2025年高考数学一轮复习 5.1 数列的概念及简单表示法 课件+专项训练（含解析）

(共47张PPT)
第五章 数列
5.1 数列的概念及简单表示法
课标要求 考情分析
1.了解数列的概念和几 种简单的表示方法（列 表、图象、公式）. 2.了解数列是自变量为 正整数的一类特殊函数. 3.能够利用 与 的 关系求通项公式 . 考点考法：以考查 与 的关系为主，简单的
递推关系也是考查的热点.在高考中以选择、填
空的形式进行考查，难度为低档.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.数列的概念
概念 含义
数列 按照____________排列的一列数
数列的项 数列中的__________
数列的通项 数列 的第 项
通项公式 数列 的第 项 与_______之间的关系式
前 项和 数列 中， _________________
确定的顺序
每一个数
序号

[提醒] 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
2.数列的分类及性质
3.数列的表示方法
列表法 列表格表示 与 的对应关系
图象法 把点_______画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项 公式 把数列的通项用______表示
递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

公式
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )
×
（2）所有数列的第 项都能用通项公式表示.( )
×
（3）若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.( )
√
（4）一个确定的数列,它的通项公式只有一个.( )
×
2.在数列 中， , ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D. , , , .
√
3.在数列 ， ， , , , 中，0.08是它的第____项.
10
解析：依题意得 ，解得 或 （舍）.
4.（人A选择性必修第二册 练习 变设问）
根据下面的图形及相应的点数,可得点数构成的
数列的一个通项公式 _______.

解析：由 , , , ，
归纳得 .
1.若数列 的前 项和为 ，通项公式为 ，则

2.在数列 中，若 最大，则 ,若 最小，则
.
【用一用】
1.(2023·安徽芜湖一中模拟)若数列 的前 项和
，则数列的通项公式为____________________.

解析：由题意可知，当 时， ；
当 时，
.
又 不满足 .所以
2.数列 中， ，则此数列最大项的值是____.
30
解析：若 最大，则
即
解得 .因为 ，所以当 或 时， 取最大值 .
核心考点 师生共研
02
考点一 由 与 的关系求 （师生共研）
例1.（1）设 为数列 的前 项和，若 ，则
( )
A. B. C.
解析：根据 ,可得 ,
两式相减得 ,即 .
当 时， ，解得 .
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 .故选B.
√
（2）已知数列 满足 ,则

_____________.

解析：当 时, .因为 ,①
故 ,②
由①-②，得 ,所以 .
显然当 时不满足上式，所以
（1）已知 求 的3个步骤
①先利用 求出 ;
②用 替换 中的 得到一个新的关系式，利用 便可求出当 时 的表达式；
③注意检验当 时的表达式是否可以与 时的表达式合并.
（2） 与 关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
①利用 转化为只含 , 的关系式，再求解；
②利用 转化为只含 , 的关系式，再求解.
【对点训练】
1.已知数列 的前 项和 ,则 ____, ____
______________.


解析： .
当 时， ;当 时，
,又 也适
合此式，所以 .
2.设 是数列 的前 项和，已知 , ,则
_ _.

解析：依题意得 ,整理得 .
又 ,则数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.
因此 ，即 .
考点二 由数列的递推关系求 （一题多变）
例2.（1）在数列 中， , ，则通项公式
______.

解析：因为 ,所以 ,
,
,以上各式累加得 ,
所以 ,且 也适合上式，所以 .
（2）已知 , ,则数列 的通项公式 _ _______.

解析：因为 ,所以 , ,

，
以上各式累乘得


，且 也适合上式，所以 .
【一题多变】
1.（变条件）本例（2）中条件“ ”改为“ ”,其他
不变，怎样求解？
解：由已知，可得 ,
所以
,
又 也适合上式，所以 .
2.（变条件）本例（2）中条件“ ”改为“ ”,其他
不变，怎样求解
解：由已知，可得 ,
所以 ,
所以
,且 也适合上式.
故 .
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[注意] 避免两种失误
（1）利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到 ，
漏掉 而导致错误；二是根据连乘求出 之后，不注意检验 是否成立.
（2）利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式.
【对点训练】
1.已知在数列 中， , ,则 ________.

解析： .
又当 时， 也适合上式，所以 .
2.已知在数列 中， , ,则 _________.

解析：因为 ,且 适合上式，
所以数列 的通项公式为 .
3.在数列 中， ， ， ，则该数列的通项公
式 _ _________.

解析：因为在数列 中， ，即 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，解得 ，且
适合上式，所以 .
考点三 数列的性质与应用（多维探究）
[高考考情] 数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识、函数的思想方法来解决；数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列的最大项、最小项，数列的有界性问题均可借助数列的单调性来解决.
角度1 数列的周期性
例3.（1）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代
的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁
殖为例，引入“兔子数列”： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，即 ，
，此数列在现代物理、准晶体
结构及化学等领域有着广泛的应用.若此数列被4整除后的余数构成一个新
的数列 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
解析：由题意得，数列 为1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
所以该数列的周期为6，
所以 ，故选B.
（2）在前 项和为 的数列 中， ， ，对所有正整数
均有 ，则 ___.

