人教B版高中数学必修第三册 7.3.5已知三角函数值求角-同步练习【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 已知 , ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
3.若 ，化简 的结果是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系 中，角 为第四象限角，角 的终边与单位圆 交于点 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. （多选）若 ，则 的值可能为( )
A. B. C. D.
7. （多选）已知 ， ，则( )
A. B. C. D.
8.（多选）设 ， ，若 ，则有( )
A. B.
C. D.
9.已知 ，则 .
10.化简： .
11. 计算: .
12.若 , ,且 , ,则 .
[B级 综合运用]
13. 设 , ,化简： ( )
A. B. C. D.
14. “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意且易于理解的几何图形来呈现.请观察图，并根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式 ，第一个括号为 ，第二个括号为 .
15.在 中， ，则 .
16. 已知 ， .
（1） 求 的值；
（2） 若 ， ，求 的值.
[C级 素养提升]
17.如图，在扇形 中， ， ，点 为 上的动点且不与点 ， 重合， 于点 ， 于点 ，则四边形 面积的最大值为 .
18. 如图，在平面直角坐标系 中，顶点在坐标原点，以 轴非负半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆 分别交于 ， 两点， 轴的非负半轴与单位圆 交于点 ，已知 ，点 的纵坐标是 .
（1） 求 的值；
（2） 求 的值.
人教B版高中数学必修第三册 7.3.5已知三角函数值求角-同步练习【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知 , ，则 ( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题知 .
因为 ，所以 , ,
所以 ,
结合 ,得 .
2.已知 ,则 ( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.因为 ,所以 ,解得 ，则原式 .故选
D.
3.若 ，化简 的结果是( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.由于 ，所以 , ，
原式
.故选A.
4.在平面直角坐标系 中，角 为第四象限角，角 的终边与单位圆 交于点 ，若 ，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由题意得， ，
设 ， ，则 ， ，
又 ，所以 ， ，所以 ，
所以 .故选C.
5. 若 ,则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由已知得, ，则 ，即 ，整理得 ，所以 ，解得 .
6. （多选）若 ，则 的值可能为( AD )
A. B. C. D.
[解析]选AD.原式 ， ，故 ， ，故 的值可能为 , .故选AD.
7. （多选）已知 ， ，则( BD )
A. B. C. D.
[解析]选BD.因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，故A错误， 正确；
即 ，所以 ， ，故C错误，D正确.故选BD.
8.（多选）设 ， ，若 ，则有( ABD )
A. B.
C. D.
[解析]选ABD.由 ，得=，
得. ，
所以 ，因此有 .
又因为 ，所以 ， 所以 ，
所以 ，即 .
即 ，因此 ，
所以有 ， ,故A， 正确，C错误；
，故D正确.故选ABD.
9.已知 ，则 .
[解析] ,则 .
10.化简： 1.
[解析]因为 , , ,
所以原式 .
11. 计算: .
[解析]原式
.
12. [2023·江苏金沙中学模拟]若 , ,且 , ,则 .
[解析]因为 ,所以 ,
所以 .
又 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以
.
因为 ,所以 .
[B级 综合运用]
13. 设 , ,化简： ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.原式
.故选C.
14. “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意且易于理解的几何图形来呈现.请观察图，并根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式 ，第一个括号为 ，第二个括号为 .
[解析]如图所示， ， ，在 中， ,在 中， .
15.在 中， ，则 .
[解析]因为在 中， ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，所以 ,
所以
,
当且仅当 ，即 时等号成立，又 ，
所以 , ,所以 ， ，所以 .
16. 已知 ， .
（1） 求 的值；
[答案]解：因为 ，又因为 ，所以 .因为 ，且 ，所以 .
（2） 若 ， ，求 的值.
[答案]由（1）中 ， ，可得 .
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，又因为 ,所以 ，所以 .
[C级 素养提升]
17.如图，在扇形 中， ， ，点 为 上的动点且不与点 ， 重合， 于点 ， 于点 ，则四边形 面积的最大值为 .
[解析]因为在扇形 中， ， ，
所以以 为原点， ， 的方向为 ， 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图.
设 ， ，则 ，
所以 ， ，
因为 于点 ， 于点 ，
所以四边形 的面积 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值,为 .
18. 如图，在平面直角坐标系 中，顶点在坐标原点，以 轴非负半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆 分别交于 ， 两点， 轴的非负半轴与单位圆 交于点 ，已知 ，点 的纵坐标是 .
（1） 求 的值；
[答案]解：由题意知， ，因为 ，所以 ，又角 为锐角，所以 .因为点 是钝角 的终边与单位圆 的交点，且点 的纵坐标是 ，所以 ， ，所以 .
（2） 求 的值.
[答案]因为 ， ， ，所以 ，所以 .因为角 为锐角， ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 .(共34张PPT)
7．3.5 已知三角函数值求角
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
会利用已知的三角函数值求相应的角．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 已知正弦值，利用正弦线或者正弦曲线求角．
知识点二 已知余弦值，利用余弦线或者余弦曲线求角．
知识点三 已知正切值，利用正切线或者正切曲线求角．
基 础 自 测
1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝( )
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为x∈(π，2π)且cos x＝－，∴x＝.
2．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝( )
A． B．
C．或 D．或
答案：D
解析：因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或，故选D.
3．已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________．
或
解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].
