22.2二次函数与一元二次方程【人教九上数学精彩课堂教案】

中小学教育资源及组卷应用平台
22.2　二次函数与一元二次方程
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
实际情境　某火车站欲建造一个圆形喷水池,如图22-2-1,点O表示喷水池的水面中心,OA表示喷水柱子,水流从点A喷出,按照图中所示的平面直角坐标系,每一股水流在空中的路线都可以用y=-x2+x+来描述,那么水池的半径最少要多少米,才能使喷出的水流不至于落到池外
图22-2-1
[教学提示] 通过对喷水池的实际问题的探究,建立二次函数与一元二次方程关系的模型,从而导出新课,制造悬念,使学生兴趣盎然地学习新课.帮助学生把实际问题转化为二次函数问题的关键是弄清楚水流不至于落到池外是什么意思,水流喷出的水平距离最远是多少,如何求,此时的函数值y是多少,为什么是0等问题.
置疑探究　多媒体演示:出示二次函数y=x2-2x-3的图象,如图22-2-2所示,根据图象回答:
图22-2-2
(1)当x为何值时,y=0
(2)你能根据图象,求方程x2-2x-3=0的根吗
(3)二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0之间有什么关系
[教学提示] 通过对二次函数图象问题的导入,激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望,增加对二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0之间关系的了解和认识.引导学生观察二次函数的图象与x轴的交点坐标是什么,有什么意义,与一元二次方程的根有什么联系.
类比探究　(1)回忆:一次函数y=kx+b(k≠0)与一次方程kx+b=0之间有何关系
(2)观察:二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0在结构上有哪些相同之处
(3)类比猜想:二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0之间有何关系
[教学提示] 通过对一次函数y=kx+b与一次方程kx+b=0之间的关系的回顾,加强新旧知识之间的联系,类比旧知识的学习方法、数学思想来学习二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系.引导学生明白一元二次方程ax2+bx+c=0是当y=0时,二次函数y=ax2+bx+c的特殊情形.进一步引入教材中的问题.
教材母题——第47页习题22.2第4题
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),求这条抛物线的对称轴.
【模型建立】
方法一:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),代入求得y=a(x-1)2-4a,所得对称轴为直线x=1;
方法二:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),可设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,所得对称轴为直线x=1;
方法三:根据抛物线的对称性,对称轴与x轴的交点是(-1,0),(3,0)的中点,所以对称轴为直线x=1.
本题已知简洁,问题明了,解法多样,而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中,若要画图,还要分a>0和a<0的情况讨论,适当改变条件就可得到许多新题.
【变式变形】
1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1,x2=3,则抛物线y=ax2+bx+(c-1)的对称轴是 (B)
A.y轴 B.直线x=1
C.直线x=2 D.直线x=3
2.如图22-2-3,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(-1,0),(3,0)两点,则下列判断错误的是 (D)
图22-2-3
A.图象的对称轴是直线x=1
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是-1和3
D.当-13.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与y轴的交点为D,顶点为C,若四边形ABCD的面积为18,求抛物线的函数解析式.
[答案:y=-2x2+4x+6或y=2x2-4x-6]
4.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)判断△ABC是不是直角三角形,并给出理由.
[答案:(1)y=x2-2x-3　(2)不是　理由略]
5.如图22-2-4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数解析式及顶点D的坐标;
(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标.
图22-2-4
答案:(1)y=-x2+2x+3,顶点D的坐标为(1,4)　(2)S四边形PMAC最大值=,此时点P的坐标为,
　　【评价角度1】 根据二次函数与一元二次方程的关系解方程
方法指引:根据二次函数的图象确定一元二次方程的根,关键是看二次函数的图象与x轴的交点的横坐标.如教材P47习题22.2 T2,T3,T6.
