22.3.2实际问题与二次函数 第2课时　二次函数与最大利润问题【人教九上数学精彩课堂教案】

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22.3　实际问题与二次函数
第2课时　二次函数与最大利润问题
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
置疑探究　一种商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出25件.已知该商品的进价为每件40元,请问:
①题中调整价格的方式有哪些 ②如何表示价格和利润之间的关系 ③如何确定x的取值范围 ④如何定价才能使每星期的销售利润最大
[教学提示] 从学生感兴趣的经济问题入手,通过学生观察、思考,小组内相互交流后建立数学模型.教师需重点关注:①学生能否想到两种调整价格的方式;②学生在表示价格和利润之间的关系时,是否注意到自变量的取值范围.
教材母题——第50页探究2
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大
【模型建立】
本题是一道较复杂的市场营销问题,不能直接建立函数模型,需要分类讨论,分别建立函数解析式,在不同的情况下,必须注意自变量的取值范围,以便在这个取值范围内考虑函数的性质和图象,然后比较得出结论.
【变式变形】
1.某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大
[答案:房价定为每天350元时,宾馆利润最大]
2.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每间价格比淡季上涨,下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录:
淡季 旺季
未入住房间数(间) 10 0
日总收入(元) 24000 40000
(1)该酒店豪华间有多少间 旺季每间价格为多少元
(2)今年旺季来临,豪华间的间数不变.经市场调查发现,如果今年豪华间仍旧实行去年旺季的价格,那么每天都客满;如果价格继续上涨,每间的价格每增加25元,那么每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素,该酒店将豪华间的价格每间上涨多少元时,豪华间的日总收入最高 最高日总收入是多少元
[答案:(1)该酒店豪华间有50间,旺季每间价格为800元　(2)当该酒店将豪华间的价格每间上涨225元时,豪华间的日总收入最高,最高日总收入为42025元]
　　【评价角度】 利用二次函数的性质解决最大利润问题
方法指引:此类问题的常见题型:(1)利用二次函数解决最大利润问题,如教材P50探究2,P52习题22.3 T8;(2)一次函数与二次函数的图象结合解决最大利润问题.
例1　某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当该纪念品每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件.
(1)当该纪念品每件的销售价为52元时,每天的销售数量为　　　　件;
(2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大 并求出最大利润.
[答案:(1)180　(2)当每件的销售价为55元时,销售该纪念品每天获得的利润最大,最大利润为2250元]
例2　绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出.如图22-3-13,线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1(元)、生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系.
图22-3-13
(1)求该有机产品每千克的销售价y1(元)与产量x(kg)之间的函数解析式;
(2)直接写出该有机产品每千克的生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数解析式;
(3)当该有机产品的产量为多少时,生产并销售这种产品获得的利润最大 最大利润为多少
[答案:(1)y1=-x+168(0≤x≤180)　(2)y2=
(3)当该有机产品的产量为110 kg时,生产并销售这种产品获得的利润最大,最大利润为4840元]
课题 第2课时　二次函数与最大利润问题 授课人
教 学 目 标 　　1.通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义,能根据变量的变化趋势进行预测. 2.对实际问题的探究,体会数学知识的现实意义,进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题. 3.通过探索、分析建立两个变量之间的函数关系的过程,体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 4.通过对实际问题的解决,逐步领会二次函数的应用价值和实际意义,建立合作意识和提高探索能力,激发学习的兴趣和欲望.
教学 重点 用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.
教学 难点 通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.请求出下列二次函数的最大值或最小值: (1)y=2x2-4x-5;(2)y=-x2+3x. 2.用一根长为20 m的绳子围成一个矩形,求围成的矩形的最大面积是多少. 师生活动:学生自主进行解答,教师做好指导和点评. 提示:对于第1题可指导学生运用两种不同的方法进行解答; 对于第2题应先确定矩形的长和宽,再利用矩形面积公式列函数解析式,最后求最值. 　　1.通过回顾二次函数的最值问题,为讲解新课提供铺垫. 2.复习运用二次函数解答面积问题,采用类比的方法让教学效果较为明显.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,应如何定价才能使利润最大 师生活动:教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况. 教师展示问题:那么该如何定价呢 学生分组讨论,如何利用函数模型解决问题,教师帮助学生解决问题. 　　通过日常生活中的实际问题,激发学生思考,培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.
