(共35张PPT)
第4讲 数列求和
课标要求 考情分析
1.熟练掌握等差数列、等比数列的前 项和公式，能够利用公式求数列的前 项和. 2.会求一些非等差、等比数列的前 项和. 考点考法：数列求和是高考的重点考查内容，会综合数列的概念、性质、公式等进行考查，客观题型和解答题型都可能出现，既可以是基本运算的简单题或中等题，也可以出现在难度较大的综合题中.
核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
数列求和的常用方法
（1）公式法
①等差数列 的前 项和 .
②等比数列 的前 项和
（2）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项
可以相互抵消，从而求得前 项和.
（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列
的对应项之积构成的，那么求这个数列的前 项和即可用错位相减法求解.
[提醒] 错位相减法求和时，注意最后一项的符号.
（5）倒序相加法：如果一个数列 的前 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法求解.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若数列 为等比数列，且公比不等于1，则其前 项和
.( )
√
（2）当 时， .( )
√
（3）求 时只要把等号两边同时乘以 即可
根据错位相减法求得.( )
×
（4）若数列 ， ， ， 是首项为1，公
比为3的等比数列，则数列 的通项公式是 .( )
√
2.数列 的前 项和为( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 ,所以 .
√
3.（人A选择性必修第二册 练习 变条件）一个球从 高处自由
落下，每次着地后又弹回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经
过的路程是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.第10次着地时，经过的路程为
.
√
4.已知数列 的前 项和为 ,若 ,
则 ___.
9
解析： .
常见的裂项公式
（1） ；
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5）等差数列 中， ， ，则 .
【用一用】
1.(2023·黑龙江牡丹江模拟)已知数列 的通项公式为 ，则
数列 的前99项和为( )
A. B. C. D.
解析：选B.因为 ,所以
.故选B.
√
2.在数列 中， ，若 的前 项和为 ，则项数
________.
2 023
解析：由题意得 ，
所以 ,所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 分组求和与并项求和（自主练透）
1.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.
.故选C.
√
2.已知函数 且 ,则
( )
A. B. C. D.
解析：选B.由题意，得
.
√
3.(2023·上海松江二中模拟)已知数列 的首项为 ， ,则数
列 的前10项之和 ____.
31
解析：因为 ，所以 ，两式相除可得
，
所以 的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，又 ，
，
所以
.
4.(2023·河南洛阳模拟)已知正项数列 的前 项和为 ，
，则数列 的前101项的和为_____.
解析：由 ，得 ，
即 ，由 ，解得 ，
当 时， ，
两式相减得 ，
即 ，由 ，得
，
即数列 是公差为1的等差数列，所以 ，当 时， 符
合题意，
故 ，则数列 的前101项和为
.
分组求和法与并项求和法的应用策略
一般地，如果 是等差数列， 是等比数列，求数列
或 的前 项和 时，可采用分组求和法求解.如果
,求 的前 项和时，可采用并项求和法求解.
考点二 裂项相消法求和（师生共研）
例1 已知数列 为公差大于0的等差数列， ,且 , ,
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
【解】设等差数列 的公差为 .
由题意得 解得
所以 .
所以数列 的通项公式是 .
（2）设 ,数列 的前 项和为 ,若 ,求 的值.
已知数列 为公差大于0的等差数列， ,且 , ,
成等比数列.
【解】 由（1）知， ,
所以 .
因为 ,所以 ,解得 .所以 的值为20.
破解裂项相消求和的关键点
（1）定通项：根据已知条件求出数列的通项公式.
（2）巧裂项：根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一项，表示为两项之差的形式.
（3）消项求和：通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准确求和.
[注意] （1）裂项原则：一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.
（2）消项规律：消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
【对点训练】
(2023·河北衡水模拟)已知数列 满足 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
解：由题意，设 ，则 ，与已知矛盾，所以 .
又 ，所以 ，
所以 ，所以数列 是等比数列，
设数列 的公比是 ，首项是 ，则 .
由 ，可得 ，所以 ，所以 .
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
解： 由（1）知，
,
所以
.
(2023·河北衡水模拟)已知数列 满足 ，且 .
考点三 错位相减法求和（师生共研）
例2 (2021·高考全国卷乙)设 是首项为1的等比数列，数列 满足
.已知 , , 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
【解】设 的公比为 ，则 .
因为 , , 成等差数列，所以 ,解得 ,故
， .
（2）记 和 分别为 和 的前 项和.证明： .
(2021·高考全国卷乙)设 是首项为1的等比数列，数列 满足
.已知 , , 成等差数列.
证明：由（1）知 , ， ①
, ②
①-②得 ,
即 ,
整理得 ,
则 ,故 .
错位相减法求和的注意事项
（1）掌握解题“3步骤”
（2）注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.
②在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式.
③在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比 和 两种情况求解.
【对点训练】
(2023·山西太原第一学期统考)已知在数列 中， ,
.
（1）证明：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
解：由条件可得 ,
又 ,所以数列 是首项为1，
公比为2的等比数列.
所以 .
（2）求数列 的前 项和 .
