人教B版高中数学必修第三册7.1.1角的推广-同步练习
一、选择题
1．下列关于角的叙述，正确的是( )
A．第二象限的角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限角
C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
2．下列是第三象限角的是( )
A．－110° B．－210°
C．80° D．－13°
3．(多选)下列与412°角的终边相同的角是( )
A．52° B．778°
C．－308° D．1 132°
4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
二、填空题
5．已知角α，β的终边关于原点对称，则α，β间的关系为________．
6.
如图，花样滑冰是冰上运动项目之一．运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是________，逆时针旋转两圈半所得角的度数是________．
7．设集合A＝{x|k·360°＋60°三、解答题
8. 已知α是第三象限角，那么是第几象限角？
9.若角β的终边落在直线y＝－x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.
[尖子生题库]
10.
如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.
参考答案
1．解析：A错，例如495°＝135°＋360°是第二象限角，但不是钝角；B错，例如α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限角，但α<β；C错，例如α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则两角相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z).
答案：D
2．解析：－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.
答案：A
3．解析：因为412°＝360°＋52°，
所以与412°角的终边相同的角为β＝k×360°＋52°，k∈Z，
当k＝－1时，β＝－308°；
当k＝0时，β＝52°；
当k＝2时，β＝772°；
当k＝3时，β＝1 132°；
当k＝4时，β＝1 492°.综上，选项A、C、D正确．
答案：ACD
4．解析：当k＝0时，45°≤α≤90°，即选项C中第一象限所表示的部分；当k＝1时，225°≤α≤270°，即选项C中第三象限所表示的部分；当k＝2时，其所表示的角的范围与k＝0时表示的范围一致．综上可得，选项C正确．
答案：C
5．解析：由题意，α－β为180°的奇数倍，
∴α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z).
故答案为α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z).
答案：α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)
6．解析：顺时针旋转两圈半所得角的度数是－(2×360°＋180°)＝－900°，则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°.
答案：－900° 900°
7．解析：A∩B＝{x|k·360°＋60°答案：{x|k·360°＋150°8．解析：∵α是第三象限角，
∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，
∴90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，
若k为偶数，当k＝2n，n∈Z，则90°＋k·360°＜＜135°＋k·360°(k∈Z)，为第二象限角，
若k为奇数，当k＝2n＋1，n∈Z，则270°＋k·360°＜＜315°＋k·360°(k∈Z)，为第四象限角，
则是第二象限或第四象限的角．
9．解析：∵角β的终边落在直线y＝－x上，
∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，
∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}．
当－360°＜β＜360°时，
角β为－210°，－30°，150°，330°.
10．解析：因为0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ则当k＝0时，90°<θ<135°.
又因为14θ＝n·360°(n∈Z)，
所以θ＝n·°，从而90°所以当n＝4时，θ＝°；当n＝5时，θ＝°.(共42张PPT)
7．1.1 角的推广
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
1.了解任意角的概念．
2．掌握象限角的概念．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 角的概念
(1)角的形成：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
①正角：按照______________而成的角；
②负角：按照______________而成的角；
③零角：当射线_________时，我们也把它看成一个角，称为零角．
一条射线
端点
旋转
逆时针方向旋转
顺时针方向旋转
没有旋转
知识点二 利用转角给出角的加减法运算的几何意义
(1)射线OA绕端点O旋转到OB所成的角，记作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始边，__________叫做∠AOB的________．
(2)引入正角、负角的概念以后，角的加法运算可以转化为角的终边绕始边逆时针旋转，减法运算可以转化为角的终边绕始边顺时针旋转．
知识点三 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，那么，角的终边在第几象限，就把这个角称为___________．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
OA
OB
终边
第几象限角
状元随笔 零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
整数个周角
基 础 自 测
1．钟表的分针在一个半小时内转了( )
A．180° B．－180°
C．540° D．－540°
答案：D
解析：钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.
2．(多选)下列各角中，与330°角的终边相同的角是( )
A．510° B．1050°
C．－150° D．－390°
答案：BD
解析：与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，当k＝2时，β＝1 050°，故选BD.
3．已知角α是第一象限角，则α＋180°是第________象限角．
三
解析：∵角α是第一象限角，
α＋180°是将α的终边绕原点逆时针旋转180°得到，
∴α＋180°的终边在第三象限，
∴α＋180°是第三象限角．
故答案为三．
课堂探究·素养提升
题型1 任意角的概念
例1 (1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C B．A C
C．A＝B D．B
【答案】 D
【解析】 第一象限角可表示为k·360°<α(2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角的度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为________.