∵tan 2x＝－，∴2x＝或2x＝，
∴x＝或.
4．若cos x＝cos ，求x的值．
解析：在同一个周期[－π，π]内，
满足cos x＝cos 的角有两个：和－.
又y＝cos x的周期为2π，所以满足cos x＝cos 的x为2kπ±(k∈Z)．
课堂探究·素养提升
题型1 已知正弦值求角
例1 已知sin x＝.
(1)当x∈[－]时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合；
(4)求不等式sin x<－的解集．
利用三角函数线、图象结合周期性求解集．
尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．
【解析】 (1)∵y＝sin x在[－]上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴{}是所求集合．
(2)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin (π－)＝，
∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝，
∴x的取值集合为{}．
(3)当x∈R时，x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，或x＝2kπ＋，k∈Z}．
(4)方法一 由sin x＝－<0可知，角x对应的正弦线方向朝下，而且长度为，如图所示，
可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′.
又因为sin (－)＝sin (－)＝－，
所以x＝－＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z.
如果x终边在∠POP′中，则有sin x<－，
所以－＋2kπ所以不等式的解集为{x|－＋2kπ方法二 因为sin x＝－，
如图所示，
由正弦函数的图象，知
在[－2π，0]内，sin (－)＝sin (－)＝－，
所以x＝－＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋2kπ所以不等式的解集为
{x|－＋2kπ
方法归纳
(1)给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．
(2)对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则方程f(x)＝1在(0，π]上的解集为__________.
解析：由题意可得：＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin (2x＋)＝1，可得sin (2x＋)＝，
因为x∈(0，π]，所以2x＋∈(]，
所以2x＋＝或，即x∈{}．
{}
(2)求不等式sin x>－的解集．
解析：当sin x＝－时，
x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋2kπ所以不等式的解集为
{x|－＋2kπ题型2 已知余弦值求角
例2 (1)已知cos x＝－，
①当x∈[0，π]时，求x的值；
②当x∈R时，求x的取值集合．
(2)已知cos (2x－)＝，求x.
(3)求不等式cos (x＋)>－的解集．
【解析】 (1)①∵cos x＝－且x∈[0，π]，∴x＝.
②当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解．
∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角．
所以，由余弦函数的周期性知，
当x＝＋2kπ或
x＝2kπ－(k∈Z)时，
cos x＝－，即所求x值的集合是
{x|x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)}．
(2)由cos (2x－)＝>0，知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，
如图所示，
可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′.
又因为cos ＝cos (－)＝，
所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z.
所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z.
(3)如图所示，
在[－π，π]上，＝－或＝时，
cos ()＝－，
所以＝－＋2kπ或＝＋2kπ，
k∈Z时，cos ()＝－.
令－＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ所以不等式的解集为{x|－＋4kπ状元随笔 (1)(2)利用余弦线、图象求值．
(3)先求出相等时的x值，再写出满足不等式的x的范围．
跟踪训练2 (1)已知cos x＝－且x∈[0，2π)，求x的取值集合；
(2)求不等式2cos (2x＋)－<0的解集．
解析：(1)由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限的角，由cos (π－)＝－cos ＝－，所以在区间[0，2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－＝.又cos (＋π)＝－cos ＝－，所以在区间[0，2π)内符合条件的第三象限的角是x＝＋π＝.
故所求角的集合为{}．
(2)不等式变为cos (2x＋)<，
则＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ所以不等式的解集为{x|＋kπ方法归纳
cos x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．
题型3 已知正切值求角
例3 (1)已知tan α＝1.
①若α∈(－)，求角α；
②若α∈R，求角α.
(2)已知f(x)＝tan (3x－)，求使f(x)≤－成立的x的集合．
【解析】 (1)①由正切函数在开区间(－)上是增函数可知，符合条件tan α＝1的角只有一个，即α＝.
②α＝kπ＋(k∈Z)．
(2)方法一 令t＝3x－，作出函数y＝tan t的图象如图，
则－＋kπ即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z，
解得－所以不等式tan (3x－)≤－的解集为
(－]，k∈Z.
方法二 因为tan (3x－)＝－<0，令t＝3x－，
所以角3x－对应的正切线方向朝下，而且长度为，
如图所示，
可知3x－的终边可能是OT，也可能是OT′，
因为tan (－)＝tan ＝－，
即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z，
解得－所以不等式tan (3x－)≤－的解集为
(－]，k∈Z.
状元随笔 利用正切线或图象求值，先求x的范围，再根据周期写解集．
方法归纳
(1)已知角的正切值求角，可先求出(－)内的角α，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角．
(2)tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋α，k∈Z}．
跟踪训练3 (1)已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
解析：∵tan x＝－1＜0，
∴x是第二或第四象限的角．
由tan (－)＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan (－)＝－tan ＝－1，
得所求符合条件的第二象限角为x＝－，
∴在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.
(2)当0解析：由正切函数的图象知，当0若tan x<－1，则即实数x的取值范围是()．
()
(3)函数y＝1＋tan (2x－)在区间(－π，π)内的零点个数为________.
解析：函数y＝1＋tan (2x－)，
令1＋tan (2x－)＝0，得tan (2x－)＝－1，
所以2x－＝kπ－，k∈Z；解得x＝，k∈Z；
当k＝－1时，x＝－；当k＝0时，x＝－；
当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝；
所以y在区间(－π，π)内的零点有4个．
4
