22.1.4.1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时【人教九上数学精彩课堂教案】

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22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
实际情境　多媒体演示:桥梁的两根钢缆的实物情景,如图22-1-21所示.
图22-1-21
若桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,右侧抛物线的函数解析式为y=0.03x2-0.9x+10,你能求出钢缆最低点到桥面的距离吗 (只谈思路,不谈计算)从而引出新课.
[教学提示] 通过对桥梁的钢缆呈抛物线形的实际问题的导入,激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望,增加对抛物线y=ax2+bx+c初步的了解和认识.为了研究y=0.03x2-0.9x+10这一类函数的图象,可以在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-6x+21的图象,对这个函数的图象和性质进行研究.
置疑探究　(1)你能直接画出二次函数y=x2-2x+4的图象吗 若不能,应该如何思考
(2)你能把二次函数y=x2-2x+4化成y=a(x-h)2+k的形式吗
(3)请画出二次函数y=(x-1)2+3的图象的草图,并思考y=(x-1)2+3与y=x2-2x+4这两个函数有什么关系.
[教学提示] 提出要研究的函数图象之间的关系,体会转化思想,即把二次函数的一般式转化为顶点式,通过顶点式研究一般式的二次函数的图象和性质.引导学生通过自主配方将二次函数的一般式y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k.
教材母题——第39页练习
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点:
(1)y=3x2+2x;(2)y=-x2-2x;(3)y=-2x2+8x-8;(4)y=x2-4x+3.
【模型建立】
将二次函数的一般式y=ax2+bx+c配方,转化为顶点式y=a(x-h)2+k,即y=ax+2+,再确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点、函数的增减性及最值等.
【变式变形】
1.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为 (B)
A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25
C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
2.抛物线y=-x2+4x+7的顶点坐标为 (B)
A.(-2,3) B.(2,11)
C.(-2,7) D.(2,-3)
3.下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是 (C)
A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的
4.抛物线y=-4x2+8x-3的开口方向　向下　,对称轴是直线　x=1　,顶点的坐标是　(1,1)　,函数的最大值是　1　.
　　【评价角度1】 二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质
方法指引:考查抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性及最值等,尤其是在x的某一范围内函数值的取值范围,更是常考知识点.
例1　对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在 (C)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
例2　当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为 (D)
A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2
例3　已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是 (D)
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有公共点
C.若a<0,则函数图象的顶点始终在x轴的下方
D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大
【评价角度2】 二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移
方法指引:此类题一般要把二次函数的一般式y=ax2+bx+c化成顶点式,再根据抛物线的平移规律解题.
例1　将抛物线y=x2-6x+21向左平移2个单位长度后,得到新抛物线的函数解析式为(D)
A.y=(x-8)2+5 B.y=(x-4)2+5
C.y=(x-8)2+3 D.y=(x-4)2+3
例2　将抛物线y=x2+bx+c向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,所得抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3,则 (B)
A.b=2,c=2 B.b=2,c=0
C.b=-2,c=-1 D.b=-3,c=2
　　【评价角度3】 二次函数与其图象上的点的关系
方法指引:此类题一般要借助二次函数图象的对称性或者某特殊点(比如x取0,1,-1,2,-2等)满足函数解析式来解决.
例1　已知二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点 (D)
A.(-1,-1) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,1)
例2　已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1-a-b的值为 (B)
A.-3 B.-1 C.2 D.5
【评价角度4】 利用抛物线的对称性解题
方法指引:利用抛物线的对称性可以求对称点的坐标,判断增减性或利用增减性求字母系数的取值范围,求抛物线的函数解析式等.
例1　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上部分点的坐标(x,y)的对应值列表如下:
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的对称轴是 (B)
A.直线x=-3 B.直线x=-2
C.直线x=-1 D.直线x=0
例2　如图22-1-22,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为　0　.
图22-1-22
【评价角度5】 a,b,c的符号与抛物线y=ax2+bx+c的关系
方法指引:1.a的符号:抛物线开口向上 a>0;抛物线开口向下 a<0.
2.b的符号:因为对称轴是直线x=-,所以a,b的符号共同决定对称轴的位置.
如图22-1-23①,对称轴在y轴左侧 ab>0 a,b同号;
如图22-1-23②,对称轴在y轴右侧 ab<0 a,b异号.
图22-1-23
3.c的符号:决定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为(0,c).
　　如图22-1-24①,交点在y轴正半轴 c>0;
如图22-1-24②,抛物线过原点 c=0;
如图22-1-24③,交点在y轴负半轴 c<0.
图22-1-24
例1　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图22-1-25所示,对称轴是直线x=1,则下列四个结论中,错误的是 (D)
图22-1-25
A.c>0 B.2a+b=0
C.ab<0 D.a-b+c>0
　　例2　如图22-1-26,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (B)
图22-1-26
课题 第1课时　二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质 授课人
教 学 目 标 　　1.能熟练地用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象. 2.理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的有关性质. 3.通过作图、观察、比较、归纳的学习过程,使学生掌握类比、化归等数学思想方法. 4.经历二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究过程,体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法以及研究函数的一般思路. 5.在教学中渗透数形结合的数学思想方法,让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索发现的喜悦.
