人教B版高中数学必修第三册7.2.1三角函数的定义-专项训练
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,csin=asin C.
(1)求角A的大小;
(2)请在①sin B=;②a+c=7两个条件中任选一个,求△ABC的面积.
2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积.
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
4.已知函数f(x)=2sin xcos x-cos 2x(x∈R).
(1)若f(α)=且α∈,求cos 2α的值;
(2)记函数f(x)在上的最大值为b,且函数f(x)在[aπ,bπ](a
5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=c(cos B-cos A).
(1)判断△ABC的形状并给出证明;
(2)若a≠b,求sin A+sin B+sin C的取值范围.
6.如图,在四边形ABCD中,BD(1)求A;
(2)若AB=,AD=3,CD=1,C=2∠CBD,求四边形ABCD的面积.
参考答案与解析
1.解 (1)由csin=asin C可得:sin Csin=sin Asin C,即sin Csin=sin Asin C,即sin Ccos=2sincossin C,因为00,0<,cos>0,所以sin,即,A=.
(2)选①:sin B=,由正弦定理可得,即,解得a=,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-2c,解得c=3(负值舍),所以S△ABC=bcsin A=×2×3×.
选②:a+c=7,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,
即(7-c)2=4+c2-2c,解得c=,
所以S△ABC=bcsin A=×2×.
2.(1)证明 ∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),
∴sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C,由正弦定理及余弦定理,得ca·-cb·=bc·-ba·,
化简整理,得2a2=b2+c2.
(2)解 ∵a=5,∴b2+c2=2a2=50.由余弦定理,得cos A=,∴bc=.∴b+c==9,
∴a+b+c=14.故△ABC的周长为14.
3.解 (1)因为2sin C=3sin A,所以由正弦定理得2c=3a,解在△ABC中,由余弦定理得,cos C=,所以sin C=,所以S△ABC=absin C=×4×5×.
(2)假设存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形.
因为b=a+1,c=a+2,所以可知c>b>a,所以角C为钝角,
则cos C=<0,即a2+b2-c2<0,
则a2+(a+1)2-(a+2)2<0,整理得a2-2a-3<0,
即(a-3)(a+1)<0,所以-1又因为a为正整数,所以a=1或a=2.
当a=1时,b=2,c=3,不能构成三角形,舍去;
当a=2时,b=3,c=4,满足条件.
故当a=2时,△ABC为钝角三角形.
4.解 (1)f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin,
∵f(α)=,∴sin,
∵α∈,∴2α-,
∴cos=-,∴cos 2α=cos2α-=-=-.
(2)当x∈时,2x-,f(x)∈[1,2],
∴b=2,由-+2kπ≤2π-+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
又∵函数f(x)在[aπ,2π](a<2)上单调递增,
∴[aπ,2π] -+2π,+2π,∴-+2π≤aπ<2π,
∴≤a<2,∴实数a的最小值是.
5.解 (1)△ABC为等腰三角形或直角三角形,证明如下:
由a-b=c(cos B-cos A)及正弦定理得,sin A-sin B=sin C(cos B-cos A),
即sin(B+C)-sin(A+C)=sin C(cos B-cos A),
即sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整理得sin Bcos C-sin Acos C=0,
所以cos C(sin B-sin A)=0,故sin A=sin B或cos C=0,
又A,B,C为△ABC的内角,所以a=b或C=,
因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.
(2)由(1)及a≠b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形,且A+B=,C=,故B=-A,且A≠,
所以sin A+sin B+sin C=sin A+sin B+1=sin A+cos A+1=sin+1,因为A∈,故A+,得sin,
所以sin+1∈(2,+1),
因此sin A+sin B+sin C的取值范围为(2,+1).
6.解 (1)因为,
所以sin=cos,
所以sincos可化为sin2,由二倍角公式可得cos.因为BD所以-2A=,解得A=.
(2)在△ABD中,AB=,AD=3,A=,
由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,
即BD2=3+9-2××3×=3,所以BD=.
在△BCD中,由正弦定理得,
所以sin C=sin∠CBD.
又因为C=2∠CBD,所以cos∠CBD=.又因为∠CBD∈(0,π),所以∠CBD=,从而C=2∠CBD=,所以∠BDC=.
因此四边形ABCD的面积S=AB·AD·sin A+BD·CD=×3××1=.
4(共34张PPT)
7．2.1 三角函数的定义
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
借助单位圆理解三角函数 (正弦、余弦、正切)的定义．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α的终边上除原点外任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝>0).
