
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