(共15张PPT)
4.3 三角恒等变换
课标要求 考情分析
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余、正切公式，了解它们的内在联系. 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 考点考法：三角函数的恒等变换，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于中档题，三角恒等变换的综合应用是高考的重点，难度中等.
核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算
必备知识 自主排查
必备知识 自主排查
01
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[提醒] 二倍角公式实际就是由两角和公式中令
所得.逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角
，
是任意角.( )
√
（2）两角和与差的正切公式中的角
，
是任意角.( )
×
（3）存在实数
，
，使等式
成立.( )
√
2.（人A必修第一册
例4（1）变条件）
( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.原式
.
√
3.（人A必修第一册
练习
变条件）若
,
,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.因为
,所以
,
所以
,
则
.故选C.
√
4.若角
的终边在第四象限，且
，则
__.
解析：由题可知，
,所以
,则
,
所以
.
5.
的值为_ __.
解析：
.1.公式的常用变形
，
1
,
1
,
.
若
，则
.
2.升幂、降幂公式
1
,
.
,
.
【用一用】
1.已知
,则
( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.原式
.故选C.
√
2.求值：
____.
解析：因为
.
所以
.2025年高考数学一轮复习-4.3-三角恒等变换-专项训练【原卷版】
1．已知cos(π＋θ)＝，若θ是第二象限角，则tan ＝( )
A．2 B．
C．－ D．
2．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝( )
A．－ B．
C． D．3
3．(2024·南京联考)已知0<α<<β<π，且tan α＝，tan β＝－，则α＋β＝( )
A． B．
C． D．
4．函数f(x)＝4cos2x－4cos4x＋sin xcos x的最小值是( )
A．－ B．
C． D．
5．设a＝sin246°，b＝cos235°－sin235°，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
C．a6．(多选)已知cos α＝，则＝( )
A． B．
C． D．－
7．(多选)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则( )
A．cos α＝－ B．sin α－cos α＝
C．β－α＝ D．cos αcos β＝－
8．计算＝________．
9．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________．
10．化简：－2cos(α＋β)．
11．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝( )
A．1 B．2
C． D．
12．“无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式tan θ＝＝，第一个括号为 ________，第二个括号为________．
13．已知sin 2α＝，则＝________．
14．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝．
(1)求证：sin α cos β＝5cos α sin β；
(2)若已知0＜α＋β＜，0＜α－β＜，求cos 2α的值．
15．(多选)已知tan(α＋β)＝tan α＋tan β，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，则下列结论一定正确的是( )
A．sin(α＋β)＝0 B．cos(α＋β)＝1
C．sin2＋sin2＝1 D．sin2α＋cos2β＝1
16．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当a固定，θ变化时，求的最小值．
2025年高考数学一轮复习-4.3-三角恒等变换-专项训练【解析版】
1．已知cos(π＋θ)＝，若θ是第二象限角，则tan ＝( )
A．2 B．
C．－ D．
解析：B 因为cos(π＋θ)＝，所以cos θ＝－，又θ是第二象限角，所以sin θ＝，所以tan ＝＝．故选B．
2．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝( )
A．－ B．
C． D．3
解析：B 因为tan 60°＝，所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°tan 40°，所以tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝，故选B．
3．(2024·南京联考)已知0<α<<β<π，且tan α＝，tan β＝－，则α＋β＝( )
A． B．
C． D．
解析：B 由题意可知，tan(α＋β)＝＝－1，因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，所以α＋β＝．故选B．
4．函数f(x)＝4cos2x－4cos4x＋sin xcos x的最小值是( )
A．－ B．
C． D．
解析：A f(x)＝4cos2x－4cos4x＋sin xcos x＝4cos2x(1－cos2x)＋sin xcos x＝4sin2xcos2x＋sin xcos x＝sin22x＋sin 2x＝2－，因此，当且仅当sin 2x＝－时，f(x)取最小值－，故选A．