三角函数 定义 定义域 名称
sin α ______ 正弦
cos α ______ ______ 余弦
tan α ____________ 正切
R
R
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
知识点二 三角函数在各象限的符号
状元随笔 记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有诀窍，口诀记忆
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．
基 础 自 测
1．已知角α终边经过P(，)，则cos α等于( )
A． B．
C． D．±
答案：B
解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝.
2．已知sin α>0，cos α<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
解析：由sin α>0，则α在一、二象限，由cos α<0，则α在第二、三象限，故角α是第二象限角．
3．若角α的终边上有一点P(3，4)，则sin α＋cos α＝________．
解析：由三角函数定义知，sin α＝，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝.
4．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是__________象限角．
第三或第四
解析：∵cos θ·tan θ<0，∴cos θ，tan θ异号．
故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．
课堂探究·素养提升
题型1 任意角三角函数的定义及应用
例1 (1)若角α的终边经过点P(－1，－)，则cos α＝( )
A．－ B．－
C．－1 D．－
【答案】 A
【解析】 ∵角α的终边经过点P(－1，－)，
∴cos α＝－＝－.
故选A.
(2)若α＝－，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________；
【解析】 因为角－的终边与单位圆交于点P(，－)，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
－
－
(3)若角θ的终边过点P(a，8)，且cos θ＝－，则a的值是( )
A．6 B．－6
C．10 D．－10
【答案】 B
【解析】 由任意角的三角函数的定义可知＝－，
解得a＝±6.显然a＝6时不成立，所以a＝－6.
(1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．
(2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．
方法归纳
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
跟踪训练1 (1)已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，求sin α＋cos α的值；
(2)已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
解析：(1)根据三角函数的定义，tan α＝＝－，∴a＝－12，∴P(5，－12)，r＝13，
∴sin α＝－，cos α＝，
从而sin α＋cos α＝－.
(2)由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝.
又因为cos θ＝x，所以＝x.
因为x≠0，所以x＝±1.当x＝1时，P(1，3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
题型2 三角函数符号的判断
例2 (1)判断下列各式的符号．
①sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°；
②tan 191°－cos 191°；
③sin 2cos 3tan 4.
先确定角所在象限，进一步确定各式的符号．
【解析】 ①∵2 015°＝5×360°＋215°，
2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0，
∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
②∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0，
∴tan 191°－cos 191°>0.
③∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4<0.
(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】 C
【解析】 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角．综上可知，α为第三象限角．
方法归纳
由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝ (r＞0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．
跟踪训练2 (1)判断下面式子的符号：
sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan (－480°).
解析：270°<320°<360°，360°<385°<450°，90°<155°<180°，－540°<－480°<－450°，
则320°为第四象限角，385°为第一象限角，155°为第二象限角，－480°为第三象限角，
所以sin 320°<0，cos 385°>0，tan 155°<0，tan (－480°)>0.
所以sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan (－480°)>0，即符号为正．
(2)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．
题型3 三角函数的定义域
【思考探究】 1.正切函数tan α的定义域为何不是R
[提示] 根据正切函数的定义tan α＝，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋(k∈Z)时，x＝0，正切函数无意义，故正切函数的定义域为{α|α≠kπ＋，k∈Z}．
2．怎样解决与三角函数有关的定义域问题？
[提示] 解决与三角函数有关的定义域问题要注意以下几种情况：
(1)分母不为零，(2)偶次根号下大于等于零，(3)在真数位置时大于零，(4)在底数位置时大于零且不等于1.
例3 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋.
(1)在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0；
(2)由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集．
【解析】 (1)要使函数有意义，需tan x≠0，
所以x≠kπ＋，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，所以x≠，k∈Z.
于是函数的定义域是{x|x∈R且x≠，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，需
得解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
所以函数的定义域是{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}．
方法归纳
求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围，注意求解结果应用区间或集合表示．
跟踪训练3 (1)求函数y＝＋的定义域；
解析：由题意知
由y＝16－x2的图象解得16－x2≥0的解集为[－4，4].
sin x≥0的解集为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
结合数轴知函数定义域为[－4，－π]
(2)当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
答案：C
解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
所以＝＝2.
教材反思
(1)对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
①正弦值的符号取决于纵坐标y的符号．
②余弦值的符号取决于横坐标x的符号．
③正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
(2)巧记三角函数值符号
为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．
(3)对三角函数定义的三点说明
①三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
②三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
③三角函数值的大小只与角有关，而与点P(x，y)的位置无关．
[易错点] 忽略了三角函数的定义中r是点P到原点的距离，所以要加绝对值．
已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________．
错解：r＝5a，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1
正解：因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
易错警示：错误原因：忽略了r是点P到原点的距离，所以要加绝对值．
纠错心得：三角函数是用点的坐标和点到原点的距离比值来定义的，结果只与坐标有关．