22.3.1实际问题与二次函数 第1课时　二次函数与图形面积问题【人教九上数学精彩课堂教案】

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22.3　实际问题与二次函数
第1课时　二次函数与图形面积问题
实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣
实际情境　如图22-3-1,用12米长的木料,做一个有一条横档的矩形窗框,为了使窗户透进的光线最多,窗框的长、宽应各是多少
图22-3-1
[教学提示] 通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入,激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望,从而引导学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法.可以对以上问题挖空让学生填写:设宽为x米,面积为S米2.根据题意并结合图形可得S=　x6-x　=　-x2+6x　.∵-　<　0,∴S有最　大　值,当x=　-=2　时,S最　大　,此时6-x=　3　,即当窗框的长为　3米　,宽为　2米　时,窗户透进的光线最多.
悬念激趣　(1)(做一做)请你画一个周长为12厘米的矩形,算一算它的面积是多少.再和周围同学所画的矩形比一比,你发现了什么 谁画的矩形的面积最大
(2)(练一练)已知一个矩形的周长为12米,它的一边长为x米,那么矩形面积S(平方米)与x(米)之间有怎样的关系 自变量的取值范围是什么
(3)(试一试)若想设计一个周长为12米的矩形广告牌,假如你是设计师,你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗
[教学提示] (1)题比较简单,但对学生有很大的吸引力和挑战性,可有效地激发学生的学习兴趣.(2)题在(1)题的基础上提出问题,引导学生对实际问题与二次函数展开联想.(3)题在(2)题的基础上加入实际背景求最值,这样低起点,快反馈,能有效地提高学生的数学建模能力.教师要重点关注学生能否正确求解,考虑问题是否全面以及学生能否将实际问题转化为数学问题.
教材母题——第49页探究1
用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,场地的面积S最大
【模型建立】
利用二次函数解决几何图形的最大(小)面积问题,先利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数解析式,再由二次函数的图象和性质确定二次函数的最大(小)值,从而确定几何图形面积的最大(小)值.
【变式变形】
1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,它的面积最大 最大面积是多少
[答案:长为15 m,宽为7.5 m时,它的面积最大,最大面积为112.5 m2]
2.如图22-3-2,用长为24米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a=10米):
(1)如果所围成的花圃的面积为45平方米,试求花圃的宽AB;
(2)按题目的设计要求,能围成面积比45平方米更大的花圃吗
图22-3-2
[答案:(1)AB=5米　(2)能]
3.如图22-3-3,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃.设花圃的边AB长为 x米,面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数解析式及自变量的取值范围;
(2)当x取何值时,所围成的花圃面积最大,最大值是多少
(3)若墙的最大可用长度为8米,求围成的花圃的最大面积.
图22-3-3
[答案:(1)S=-4x2+24x(04.分别用定长为L的线段围成矩形和圆,哪种图形的面积大 为什么
[答案:圆　理由略]
教材母题——第52页习题22.3第7题
如图22-3-4,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上.四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小
图22-3-4
【模型建立】
通过设未知数建立函数关系,把几何问题转化为函数问题,把动点问题转化为函数问题,通过对函数的变化规律的研究来解决几何问题.
【变式变形】
　　如图22-3-5,在边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合),点F在BC边上(不与点B,C重合).
第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形的边上时,记为点G;
第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形的边上时,记为点H;
…
依此操作下去.(提示:旋转前、后的图形全等.)
图22-3-5
(1)图②中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为　等边三角形　,求此时线段EF的长.
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.
①四边形EFGH的形状为　正方形　,此时AE与BF的数量关系是　AE=BF　;
②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x之间的函数解析式及面积y的取值范围.
[答案:(1)EF=-4+4　(2)y=2x2-8x+16(0　　【评价角度1】 利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题
方法指引:此类问题常见题型:(1)利用二次函数解决图形的最大(小)面积问题,如教材P49探究1,P52习题22.3T4,T9.(2)几何图形上点的运动问题,何时面积最大(小),如教材P52习题22.3T6,T7,解决此类问题,关键是求二次函数的最值(二次函数图象的顶点的纵坐标或在使实际问题有意义的自变量取值范围内,根据二次函数的增减性找最值).
图22-3-6
例　如图22-3-6,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另外三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
答案:(1)AD的长为10米　(2)当a≥50时,S的最大值为1250;当0【评价角度2】 在几何图形运动过程中,判断函数图象
方法指引:此类问题一般作为中考选择题的最后一道题,难度较大.注意把几何图形的性质转化为求函数解析式的条件,然后再判断图象.
例　如图22-3-7,在△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,BC=6 cm,动点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,若P,Q两点分别从点A,B同时出发,点P到达点B时两点同时停止运动,则△PBQ的面积S与出发时间t之间的函数关系图象大致是 (C)
图22-3-7
图22-3-8
　　【评价角度3】 二次函数与周长、面积、线段等最值存在性问题
方法指引:此类问题一般作为中考的压轴题,常与三角形或四边形知识紧密结合,体现了初中数学知识的灵活性和综合性.
