22.1.4.2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时【人教九上数学精彩课堂教案】

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22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
复习探究　(1)回顾1:求一次函数解析式的方法是　待定系数法　.
(2)回顾2:二次函数的解析式有如下几种形式:
一般式:　y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)　;
顶点式:　y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)　.
强调:特别地,当顶点是原点时,函数解析式为　y=ax2(a为常数,a≠0)　.
(3)已知二次函数的图象过(1,0),(-1,-4)和(0,-3)三点,你能求出这个二次函数的解析式吗
[教学提示] 通过对一次函数解析式求法的回顾,加强新旧知识之间的联系,强化模型化思想,为学习本节知识做准备.提出问题“由几个点的坐标可以确定二次函数的解析式 这几个点应满足什么条件 ”,然后再探究如何用待定系数法求二次函数解析式.
悬念激趣　如图22-1-30所示,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶.它的拱宽AB为4 m,拱高CO为0.8 m.施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢
图22-1-30
[教学提示] 建立不同的平面直角坐标系,寻找求二次函数解析式的最佳方法.引导学生从以下几个角度归纳总结求二次函数解析式的方法:(1)当已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c;(2)当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a(x-h)2+k;(3)当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2).
教材母题——第42页习题22.1第11题
抛物线y=ax2+bx+c经过(-1,-22),(0,-8),(2,8)三点,求它的开口方向、对称轴和顶点.
【模型建立】
已知抛物线上的任意三点,设解析式为一般式y=ax2+bx+c,用待定系数法求二次函数的解析式.一般步骤是先设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,再把已知点的坐标代入解析式得到关于a,b,c的三元一次方程组,解这个方程组,便得到二次函数的解析式.
【变式变形】
图22-1-31
1.如图22-1-31所示的抛物线的函数解析式是　y=-x2+x+2　.
2.已知二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -1 0 1 2 3 4 …
y … 10 5 2 1 2 5 …
则该二次函数的解析式为　y=x2-4x+5　.
3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的函数解析式为　y=2x2-3x+5　.
4.如图22-1-32所示,抛物线y=ax2+bx-4a经过点A(-1,0),C(0,4).
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于x轴对称的点的坐标.
图22-1-32
[答案:(1)y=-x2+3x+4　(2)(3,-4)]
　　【评价角度1】 用一般式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)求二次函数的解析式
方法指引:已知抛物线上任意三点,可选用一般式求二次函数的解析式,进而可用配方法或顶点坐标公式求出抛物线的顶点坐标、对称轴,如教材P39探究,P40练习T1,T2,P42习题22.1 T10.
【评价角度2】 用顶点式y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)求二次函数的解析式
方法指引:已知抛物线的顶点或对称轴,通常选用顶点式y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)求二次函数的解析式.
例1　若抛物线的顶点坐标是(2,4),且经过点(0,1),则该抛物线所对应的函数解析式为　y=-(x-2)2+4　.
例2　若某二次函数图象的对称轴是直线x=2,且图象经过点(1,0)和(0,-3),则该二次函数的解析式为　y=-(x-2)2+1　.
课题 第2课时　用待定系数法求 二次函数的解析式 授课人
教 学 目 标 　　1.让学生利用已知条件设恰当的函数解析式,用待定系数法求二次函数的解析式. 2.指导学生利用二次函数的解析式和性质解决问题. 3.通过一题多解和不同形式不同解答方案的教学方式和方法,培养学生的思维能力和转化能力. 4.让学生在经历识图的过程中,培养学生独立分析问题、解决问题的能力,提升数学思维意识. 5.让学生感受数学的美,激发学生学习数学的兴趣;让学生体验数学这一工具在解决实际问题中的作用.
教学 重点 如何根据已知条件设恰当的函数解析式.
教学 难点 在实际问题中,体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.求下列函数的解析式: (1)一个正比例函数的图象经过点(2,-4); (2)一个一次函数的图象与x轴交于点(3,0),与y轴交于点(0,6). 2.用待定系数法求函数解析式的基本步骤有哪些 3.学习过的二次函数的解析式有哪些 师生活动:学生独立完成并进行口述,教师对学生的解答情况进行评价并总结: 用待定系数法求函数解析式的步骤:设出解析式、列出方程(组)、解方程(组)、代入. 二次函数的解析式: 一般式:y=ax2+bx+c; 顶点式:y=a(x-h)2+k. 　　在学生解决两个问题的基础上进一步体会知识,为后面的学习做好铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:有一个截面为抛物线形的立交桥桥拱,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图22-1-33所示的平面直角坐标系中,请求出这条抛物线的函数解析式. 图22-1-33 师生活动:学生感知问题,独立思考. 　　通过实际问题设疑,使学生感受数学来源于实际,用数学又可以解决实际问题,相得益彰.