解析：由题意得 ，
则 ， ，
,可得数列 是一个周期为3的数列，且 ，则 .
解决数列周期性问题的方法
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前 项的和.
角度2 数列的单调性
例4 (2023·山东潍坊模拟)已知数列 满足
若 ， 恒成立，则实数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
解析：因为 恒成立，所以数列 是递减数列，所以 即 解得 ,故选A.
解决数列单调性问题的三种方法
（1）作差比较法：根据 的符号判断数列 是递增数列、递
减数列还是常数列.
（2）作商比较法：根据 （ 或 ）与1的大小关系进行判断.
（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.
角度3 数列的最大（小）项
例5.（1）(2023·河北邢台模拟)已知数列 的通项公式为 ，则
取得最大值时， ( )
A. B. C. D.不存在
√
解析：依题意 , , , ，构造函数
，
则 ,
因为 ， , ,所以 在 上恒成立，
所以 在区间 上单调递减，所以当 时， 是递减数列，
所以 的最大值为 .所以 取得最大值时 为3.故选B.
（2）(2023·四川内江模拟)若数列 的通项公式 满足 ，
则数列 中的项的最小值为_ __.

解析：因为 ，所以 ，
所以 ，
易得当 时， ；当 时， ，
所以数列 中，从 递减到 ，再从 后开始递增，
所以 .
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数 当 时所对应的一列函数值，根据 的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出 的最值，进而求出数列的最大项或最小项.
（2）通过通项公式 研究数列的增减性，确定最大项及最小项.
【对点训练】
1.在数列 中， 若 ,则 的值为
( )
A. B. C. D.
√
解析：选D.因为 ,所以 ,
, ,
, ，
可得该数列的周期为4，故 ,
故选D.
2.（多选）已知数列 ，则下列描述正确的
是( )
A.当 单调递减时， 的最小值为3
B.当 单调递减时， 的最小值为4
C.当 时，前 项和的最大值为57
D.当 时， 为单调递增数列
√
√
√
解析：选 ，解得 ,
因为 ，所以 的最小值为4，所以A错误，B正确.
当 时，数列 的前6项为正，第7项开始往后为负，所以前6项和最
大， ,所以C正确.
当 时， , ,数列 单调递增，当 时，易
知数列 单调递减，当 时， , ，且数列
满足 所以数列 单调递增，所以D正确.
3.(2023·上海嘉定区模拟)已知数列 的通项公式为 ，
则 取最大值时， ________.
17或18
解析：由 可得当 时， ，
当 时， ，当 时， ，故 取最大值时，
一定有 ，设 为数列 的最大项，则
即 解得 ,
则 或 时取得最大值 .5.1-数列的概念及简单表示法-专项训练【原卷版】
1．已知数列{an}的前4项依次为2,6,12,20，则数列{an}的通项公式可能是(　　)
A．an＝4n－2　　　　　 B．an＝2n＋2(n－1)
C．an＝n2＋n D．an＝3n－1＋2n－1
2．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　)
A．31 B．42
C．37 D．47
4．已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0．对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．6
5．(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是(　　)
A．此数列的第20项是200
B．此数列的第19项是182
C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2
D．此数列的前n项和为Sn＝n(n－1)
6．(多选)(2024·潍坊一模)已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　)
A．a6＝19 B．a7>a6
C．S5＝22 D．S6>S5
7．已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________．
8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4＝________，an＝________．
9．(2024·北京质检)已知数列{an}满足21·a1＋22·a2＋23·a3＋…＋2n·an＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
10．如果连续自然数数列a1，a2，…，an，…满足lg 2＋lg＋lg＋…＋lg＝lg n，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n项和Sn．
11．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，则S1＋S3＋S5＝(　　)
A．0 B．
C． D．
12．在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an＝(　　)
A．2＋nln n B．2＋(n－1)ln n
C．1＋n＋ln n D．2n＋nln n
13．请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③014．(2024·绵阳模拟)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值．
15．(多选)已知数列{an}满足an＝n·kn(n∈N*,0A．当k＝时，数列{an}为递减数列
B．当k＝时，数列{an}一定有最大项
C．当0D．当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项
16．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，求x1·x2·x3·x4·…·x2 020的值．
5.1-数列的概念及简单表示法-专项训练【解析版】
1．已知数列{an}的前4项依次为2,6,12,20，则数列{an}的通项公式可能是(　　)
A．an＝4n－2　　　　　 B．an＝2n＋2(n－1)
C．an＝n2＋n D．an＝3n－1＋2n－1
解析：C　对于A，a3＝10≠12，故A错误；对于B，a4＝16＋6＝22≠20，故B错误；对于C，a1＝12＋1＝2，a2＝22＋2＝6，a3＝32＋3＝12，a4＝42＋4＝20，故C正确；对于D，a3＝9＋5＝14≠12，故D错误．故选C．
2．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：B　因为Sn＝n2＋4n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3．经检验，当n＝1时不符合，所以an＝所以a1＋a3＋a5＝28．故选B．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　)
A．31 B．42
C．37 D．47