　　例　如图22-3-9,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点B(4,0),与过点A的直线相交于另一点D3,,过点D作DC⊥x轴,垂足为C.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P在线段OC上(不与点O,C重合),过点P作PN⊥x轴,交直线AD于点M,交抛物线于点N,连接CM,求△PCM面积的最大值.
图22-3-9
答案:(1)y=-x2+x+1　(2)△PCM面积的最大值为
课题 第1课时　二次函数与图形面积问题 授课人
教 学 目 标 　　1.通过图形的面积关系列出函数解析式. 2.用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题. 3.对实际问题的探究,体会数学知识的现实意义,进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题. 4.通过实际问题与二次函数的关系的探究,让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)的方法. 5.体会数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
教学 重点 用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题.
教学 难点 通过图形的面积关系列出函数解析式.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标: (1)y=6x2+12x;(2)y=-4x2+8x-10. 2.以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值 并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少. 师生活动:学生自主进行解答,教师做好指导和点评. 提示:求解二次函数的最值一般有两种方法: 一是把一般式化为顶点式;二是利用顶点坐标公式求解. (1)y=6(x+1)2-6,所以抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-6),当x=-1时,y有最小值-6. (2)y=-4(x-1)2-6,所以抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-6),当x=1时,y有最大值-6. 　　通过回顾二次函数的最值问题,为讲解新课做铺垫,两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形场地的面积S随一边长l的变化而变化,当l是多少米时,矩形场地的面积S最大 师生活动: 1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量; 2.教师设问,如何用含l的代数式表示与其相邻的边的长度; 3.学生自主列函数解析式,并进行整理,讨论问题解答的正确性; 4.针对问题要求进行求解,并回答问题. 教师关注: 1.学生能否根据矩形的面积公式列函数解析式; 2.学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值. 　　通过典型的实际问题,激发学生解答的欲望,让学生在合作中学习,共同解答问题,培养学生的探究能力和合作意识.
活动 二: 探究 与 应用 　　1.探究新知 活动一:针对[课堂引入]的问题进行探究,教师总结解题过程. 师生活动: (1)确定解题的步骤:先表示矩形的长和宽,再利用面积公式列解析式,最后求最值. (2)解答过程:矩形场地的一边长为l m,则另一边长为(30-l)m, 所以矩形场地的面积S=l(30-l)=-l2+30l(0【应用举例】 例1　如图22-3-10,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD.设AB边的长为x米,则菜园的面积y(米2)与x(米)之间的函数解析式为　y=-x2+15x　(不要求写出自变量x的取值范围). 图22-3-10 师生活动:学生自主进行解答,教师巡视、指导、点评. 教师引导学生阐述解答过程: (1)用含x的代数式表示出AD的长度; (2)利用矩形的面积公式列出函数解析式. 　　应用举例是对于课题学习的针对性练习.
【拓展提升】 例2　如图22-3-11,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小 图22-3-11 师生活动:学生小组内讨论、交流,教师参与小组合作,并引导学生理清解题思路. 教师做好总结和展示: 设AE=x,AB=1,正方形EFGH的面积为y. 根据题意,得y=1-2x(1-x). 整理,得y=2x2-2x+1, 所以当x=0.5时,正方形EFGH的面积最小,最小值为0.5, 即当点E在AB的中点处时,正方形EFGH的面积最小. 　　拓展提升是对于基础知识的提高和应用,培养学生的实际应用能力,提升思维能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.给你一根长为8 m的铁丝,用它围成一个矩形方框,当这个矩形的长为　2 m　时,矩形的面积最大. 2.某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15米)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40 m的栅栏围成.若设花园的宽为x m,花园的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围; (2)根据(1)中求得的函数解析式,描述其图象的变化趋势,并结合题意判断,当x取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少
活动 三: 课堂 总结 反思 　　3.如图22-3-12所示,要建一个矩形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,计划用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设养鸡场的长为x m. 图22-3-12 (1)要使养鸡场的面积最大,养鸡场的长应为多少米 (2)如果中间有n道篱笆隔墙,要使养鸡场的面积最大,养鸡场的长应为多少米 比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
　　1.课堂总结: 你在本节课中有哪些收获 有哪些进步 还有哪些困惑 请谈一谈. 教师强调:利用面积公式列函数解析式是解答问题的主要方法. 2.布置作业: 教材第52页习题22.3第4,6题. 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境和探究新知环节中,利用实际问题激发学生的求知欲,渗透转化思想,把知识回归生活,又从生活中走出来,使学生乐学、好学;通过层层设疑、由易到难,符合学生的认知水平和认知规律,引导学生不断思考、积极探索. ②[讲授效果反思] 教师提醒学生注意:(1)一般地,面积问题中常把面积作为函数,边长作为自变量;(2)确定自变量的取值范围是解答此类问题的注意点;(3)求最值问题可选用公式法或将函数解析式由一般式化为顶点式. ③[师生互动反思] 从课堂发言和检测来看,学生能够积极发言、小组讨论富有实效,能够把知识进行化归,建立函数模型. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　错题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.
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