2025年高考一轮复习-第五章 数列-第3讲 等比数列-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 在正项等比数列 中，若 , ，则其前3项的和 ( )
A. B. C. D.
2. 设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 在等比数列 中，已知 ， ，则 的值为( )
A. B. C. D.
4. [2023·河南洛阳模拟]已知公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. [2023·山东青岛模拟]（多选）已知 ， 数列 满足 ， 且对任意 ， 有 ，则( )
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. 的前 项和为 D.
6. [2023·河北石家庄模拟]已知在正项等比数列 中， ，则 .
7. [2023·广东广州模拟]已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 的值为 .
8. [2023·江西南昌十中模拟]已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为 .
9. [2022·新高考卷Ⅱ]已知 是等差数列， 是公比为2的等比数列，且 .
（1） 证明： ；
（2） 求集合 中元素的个数.
[B级 综合运用]
10. 若数列 满足 ，则称 为“梦想数列”，已知正项数列 为“梦想数列”，且 ,则 ( )
A. B. C. D.
11. 已知等比数列 的前 项积为 ,若 , ,则当 取最大值时， 的值为( )
A. B. C. D.
12. [2023·上海复旦附中模拟]已知正项数列 满足 , ，则 .
13. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.
若第1个图形中的三角形的边长为2，则第4个图形的周长为 .
14. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 .
（1） 求证：数列 为等比数列；
（2） 求数列 的前 项和 .
[C级 素养提升]
15. （多选）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ， ，则( )
A. B. 当 时， 最小
C. 当 时， 最小 D. 存在 ，使得
16. 已知数列 中， , ,记 为 的前 项的和， , .
（1） 判断数列 是否为等比数列，并求出 ;
（2） 求 .
2025年高考一轮复习-第五章 数列-第3讲 等比数列-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 在正项等比数列 中，若 , ，则其前3项的和 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.设正项等比数列 的公比为 .
因为 , ,所以 ，解得 （负值舍去）.
则其前3项的和 .故选C.
2. 设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.依题意， ， , ，因为 是等比数列，所以 ,即 ,解得 .故选A.
3. 在等比数列 中，已知 ， ，则 的值为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.设等比数列 的公比为 ，则 ，又 ， ，所以 .故选C.
4. [2023·河南洛阳模拟]已知公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的( D )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
[解析]选D.①在等比数列 中，若 ,当 时， ，当 时， ，则 ，此时 为递减数列，即充分性不成立；
②若 为递增数列，即 时， ，则有 ，而 并不能推得 ，如 ， ，故必要性不成立.故“ ”是“ 为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.
5. [2023·山东青岛模拟]（多选）已知 ， 数列 满足 ， 且对任意 ， 有 ，则( BCD )
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. 的前 项和为 D.
[解析]选BCD.由题意可得 ，因为 ，所以 , ,所以 ，即 不是等比数列，故A错误；由题意得 恒成立，所以 ，所以 ，且 ，所以 是以1为首项，3为公比的等比数列，故B正确；所以 的前 项和为 ，故C正确；所以 ，则 ，故D正确.故选BCD.
6. [2023·河北石家庄模拟]已知在正项等比数列 中， ，则 .
[解析]由等比中项的性质可得 ，则 ，所以 .
7. [2023·广东广州模拟]已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 的值为 .
[解析]当 时， ，所以 ，当 时， 两式相减得 ，即 ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列，所以 .
8. [2023·江西南昌十中模拟]已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为45.
[解析]设等比数列 的公比为 .
若 ，当 为偶数时， ，不符合题意，所以 ，
所以 ， ， ， 成等比数列，
且公比为 ，
所以 ， ，
所以 .
9. [2022·新高考卷Ⅱ]已知 是等差数列， 是公比为2的等比数列，且 .
（1） 证明： ；
[答案]解：证明：设数列 的公差为 ，所以 即可解得 ，所以原命题得证.
（2） 求集合 中元素的个数.
[答案]由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 , , ， , ,故集合 中的元素个数为 .
[B级 综合运用]
10. 若数列 满足 ，则称 为“梦想数列”，已知正项数列 为“梦想数列”，且 ,则 ( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.若 为“梦想数列”，则有 ,即 ,即 ,且 ,所以数列 是以2为首项， 为公比的等比数列，则 .故选B.
11. 已知等比数列 的前 项积为 ,若 , ,则当 取最大值时， 的值为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由 , ,可得 ,解得 ,所以 ,当 取最大值时，可得 为偶数，当 时， ;当 时， ;当 时， ，则 ，又当 ，且 为偶数时， ，故 时， 取得最大值.故选C.
12. [2023·上海复旦附中模拟]已知正项数列 满足 , ，则 .
[解析]由题意得 ，
即 ，设 ，
则 ，
解得 或 ，
因为 为正项数列，所以 ，故 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 .
13. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.
若第1个图形中的三角形的边长为2，则第4个图形的周长为 .
[解析]记第 个图形为 ，三角形边长为 ，边数为 ，周长为 ，则 有 条边，边长为 ; 有 条边，边长 ； 有 条边，边长 ； ；分析可知 ，即 ， ，即 ，当第1个图形中的三角形的边长为2时，即 ， ，所以 ，则第4个图形的周长为 .
14. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 .
（1） 求证：数列 为等比数列；
[答案]解：证明：由题意知， ,当 时， ,
两式相减，得 ,即 ,所以 ，所以数列 为等比数列.
（2） 求数列 的前 项和 .
[答案]当 时， ，得 ,
由（1）知，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ,
所以 ,所以 ,
所以
.
[C级 素养提升]
15. （多选）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ， ，则( AC )
A. B. 当 时， 最小
C. 当 时， 最小 D. 存在 ，使得
[解析]选AC.对A，因为 ， ，所以 ，又 , ，
所以 ，故A正确；对 ， ，由等比数列的性质， ，故 ， ， ，所以 ，因为 ， ， ，所以 ， ，所以 ，故当 时， 最小， 错误， 正确；对D，当 时， ，故 ，故D错误.故选AC.
16. 已知数列 中， , ,记 为 的前 项的和， , .
（1） 判断数列 是否为等比数列，并求出 ;
[答案]解：因为 ,所以 ,所以 ,即 .
因为 ,所以 ,因为 , ,所以 ,所以 .
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.
所以 .
（2） 求 .
[答案]由（1）可知， ,所以 , , ， 是以 为首项， 为公比的等比数列;
, , , 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以
.(共42张PPT)
第3讲 等比数列
课标要求 考情分析
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 项和公式. 3.能在具体的问题情境中，发现 数列的等比关系，并能用等比数 列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关 系. 考点考法：高考以等比数列的通项公式
及其性质、等比数列的前 项和为考查
重点，将等比数列的通项、前 项和及
性质综合考查，此外，还可能会与等差
数列综合考查，题目以客观题或解答题
的形式呈现，属中档题型.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学
建模
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.等比数列的有关概念
（1）定义:如果一个数列从_______起，每一项与它的前一项的比都等于
____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
______，通常用字母___表示 ，定义的表达式为 .
（2）等比中项:如果 , , 成等比数列，那么___叫做 与 的等比中项.
即： 是 与 的等比中项 , , 成等比数列 .
第2项
同一个常数
公比
[提醒] （1）在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0；（2）只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
2.等比数列的基本公式
（1）通项公式： ________.
（2）前 项和公式：
_____， ，
_ _______=_______， .
[提醒] 在求等比数列的前 项和时，易忽略 这一特殊情形.
3.等比数列的常用性质
已知数列 是等比数列， 是其前 项和.
（1）通项公式的推广： ;
（2）若 ,则 _ ______=____;
（3）若数列 , （项数相同）是等比数列，则 ， ,
, , 仍然是等比数列；
（4）在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
, , , ， 为等比数列，公比为 ;
（5）公比不为 的等比数列 的前 项和为 ,则 , , 仍成等比数列，其公比为 ，当公比为-1时， , , 不一定构成等比数列.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）等比数列 的公比 ，则该数列为递增数列.( )
×
（2）三个数 , , 成等比数列的充要条件是 .( )
×
（3）如果数列 为等比数列，则数列 是等差数列.( )
×
（4）数列 的通项公式是 ，则其前 项和为 .( )
×
2.（人A选择性必修第二册 例8 变条件）已知等比数列 的首项为
，前 项和为 ,若 ，则公比 的值为( )
A. B. C. D.
解析：选B.当 时， ,所以 .
当 时， ,所以 .
√
3.在数列 中， , , 为 的前 项和.若 ,
则 ___.
6
解析：因为 , ,所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列.
又 ,解得 .
4.已知等比数列 的前 项和为 ,且 , ,则
_______.
2 023
解析：因为 ,
所以 ，
即 ,
因为 ,所以 ,解得 ,
因为 ，所以 .
1.等比数列的单调性
当 , 或 , 时， 是递增数列；
当 ， 或 , 时， 是递减数列；
当 时， 是常数列.
2.等比数列的常用结论
（1） ;
（2）若 ,则 , , ， 成等比数列；
（3）若数列 的项数为 ,则 ;若项数为 ,则 .
【用一用】
1.在等比数列 中，已知 ， ，则数列 为( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
解析：选A.由 ,可知 ,解得 .
又 ，所以数列 为递增数列.
√
2.已知等比数列 共有 项，其和为 ,且奇数项的和比偶数项的
和大80，则公比 ___.