解析：D　由题意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，又S1＋1＝3，故数列{Sn＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，则S5＋1＝3×24，所以S5＝47．
4．已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0．对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：C　因为数列{an}是递增数列，又t2－a－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an>0，所以t≤an＋3恒成立，即t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，所以tmax＝3．
5．(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是(　　)
A．此数列的第20项是200
B．此数列的第19项是182
C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2
D．此数列的前n项和为Sn＝n(n－1)
解析：AC　观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，A、C正确；a19＝a20－20＝180，B错误；Sn＝n(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有Sn＝n(n－1)，D错误．故选A、C．
6．(多选)(2024·潍坊一模)已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　)
A．a6＝19 B．a7>a6
C．S5＝22 D．S6>S5
解析：BC　因为an＝所以a1＝4，a2＝－2，a3＝10，a4＝－6，a5＝16，a6＝－10，a7＝22，所以A错误，B正确；S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C正确；因为a6＝－10，所以S6－S5＝a6<0，所以S67．已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________．
解析：an＝，当n≤5时，an>1；当n≥6时，an<1，由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5．
答案：5
8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4＝________，an＝________．
解析：由题意可得a1＝1，an＋1－an＝n，则当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝1＋＝，又a1＝1也适合上式，故an＝，则a4＝＝7．
答案：7　
9．(2024·北京质检)已知数列{an}满足21·a1＋22·a2＋23·a3＋…＋2n·an＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：∵2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＋2nan＝(n－1)·2n＋1＋2，∴2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(n－2)·2n＋2(n≥2)，两式相减，得2nan＝n·2n，即an＝n(n≥2)，当n＝1时，a1＝1，适合an＝n，故an＝n(n∈N*)．
答案：n
10．如果连续自然数数列a1，a2，…，an，…满足lg 2＋lg＋lg＋…＋lg＝lg n，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n项和Sn．
解：由已知得：2···…·＝n，
即2····…·＝n．
∵a1，a2，…，an，…为连续自然数，
∴上式可化简为2·＝n，即2·＝n，
∴2n＋2a1＝na1，即(n－2)(a1－2)＝4．
若要n最大，且n∈N*，则只能有
∴
∴该数列最多有6项，首项为3，
∴S6＝3＋4＋5＋6＋7＋8＝33．
11．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，则S1＋S3＋S5＝(　　)
A．0 B．
C． D．
解析：D　数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，当n为偶数时，Sn＝Sn－Sn－1＋，即有Sn－1＝，所以S1＋S3＋S5＝＋＋＝．故选D．
12．在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an＝(　　)
A．2＋nln n B．2＋(n－1)ln n
C．1＋n＋ln n D．2n＋nln n
解析：D　由题意得，＝＋ln ，则＝＋ln ，＝＋ln ，…，＝＋ln ，由累加法得，＝＋ln ＋ln ＋…＋ln ，即＝a1＋ln，则＝2＋ln n，所以an＝2n＋nln n，故选D．
13．请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0解析：因为函数an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0<2－<2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－．
答案：an＝2－(答案不唯一)
14．(2024·绵阳模拟)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值．
解：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，
两式相减得nan＝an＋1－an，即＝3(n≥2)，
∵a1＝1，∴1＝a2，即a2＝1，∴＝2≠3．
∴数列{nan}是从第二项开始的等比数列，
∴当n≥2时，有nan＝2×3n－2，
∴an＝
(2)存在n∈N*使得an≤(n＋1)λ成立 λ≥有解，
①当n＝1时，＝，则λ≥，即λmin＝；
②当n≥2时，＝，
设f(n)＝，∴＝>1，∴f(n)单调递增，
∴f(n)min＝f(2)＝，∴实数λ的最小值是．
由①②可知实数λ的最小值是．
15．(多选)已知数列{an}满足an＝n·kn(n∈N*,0A．当k＝时，数列{an}为递减数列
B．当k＝时，数列{an}一定有最大项
C．当0D．当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项
解析：BCD　当k＝时，a1＝a2＝，知A错误；当k＝时，＝·，当n<4时，>1，当n>4时，<1，所以可判断{an}一定有最大项，B正确；当0k≥，当k＝时，a1＝a2>a3>a4>…，当1>k>时，令＝m∈N*，解得k＝，则＝，当n＝m时，an＋1＝an，结合B，数列{an}必有两项相等的最大项，故D正确．故选B、C、D．
16．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，求x1·x2·x3·x4·…·x2 020的值．
解：由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝ ，故x1·x2·x3·x4·…·x2 020＝ × ×…× ＝ ．