教学 重点 　　用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
教学 难点 理解二次函数y=ax2+bx+c的性质以及它的图象的对称轴和顶点坐标公式.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.一名同学在练习中用描点法画二次函数y=(x-2)2+1的图象时,画出如图22-1-27情形的图象,你能帮他分析一下原因吗 图22-1-27 师生活动:教师出示问题情境,让学生自主思考. 2.请同学们画出二次函数y=+1的图象的草图. 师生活动:学生独立完成,教师强调先确定顶点坐标,再按图象的对称性进行取值,并对学生的作业进行展示评价. 　　让学生在解决两个问题的基础上进一步体验知识之间的联系,体会确定对称轴和顶点坐标对画二次函数的图象极为重要,为后面的学习做好铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:如何画二次函数y=x2-6x+21的图象 教师提示: (1)对于形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函数,大家会画它的图象吗 (2)这种函数在形式上有什么特点 (3)你能把二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式吗 　　(4)画出二次函数y=+3的图象,并指出它是由抛物线y=x2通过怎样的平移得到的. 师生活动:给予学生充分的时间和空间,让学生尝试配方,教师强调配方方法的同时进行板书过程. 　　教学过程由浅入深,循序渐进,先让学生自主尝试,再由师生分析整理配方过程,既内化知识,又突出重点,体现了学生学习的探究性和学生的主体性.
活动 二: 探究 与 应用 　　1.二次函数y=x2-6x+21的图象特点总结 学生根据图象说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,教师利用几何画板来引导,由学生交流、讨论,归纳出二次函数的增减性. 总结:抛物线开口向上,对称轴是直线x=6,顶点坐标是(6,3).当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大. 练习:结合图象,说出抛物线y=--1的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增减性. 师生活动:学生口答,教师点评. 2.拓展新知、加深理解 求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标. 师生活动:教师利用多媒体展示详细的求解过程,学生解析过程步骤及做法,得到公式. 教师板书:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-,顶点坐标是. 如果a>0,当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大. 如果a<0,当x<-时,y随x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小. 　　1.体现教师主导、学生主体的合作学习关系,利用函数图象的直观性说出函数的性质,体现数形结合的思想. 2.设计练习让学生在对比中学习,加强对二次函数性质的理解. 3.从简单的二次函数入手,类比总结二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式,体现了从特殊到一般的研究思路.
【应用举例】 例1　求下列抛物线的对称轴和顶点坐标: (1)y=-3x2+12x-3;(2)y=2x2-3x-5. 让学生独立完成,互相评价,学生可以用配方法或公式法来解决问题,教师做好练习的检查和展示,并进行鼓励性评价. 例2　将抛物线y=x2-6x+21向左平移2个单位长度后,得到新抛物线的函数解析式为 (D) A.y=(x-8)2+5　　　　　　B.y=(x-4)2+5 C.y=(x-8)2+3 D.y=(x-4)2+3 　　让学生加深对配方法和公式法的理解和运用及与其他知识相联系的综合应用,培养学生思维的灵活性、开放性,并让学生感受到解决问题的多样化.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　(1)已知抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),求b和c的值. (2)如图22-1-28,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=2.有下列结论:①abc<0;②9a+3b+c>0;③若M,y1,N,y2是函数图象上的两点,则y1活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.若二次函数y=ax2-4x-6的图象的顶点横坐标是-2,则a=　-1　. 2.抛物线y=x2+3x+是由抛物线y=x2先向　左　平移　3　个单位长度,再向　下　平移　2　个单位长度得到的. 3.已知二次函数y=x2+6x+10,用配方法把它写成y=a(x-h)2+k的形式,说出其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,画出草图,并说明该函数的增减性. 4.已知抛物线y=x2-4x+h的顶点A在直线y=-4x-1上,求该抛物线的顶点坐标. 5.用6 m长的铝合金材料做一个形状如图22-1-29所示的矩形窗框,当长、宽各为多少时,才能使做出的矩形窗框的透光面积最大 图22-1-29 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
　　1.课堂总结:你在本节课中有哪些收获 哪些进步 还有哪些困惑 请你谈一谈. 教师鼓励学生自己列出表格,指导学生比较5个函数图象之间的区别和联系. 2.布置作业:教材第39页练习. 　　让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在教学过程中,主要采用问题引领、小组学习的教学模式,关注每一个学生,鼓励学生自主学习、合作、交流,锻炼各方面的能力. ②[讲授效果反思] 引导学生注意以下几点:(1)一般式化为顶点式的步骤及方法;(2)熟记对称轴和顶点坐标公式. ③[师生互动反思] 从教学过程来看,教师与学生一起学习新知,有张有弛地进行课堂调控,及时鼓励学生,增强学生的自信心和学习兴趣. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
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