活动 二: 探究 与 应用 　　1.探究新知 活动一:针对[课堂引入]的问题进行探究,教师总结解题过程. 师生活动: 教师展示问题:①该如何定价呢 ②问题中的变量是什么 提示:①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题;②利润随着价格的变化而变化. 学生先独立思考,教师给予引导. 师生共同分析以下问题: ①销售额为多少 ②成本为多少 ③利润y与每件涨价x元之间的函数解析式是什么 ④变量x的取值范围如何确定 ⑤如何求解最值 教师引导学生探索确定变量x的取值范围的方法:300-10x≥0,x≥0. 师生共同写出涨价问题的函数解析式. 教师利用多媒体展示解答过程,指导学生进行对比: 解:设每件涨价x元,利润为y元. 根据题意,得y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)=-10x2+100x+6000(0≤x≤30). 因为a=-10<0,所以函数有最大值. 当x=5时,y有最大值为6250. 　　1.通过解答此题,使学生明确利润问题可以利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式. 2.通过解答此题,让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的,培养学生考虑问题的全面性.
活动 二: 探究 与 应用 　　教师指导、点拨,重点强调: ①怎样用函数观点来认识问题;②怎样建立函数模型;③怎样找到两个变量之间的关系;④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值. 活动二:按照上述涨价的问题,教师给予学生时间解答降价的最值问题. 教师做好指导,待学生解答问题完毕后,与答案进行对比,教师做好展示: 解:设每件降价x元,利润为y元. 根据题意,得 y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x)=-20x2+100x+6000(0≤x≤20). 当x=2.5时,y有最大值为6125元. 总结:当定价为每件65元时,利润最大为6250元. 2.师生总结: 教师指导学生总结解答问题的步骤和方法,学生代表进行说明,全班互相交流,师生共同确定解题思路: ①确定自变量和函数; ②利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式; ③确定自变量的取值范围; ④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润.
【应用举例】 例1　某商店购进一批单价为20元/件的日用品,如果以单价30元/件销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元/件,销售量相应减少20件.当销售单价定为多少时,才能在半个月内获得最大利润 最大利润是多少 师生活动:学生自主进行解答,教师巡视、指导、点评. 解:设销售单价提高x元/件,半个月内获得的利润为y元. 根据题意,列函数解析式为y=(30+x-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000(0≤x≤20), 所以当x=5时,y有最大值为4500. 答:当销售单价定为35元/件时,才能在半个月内获得最大利润,最大利润为4500元. 师生总结: (1)确定自变量和函数; (2)表示出单位利润和销售数量; (3)利用利润公式列出函数解析式; (4)运用顶点坐标公式求出问题中的最大利润. 　　应用举例是对于课题学习的针对性练习.
【拓展提升】 例2　某水果经销商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱苹果售价不得高于55元.经市场调查发现,若每箱苹果以45元的价格销售,则平均每天销售105箱;若每箱苹果以50元的价格销售,则平均每天销售90箱,假定每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间满足一次函数关系. (1)求每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围); 　　(2)求该经销商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数解析式; (3)当每箱苹果的销售单价为多少时,每天可以获得最大利润 最大利润是多少 师生活动:学生小组内讨论、交流,教师参与小组合作,并引导学生理清解题思路. 教师做好总结和展示: 解:(1)y=-3x+240. (2)由题意,得w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600. (3)当x=60时,w有最大值,但因为x≤55,所以当x=55时,w的值最大,为1125. 故当每箱苹果的销售单价为55元时,每天可以获得最大利润,最大利润是1125元. 　　拓展提升是对基础知识的提高和应用,培养学生的实际应用能力和提升思维能力.
活动 二: 探究 与 应用
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.童装专卖店销售一种品牌的童装,已知这种童装每天的销售利润y(元)与销售单价x(元/件)满足函数解析式y=-x2+50x-500,要想每天获得最大利润,销售单价应定为(B) A.20元/件　 B.25元/件　 C.30元/件　 D.40元/件 2.服装店将每件进价为100元的服装按每件x元的价格出售,每天可销售(200-x)件,若想每天获得最大利润,则x应定为(A) A.150 B.160 C.170 D.180 3.某产品进货单价为90元/个,按100元/个出售时,每个月能售出500个.如果这种商品的销售单价每上涨1元/个,每月的销售量就减少10个,那么为使每月获得最大利润,其单价应定为 (B) A.130元/个 B.120元/个 C.110元/个 D.100元/个 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
　　1.课堂总结: (1)你在本节课中有哪些收获 哪些进步 (2)学习本节课后,还存在哪些困惑 2.布置作业: 教材第51页习题22.3第2,8题. 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境和探究新知环节中,通过解决实际生活中的利润问题,得到解答此类问题的一般方法,构建函数模型;在课堂训练环节中,教师给予学生充分的自由讨论时间,提高学生解答问题的积极性. ②[讲授效果反思] 教师强调:(1)利用利润公式列函数解析式;(2)在数量与价格的变化中可以利用表格的形式表示数量关系. ③[师生互动反思] 从课堂发言和练习来看,借助实际问题和开放自由的讨论给予课堂活力,使学生能够充分理解利润问题的函数模型. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
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