活动 二: 探究 与 应用 　　1.探究新知 例1　已知一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,求这个函数的解析式. 师生活动:学生独立思考问题,教师提示设出合适的函数解析式,学生自主进行解答,教师做好辅导工作. 学生进行分析,根据图象经过三个点,可设二次函数的一般式,再把三个点的坐标代入后解三元一次方程组即可. 教师展示学生作业,然后展示正确答案. 解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0). 根据题意,得解得 所以这个二次函数的解析式为y=2x2-3x+5. 例2　已知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),与y轴的交点为(0,-5),求这个抛物线的函数解析式. 师生活动:教师指导学生根据例1的解答过程和步骤,运用类比的思想方法解答此题. 学生独立进行解答,教师做好点拨和引导,帮助学生正确解答问题. 学生分析问题:根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数解析式为y=a(x-h)2+k,把顶点坐标代入后,再把另一点的坐标代入求出a的值即可. 解:设这个抛物线的函数解析式为y=a(x+1)2-3. 因为点(0,-5)在抛物线上,所以a-3=-5,解得a=-2, 所以这个抛物线的函数解析式为y=-2(x+1)2-3, 化成一般式为y=-2x2-4x-5. 　　1.运用类比的思想方法,用待定系数法求二次函数的解析式.已知抛物线上三个点的坐标,运用一般式求解. 2.在给定顶点坐标时,设一般式求解较麻烦,所以引导学生采用顶点式解答,这样让学生了解对于不同类型的问题有不同的解答方案,有利于活跃学生的思维,养成善于总结的习惯.
活动 二: 探究 与 应用 　　2.归纳总结 请学生以小组为单位,讨论总结求二次函数解析式的思路和方法,并讲给大家听. 师生活动:教师选派个别学生回答,其他同学进行补充,教师订正、总结: (1)已知图象上三个点或三对x,y的值,通常选择一般式:y=ax2+bx+c,把条件代入得到三元一次方程组,解方程组即可; (2)已知图象的顶点和对称轴,通常选择顶点式:y=a(x-h)2+k,先把顶点坐标代入,再把另一点的坐标代入求出a的值,最后化为一般式即可.
【应用举例】 例　已知抛物线的顶点坐标为(20,16),且经过点(0,0),(40,0).求抛物线的函数解析式. 师生活动:教师选派两名同学选择不同的解答方式进行板演,其他同学在练习本上书写解答过程,教师做好指导和评价. 解法1:设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c. 因为抛物线经过(0,0),(20,16),(40,0)三点, 所以可得方程组解得 所以抛物线的函数解析式为y=-x2+x. 教师评价:利用给定的条件列出关于a,b,c的三元一次方程组,求出a,b,c的值,从而确定函数的解析式. 解法2:设抛物线的函数解析式为y=a(x-20)2+16. 根据题意,知点(0,0)在抛物线上, 所以0=400a+16,解得a=-, 所以抛物线的函数解析式为y=-+16, 即y=-x2+x. 教师评价:已知抛物线的顶点,选用顶点式求抛物线的函数解析式. 　　通过课前设疑,激发学生的学习兴趣,运用所学知识,从不同的角度进行解答,既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性,又培养了学生深层次的思维能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.已知二次函数的图象经过(-1,-9),(1,-3),(3,-5)三点,求此二次函数的解析式. 2.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=-2时,y=-6;当x=2时,y=10;当x=3时,y=24.求此二次函数的解析式. 3.已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且经过点(1,10),求此抛物线的函数解析式. 4.已知一条抛物线是由抛物线y=2x2平移得到的,并且与x轴的交点坐标是(-1,0),(2,0),求该抛物线的函数解析式. [答案:y=2x2-2x-4] 5.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=4,最小值为-1,与y轴交于点(0,3),求这条抛物线的函数解析式. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
活动 三: 课堂 总结 反思 　　1.课堂总结: 你在本节课中有哪些收获 有哪些进步 还有哪些困惑 请谈一谈. 教师强调:用待定系数法求函数解析式的两种类型:已知三点坐标用一般式,已知顶点坐标用顶点式. 2.布置作业: 教材第42页习题22.1第10(2)(4),11题. 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境环节中,利用实际生活中的问题引导学生思考,学生能够提高兴趣,对数学的应用价值有深入的体会;在探究新知活动中,学生能够在讨论、交流的同时,对于新知有深入的理解,获得求解二次函数解析式的方法. ②[讲授效果反思] 教师强调本课的重、难点:(1)利用待定系数法求函数解析式,在设解析式时,能够正确选择二次函数解析式的形式;(2)解三元一次方程组时注意“消元”的方法和步骤;(3)运用顶点式进行求解时,先代入顶点坐标. ③[师生互动反思] 从教学过程分析,学生运用充分的自主探究、合作交流的时间,能够起到较好的效果,教师点拨到位、举例说明,能够落实课时学习目标. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
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