人教B版高中数学必修第三册7.2.3同角三角函数的基本关系式-同步练习【原卷版】
[A级 基础达标]
1.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，终边过点 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知 , 是方程 的两个根，则 ( )
A. B. C. D.
5. 五星红旗左上角镶有五颗黄色五角星，旗上的五颗五角星及其相互联系象征着中国共产党领导下的革命人民大团结.如图，可以将五角星分割为五个黄金三角形和一个正五边形，“黄金分割”表现了恰到好处的和谐，其比值为 ，这一比值也可以表示为 ，若 ，则 的值约为( )
A. B. C. D.
6. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，若 是角 终边上一点，且 ,则 ( )
A. B. C. 或3 D. 或
7. （多选）若 ，且 ，则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
8. （多选）下列计算中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.若函数 的一个零点为 ，则 ; .
10.化简： .
11. 已知 , ,则 .
12. 满足等式 的数组 有无穷多个，试写出一个这样的数组 .
[B级 综合运用]
13. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，点 为角 终边上的一点，将角 的终边逆时针旋转 得到角 的终边，则 ( )
A. B. C. D.
14.已知 ， 都是锐角， ， ，则 .
15.已知 ，则 .
16. 已知 , , .
（1） 求 的值；
（2） 求 的值.
[C级 素养提升]
17. 设 ， ，且满足 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
18. 已知 , 为锐角， , .
（1） 求 的值；
（2） 求 的值.
人教B版高中数学必修第三册7.2.3同角三角函数的基本关系式-同步练习【解析版】
[A级 基础达标]
1.已知 ，则 ( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.根据诱导公式与二倍角公式，得 ，故选
A.
2.已知 ， ，则 ( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.因为 ， ，
所以 ， ,
所以 ,故选D.
3. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，终边过点 ，则 的值为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.由题意知 ， ，则 .故选A.
4. 已知 , 是方程 的两个根，则 ( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题知 ， ，
则 .故选B.
5. 五星红旗左上角镶有五颗黄色五角星，旗上的五颗五角星及其相互联系象征着中国共产党领导下的革命人民大团结.如图，可以将五角星分割为五个黄金三角形和一个正五边形，“黄金分割”表现了恰到好处的和谐，其比值为 ，这一比值也可以表示为 ，若 ，则 的值约为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题意知， ，
则 .故选B.
6. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，若 是角 终边上一点，且 ,则 ( C )
A. B. C. 或3 D. 或
[解析]选C.由题知 ,又 ,整理可得 ，解得 或 ，则 或 .故选C.
7. （多选）若 ，且 ，则下列各式中正确的是( AD )
A. B. C. D.
[解析]选AD.因为 ，
所以 ，
解得 .又 ，
所以 ，
所以 ,
则 ，所以 .故选AD.
8. （多选）下列计算中正确的是( ABC )
A.
B.
C.
D.
[解析]选ABC.因为 ，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
因为 ，
所以 ，故D错误.故选ABC.
9.若函数 的一个零点为 ，则 ; .
[解析]依题意得 ,解得 ，所以 ,
所以 .
10.化简： .
[解析] .
11. 已知 , ,则 .
[解析]由 得 ，①
由 得 ，②
①+②得, ，所以 .
12. 满足等式 的数组 有无穷多个，试写出一个这样的数组 （答案不唯一，满足 ， 即可）.
[解析]由 ，得 ，所以 ，所以 ，
所以 , ,所以可取 ,所以 可以为 .
[B级 综合运用]
13. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，点 为角 终边上的一点，将角 的终边逆时针旋转 得到角 的终边，则 ( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.由题可知 ，
所以 ，
则原式
.故选A.
14.已知 ， 都是锐角， ， ，则 .
[解析]因为 , 都是锐角，所以 ， ，又因为 , ,
所以 ,
,
则
.
15.已知 ，则 .
[解析]由题知
，
即 ，
则 ，
即 ，
解得 或 （舍去）.
16. 已知 , , .
（1） 求 的值；
[答案]解：因为 ,所以 ,
又 ，所以 ，所以
.
（2） 求 的值.
[答案]因为 ,所以 ,又 ,所以 ，所以 .
[C级 素养提升]
17. 设 ， ，且满足 ，则 的取值范围为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为 ，且 ， ，所以 ，由 ,
所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,即所求的取值范围是 .故选C.
18. 已知 , 为锐角， , .
（1） 求 的值；
[答案]解：因为 ,所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
（2） 求 的值.
[答案]因为 , 为锐角，所以 .