解： 由（1）知
,
设 ,
则 ,
两式相减，整理得 ,
所以 .2025年高考数学一轮复习-第五章 数列-第4讲 数列求和-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 在数列 中 , , , ,则 的值为( )
A. B. C. D.
2. 若数列 的通项公式为 ,则数列 的前 项和 ( )
A. B. C. D.
3.已知数列 满足 ，则数列 的前12项和为( )
A. B. C. D.
4. 已知在等差数列 中， ，等比数列 的公比 满足 且 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. （多选）已知数列 满足 , ，记 的前 项和为 ，则( )
A. B. C. D.
6. 已知数列 的前 项和为 , .当 时， ,则 .
7.已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前20项和为 .
8. 已知函数 ，等差数列 满足 ，则 .
9.已知数列 满足 ，
（1） 记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2） 求 的前20项和.
[B级 综合运用]
10.已知数列 满足 ， ， ,数列 的前 项和为 ，则 ( )
A. B. C. D.
11. [2023·辽宁实验中学模拟]已知数列 的通项公式为 ，则该数列的前8项和为 .
12.已知数列 的通项公式为 , ,则其前20项的和为 .
13. 在正项数列 中，满足 , , ,则 .
14. 在等差数列 中，已知 , .
（1） 求数列 的通项公式 ;
（2） 若 ，求数列 的前 项和 ,在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[C级 素养提升]
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则 ( )
A. B. C. D.
16. 已知数列 满足 , 记数列 的前 项和为 , , .
（1） 求证数列 为等比数列，并求其通项公式 ;
（2） 求 的前 项和 .
2025年高考数学一轮复习-第五章 数列-第4讲 数列求和-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 在数列 中 , , , ,则 的值为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A. 为奇数时， , ; 为偶数时， , .故 .
2. 若数列 的通项公式为 ,则数列 的前 项和 ( D )
A. B. C. D.
[解析]选D. .故选D.
3.已知数列 满足 ，则数列 的前12项和为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.根据题意，分别代入 , , 可得， ， ， ， .由 周期为2，同理可得 ， .所以 .故选C.
4. 已知在等差数列 中， ，等比数列 的公比 满足 且 ,则 ( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.因为 , ,
所以 .
所以 ,
即 是首项为3，公比为4的等比数列.
所以 .故选B.
5. （多选）已知数列 满足 , ，记 的前 项和为 ，则( BCD )
A. B. C. D.
[解析]选BCD.因为 ， ,所以当 为奇数时， ；当 为偶数时， .所以 ，A错误；又因为 ，所以 ，B正确；
，C正确； ，D正确.故选BCD.
6. 已知数列 的前 项和为 , .当 时， ,则 1 012.
[解析]由 ,得 ,两式作差可得 ,即 ,所以 .
7.已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前20项和为330.
[解析]由题意，当 为奇数时， ，所以数列 是首项为2，公差为2的等差数列，所以 ；当 为偶数时， ，所以数列 是首项为4，公差为4的等差数列，所以 ，
.
8. 已知函数 ，等差数列 满足 ，则 .
[解析] .
依题意 是等差数列，
令 ，
，
结合等差数列的性质，可得 ，两式相加得 ,所以 .
9.已知数列 满足 ，
（1） 记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
[答案]解：因为 ,且 ,
所以 ,
.
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以数列 是以2为首项，3为公差的等差数列， , .
（2） 求 的前20项和.
[答案]因为
所以 时， ,
即 ,①
,②
,即 ,③
所以①+②得 ，即 ,
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
②+③得 ,即 ,
又 ,所以数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
所以数列 的前20项和 .
[B级 综合运用]
10.已知数列 满足 ， ， ,数列 的前 项和为 ，则 ( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.依题意， ，显然，当 为奇数时， ，
即有 ， ， ， ，
令 ，故 ，
所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列，故 ；
当 为偶数时， ，
即 ， ， ， ，
所以
.故选B.
11. [2023·辽宁实验中学模拟]已知数列 的通项公式为 ，则该数列的前8项和为 .
[解析]因为 ，
所以 .
12.已知数列 的通项公式为 , ,则其前20项的和为202.
[解析] ,
所以 的前20项和 .
13. 在正项数列 中，满足 , , ,则 .
[解析]由 ,可得 ,所以数列 为等比数列.
因为 , ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 , .
14. 在等差数列 中，已知 , .
（1） 求数列 的通项公式 ;
[答案]解：由题意知 解得
所以 .
（2） 若 ，求数列 的前 项和 ,在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[答案]选条件①.
由（1）知， ,
则
.
选条件②.
因为 , ,
所以 ,
当 为偶数时，
;
当 为奇数时， 为偶数，
.
所以
选条件③.
因为 , ,
所以 ,
所以 ,①
,②
①-②得
,
所以 .
[C级 素养提升]
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C. 由 累加得 ，又 ， 所以 ， 也符合此式，则 ，故 ，则 时, ； 时, ； 时, ; 时, ，所以 .故选C.
16. 已知数列 满足 , 记数列 的前 项和为 , , .
（1） 求证数列 为等比数列，并求其通项公式 ;
[答案]解：由题意得，
,
又 ,
所以数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，因此 .
（2） 求 的前 项和 .
[答案]由（1）得
,①
则 ,②
①-②得
,
则 .