5．设a＝sin246°，b＝cos235°－sin235°，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．a解析：D 因为sin 45°tan 60°＝，所以c>；显然，b2＝>2，所以c>，即c>a，所以b6．(多选)已知cos α＝，则＝( )
A． B．
C． D．－
解析：CD 由cos α＝得sin α＝±．＝＝＝＝2(sin α＋cos α)，所以当sin α＝时，原式＝；当sin α＝－时，原式＝－．故选C、D．
7．(多选)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则( )
A．cos α＝－ B．sin α－cos α＝
C．β－α＝ D．cos αcos β＝－
解析：BC 因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝>0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2α－1 cos2α＝ cos α＝，故A错误；
(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；
因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－<0，所以≤α＋β≤，解得sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－，又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；
由cos(α＋β)＝－ cos αcos β－sin αsin β＝－，又cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选B、C．
8．计算＝________．
解析：＝－＝－＝－＝2．
答案：2
9．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________．
解析：因为α，β均为锐角，所以－<α－β<．又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝．又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝．所以β＝．
答案：
10．化简：－2cos(α＋β)．
解：原式＝
＝
＝
＝
＝＝．
11．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝( )
A．1 B．2
C． D．
解析：A ∵2α－β＝，∴β＝2α－，∴＝1，即＝1，∴x＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin2α＝1，故选A．
12．“无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式tan θ＝＝，第一个括号为 ________，第二个括号为________．
解析：如图所示，设△ABC外接圆半径为1，CM＝sin 2θ，在Rt△AMC中，tan θ＝＝＝，在Rt△CMB中，tan θ＝＝＝．
答案：1＋cos 2θ 1－cos 2θ
13．已知sin 2α＝，则＝________．
解析：＝，由积化和差公式可得，sin(α＋15°)cos(α－15°)＝(sin 2α＋sin 30°)，sin(α－15°)cos(α＋15°)＝[sin 2α＋sin(－30°)]＝(sin 2α－sin 30°)，所以＝＝＝11．
答案：11
14．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝．
(1)求证：sin α cos β＝5cos α sin β；
(2)若已知0＜α＋β＜，0＜α－β＜，求cos 2α的值．
解：(1)证明：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，
∴2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，①
3sin αcos β－3cos αsin β＝1，②
②－①得sin αcos β－5cos αsin β＝0，
则sin αcos β＝5cos αsin β．
(2)∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，0＜α＋β＜，0＜α－β＜，
∴cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝．
15．(多选)已知tan(α＋β)＝tan α＋tan β，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，则下列结论一定正确的是( )
A．sin(α＋β)＝0 B．cos(α＋β)＝1
C．sin2＋sin2＝1 D．sin2α＋cos2β＝1
解析：AD 因为tan(α＋β)＝，且tan(α＋β)＝tan α＋tan β，所以1－tan α·tan β＝1，即tan α·tan β＝0，所以α＝k1π(k1∈Z)或β＝m1π(m1∈Z)，sin(α＋β)＝sin(k1π＋m1π)＝0(k1，m1∈Z)，故A正确；cos(α＋β)＝cos(k1π＋m1π)＝±1(k1，m1∈Z)，故B错误；sin2＋sin2＝sin2＋sin2，令k1＝m1＝1，则sin2＋sin2＝2，故C错误；由A知sin(α＋β)＝0，则α＋β＝nπ(n∈Z)，故sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2(nπ－α)＝sin2α＋cos2α＝1(n∈Z)，故D正确．故选A、D．
16．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当a固定，θ变化时，求的最小值．
解：设QR＝x，则在Rt△BPQ中，BQ＝，在Rt△CSR中，RC＝xtan θ．
由＋x＋xtan θ＝a，
解得x＝，
∴QR＝，
∴S1＝AB·AC＝acos θ·asin θ＝a2sin θcos θ，
S2＝QR2＝
∴＝＝
＝＋sin 2θ＋1，
令t＝sin 2θ，∵0<θ<，∴0<2θ<π，则t＝sin 2θ∈(0,1]，令g(t)＝＝＋t＋1，
∴g′(t)＝－＋<0，∴函数g(t)在(0,1]上递减，
因此当t＝1时，g(t)有最小值，g(t)min＝g(1)＝，
此时sin 2θ＝1，θ＝，∴当θ＝时，取得最小值，最小值为．