【评价角度2】 根据二次函数与一元二次方程的关系判断b2-4ac(或其他代数式)的取值范围
方法指引:能根据抛物线与x轴的交点情况求与待定系数相关的代数式的取值范围(比如b2-4ac),有时候还会考查当x=1(或x=-1)时,代数式a+b+c(或a-b+c)的值.注意相关代数式的特点及图象对应特征的积累.
例　如图22-2-5,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A,B(-1,0).有下列结论:
图22-2-5
①二次函数的最大值为a+b+c;②a-b+c<0;
③b2-4ac<0;
④当y>0时,-1其中正确结论的个数是 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
【评价角度3】 根据抛物线与直线的交点情况求待定字母(或代数式)的值(或取值范围)
方法指引:根据抛物线与直线的函数解析式构造出一元二次方程,再利用一元二次方程的根的判别式解决相关问题.
例1　对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或c=4,则 (D)
A.甲的结果正确 B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确
例2　已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,如图22-2-6所示,当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是 (D)
图22-2-6
A.-C.-2课题 22.2　二次函数与一元二次方程 授课人
教 学 目 标 　　1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,准确表述何时方程有两个不相等的实数根,两个相等的实数根和没有实数根. 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 3.通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. 4.能够从函数解析式的角度分析二次函数与一元二次方程之间的关系,同时也能够从函数图象的角度分析函数与方程之间的关系. 5.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步体会数形结合的思想.
教学 重点 掌握二次函数与一元二次方程之间的关系,会利用函数图象求一元二次方程的近似解.
教学 难点 理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.一元二次方程的一般形式是　ax2+bx+c=0(a≠0)　,其根的判别式是　b2-4ac　,求根公式是　x=　. 2.二次函数的一般式是　y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)　,顶点坐标是 　. 3.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是　直线x=-1　,开口方向是　向上　,顶点坐标是　(-1,-5)　. 4.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点坐标为　(2,0),(3,0)　. 5.已知抛物线与x轴的交点为(-1,0),(1,0),并且经过点(0,1),则抛物线的函数解析式为　y=-x2+1　. 师生活动:学生自主解答上述问题,教师进行个别指导,然后进行点评和总结. 　　通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识,巩固以前所学知识,为学好本节课的新知识做好铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:如图22-2-7所示,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.考虑以下问题: 图22-2-7 (1)小球的飞行高度能否达到15 m 如果能,需要飞行多长时间 (2)小球的飞行高度能否达到20 m 如果能,需要飞行多长时间 (3)小球的飞行高度能否达到20.5 m 为什么 (4)小球从飞出到落地要用多长时间 师生活动:教师进行引导,小球飞行高度h与飞行时间t之间的函数解析式为h=20t-5t2,所以将h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程即可求解. 让学生完成解答过程,教师巡视指导. 　　从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系,为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境,激发学生的学习热情.
活动 二: 探究 与 应用 1.探究新知 活动一:针对[课堂引入]的问题进行探究,教师总结解题过程: (1)解方程15=20t-5t2,即t2-4t+3=0,解得t1=1,t2=3. 答:小球的飞行高度能达到15 m,需要飞行1 s或3 s. (2)解方程20=20t-5t2,即t2-4t+4=0,解得t1=t2=2. 答:小球的飞行高度能达到20 m,需要飞行2 s. (3)不能.理由:解方程20.5=20t-5t2,即t2-4t+4.1=0. 因为b2-4ac=16-4×4.1=-0.4<0, 所以此方程无实数解, 所以小球的飞行高度不能达到20.5 m. (4)解方程0=20t-5t2,即t2-4t=0,解得t1=0,t2=4. 当小球飞行0 s和4 s时,高度均为0 m,即0 s时,小球从地面飞出,4 s 时,小球落回地面,所以小球从飞出到落地要用4 s. 教师总结:把函数值代入函数解析式,得到关于自变量的一元二次方程,解方程即可得到自变量的值. 　　1.学生通过计算、观察、分析,发现二次函数与一元二次方程之间的关系.