－25°
395°
【解析】 把35°角的终边按顺时针方向旋转60°得35°－60°＝－25°；把35°角的终边按逆时针方向旋转一周后得35°＋360°＝395°.
方法归纳
利用角的概念进行判断
判断角的概念问题的关键与技巧：
①关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
②技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
跟踪训练1 (1)下列关于角的叙述，正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．钟表的时针旋转而成的角是负角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．大于90°的角都是钝角
答案：B
解析：终边相同的角不一定相等，可能相隔k·360°(k∈Z)，A错；钟表的时针是顺时针旋转，故是负角，所以B对；终边相同的角之间相差360°的整数倍，C错；200°>90°，但200°不是钝角，D错．
(2)喜羊羊步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟内，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60° D．－60°
答案：D
解析：利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有×10＝60°，即分针走过的角度是－60°.
题型2 终边相同的角的概念
例2 (1)写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来；
【解析】 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°到360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．
所以S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
状元随笔 (1)对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360 °与α之间用“＋”号连接，如k·360 °－30 °应看成k·360 °＋(－30 °)(k∈Z)．
(2)在0 °到360 °范围内找出与直线y＝x终边相同的角，再推广到任意角．
(3)终边相同的角的取值是由k的取值决定的．
(2)终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
【答案】 D
【解析】 终边在坐标轴上的角为90°角或90°的整数倍角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
状元随笔 终边在坐标轴上的角的集合表示
角α的终边位置 角α的集合表示
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
方法归纳
在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
①一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
②如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
跟踪训练2 (1)下面与－850°12′终边相同的角是( )
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
答案：B
解析：与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
(2)终边在x轴上的角的集合是( )
A．{α│α=k·180°，k∈Z}
B．{α│α=90°+k·360°，k∈Z}
C．{α│α=－90°+k·360°，k∈Z}
D．{α│α=k·360°+180°，k∈Z}
答案：A
解析：终边在x轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，
终边在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}，
所以，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，故选A.
题型3 象限角与区域角的表示及(k∈N*)所在象限的判定方法
【思考探究】 1.象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α2.由α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？
[提示] (1)代数推导法：先表示出角α所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1，2，3，4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．
例3 (1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α【答案】 C
【解析】 在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围；
【解析】 阴影在x轴上方部分的角的集合为
A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分内角β的取值范围是A即{β|k·360°＋60°≤β其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}．
集合A可以化为{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}．
故A可化为{β|n·180°＋60°≤β(3)已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
【解析】 ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°＋·360°<<90°＋·360°.
当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时，为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
状元随笔 (2)可由α范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置．
方法归纳
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合．(k∈Z)．
2．解决所在象限的问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论．
跟踪训练3 (1)写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合；
解析：在－180°～180°内落在阴影部分角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)已知α为第二象限角，试判断是第几象限角？
解析：∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.
当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角．
∴为第一、第二或第四象限角．
题型4 关于角的对称问题[逻辑推理]
例4 若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
【答案】 C
【解析】 因为α是第一象限角，
所以0°＋n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，
所以－n·360°<90°－α<90°－n·360°(n∈Z)，
90°＋n·360°<90°＋α<180°＋n·360°(n∈Z)，
270°－n·360°<360°－α<360°－n·360°(n∈Z)，
180°＋n·360°<180°＋α<270°＋n·360°(n∈Z)，
90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，
360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限．
状元随笔 因为α为第一象限角，
所以0 °＋n ·360 °<α<90 °＋n ·360 °(n∈Z)，结合不等式判断题中各选项中的角所在象限．
方法归纳
角的终边的对称问题
若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
[提示] (1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180 °－α＋k·360 °，k∈Z.
(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360 °，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180 °＋α＋k·360 °，k∈Z.
(4)关于直线y ＝x对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90 °＋k·360°，k∈Z.
跟踪训练4 (1)若α是第四象限角，则90°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
解析：由题知，α∈(－90°＋360°·k，360°·k)，k∈Z，
则90°－α∈(90°－360°·k，180°－360°·k)在第二象限，
故选B.
(2)若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
解析：因为α是第四象限角，则角α应满足：
k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，
当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角．
