22.1.3.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第3课时【人教九上数学精彩课堂教案】

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22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
　　实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
实际情境　一个运动员打高尔夫球,如果球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式为y=-(x-25)2+12,那么高尔夫球在飞行过程中所能达到的最大高度是多少
[教学提示] 通过对高尔夫球运动路线问题的引入,激发学生学习本节课的兴趣,从而导入新课.为了研究y=-(x-25)2+12这一类函数的图象,可以在平面直角坐标系中画出二次函数y=-(x+1)2-1的图象,对这个函数的图象和性质进行研究.
复习探究　(1)函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象之间有什么关系
(2)函数y=2(x-1)2的图象与函数y=2x2的图象之间有什么关系
问题:函数y=2(x-1)2+1的图象与函数y=2(x-1)2的图象之间有什么关系 函数y=2(x-1)2+1有哪些性质
[教学提示] 通过对二次函数y=2x2与二次函数y=2x2+1和y=2(x-1)2的图象之间的平移关系的复习,让学生在回顾旧知识的同时产生对函数y=2(x-1)2+1图象与性质的探索欲望.在学生回答出第(1)(2)两个问题后,继续提出问题,从而引出新知,进入新知探究过程.
教材母题——第36页例4
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长
【模型建立】
本题建立适当的平面直角坐标系,已知顶点坐标和另一个点的坐标,根据顶点式求二次函数的解析式,再求当x=0时y的值.变式题一般从以下两个方面进行变形:
(1)已知顶点坐标和另一点的坐标,求二次函数的解析式.解题步骤:①设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0);②把已知点的坐标代入所设的解析式,转化成关于a的一元一次方程;③解方程,求出a的值;④把a的值代入所设的解析式,得出二次函数的解析式.
(2)实际应用中,求抛物线与x轴的交点或与y轴的交点坐标的实际问题.
【变式变形】
1.在平面直角坐标系内,二次函数的图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).求该二次函数的解析式.[答案:y=(x-1)2-4]
2.市中心广场有各种音乐喷泉,其中一个喷水管喷出的水柱的最大高度为3米,此时水柱距喷水管的水平距离为米,若水柱是抛物线形,在如图22-1-18所示的平面直角坐标系中,这个水柱抛物线的函数解析式是 (C)
图22-1-18
A.y=-x-2+3 B.y=-3x+2+3
C.y=-12x-2+3 D.y=-12x+2+3
3.如图22-1-19,教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式为y=-(x-4)2+3,由此可知铅球推出的水平距离是 (A)
图22-1-19
A.10 m B.3 m C.4 m D.2 m或10 m
　　【评价角度1】 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
方法指引:确定抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性和最值.
例1　抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是 (C)
A.(-2,5) B.(-2,-5) C.(2,5) D.(2,-5)
例2　对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是 (B)
A.对称轴是直线x=1,最小值是2 B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=-1,最小值是2 D.对称轴是直线x=-1,最大值是2
【评价角度2】 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的平移
方法指引:抛物线y=a(x-h)2+k可以由抛物线y=ax2先沿x轴向右(h>0)或向左(h<0)平移个单位长度,再沿对称轴向上(k>0)或向下(k<0)平移个单位长度得到.简单地说,就是左加右减,上加下减,平移的方向、距离要根据h,k的值来决定.
例　将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,得到的抛物线为 (A)
A.y=-5(x+1)2-1 B.y=-5(x-1)2-1
C.y=-5(x+1)2+3 D.y=-5(x-1)2+3
课题 第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质 授课人
教 学 目 标 　　1.掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质. 2.理解二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的位置关系. 3.重视学生的画图能力和归纳能力,让学生在画图、交流、质疑中加强对数学思想的感悟和体会,有助于降低知识的难度. 4.通过作图、观察、分析、合作、归纳等探究方式,理解二次函数的图象和性质. 5.向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点,培养学生数形结合、类比的思想.
教学 重点 掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
教学 难点 掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的平移规律.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.二次函数y=-x2,y=-x2-1,y=-的图象各有什么特征(从开口方向、对称轴和顶点坐标三个方面考虑) 2.二次函数y=-x2-1的图象与二次函数y=-x2的图象之间有什么关系(从平移规律进行说明) 3.二次函数y=-的图象与二次函数y=-x2的图象之间有什么关系(从平移规律进行说明) 学生进行解答,教师做好指导和点评. 　　运用类比的教学方法,降低起点,复习旧知,为学生顺利进入新知识的学习做好准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:画出二次函数y=--1的图象,并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 师生活动:学生列表,并在准备好的坐标纸上描点、连线,画出函数的图象. 教师巡视指导,做好纠正和点拨. 　　通过学生动手画图象,给学生创设活动的时间和空间,让学生经历知识的发生、发展过程.