2
解析：由题意，得
解得 所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 等比数列的基本量运算（自主练透）
1.(2022·高考全国卷乙)已知等比数列 的前3项和为168， ，
则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.设等比数列 的首项为 ,公比为 ，由题意可得
即 解得 所以
,故选D.
√
2.(2023·河北深州模拟)设正项等比数列 的前 项和为 ，若
, ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选A.设正项等比数列 的公比为 ，
则由 得 ，
即 ，即 ，又 ,所以
，
解得 或 （舍）.
由 得 ，所以 .故选A.
√
3.（多选）已知等比数列 的各项均为正数，且 , , 成等差数列，
则下列说法正确的是( )
A. B. C. 或 D.
解析：选ABD.设等比数列 的公比为 ,
由题意得 ,即 .
因为数列 的各项均为正数，所以 ，且 ，故A，B正确；
由 ,解得 或 （舍）,
所以 , ,故C错误，D正确.故选ABD.
√
√
√
4.已知数列 的前 项和为 ,且 .
（1）求数列 的通项公式;
解：当 时， ;
当 时， ,即
,所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，所以
.
已知数列 的前 项和为 ,且 .
（2）若 ,求n.
解： ,
由 ,解得 .
解决等比数列有关问题的两种常用思想
（1）方程思想:等比数列中有五个量 , , , , ，一般可以“知三求
二”，通过列方程（组）求关键量 和 ，问题可迎刃而解.
（2）分类讨论思想:等比数列的前 项和公式涉及对公比 的分类讨论，
当 时， 的前 项和 ；当 时， 的前 项和
.
考点二 等比数列的判定与证明（一题多变）
例1 已知数列 的前 项和为 , , ,若
,求证：数列 是等比数列.
【证明】 因为 ,
所以 .
因为 ,所以 .
所以 .
所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列.
【一题多变】
1.（变设问）若本例中的条件不变，试求 的通项公式.
解：由例1知， ,
所以 ,又 ,
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列.
所以 ,
所以 .
2.（变条件）在本例中，若 ,证明：数列 为等比数列.
证明：由[一题多变] 知， ，所以 .
所以 ,又 ,
所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列.
[注意] （1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.
【对点训练】
1.(2023·广东广州高三阶段训练)已知数列 满足
，若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由 可知，数列 为等比数列，则
,设 的公比为 ,因为 ,且 ，所以
，所以 .故选C.
√
2.已知数列 满足 ， ，设 .
（1）证明：数列 是等比数列；
解：证明：当 时， ，则 .
由 ，得 ，即 ,又 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）求 .
解： 由（1）得 ，
所以
.
已知数列 满足 ， ，设 .
考点三 等比数列的性质及应用（多维探究）
[高考考情] 等比数列的性质是等比数列的概念、通项公式、前 项和公式的引申，应用等比数列的性质解题，能够在运算时达到运算灵活、方便快捷的目的，是高考一直重点考查的内容，既有选择填空，又有解答题.
角度1 等比数列项的性质
例2.（1）(2023·宁夏平罗中学模拟)已知等比数列 的各项均为正数，
且 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：因为 是等比数列，所以 ，故
，解得 ，
所以
，故选B.
√
（2）(2023·福建泉州模拟)已知等比数列 的公比 ， ,
,则 ____.
解析：在等比数列 中， ，由 ，得
，
即有 ，因为 ，所以 ， ,
即 ，解得 ， ，
，所以 .
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 ，则 ”,可以减少运算量，提高解题速度.
角度2 等比数列前 项和的性质
例3.（1）设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 __.
解析：设等比数列 的公比为 ,因为 ，所以 的公比 .
由 ，解得 ，所以 .
（2）已知等比数列 的前10项中，所有奇数项之和为 ，所有偶数
项之和为 ，则 的值为_____.
解析：设公比为 ,由 解得
所以
.
等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变
形，三是前 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化
特征，即可找出解决问题的突破口.
[注意] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要
对性质进行适当变形.此外，解题时注意“设而不求”的运用.
【对点训练】
1.(2023·安徽蚌埠二中模拟)已知数列 是公比为 的等比数列，则“
”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选D.若 ，满足 ，但 ，推
不出“ ”，充分性不成立；
若 ，满足 ，但 ，推不出“ ”，
必要性不成立.故选D.
√
2.已知各项均为正整数的等比数列 中， , ,则
( )
A. B. C. D.
解析：选D.方法一：因为数列 为正项等比数列，所以 ,
, ,又 ,所以 ,
得 .故选D.
方法二：因为数列 为正项等比数列，所以 , , 成等
比数列，所以 ，又 ,所以
.故选D.
√
3.(2023·山东德州模拟)在等比数列 中， ，
，则 ____.
31
解析：设 ，
则
,
所以 .