活动 二: 探究 与 应用 　　活动二:画出二次函数h=20t-5t2的图象,体会以上问题的答案. 问题提示: (1)教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图; (2)教师巡视指导,与学生合作、交流; (3)教师引导学生观察函数图象,体会得到问题答案的过程; (4)学生分组讨论、交流,总结二次函数与一元二次方程之间的关系. 活动三: 思考: 已知二次函数:①y=x2+x-2;②y=x2-6x+9;③y=x2-x+1. (1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗 如果有,公共点的横坐标是多少 (2)当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少 由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗 师生活动:教师展示二次函数的图象,如图22-2-8,学生观察图象,展开讨论,并回答问题. 图22-2-8 (1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标分别是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1. (2)抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根是3. (3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根. 教师总结:一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交,那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 2.归纳总结 通过以上学生之间、师生之间的观察、交流、讨论,进行总结: 一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论. (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,只有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根. 由上面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察时可能存在误差,所以由图象求得的根,一般是近似的. 3.归纳提升 问题:(1)观察二次函数y=x2-6x+9的图象和y=x2-2x+3的图象,分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系 师生活动:师生共同讨论总结: 当Δ>0时,方程有两个不等的实数根,抛物线与x轴有两个交点; 当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,抛物线与x轴只有一个交点; 当Δ<0时,方程无实数根,抛物线与x轴没有交点. 　　2.利用函数图象解决方程根的问题,让学生把方程与函数统一起来,体会数与形的结合带来的方便. 3.设计活动三使学生掌握通过函数图象判断方程的根这一方法,并把方程与函数建立联系,促使学生能够积极主动地投入到探索活动中.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　利用函数图象求一元二次方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1). 师生活动:教师引导学生作出函数图象,或求出抛物线与x轴的交点坐标,学生独立完成解答过程. 图22-2-9 解:作二次函数y=x2-2x-2的图象,如图22-2-9. 它与x轴的公共点的横坐标x1≈-0.7,x2≈2.7, 所以一元二次方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7. 播放课件:函数的图象与求一元二次方程的解,前一个课件用来画图,可根据图象估计出方程x2-2x-2=0的近似解,后一个课件可以准确地求出方程的解,体会其中的差异. 　　应用∶∶举例是对于课题学习的针对练习.
【拓展提升】 例2　已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x. (1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点; (2)设直线l与该抛物线两个交点为A,B,原点为O,当k=-2时,求△OAB的面积. 师生活动:学生自主解答问题后,教师进行讲解,学生再次审题,完成对题目的重新整理. 　　由根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数,进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识,提升学生灵活运用知识的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标为　(3,0),(-1,0)　,两个交点间的距离为　4　. 2.抛物线y=x2-2x-8与x轴有　2　个交点. 3.若抛物线y=x2-4bx+4的顶点在x轴上,则b=　±1　. 4.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是(D) A.a>0,b2-4ac<0　　　　B.a<0,b2-4ac>0 C.a>0,b2-4ac>0 D.a<0,b2-4ac<0 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
　　1.课堂总结: 你在本节课中有哪些收获 有哪些进步 还有哪些困惑 请谈一谈. 教师总结:抛物线与x轴的交点问题有三种情况,分别是有两个交点、有一个交点、没有交点,可以通过计算相应一元二次方程根的判别式进行确定. 2.布置作业: (1)教材第47页习题22.2第3,4,6题. (2)补充题:将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是(D) A.b>8　　　B.b>-8　　　C.b≥8　　　D.b≥-8 　　让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的环节中,教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示,使学生能够理解“数”与“形”之间的关系;在课堂训练环节中,教师给予学生自主解答问题的时间,并做好点评. ②[讲授效果反思] 教师引导学生注意以下几点:(1)抛物线与坐标轴交点的求法,即把已知坐标代入;(2)抛物线与x轴交点个数可通过计算b2-4ac进行判断. ③[师生互动反思] 教学过程中,以学生为主体,通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)