活动 二: 探究 与 应用 　　1.探究新知 你能发现二次函数y=--1有哪些性质吗 师生活动: 学生分组讨论,互相交流,发表见解后,达成共识: 抛物线的开口向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).当x=-1时,y有最大值是-1;当x>-1时,y随x的增大而减小;当x<-1时,y随x的增大而增大. 教师对学生的发现进行鼓励,对于二次函数,引导学生从图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的最值及增减性等方面进行分析. 请说出二次函数y=--1的图象与二次函数y=-x2的图象之间的关系. 学生思考解答,教师做好多媒体演示,总结如下: 把抛物线y=-x2向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度后,得到抛物线y=--1. 2.归纳总结 你能根据上述探究,归纳出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质吗 　　1.利用课件演示抛物线的平移,激发学生的学习兴趣,让学生体验、感受函数的图象和性质取决于各项系数. 2.通过小组合作探究,引导学生从特殊到一般完成对知识的归纳,符合学生的认知规律,从而培养学生分析问题、解决问题的能力以及归纳总结的能力.
活动 二: 探究 与 应用 　　师生活动: 学生讨论、交流,积极发言,师生共同提示、补充、总结: (1)当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下. (2)对称轴是直线x=h. (3)顶点坐标是(h,k). (4)二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由二次函数y=ax2的图象沿x轴向右(h>0)或向左(h<0)平移个单位长度,再沿对称轴向上(k>0)或向下(k<0)平移个单位长度得到.简单地说,就是左加右减,上加下减,平移的方向、距离要根据h,k的值来决定. 教师做好补充说明:形如y=a(x-h)2+k的二次函数的解析式称为顶点式,顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标.
【应用举例】 例1　关于二次函数y=-2(x-1)2+2,下列说法正确的是 (C) A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是(-1,2) C.当x>1时,y随x的增大而减小 D.图象与y轴的交点坐标为(0,2) 例2　将二次函数y=5x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的图象的函数解析式为 (A) A.y=5(x-1)2+3　　　　B.y=5(x+1)2+3 C.y=5(x-1)2-3 D.y=5(x+1)2-3 师生活动:学生自主解答问题后,分组展开讨论,待学生充分交流后,教师组织学生展示自己的答案,共同得到正确的结论. 　　学生在掌握基础知识和基本技能的基础上,怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究和体验解决问题的过程,提高了思维能力.
【拓展提升】 例3　要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m(如图22-1-20),水管应多长 教师为学生理解问题、顺利解答问题,进行分层次设问: 图22-1-20 (1)分析该题的突破口是什么 (2)如何建立平面直角坐标系 (3)你能求出该抛物线的函数解析式吗 (4)根据解析式你能求出水管的长度吗 学生思考讨论,小组合作探究,教师进行点拨指导,进行板书过程. 　　培养学生分析问题和解决问题的能力,完成由实践上升到理论的这一认知过程.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.抛物线y=2(x-3)2-1的顶点坐标是　(3,-1)　,对称轴是　直线x=3　. 2.将抛物线y=3x2沿y轴向下平移5个单位长度,沿x轴向左平移2个单位长度后,所得抛物线的函数解析式为　y=3(x+2)2-5　. 3.二次函数图象的顶点坐标为(-2,3),且与直线y=3x-1相交,其中一个交点的横坐标为1,求此二次函数的解析式. 4.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度后,得到二次函数y=(x+1)2-1的图象. 　　通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
活动 三: 课堂 总结 反思 　　(1)试确定a,h,k的值; (2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.
　　1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 说一说! 教师总结:比较二次函数y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k之间的联系和区别,总结平移规律. 2.布置作业: 教材第37页练习. 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境环节中,让学生自己动手画函数图象,自己去思考探究二次函数的图象及性质,有利于培养学生的自学能力;学生在发现新知的过程中,体验到了成功的喜悦,会激发学生继续学习、继续探究的欲望,使学习不断深入. ②[讲授效果反思] 引导学生注意两点:(1)二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)函数图象的平移规律. ③[师生互动反思] 教学过程中,师生之间、生生之间把探索中发现的问题和获得的感悟进行交流,活跃课堂气氛. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
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