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
因为 ,所以 ,所以
.(共38张PPT)
7．2.3 同角三角函数的基本关系式
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
新知初探·自主学习
知识点 同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝________．
商数关系：＝________(α≠kπ＋，k∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的__________等于1，________等于角α的正切．
1
tan α
平方和
商
状元随笔 “同角”一词的含义：
[提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等．
基础 自 测
1.已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
解析：∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝＝－.
答案：B
3．(多选)如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tanα＝－ B．cos α＝－
C．sinα＝ D．tanα＝
解析：由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cosα＜0，sin α＞0，故BC正确．
答案：BC
课堂探究·素养提升
题型1 应用同角三角函数关系求值
例1 (1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
(2)若cos α＝，求tan α的值；
(3)若tan α＝－，求sin α的值．
对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．
【解析】 (1)∵sin α＝－，
α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
tanα＝＝－×(－)＝.
(2)∵cos α＝>0，
∴α是第一、四象限角．
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝；
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝－.
(3)∵tan α＝－<0，
∴α是第二、四象限角．
由
可得sin2α＝()2.
当α是第二象限角时，sinα＝；
当α是第四象限角时，sin α＝－.
方法归纳
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
跟踪训练1 (1)若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于( )
A． B．－
C． D．－
解析：因为α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－.
所以tanα＝＝.
答案：C
(2)已知tan α＝，且α∈(π，)，则sin α＝______，cos α＝______.
解析：因为tan α＝，所以
解得 或
因为α∈(π，)，
所以
－
－
题型2 应用同角三角函数关系化简求值
例2 (1)已知sin α＋cos α＝－，0<α<π.
①求sin αcos α的值；
②求sin α－cos α的值．
(2)已知tan α＝2，求下列各式的值．
①；
②；
③2sin2α－sin αcos α＋cos2α.
【解析】 (1)①由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝，
sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，sinαcos α＝－.
②因为0<α<π，sin αcos α<0，
所以sin α>0，cos α<0 sin α－cos α>0.
sin α－cos α＝
＝＝.
(2)因为tan α＝2，
所以①＝＝－.
②＝＝＝.
③2sin2α－sinαcos α＋cos2α
＝
＝
＝＝.
状元随笔 根据商数关系把齐次式的分子分母同时除以cos α的n次方，进行弦化切运算；若题目中没有分母，一般把分母化为1，再利用1＝sin2α＋cos2α转化．
方法归纳
1．已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
跟踪训练2 (1)若sin α＋3cos α＝0，则的值为________；
解析：因为sin α＋3cos α＝0，
所以tan α＝－3，因此原式＝＝＝－.
－
(2)已知sin αcos α＝－，且0<α<π，求tan α的值．
解析：法一：∵sin αcos α＝－，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2×(－)＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，∴sin α＋cos α＝±.
同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
∵sin αcos α＝－<0，0<α<π，
∴<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝.
由，得或，
∴tan α＝－或tan α＝－.
法二：∵sin αcos α＝－，
∴＝－，
∴＝－，
∴12tan2α＋25tanα＋12＝0，
∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0，
∴tan α＝－或tan α＝－.
题型3 应用同角三角函数关系化简
例3 若sin α·tan α<0，化简.
【解析】 ∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.
原式＝ ＋
＝＝
＝＝－.
方法归纳
解答此类题目常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
跟踪训练3 化简：
.
解析：原式＝
＝
＝
＝1.
题型4 三角恒等式的证明
【思考探究】 1.证明三角恒等式常用方法
[提示] (1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．
2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？
[提示] sin2α＋cos2α＝1，tan＝1.
例4 求证：＝.
【证明】 左边＝
＝＝
＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
状元随笔 解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．
方法归纳
(1)证明恒等式常用的思路是：①从一边证到另一边，一般由繁到简；②左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；③比较法(作差，作比法)．
(2)常用的技巧有：①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式)．
(3)解决此类问题要有整体代换思想．
跟踪训练4 求证：＝.
证明：右边＝＝＝＝＝左边，
∴原等式成立．
教材反思
(1)同角三角函数基本关系式的变形形式
①平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α.
②商数关系：sinα＝tan α·cos α，cos α＝.
(2)已知sin α±cos α，整体代入求值
已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.
所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．
(3)应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号．
易错点 忽略利用平方关系开方时符号的选择
例5 已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
错解：由tan α＝＝得
sin α＝cos α.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1.
∴cos2α＝.
∴cosα＝.
∴sin α＝cos α＝.
正解：由tan α＝＝得sin α＝cos α.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1.∴cos2α＝.
当α是第三象限的角，
∴cosα＝－.∴sin α＝cos α＝－.
当α是第一象限的角，
∴cos α＝.∴sin α＝cos α＝.
错因分析：忽略利用平方关系开方时符号的选择．
纠错警示：利用平方关系开方时符号的确定，要根据角度的范围选择，有时要进行讨论．
